Wyznacznik macierzy kwadratowej

Wprowadzenie

W tym artykule zajmiemy się wyznacznikiem macierzy kwadratowej, który stanowi bardzo ważną charakterystykę macierzy kwadratowej i jest niezbędny do wyliczenia macierzy odwrotnej, a także stanowi podstawę obliczenia takich charakterystyk, jak rząd macierzy, czy wartości własne macierzy. Pełni także bardzo ważną rolę w rozwiązywaniu układów równań liniowych.

Ważna informacja

Niektóre przeglądarki nie renderują we właściwy sposób pionowych linii, w które ujęta jest macierz przy obliczaniu wyznacznika. W takiej sytuacji prosimy zaktualizowac przeglądarkę lub zobaczyć wygląd strony w innej przeglądarce.

Czym jest wyznacznik?

Najkrócej rzecz ujmując, wyznacznik jest liczbą charakteryzująca każdą macierz kwadratową. Formalna definicja wyznacznika macierzy kwadratowej jest dość skomplikowana i odwołuje się do pojęcia permutacji. Dla przypomnienia – permutację w skrócie można określić jako każde z możliwych ułożeń elementów danego zbioru. Np. dla zbioru ${A, B, C}$ możliwe permutacje, to $ABC$, $ACB$, $BAC$, $BCA$, $CAB$, $CBA$. Ilość wszystkich permutacji $n$-elementowego zbioru, to $n!$.

Formalna definicja wyznacznika

Niech $G_n = M_{n \times n]} (K), j_1, j_2, ..., j_n$ oznacza dowolną permutację liczb $1, 2, ..., n$. oraz $s(j_1, j_2, ..., j_n) = \prod_{m < k} \sgn (j_k - j_m)$. Na $G_n$ określamy odwzorowanie: $\det: G_n \rightarrow K$, gdzie:

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{n!} s(j_1, j_2, ..., j_n) \cdot a_{1j_1} \cdot a_{2j_2} \cdot ... \cdot a_{nj_n}$$

i sumowanie rozciąga się na wszystkie $n!$ permutacji $j_1, j_2, ..., j_n$ liczb $1, 2, ..., n$. Wartość odwzorowania $\det(\mathbf{A})$, $\mathbf{A} \in G_n$ nazywamy wyznacznikiem stopnia $n$ macierzy $\mathbf{A}$, lub krótko wyznacznikiem i piszemy:¹

$$\det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} \tag 1 \label {eq:1}$$

Wyznacznik macierzy kwadratowej $\mathbf{A}$ oznacza się, jak wspomniano wyżej, przez $\det \mathbf{A}$, $|\mathbf{A}|$, bądź też w postaci (1), czyli umieszczając elementy macierzy pomiędzy pionowymi liniami, zamiast między nawiasami kwadratowymi.

Należy pamiętać, że w zapisie (1) tak naprawdę wyznacznikiem jest jedna liczba, obliczona jednym z opisanych dalej sposobów, a nie te umieszczone pomiędzy liniami liczby! Ponadto, w przypadku macierzy jednoelementowej, zapis $|a_{11}|$ może być mylący, gdyż wygląda identycznie, jak wartość bezwzględna, a jak się dalej okaże, taki wyznacznik równy jest elementowi $a_{11}$ także wówczas, gdy jest on ujemny. W takiej sytuacji, jeśli chcemy stosować zapis z liniami, najlepiej zapisywać wyznacznik w taki sposób: $\left| [a_{11}] \right|$.

Obliczanie wyznacznika w praktyce

W praktyce, obliczanie wyznacznika jest znacznie prostsze. Uniwersalny algorytm obliczania wyznacznika można przedstawić w dwu krokach:

1. Dla macierzy kwadratowej $1 \times 1$, tj. dla $n=1$ wyznacznik macierzy równy jest jedynemu elementowi macierzy: $\det [a_{11}] = a_{11}$.
2. Dla macierzy kwadratowej o większym wymiarze niż 1 (dla $n>1$) stosujemy rozwinięcie Laplace’a.

Rozwinięcie Laplace’a (rozwinięcie wyznacznika na podwyznaczniki)

Rozwinięcie Laplace’a polega na wyborze dowolnego wiersza lub kolumny (tylko jednego/jednej!) oraz obliczenie wyznacznika, jako sumy iloczynów elementów tego wiersza przez podwyznaczniki, czyli wyznaczniki macierzy uzyskanej poprzez skreślenie (wyeliminowanie) wiersza oraz kolumny danego elementu oraz przez wyrażenie $(-1)^{i+j}$, gdzie $i$, $j$ są odpowiednio numerami wiersza oraz kolumny tego elementu.

Można to zapisać w następujący sposób. Jeśli wybierzemy $i$-ty wiersz:

$$\det \mathbf{A} = \sum_{j=1}^n \left[(-1)^{i + j} \cdot M_{ij} \right] \tag {2a} \label {eq:{2a}}$$

natomiast, jeśli wybierzemy $j$-tą kolumnę:

$$\det \mathbf{A} = \sum_{i=1}^n \left[(-1)^{i + j} \cdot M_{ij} \right] \tag {2b} \label {eq:{2b}}$$

$M_{ij}$ oznacza właśnie podwyznacznik (minor) macierzy $\mathbf{A}$, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej poprzez wyeliminowanie z macierzy $\mathbf{A}$ $i$-tego wiersza oraz $j$-tej kolumny.

Przykład 1

Obliczmy tym sposobem wyznacznik macierzy $\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} $. Wybierzmy pierwszy wiersz:

$$\det \mathbf{A} = 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det \left|[5] \right| + 2 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det \left|[2] \right| = $$

$$= 1 \cdot 1 \cdot 5 +2 \cdot (-1) \cdot 2 = 5 - 4 = 1$$

Spróbujmy teraz wybrać drugą kolumnę:

$$\det \mathbf{A} = 2 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \det \left|[2] \right| + 5 \cdot (-1)^{2+2} \cdot \det \left|[1] \right| = $$

$$= 2 \cdot (-1) \cdot 2 + 5 \cdot 1 \cdot 1 = -4 + 5 = 1$$

Schemat obliczania wyznacznika 2×2

W praktyce, do obliczania wyznacznika $2 \times 2$ stosuje się skrócony schemat „mnożenia na krzyż”. Można go zapisać następująco:

$$\det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \tag 3 \label {eq:3} $$

Jak widać, obliczamy dwa iloczyny „po przekątnej”, przy czym od iloczynu elementów leżących na diagonali odejmujemy iloczyn elementów leżących na drugiej przekątnej.

Dla macierzy z przykładu 1:

$$\det \mathbf{A}=\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$$

Sposób ten omawiany jest w szkole średniej, gdzie wyznaczników używa się do badania rozwiązywalności układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. W szkole średniej pojęcie wyznacznika wprowadza się w oderwaniu od pojęcia macierzy.

Schemat Sarrusa

Do wyznaczników $3 \times 3$, jako alternatywę dla rozwinięcia Laplace’a, stosuje się specjalny, skrócony schemat obliczania wyznacznika, nieco przypominający omówiony wyżej schemat obliczania wyznacznika $2 \times 2$.

Schemat Sarrusa polega na powtórzeniu dwu pierwszych wierszy macierzy i przepisania ich pod trzecim wierszem, albo powtórzenia dwu pierwszych kolumn i przepisania ich z prawej strony trzeciej kolumny. Dopisane wiersze (kolumny) pozwalają na utworzenie w sumie sześciu „przekątnych”.

Schemat powtórzenia dwu pierwszych kolumny przedstawia poniższy rysunek. Przekątne biegnące w tym samym kierunku, co diagonala $a_{11} a_{22} a_{33}$ traktujemy, jako „dodatnie”, natomiast przekątne biegnące w drugim, prostopadłym kierunku, traktujemy, jako ujemne.

Zatem:

$$\left| \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| = $$

$$=a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11} a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

Przykład 2

Obliczmy wyznacznik macierzy $\mathbf{A} =\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \end{bmatrix}$ za pomocą schematu Sarrusa oraz, dla porównania, wykonując rozwinięcie Laplace’a a następnie do powstałych w wyniku rozwinięcia wyznaczników $2 \times 2$ schemat „na krzyż” .

$$\det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix}&1 &-2 \\ &2 & 1 \\&3 & 5 \end{matrix} = $$

$$ = 1 \cdot 1 \cdot 5 + (-2) \cdot 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 \cdot 3 - 1 \cdot 4 \cdot 5 - (-2) \cdot 2 \cdot 5 =$$

$$5 - 24 + 30 - 9 - 20 - (-20) = 5 -24 + 30 - 9 - 20 + 20 = 2 $$

Teraz dokonajmy rozwinięcia wyznacznika według drugiego wiersza.

$$\det \mathbf{A} = 2 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} + 4 \cdot (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = $$

$$= 2 \cdot (-1) \cdot (-2 \cdot 5 - 3 \cdot 5) + 1 \cdot 1 \cdot (1 \cdot 5 - 3 \cdot 3) + 4 \cdot (-1) \cdot [1 \cdot 5 - (-2) \cdot 3]$$

$$= -2 \cdot (-25) + 1 \cdot (-4) + (-4) \cdot 11 = 50 - 4 - 44 = 2$$

Porównując dwa powyższe sposoby obliczania wyznaczników $3 \times 3$ może się wydawać, że schemat Sarrusa jest nieco szybszy od rozwinięcia Laplace’a. Są jednak sytuacje, że rozwinięcie Laplace’a jest bardziej efektywne. Jednym z przykładów może być tutaj obliczanie iloczynu wektorowego dwóch wektorów w $\mathbb{R}^3$. Wektorom oraz działaniom na nich poświęcony będzie osobny artykuł. Tutaj przedstawimy tylko pokrótce schemat obliczania takiego iloczynu:

$$\vec a \times \vec b =\begin{bmatrix}a_x & a_y & a_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b_x & b_y & b_z \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\a_x & a_y &a_z \\ b_x & b_y &b_z \end{vmatrix} $$

Obliczając wartość wyznacznika z rozwinięcia Laplace’a względem pierwszego wiersza uzyskujemy od razu wyrażenie pogrupowane według współczynników przy wersorach $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$. 

Przykład 3

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\1 & 2 &3 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} =$$

$$= (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \cdot {\vec i} + (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \cdot {\vec j} + (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \cdot {\vec k}=$$

$$=(2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) \cdot {\vec i} - (1 \cdot 4 - 3 \cdot 2) \cdot {\vec j} + (1 \cdot 1 -2 \cdot 2) \cdot {\vec k} =$$

$$ 5 \vec i + 2 \vec j - 3 \vec k = \begin{bmatrix} 5&2&-3 \end{bmatrix}$$

Zauważmy, że obliczanie wyznacznika za pomocą rozwinięcia Laplace’a, może być znacznie łatwiejsze, jeśli w macierzy pojawią się zera. Wybór wiersza lub kolumny, zawierających zera znacząco zmniejsza ilość składników wyrażenia (2a) lub (2b). Oczywiście można mieć szczęście i dostać do obliczenia wyznacznik macierzy zawierającej sporo zer, ale okazuje się, że szczęściu temu można znacząco pomóc, wykorzystując pewne własności wyznacznika.

Własności wyznacznika – część 1

Bardzo użytecznymi własnościami wyznacznika są przekształcenia macierzy, niezmieniające jego wartości. 

1. Wyznacznik zawierający wiersz lub kolumnę składającą się z samych zer równy jest zero.
2. Wyznacznik zawierający dwa proporcjonalne wiersze (lub dwie proporcjonalne kolumny) równy jest zero. Szczególnym przypadkiem proporcjonalności jest identyczność – równy zero jest także wyznacznik zawierający dwa identyczne wiersze (lub dwie identyczne kolumny).
3. Zamiana dwóch wierszy (lub kolumn) w wyznaczniku powoduje zmianą znaku wyznacznika na przeciwny.
4. Pomnożenie dowolnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika przez tę samą liczbę $k$ skutkuje pomnożeniem wartości wyznacznika przez liczbę $k$.
5. Wartość wyznacznika nie ulegnie zmienia, jeśli do dowolnego wiersza (albo kolumny) doda się elementy innego wiersza (albo odpowiednio kolumny), pomnożone przez tę samą, dowolną liczbę.

Własność nr 2 wynika z własności nr 3. Skoro bowiem zamiana miejscami dwu wierszy, bądź kolumn zmienia znak na przeciwny, to przy identycznych dwu wierszach albo kolumnach, macierz przed i po zamianie wygląda tak samo, a skoro zamiana zmienia znak wyznacznika na przeciwny, to oznacza, że wyznacznik ten musi być równy zero.

Z kolei biorąc pod uwagę własność nr 5, to przy wystąpieniu dwóch identycznych bądź proporcjonalnych wierszy, zawsze można jeden wiersz pomnożyć przez liczbę przeciwną do współczynnika owej proporcjonalności zerując cały wiersz (kolumnę) i wtedy, na mocy własności nr 1, wyznacznik równa się zero. A skoro własność nr 5 nie zmienia wartości, to wyznacznik niejako „od początku” musiał być równy zero.

Własność nr 5 jest bardzo ważna, gdyż umożliwia ona „generowanie” zer tam, gdzie pierwotnie ich nie było. Korzystanie z tej własności należy rozumieć w sposób właściwy. Po pierwsze: do elementów wiersza możemy dodać tylko elementy innego wiersza a do elementów kolumny – elementy innej kolumny (tj. nie wolno dodawać elementów wiersza do elementów kolumny). Po drugie, wspomniane mnożenie wykonujemy „w pamięci”. Dodawane – źródłowy wiersz, bądź kolumna – nie zmieniają się, zmianie ulega tylko wiersz (kolumna) docelowy.

Bardzo często, dla oznaczenia powyższych operacji, stosuje się zapis:

• dla operacji na wierszach: $w_s \cdot a + w_d \rightarrow w_d$,
• dla operacji na kolumnach: $k_s \cdot a + k_d \rightarrow w_k$.

gdzie:
$w_s$, $k_s$ oznaczają, odpowiednio: wiersz oraz kolumnę źródłową,
$w_d$, $k_d$ – wiersz oraz kolumnę docelową,
$a$ – użytą liczbę.

Jeśli elementy jednego wiersza (bądź kolumny), pomnożone przez wybrane liczby, chcemy dodać do elementów kilku innych wierszy (kolumn), można taką operacje przeprowadzić niejako „w jednym kroku”

Przykład 4

Obliczmy wyznacznik następującej macierzy: $\mathbf{A}= \left[\begin{array}{rrrrr}2&-1&4&3&3\\2&5&3&1&-2\\3&2&4&5&4\\1&-2&-1&3&4\\-2&4&2&1&2 \end{array}\right] $.

Na pierwszy rzut oka obliczenie z wykorzystaniem rozwinięcia Laplace’a wygląda na bardzo pracochłonne. Wybierając dowolny wiersz, albo kolumnę, wyznacznik rozwinąć można na pięć wyznaczników $4 \times 4$, z których z kolei każdy musi być rozwinięty na cztery wyznaczniki $3 \times 3$, co daje aż dwadzieścia takich wyznaczników do obliczenia schematem Sarrusa. Jeśli i te wyznaczniki zechcemy rozwinąć za pomocą rozwinięcia Lapalce’a, to łącznie otrzymamy aż sześćdziesiąt wyznaczników $2 \times 2$.

Obliczenia ułatwiłoby wystąpienie jakichś zer. Skoro zer tych nie ma, można je „wygenerować” za pomoca opisanego przekształcenia. Najlepszym punktem wyjścia do wykonania przekształceń, jest wybór jakiegoś elementu równego 1. Jeśli takiego elementu by nie było, można go oczywiście wygenerować. Przykładowo na pozycji $(1; 3)$ znajduje się liczba 4, zaś na pozycji $(1; 4)$ jest liczba 3. Można by więc dodać do elementów trzeciej kolumny, elementy czwartej kolumny pomnożone przez -1.

W naszym jednak przypadku nie ma takiej potrzeby, gdyż mamy kilka elementów równych 1. Załóżmy, że wybierzemy element $a_{41}$. Dzięki temu elementowi można sprawić, że wszystkie pozostałe elementy w pierwszej kolumnie staną się zerami. Dokonamy tego w następujący sposób:

• do elementów pierwszego wiersza dodajemy elementy czwartego wiersza pomnożone przez -2;
• do elementów drugiego wiersza dodajemy elementy czwartego wiersza pomnożone przez -2;
• do elementów trzeciego wiersza dodajemy elementy czwartego wiersza pomnożone przez -3;
• do elementów piątego wiersza dodajemy elementy czwartego wiersza pomnożone przez 2.

Przekształcenia te można zapisać symbolicznie:

• $w_4 \cdot (-2) + w_1 \rightarrow w_1$,
• $w_4 \cdot (-2) + w_2 \rightarrow w_2$,
• $w_4 \cdot (-3) + w_3 \rightarrow w_3$,
• $w_4 \cdot 2 + w_5 \rightarrow w_5$.

Uwzględniając powyższe przekształcenia, można zapisać:

$$\det \mathbf{A}= \left|\begin{array}{rrrrr}2&-1&4&3&3\\2&5&3&1&-2\\3&2&4&5&4\\1&-2&-1&3&4\\-2&4&2&1&2 \end{array} \right| = \left|\begin{array}{rrrrr}0&3&6&-3&-5\\0&9&5&-5&-10\\0&8&7&-4&-8\\1&-2&-1&3&4\\0&0&0&7&10 \end{array} \right| = $$

Sytuacja znacząco się poprawiła. Nie dość, że – zgodnie zresztą z celem dokonanych przekształceń – w pierwszej kolumnie wszystkie elementy poza „naszą” jedynką są zerami, to jeszcze dodatkowo pojawiły się zera w ostatnim wierszu. Wyznacznik można teraz policzyć rozwijając go względem pierwszej kolumny. Wówczas kontynuacja naszych obliczeń wygląda następująco:

$$= 1 \cdot (-1)^{4+1} \cdot \left|\begin{array}{rrrr}3&6&-3&-5\\9&5&-5&-10\\8&7&-4&-8\\0&0&7&10 \end{array} \right| = - \left|\begin{array}{rrrr}3&6&-3&-5\\9&5&-5&-10\\8&7&-4&-8\\0&0&7&10 \end{array} \right| =$$

W zasadzie już teraz można rozwinąć wyznacznik względem czwartego wiersza. Zawiera on tylko dwa elementy niezerowe, toteż można go rozwinąć tylko na dwa wyznaczniki $3 \times 3$, zamiast czterech. Jednak zauważyć można, że mnożąc elementy trzeciej kolumny przez -2 i dodając je do elementów czwartej kolumny uzyskamy dwa zera (-5 oraz -4 wyzerują elementy -10 oraz -8) a dodatkowo na pierwszej pozycji pojawi się liczba 1. 

Symbolicznie operację tę zapisać można jako: $k_3 \cdot (-2) + k_4 \rightarrow k_4$. Kontynuacja obliczeń wygląda tak:

$$= - \left|\begin{array}{rrrr}3&6&-3&1\\9&5&-5&0\\8&7&-4&0\\0&0&7&-4 \end{array} \right| =$$

Teraz można dodać elementy pierwszego wiersza do elementów czwartego wiersza. Dwa zera, niestety, „popsują” się, ale w czwartej kolumnie pojawi się tylko jeden element niezerowy i będzie to jedność. Przekształcenie to można zapisać symbolicznie: $w_1 \cdot 4 + w_4 \rightarrow w_4$.

$$= - \left|\begin{array}{rrrr}3&6&-3&1\\9&5&-5&0\\8&7&-4&0\\12&24&-5&0 \end{array} \right| =$$

Teraz rozwijamy wyznacznik względem czwartej kolumny:

$$= - (-1)^{1+4} \cdot \left|\begin{array}{rrr}9&5&-5\\8&7&-4\\12&24&-5 \end{array} \right| = \left|\begin{array}{rrr}9&5&-5\\8&7&-4\\12&24&-5 \end{array} \right| =$$

W zasadzie można by już obliczać wartość wyznacznika. Jednak warto zauważyć, że wykonując przekształcenia:

$$w_1 \cdot (-1) + w_2 \rightarrow w_2$$

$$w_1 \cdot (-1) + w_3 \rightarrow w_3$$

obliczenia znacznie się uproszczą:

$$= \left|\begin{array}{rrr}9&5&-5\\-1&2&1\\3&19&0 \end{array} \right| =$$

teraz wykonamy przekształcenie: $w_2 \cdot 5 + w_1 \rightarrow w_1$:

$$= \left|\begin{array}{rrr}4&15&0\\-1&2&1\\3&19&0 \end{array} \right| =$$

Rozwijamy wyznacznik względem trzeciej kolumny i finalnie wystarczyło będzie obliczyć jeden wyznacznik $2 \times 2$:

$$= 1 \cdot (-1)^{2+3} \left|\begin{array}{rr}4&15\\3&19 \end{array} \right| = - (4 \cdot 19 - 15 \cdot 3) = -(76 - 45) = -31$$

Własności wyznacznika – część 2

Na uwagę zasługują także inne własności wyznacznika.

6. Transpozycja nie zmienia wartości wyznacznika: $\det \mathbf{A}^{\top} = \det \mathbf{A}$,
7. Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników tych macierzy: $\det \left(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right) = \det \mathbf{A} \cdot \det \mathbf{B}$
8. Wyznacznik macierzy odwrotnej równy jest odwrotności wyznacznika danej macierzy: $\det \mathbf{A}^{-1} = {1 \over {\det \mathbf{A}}}$

Wyznacznik iloczynu macierzy

Bardzo ciekawa jest własność oznaczona na mojej liście numerem 7. Jej prawdziwość dla wybranych macierzy kwadratowych czytelnik może sprawdzić. Dla dowolnych macierzy kwadratowych co ambitniejsi czytelnicy również mogą przeprowadzić stosowny dowód. Można go znaleźć też w Internecie. Ale…

Weźmy dwie macierze prostokątne, na przykład: 

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} $     $\mathbf{B}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\\ 1&3 \end{bmatrix}$

Ich iloczyn wynosi $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 8 & 13 \\ 6 & 11 \end{bmatrix}$ a wyznacznik tego iloczynu: $\det \left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right) = \begin{vmatrix} 8 & 13 \\ 6 & 11 \end{vmatrix} = 10$

A co, jeśli wzór $\det \left(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right) = \det \mathbf{A} \cdot \det \mathbf{B}$ jest prawdziwy nie tylko dla macierzy prostokątnych, ale dla dowolnych macierzy? Być może da się odkryć, jakieś ciało (zbiór liczb i działań), w którym macierze prostokątne również posiadają wyznaczniki? Wówczas wyznacznik macierzy prostokątnej $\det \mathbf{A}$ oraz wyznacznik macierzy prostokątnej $\det \mathbf{B}$ byłyby jakimiś liczbami spoza zbioru liczb rzeczywistych, których iloczyn wynosiłby 10?

Absurdalne? Niezupełnie. Pod koniec XVI wieku, francuski matematyk François Viète podał wzór pozwalający wyliczać iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego $ax^2 + bx + c$, czyli rozwiązań równania $ax^2 + bx + c=0$ bez wyliczania tych rozwiązań. 

Wzór był tak „dobry”, że wyliczał sumę oraz iloczyn pierwiastków trójmianu także i wtedy, gdy trójmian ten ich nie posiadał. Przykładowo dla trójmianu $x^2+2x+2$ wyliczał sumę jego pierwiastków:$x_1 + x_2 = -2$ oraz iloczyn $x_1 \cdot x_2 = 2$ A trójmian taki nie posiada pierwiastków, gdyż jego wyróżnik $\Delta=-4$. Takie było przynajmniej oficjalne stanowisko matematyki za czasów pana Viète’a. Tak więc oficjalnie, jego wzór był prawdziwy tylko pod warunkiem, że $\Delta \geq 0$.

Minęło jednak pół wieku i odkryto liczby urojone oraz zespolone i okazało się, że wzory Viète’a działają zawsze! A trójmian $x^2+2x+2$ ma pierwiastki zespolone $x_1 = -1-i$ oraz $x_2=-1+i$ i rzeczywiście ich suma wynosi -2 a iloczyn wynosi 2.

Być może algebra macierzy również czeka na swego Kartezjusza i Eulera? Oczywiście sprawa nie jest taka prosta, gdyż iloczyn naszych macierzy „w drugą stronę” wynosi: $\mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 7 \\ 4 & 5 & 8 \\ 7 & 5 & 9 \end{bmatrix} $ a wyznacznik uzyskanego iloczynu:

$$\det \left( \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \right) = \begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 \\ 4 & 5 & 8 \\ 7 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 0$$

Jeśli więc komuś uda się odkryć ciało algebraiczne, którego elementami będą wyznaczniki macierzy prostokątnych, to z pewnością mnożenie w tym ciele nie będzie przemienne. Poza tym odkryć strukturę algebraiczną i ją opisać, to jedno, a znaleźć dla niej jakieś praktyczne zastosowanie, by uzasadnić jej włączenie do kanonu matematyki wyższej, to inna sprawa. Liczby zespolone na swoje miejsce w realnym świecie czekać musiały ponad 200 lat, gdyż dopiero wynalezione u schyłku XVIII wieku: prąd przemienny oraz fale radiowe znalazły dla nich praktyczne zastosowanie.

Macierze osobliwe

W rachunku macierzy bardzo często ważne jest, czy wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy zero. Macierze, których wyznacznik równy jest zero, noszą nazwę macierzy osobliwych i najważniejszą ich cechą jest to, iż macierz osobliwa nie posiada macierzy odwrotnej. Koresponduje to z własnością nr 8 na powyższej liście. Skoro wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika danej macierzy, to macierz odwrotna do macierzy o wyznaczniku równym zero, czyli macierzy osobliwej, nie istnieje.

Zastosowanie wyznacznika

Wyznaczniki macierzy kwadratowej znajdują bardzo szerokie zastosowanie w algebrze, a także w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki. Przede wszystkim służy do wyznaczania różnego rodzaju wartości i charakterystyk związanych bezpośrednio z macierzami, takich jak macierz odwrotna, rząd macierzy czy wartości własne macierzy.

Wykorzystanie wyznacznika do obliczania macierzy odwrotnej oraz rzędu macierzy oznacza, że wyznacznik macierzy służyć może również do badania rozwiązywalności układów równań liniowych i do wyznaczania samych rozwiązań. 

Z wyznaczników korzysta się w algebrze i geometrii analitycznej – do badania współliniowości wektorów, obliczanie iloczynu wektorowego wektorów, jak pokazano to w przykładzie nr 3, do badania określoności form kwadratowych. W analizie matematycznej, wyznaczników używa się do wyznaczania ekstremów funkcji wielu zmiennych, czy też do rozwiązywania równań różniczkowych .

Metoda Cramera

Metoda Cramera, zwana niekiedy metodą wyznacznikową, to oparta na wyznacznikach metoda rozwiązywania układu równań liniowych, w których ilość równań równa jest ilości niewiadomych. Tego typu układ równań:

$$\left\{ \begin{array} {c} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + ... + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + ... + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\
... \\a_{n1} \cdot x_1 + a_{n2} \cdot x_2 + ... + a_{nn} \cdot x_n = b_n \end{array} \right. \tag 4 \label {eq:4}$$

dla którego wyznacznik współczynników przy niewiadomych różny jest od zera:

$$W = \left| \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right| \neq 0 \tag 5 \label {eq:5}$$

nazywany jest układem Cramera.

Układ Cramera, czyli układ (4) przy spełnieniu warunku (5) posiada dokładnie jedno rozwiązanie.

Aby wyznaczyć to rozwiązanie, należy obliczyć wartości wyznaczników:

$$W_k = \left| \begin{array} {ccccccc} a_{11} & ... & a_{1,k-1} & b_1 & a_{1,k+1} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & ... & a_{2,k-1} & b_2 & a_{2,k+1} & ... & a_{2n} \\
... & ... &... & ... & ... & ... & ... \\a_{n1} & ... & a_{n,k-1} & b_n & a_{n,k+1} & ... & a_{nn}
\end{array} \right| \neq 0 \tag 6 \label {eq:6}$$

Czyli wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy współczynników układu równań (4) poprzez zastąpienie $k$-tej kolumny, kolumną wyrazów wolnych. Po obliczeniu wartości wyznaczników określonych wzorem (6), wartości niewiadomych w rozwiązaniu układu wyliczamy ze wzorów:

$$\left \{ \begin {array}{c} x_1 = {W_1 \over W} \\ x_2 = {W_2 \over W} \\ ... \\ x_n = {W_n \over W} \end{array} \right. \tag 7 \label {eq:7} $$

W sytuacji, gdy wyznacznik główny układu $W$, obliczony ze wzoru (5) równy jest zero: $W = 0$, może zachodzić jeden z dwu przypadków:

• gdy ponadto wszystkie wyznaczniki $W_k$ równe są zero, tj. $W_1 = W_2 = ... = W_n = 0$, wówczas układ (4) posiada nieskończenie wiele rozwiązań, przy czym dla $n > 2$ dokładniejsze wyznaczenie tych rozwiązań, czyli np. ustalenie ilości parametrów, od których one zależą, wymaga dokładniejszego zbadania tego układu, w oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capellego;
• gdy którykolwiek (choćby jeden) z wyznaczników $W_k$ jest różny od zera, układ równań (4) jest układem sprzecznym, czyli nie posiada rozwiązań.

Metodę Cramera można potraktować jako alternatywę dla „klasycznych” metod rozwiązywania układów równań, jak np. metoda podstawiania, czy metoda przeciwnych współczynników. Jest to metoda często zapomniana i niedoceniana, gdyż bywają przypadki, że to właśnie ona jest najszybsza i najwygodniejsza.

Przykład 5

$$\left \{ \begin {array}{c} 0,796x_1 - 1,874x_2 = 1,038 \\ 1,252x_1 + 0,462x_2 = 6,406 \end{array} \right. \tag 8 \label {eq:8} $$

Jest to układ równań dość kłopotliwy, zarówno jeśli chodzi o metodę podstawiania, jak i przeciwnych współczynników. Tymczasem w metodzie wyznacznikowej (Cramera) wyliczamy wartości trzech wyznaczników. Wyznacznik główny układu jest równy:

$$W = \begin{vmatrix} 0,786 & -1,874 \\ 1,252 & 0,462 \end{vmatrix} = 0,786 \cdot 0,462 - (-1,874) \cdot 1,252 = $$

$$= 0,367752 + 2,346248 = 2,714000 $$

Wyznacznik ten jest różny od zera, zatem układ (8) posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Obliczamy wartości wyznaczników dla poszczególnych niewiadomych, zastępując poszczególne kolumny niewiadomych, kolumną wyrazów wolnych:

$$W_ 1 = \begin{vmatrix} 1,038 & -1,874 \\ 6,406 & 0,462 \end{vmatrix} = 1,038 \cdot 0,462 - (-1,874) \cdot 6,406 = $$

$$= 0,479556 + 12,004844 = 12,484400 $$

oraz:

$$W_2 = \begin{vmatrix} 0,786 & 1,038 \\ 1,252 & 6,406 \end{vmatrix} = 0,786 \cdot 6,406 - 1,038 \cdot 1,252 = $$

$$= 5,099176 + 1,299576 = 3,799600$$

Obliczamy wartości niewiadomych:

$$x_1 = {W_1 \over W} = {12,4844 \over 2,714} = 4,600 = 4,6$$

$$x_2 = {W_2 \over W} = {3,7996 \over 2,714} = 1,400 = 1,4$$

Rozwiązanie układu rownań (8) jest zatem następujące:

$$\left \{ \begin {array}{c} x_1 = 4,6 \\ x_2 = 1,4 \end{array} \right. $$

1. 
   Stankiewicz W. Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I.A, PWN, Warszawa 1998, s. 71. ↩︎