Funkcje elementarne
Wprowadzenie
Ten krótki artykuł w zamierzeniu ma nie być samodzielną treścią, a jedynie służy wyjaśnieniu pojęcia funkcji elementarnej, które pojawia się w innych artykułach.
Co to są funkcje elementarne?
Nie ma jednolitej definicji funkcji elementarnej. Najczęściej spotyka się definicję, według której funkcje elementarne podzielone są na dwie klasy:
- podstawowe funkcje elementarne, do których zalicza się:
- funkcję stałą: $f(x) = c$,
- funkcję tożsamościową: $f(x) = x$,
- funkcję wykładniczą: $f(x) = {\text e}^x$,
- funkcję sinus: $f(x) = \sin x$.
- pozostałe funkcje elementarne, którymi są wszystkie funkcje, jakie można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych, poprzez wykonywanie skończonej liczby operacji takich, jak: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz składanie i odwracanie funkcji.
W uproszczeniu można powiedzieć, że funkcjami elementarnymi są wszystkie funkcje, jakie można zapisać wzorem matematycznym, wykorzystującym poznane w szkole średniej i na kursie matematyki wyższej, symbole.
Przykładowo funkcjami elementarnymi są wielomiany $W(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n$, gdyż otrzymuje się je poprzez dodawanie do siebie funkcji stałej, oraz wyrażeń powstałych przez pomnożenie funkcji stałej przez kilkakrotnie przez siebie pomnożoną funkcję tożsamościową (albo przez funkcję tożsamościowa podniesioną do odpowiedniej potęgi).
Funkcją elementarną jest pierwiastek kwadratowy: $f(x) = \sqrt x$, gdyż jest to funkcja tożsamościowa podniesiona do potęgi $\frac 1 2$. Funkcję elementarną jest funkcja cosinus, gdyż: $\cos x = \sin \left(\frac {\pi} 2 - x \right)$. Funkcją elementarną jest logarytm naturalny: $f(x) = \ln x$, gdyż jest to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej ${\text e}^x$.
Funkcją elementarną jest np. arcus tangens: $f(x) = \text {arctg}\, x$, gdyż jest to funkcja odwrotna do funkcji $\text{tg}\, x$, która z kolei powstaje przez podzielenie funkcji $\sin x$ przez $\cos x$.
Funkcją elementarną jest np. funkcja $2^{x^2 + \sin x}$, gdyż jest to złożenie funkcji $2^x$, która z kolei jest równa: $2^x = {\text e}^{\ln 2 x}$ z funkcją $x^2 + \sin x$, która jest sumą potęgi funkcji tożsamościowej i sinusa.
Przykłady funkcji nieelementarnych
Może w tym momencie paść pytanie – skoro każdej funkcję można przypisać „historyjkę” jej powstania z użyciem podstawowych funkcji elementarnych, to jakie są w ogóle funkcje nieelementarne? Oczywiście są takie funkcje. Niektóre z nich poznajemy już w szkole średniej. Np. funkcje „klamerkowe”:
$$f(x) = \left\{ \begin{array} {lcr} \sin x & \text{dla} & x \leq 0 \\ x^2 + 5x - 7 & \text{dla} & x > 0 \end{array} \right.$$
Bowiem „sklejanie” funkcji z kilku innych nie jest dozwoloną operacją tworzenia funkcji elementarnych. Sprawa z funkcjami klamerkowymi nie jest jednak bardzo oczywista, o czym mowa będzie dalej.
czy np. funkcja Dirichleta:
$$f(x) = \left\{ \begin{array} {lcr} 1 & \text{dla} & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{dla} & x \notin \mathbb{Q} \end{array} \right.$$
gdzie $\mathbb Q$ – oznacza zbiór liczb wymiernych.
Często spotykaną funkcją nieelementarną, jest funkcja entier $f(x) = \left[ x \right]$, czyli część całkowita z liczby. Po polsku czasem nazywana „podłogą”, na zasadzie kalki językowej z języka angielskiego, gdzie znana jest, jako floor. W czasach popularności tablic logarytmicznych, funkcja entier nazywana była cechą liczby i pełniła ważną rolę przy obliczaniu wartości logarytmów dziesiętnych z wykorzystaniem owych tablic. Wartość funkcji entier jest największą liczba całkowitą, nie większą od argumentu funkcji. Przykładowo $[2] = 2$, $[4,99] = 4$, $[-1,2] = -2$. Tradycyjne matematyczne zaokrąglanie liczb może być wyrażone za pomocą funkcji entier, jako: $[x + 0,5]$.
Funkcje nieelementarne, otrzymywane mogą być z funkcji elementarnych poprzez nieskończoną ilość działań. Np. funkcja błędu:
$$\text {erf}(x) = \frac 2 {\sqrt \pi} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {\frac {(-1)^n \cdot x^{2n +1}} {(2n +1) \cdot n!}}$$
o ile oczywiście taki szereg nie jest rozwinięciem w szereg potęgowy jakiejś funkcji elementarnej, np.:
$$\text{e}^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^n} {n!}$$
Nawiasem mówiąc, funkcja błędu $\text {erf}(x)$ zdefiniowana jest wzorem:
$$\text {erf}(x) = \frac 2 {\sqrt \pi} \cdot \int_0^x \text e^{-t^2} \mathrm{dt}$$
a także prawdą jest, że:
$$\int \text e^{-x^2} \mathrm {dx} = \frac 2 {\sqrt \pi} \cdot \text {erf}(x) + C$$
gdzie $C$ – dowolna stała
Albowiem dość częstym „generatorem” funkcji nieelementarnych jest właśnie całka nieoznaczona. Wiele prostych funkcji elementarnych, jak np. właśnie $\text e^{-x^2}$, $\text e^{x^2}$ czy $\frac {\sin x} x$ posiada funkcje pierwotne niebędące funkcjami elementarnymi.
Niektórzy, jako funkcję nieelementarną traktują wartość bezwzględną $f(x) = |x|$. Nie sposób się z tym twierdzeniem zgodzić, gdyż wprawdzie najczęstszą definicją wartości bezwzględnej jest definicja „klamerkowa”:
$$f(x) = \left\{ \begin{array} {lcr} \ x & \text{dla} & x \geq 0 \\ -x & \text{dla} & x < 0 \end{array} \right.$$
to jednak bezsprzecznie: $|x| = \sqrt {x^2}$, co spełnia warunek uznania wartości bezwzględnej za funkcję elementarną.
Skoro tak, to przynajmniej niektóre, funkcje „klamerkowe” również można potraktować, jako elementarne. Weźmy funkcję:
$$f(x) = \left\{ \begin{array} {lcr} \cos x & \text{dla} & x < 0 \\ x^2 + 5x + 1& \text{dla} & x > 0 \end{array} \right. \tag {*} \label {eq:{*}}$$
Funkcja ta jest ciągła w całym $\mathbb R \backslash \{0\}$.
Można jednak zapisać ją jako:
$$f(x) = \frac 1 {2x} \cdot \left(\sqrt {x^2} - x \right) \cdot \cos x + \frac 1 {2x} \cdot \left(\sqrt {x^2} + x \right) \cdot \left(x^2 + 5x +1 \right)$$
Tak zapisane wyrażenie jest całkowicie tożsame z (*), gdyż dla $x < 0$ wyrażenie $\left(\sqrt {x^2} - x \right) = 2x$ natomiast dla $x > 0$ równa się ono 0. Wyrażenie $\left(\sqrt {x^2} + x \right) $ natomiast przeciwnie, dla $x < 0$ jest ono równe 0, a dla $x > 0$ jest równe $2x$. Tak więc udało nam się formułę „klamerkową” zapisać, jako skończoną liczbę działań na funkcjach elementarnych.