Macierze – część 1.
Wprowadzenie
Artykuł o macierzach zdecydowałem się podzielić na dwie części. Część pierwsza obejmuje zakres materiału przed wprowadzeniem pojęcia wyznacznika, któremu poświęcony będzie osobny artykuł, a część druga – materiał po wprowadzeniu wyznacznika. Z macierzami generalnie stykamy się dopiero na studiach, choć pojęcie wyznacznika (jako tworu samoistnego) pojawia się w programie nauczania szkoły średniej (zakres rozszerzony) przy okazji dyskusji rozwiązywalności układów równań.
Co to jest macierz?
Formalna definicja macierzy może nieco przerażać. Według niej bowiem macierzą nad ciałem $K$ nazywamy następujące odwzorowanie:
$$\mathcal{F}: \{1, 2, ..., m\} \times {1, 2, ..., n} \rightarrow K$$
Jeśli za ciało $K$ przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych $=\mathbb{R}$, wówczas macierz możemy potraktować jako funkcję:
$$f: \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{R}$$
Czyli funkcję przyporządkowująca parze liczb naturalnych $(i, j)$ pewną liczbę rzeczywistą. Jeśli teraz tę parę liczb potraktujemy jako, odpowiednio: numer wiersza i numer kolumny, to dostaniemy to, z czym się macierz najczęściej kojarzy, czyli po prostu liczby uporządkowane w formie dwuwymiarowej tablicy.
Macierze oznaczamy najczęściej wielkimi literami alfabetu (używamy czcionki pogrubionej) a wspomnianą tablicę liczb ujmujemy w prostokątne nawiasy.
$$\mathbf {A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} &... &a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end {bmatrix} \tag 1 \label {eq:1}$$
Jest to macierz o $m$ wierszach oraz $n$ kolumnach. Oznaczamy to zwykle $m \times n$ określamy mianem wymiaru macierzy. Ważne jest, by określając wymiar macierzy podawać najpierw ilość wierszy, a potem ilość kolumn.
Rodzaje macierzy
Macierze kwadratowe oraz wektory
Ze względu na wymiar macierzy, wyróżniamy pewne szczególne ich rodzaje:
- macierzami kwadratowymi nazywamy macierze, dla których $m = n$,
- wektorami, nazywamy macierze, dla których $m=1$ (jednowierszowe) lub $n=1$ (jednokolumnowe).
Szczególnym rodzajem macierzy jest macierz kwadratowa $1 \times 1$, którą utożsamia się z jedynym jej elementem $a_{11}$ – tj. traktuje się ją, jako skalar.
Wyróżnienie macierzy kwadratowych jest bardzo ważne, gdyż pewne operacje i charakterystyki obliczane mogą być wyłącznie dla macierzy kwadratowych.
Macierz zerowa
Macierz (dowolnego wymiaru), której wszystkie elementy są zerami, określana jest mianem macierzy zerowej.
$$\mathbf {0}_{[m\times n]} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & ... & 0 \\0 & 0 &... &0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 \end {bmatrix} \tag 2 \label {eq:2}$$
Macierz zerowa stanowi macierzowy odpowiednik liczby zero.
Rodzaje macierzy kwadratowych
Macierzami kwadratowymi, jak wspomniano, są macierze $m \times n$, dla których $m=n$. W macierzy takiej szczególną rolę odgrywają liczby $a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn}$, tworzące tzw. główną przekątną macierzy kwadratowej, zwanej inaczej diagonalą tej macierzy. Główna przekątna ma duże znaczenie, zwłaszcza w kontekście obliczeń numerycznych przeprowadzanych na macierzach. Niektóre z tych metod „nie działają”, gdy na przekątnej tej znajduje się liczba zero.
Macierz diagonalna
Macierz diagonalna to macierz kwadratowa, której wszystkie elementy nieleżące na głównej przekątnej równe są zero: $a_{ij} = 0$, dla $i \neq j$.
$$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\0 & a_{22} &... &0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end {bmatrix} \tag 3 \label {eq:3}$$
Nie oznacza to oczywiście, że w macierzy diagonalnej wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej muszą być różne od zera – kwadratowa macierz zerowa (2) również może być traktowana, jako szczególny rodzaj macierzy diagonalnej.
Macierz jednostkowa
Macierzą jednostkową nazywamy taką macierz diagonalną, której wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są jednościami: $a_{11} = a_{22} = ... = a_{nn} = 1$:
$$\mathbf {I}_{[n\times n]} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\0 & 1 &... &0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \end {bmatrix} \tag 4 \label {eq:4}$$
Macierz jednostkowa odgrywa istotną rolę w rachunku macierzowym i w pewnym sensie stanowi macierzowy odpowiednik jedności. Będzie to omówione przy okazji omawiania działań na macierzach.
Macierz skalarna
Macierzą skalarną nazywamy taką macierz diagonalną, której wszystkie elementy są równe.
$$ \begin{bmatrix} c & 0 & ... & 0 \\0 & c &... &0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & c \end {bmatrix} \tag 5 \label {eq:5}$$
Oczywiście dla $c=0$ macierz skalarna jest kwadratową macierzą zerową, a dla $c=1$ jest macierzą jednostkową.
Uwzględniając mnożenie macierzy przez skalar (liczbę), macierz skalarną można przedstawić jako: $c \cdot \mathbf{I}_{[n \times n]}$.
Macierz trójkątna
Macierzą trójkątną górną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poniżej diagonali równe są zero: $a_{ij} = 0$ dla $i < j$:
$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\0 & a_{22} &... &a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end {bmatrix} \tag {6a} \label {eq:{6a}}$$
Macierzą trójkątną dolną nazywamy macierz kwadratową, w której wszystkie elementy powyżej diagonali są równe zeru: $a_{ij} = 0$ dla $i > j$.
$$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\a_{21} & a_{22} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end {bmatrix} \tag {6b} \label {eq:{6b}}$$
Oczywiście w macierzy trójkątnej górnej nie wszystkie elementy powyżej diagonali muszą być niezerowe i podobnie w macierzy trójkątnej dolnej nie wszystkie elementy poniżej diagonali muszą być niezerowe. W tym kontekście, macierz diagonalna jest jednocześnie macierzą trójkątną górną oraz dolną.
Macierze trójkątne są istotne w kontekście rozwiązywania układów równań liniowych oraz podczas dekompozycji macierzy. Wykorzystuje się je także w algorytmach takich jak eliminacja Gaussa. W praktyce, macierze trójkątne mogą znacznie uprościć obliczenia, zwłaszcza podczas mnożenia macierzy.
Macierz symetryczna
Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową, dla której zachodzi równość: $a_{ij} = a_{ji}$.
Jeśli uwzględnimy operację transpozycji macierzy, macierz symetryczną można zdefiniować, jako macierz, dla której zachodzi $\mathbf{A}=\mathbf{A}^{\top}$.
Macierz skośnie symetryczna
Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową, dla której zachodzi równość: $a_{ij} = -a_{ji}$. Z warunku tego wynika, że w macierzy skośnie symetrycznej, wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są zerami: $a_{11} = a_{22} = ... = a_{nn} = 0$.
Jeśli uwzględnimy operację transpozycji macierzy, macierz symetryczną można zdefiniować, jako macierz, dla której zachodzi $\mathbf{A}=-\mathbf{A}^{\top}$.
Równość macierzy
Dwie macierze są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne wymiary oraz odpowiadające sobie elementy są równe. Oznacza to, że dla macierzy $\mathbf{A}$ o wymiarze $m \times n$ i macierzy $\mathbf{B}$ o takim samym wymiarze, musi zachodzić warunek: \( a_{ij} = b_{ij} \) dla każdego $i$, $j$. Tj. w zapisie formalnym:
$$\mathbf{A}_{[m \times n]} = \mathbf{B}_{[p \times r]} \iff (m =p) \wedge (n=r) \wedge \forall (0 \leq i \leq m, 0 \leq j \leq n) (a_{ij} = b_{ij}) \tag 7 \label {eq:7}$$
W praktyce, porównywanie macierzy polega na sprawdzeniu wszystkich ich elementów. Równość macierzy ma istotne znaczenie np. przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą macierzową.
W algebrze macierzy nie ma zdefiniowanych takich relacji, jak większa, czy mniejsza. Równość macierzy albo zachodzi, albo nie zachodzi.
Działania na macierzach
Działania jednoargumentowe – cz. 1
Transpozycja macierzy
Transpozycją (transponowaniem) macierzy nazywamy działanie, która polega na „zamianie wierszy na kolumny”. Dla macierzy $\mathbf{A}$ o wymiarze $m \times n$, macierz transponowana oznaczana jako $\mathbf{A}^{\top}$ i ma ona wymiar $n \times m$. Oznacza to, że elementy macierzy transponowanej są definiowane jako $a_{ji} = a_{ij}$. Transpozycja jest użyteczna w wielu dziedzinach matematyki, w tym w analizie danych oraz w teorii grafów. W kontekście układów równań liniowych, transpozycja pozwala na przekształcanie równań do innej formy, co może ułatwić ich rozwiązanie.
Ślad macierzy
Śladem macierzy kwadratowej $\mathbf{A}$, co oznaczamy $\mathrm{tr}{\mathbf{A}}$ nazywamy sumę elementów leżących na głównej przekątnej: $\mathrm{tr}{\mathbf{A}} = a_{11} + a_{22} + ... +a_{nn}$.
Kolejną jednoargumentową operacją, która należałoby omówić, jest odwracanie macierzy. Operacja ta zostanie omówiona w innym artykule, gdyż do wyznaczenia macierzy odwrotnej należy, między innymi, obliczyć wartość wyznacznika macierzy.
Działania dwuargumentowe
Mnożenie macierzy przez skalar (liczbę)
Iloczyn macierzy $\mathbf{A}$ (wzór (1)) przez liczbę $c$ obliczamy ze wzoru:
$$c \cdot \mathbf{A} = c \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} &... &a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} c \cdot a_{11} &c \cdot a_{12} & ... &c \cdot a_{1n} \\c \cdot a_{21} &c \cdot a_{22} &... &c \cdot a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\c \cdot a_{m1} &c \cdot a_{m2} & ... &c \cdot a_{mn} \end {bmatrix} \tag 8 \label {eq:8}$$
Mnożenie macierzy przez skalar posiada następujące własności:
- nie zmienia wymiaru macierzy,
- łączność: $b \cdot (b \cdot \mathbf{A}) = (b \cdot c) \cdot \mathbf{A}$,
- rozdzielność względem dodawania macierzy: $b \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = b \cdot \mathbf{A} + c \cdot \mathbf{B}$,
- rozdzielność względem dodawania skalarów: $(b + c) \cdot (\mathbf{A} = b \cdot \mathbf{A}) + c \cdot \mathbf{A}$,
- transpozycja iloczynu macierzy przez skalar: $(c \cdot \mathbf{A})^{\top} = c \cdot \mathbf{A}^{\top}$.
Można by twierdzić, że mnożenie macierzy przez skalar jest przemienne: $c \cdot \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot c$, ale nie jest to poprawne stwierdzenie, gdyż zapis $\mathbf{A} \cdot c$ jest nieprawidłowy. Według przyjętej konwencji zapisuje się najpierw skalar, potem macierz, a mówienie o przemienności nie ma sensu, gdyż obydwa czynniki mają całkowicie inną „naturę”, natomiast o przemienności mówimy wyłącznie w kontekście działań o argumentach tego samego typu, czyli należących do tego samego zbioru. Tutaj nie może być mowy o przemienności, gdyż ani liczba nie może zająć miejsca macierzy ani macierz nie może zając miejsca liczby.
Dodawanie macierzy
Dodawanie macierzy jest operacją, która możliwa jest tylko dla macierzy o jednakowych wymiarach. Sumą macierzy $\mathbf{A}$ oraz $\mathbf{B}$, o wymiarze $m \times n$ nazywamy macierz $\mathbf{C}$, której elementy są sumą elementów o takim samym numerze wiersza i kolumny, tj. dla:
$\mathbf {A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} &... &a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end {bmatrix} $ oraz $\mathbf {B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\b_{21} & b_{22} &... &b_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mn} \end {bmatrix} \tag 9 \label {eq:9} $
$$\mathbf {C} = \mathbf {A} + \mathbf {B}$$
$$\mathbf {C} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & ... & a_{1n} + b_{1n} \\a_{21} + b_{21}& a_{22} + b_{22} &... &a_{2n} + b_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & ... & a_{mn} + b_{mn}\end {bmatrix} \tag {9} \label {eq:{9}} $$
W przypadku, gdy wymiary macierzy są różne, dodawanie ich nie jest możliwe. Suma w takim wypadku po prostu nie istnieje.
Dodawanie macierzy posiada następujące własności:
- przemienność: $\mathbf {A} + \mathbf {B} = \mathbf {B} + \mathbf {A} \tag {9a} \label {eq:{9a}}$,
- łączność : $(\mathbf {A} + \mathbf {B}) + \mathbf {C} = \mathbf {A} + (\mathbf {B} + \mathbf {C}) \tag {9b} \label {eq:{9b}}$,
- posiada element neutralny, którym jest macierz zerowa: $\mathbf {A}_{[m \times n]} + \mathbf {0}_{[m \times n]} = \mathbf {0}_{[m \times n]} + \mathbf {A}_{[m \times n]} = \mathbf {A}_{[m \times n]} \tag {9c} \label {eq:{9c}}$,
- rozdzielność względem mnożenia przez skalar: $b \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = b \cdot \mathbf{A} + c \cdot \mathbf{B}$.
Z istnienia elementu neutralnego dodawania macierzy wynika, że dla każdej macierzy $\mathbf{A}$, dowolnego wymiaru, istnieje macierz $-\mathbf{A} = -1 \cdot \mathbf{A}$, taka, że $\mathbf{A} + (-\mathbf{A}) = \mathbf{0}$, gdzie $\mathbf{0}$ jest macierzą zerową takiego samego wymiaru. Oczywiście, wobec przemienności mnożenia macierzy zachodzi również: $-\mathbf{A} + \mathbf{A} = \mathbf{0}$. Taką macierz $-\mathbf{A}$ nazywa się czasem macierzą przeciwną (nie wszystkie podręczniki używają tej terminologii) do macierzy $\mathbf{A}$.
Zauważmy ponadto, że rozdzielność dodawania macierzy względem mnożenia przez skalar jest tożsama z rozdzielnością mnożenia przez skalar względem dodawania macierzy („względność” działa tutaj symetrycznie).
Odejmowanie macierzy
Odejmowanie macierzy można zdefiniować, jako dodawanie macierzy przeciwnej:
$$\mathbf {A} - \mathbf {B} = \mathbf {A} + (-\mathbf {B}) $$
ze wszystkimi tego konsekwencjami.
Mnożenie macierzy
Bardzo ciekawą operacją jest mnożenie macierzy. Podobnie, jak dodawanie, czy odejmowanie, mnożenie macierzy, aby było wykonalne, wymaga spełnienia określonych warunków dotyczących wymiarów mnożonych macierzy, jednak warunek ten jest nieco inny i bardziej skomplikowany aniżeli – obowiązujący przy dodawaniu i odejmowaniu – warunek identyczności rozmiarów.
Macierz $\mathbf {A}$ o wymiarach $m \times n$ może być pomnożona przez macierz $\mathbf {B}$ wtedy i tylko wtedy, jeśli ilość kolumn pierwszej macierzy (pierwszego czynnika) będzie taka, jak ilość wierszy drugiej macierzy. Druga macierz musi zatem mieć wymiar $n \times p$. Wynik operacji mnożenia macierzy jest macierzą o ilości wierszy takiej, jak w pierwszej macierzy oraz o ilości kolumn takiej, jak w drugiej macierzy (drugim czynniku). Czyli jest macierzą o wymiarze $m \times p$.
Można to zapisać symbolicznie:
$$\mathbf {A}_{[m \times n]} \cdot \mathbf {B}_{[n \times p]} = \mathbf {C}_{[m \times p]}\tag {10} \label {eq:{10}}$$
Bardzo często podczas korepetycji uczę moich klientów mnemotechniki: tyle wierszy, ile pierwszy.
Już sam warunek istnienia iloczynu macierzy oraz zasada ustalania jego wymiaru (10) powinny nam zasugerować, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Jeśli w iloczynie (10) $m \neq p$, to iloczyn „w drugą stronę” nie istnieje. Przykładowo dla macierzy $\mathbf {A}_{[2 \times 3]}$ oraz $\mathbf {B}_{[3 \times 4]}$ iloczyn $\mathbf {A}_{[2 \times 3]} \cdot \mathbf {B}_{[3 \times 4]} = \mathbf {C}_{[2 \times 4]}$ istnieje, natomiast iloczyn iloczyn $\mathbf {B}_{[3 \times 4]} \cdot \mathbf {A}_{[2 \times 3]}$ nie istnieje, gdyż nie zachodzi równość ilości kolumn pierwszym czynniku z ilościami wierszy w drugim czynniku.
Elementy macierzy $\mathbf {C}_{[m \times p]} = \mathbf {A}_{[m \times n]} \cdot \mathbf {B}_{[n \times p]} $ obliczamy ze wzoru:
$$c_{ij} = \sum_{k=1}^n \left(a_{ik} \cdot b_{kj}\right) \tag {11} \label {eq:{11}}$$
Wzór (11) bardzo często określa się mianem „mnożenia wiersza przez kolumnę”. W praktyce polega to na mnożeniu przez siebie odpowiadających kolejnych sobie elementów $i$-tego wiersza lewego czynnika przez kolejne elementy $j$-tej kolumny prawego czynnika. Ponieważ warunkiem istnienia iloczynu macierzy jest równość ilości kolumn pierwszego czynnika i ilości wierszy drugiego czynnika, toteż ilość elementów poszczególnych wierszy lewego czynnika jest taka sama, jak ilość elementów w każdej z kolumn drugiego czynnika, toteż zawsze ilość tych elementów będzie taka sama i wyniesie $n$.
Przykład 1
Pokażemy obliczanie iloczynu macierzy na przykładzie macierzy:
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 4 & -5 \end{bmatrix} $ $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 4 & 1 \\ -2 & 0 & 5 & 3 \\ -5 & 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} $
Wspólna ilość kolumn macierzy $\mathbf{A}$ oraz wierszy macierzy $\mathbf{B}$ , symbolizowana we wzorze (10) symbolem $n$ wynosi tutaj 3. Macierz wynikowa $\mathbf{C}$ jest macierzą $2 \times 4$:
$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}\end{bmatrix} $$
Każdy z elementów macierzy wynikowej $\mathbf{C}$ obliczamy w taki sposób, że element leżący w $i$-tym wierszu oraz $j$-tej kolumnie tej macierzy, obliczamy mnożąc i-ty wiersz macierzy $\mathbf{A}$ przez j-tą kolumnę macierzy $\mathbf{B}$. Liczymy po kolei:
$c_{11} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + (-3) \cdot (-5) = 6 - 2 + 15 = 19$
$c_{12} = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 = -4 + 0 - 6 = -10$
$c_{13} = 2 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 1 = 8 + 5 - 3 = 10$
$c_{14} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-3) \cdot 3 = 2 + 3 - 9 = -4$
$c_{21} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-5) = 3 - 8 + 25 = 20$
$c_{22} = 1 \cdot (-2) + 4 \cdot 0 + (-5) \cdot 2 = -2 + 0 - 10 = -12$
$c_{23} = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + (-5) \cdot 1 = 4 + 20 - 5 = 19$
$c_{24} = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + (-5) \cdot 3 = 1 + 12 - 15 = -2$
Wobec tego:
$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 19 & -10 & 10 & -4 \\ 20 & -12 & 19 & -2\end{bmatrix} $$
Obliczenie iloczynu $\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$ nie jest oczywiście możliwe.
Przykład 2
Z kolei weźmy taką samą macierz $\mathbf{A}$, ale inną macierz $\mathbf{B}$:
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 4 & -5 \end{bmatrix} $ $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$
o wymiarze $3 \times 2$. Iloczyn $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ jest macierzą wymiaru $2 \times 2$:
$$\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \left[ \begin{matrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{matrix} \right]$$
$c_{11} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 = 2 - 1 - 9 = -8$
$c_{12} = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 + (-3) \cdot 2 = -4 + 4 - 6 = -6$
$c_{21} = 1 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + (-5) \cdot 3 = 1 - 4 - 15 = -18$
$c_{22} = 1 \cdot (-2) + 4 \cdot 4 + (-5) \cdot 2 = -2 + 16 - 10 = 4$
Zatem:
$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} -8 & -6 \\ -18 & 4 \end{bmatrix} $$
Obliczenie iloczynu „w drugą stronę” $3 \times 2$. Iloczyn $\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$ jest możliwe. Wynik jest macierzą $3 \times 3$.
$$\mathbf{C} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix}$$
$c_{11} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 2 - 2 = 0$
$c_{12} = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 = 1 - 8 = -7$
$c_{13} = 1 \cdot (-3) + (-2) \cdot (-5) = -3 + 10 = 7$
$c_{21} = -1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -2 + 4 = 2$
$c_{22} = -1 \cdot 1 + 4 \cdot 4 = -1 + 16 = 15$
$c_{23} = -1 \cdot (-3) + 4 \cdot (-5) = 3 - 20 = -17$
$c_{31} = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 6 + 2 = 8$
$c_{32} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$
$c_{33} = 3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-5) = -9 - 10 = -11$
Zatem:
$$\mathbf{C} = \left[ \begin{matrix} 0 & -7 & 7 \\ 2 & 15 & -17 \\ 8 & 11 & -19 \end{matrix} \right]$$
Obliczenie iloczynu „w drugą stronę” było zatem możliwe, ale wynik jest zupełnie inny – tak dalece inny, że jest macierzą innego wymiaru!
W przypadku macierzy kwadratowych obliczenie obydwu iloczynów będzie możliwe i obydwa będą macierzą tego samego wymiaru i może się zdarzyć, że obydwa iloczyny będa takie same. Najprostszym takim przypadkiem jest sytuacja, że jeden z czynników jest macierzą zerową. Wówczas iloczyn obliczany w „obie strony” będzie macierzą zerową:
$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{0}$$
Dla macierzy innych niż kwadratowe, również iloczyn dowolnej macierzy $\mathbf{A}_{[m \times n]}$ i macierzy zerowej (odpowiednio dobranej, pod względem wymiaru), będzie macierzą zerową, ale oczywiście w przypadku mnożenia w jedną i drugą stronę, wynikowe macierze zerowe będą miały inne wymiary.
Inny, szczególny przypadek, gdy mnożenie macierzy w jedną i drugą stronę daje taki sam iloczyn, związany jest z istnieniem macierzy odwrotnej. Najpierw jednak przedstawić należy własności mnożenia macierzy. Te własności to:
- łączność: $(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})$,
- rozdzielność względem dodawania: $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$ oraz $(\mathbf{B} + \mathbf{C}) \cdot \mathbf{A} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{C} \cdot \mathbf{A} $,
- istnienie elementu neutralnego, którym jest odpowiednio dobrana (pod względem wymiaru) macierz jednostkowa: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{I} = \mathbf{A}$ oraz $\mathbf{I} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{A}$,
- transpozycja iloczynu macierzy: $\left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right)^{\top} = \mathbf{B}^{\top} \cdot \mathbf{A}^{\top}$.
Mnożenie macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową, to kolejny przypadek, kiedy iloczyn macierzy w jedną i drugą stronę daje ten sam wynik, albowiem:
$$\mathbf{A}_{[n \cdot n]} \cdot \mathbf{I}_{[n \cdot n]} = \mathbf{I}_{[n \cdot n]} \cdot \mathbf{A}_{[n \cdot n]} = \mathbf{A}_{[n \cdot n]}$$
Między innymi z uwagi na tę własność macierzy jednostkowej (czyli bycie elementem neutralnym mnożenia), traktujemy ją, jako macierzowy odpowiednik jedności.
Oprócz tego, dla każdej macierzy kwadratowej $\mathbf{A}$, z wyjątkiem tzw. macierzy osobliwych (zostanie to omówione w artykule poświęconym wyznacznikowi macierzy kwadratowej), można wyznaczyć macierz odwrotną $\mathbf{A}^{-1}$, dla której:
$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{I} \tag {12} \label {eq:{12}}$$
Przykład 3
Dla macierzy $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} $ macierzą odwrotną jest macierz $\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $. Jak łatwo sprawdzić:
$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{I}$$
oraz:
$$\mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{I}$$
Wyznaczanie macierzy odwrotnej wymaga wyliczenia wyznacznika macierzy, zatem zostanie omówione to w innym artykule.