Funkcje wymierne i ułamki proste
Wprowadzenie
Funkcja wymierna jest jednym z najważniejszych przykładów funkcji elementarnych, które pojawiają się niemal w każdej dziedzinie matematyki. Stanowi uogólnienie prostych zależności wielomianowych, a jej analiza – zarówno algebraiczna, jak i graficzna – pozwala zrozumieć zachowanie wielu bardziej złożonych modeli.
W praktyce funkcje wymierne opisują zależności, w których wartość zmiennej zależy od stosunku dwóch wielomianów. Ich własności – takie jak dziedzina, miejsca zerowe, asymptoty czy granice funkcji wymiernej – stanowią podstawę do dalszego badania przebiegu zmienności.
Szczególne znaczenie ma również rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste, który odgrywa kluczową rolę w rachunku całkowym. Dzięki niemu można łatwo całkować nawet bardzo złożone funkcje wymierne, rozbijając je na prostsze składniki (również będące funkcjami wymiernymi).
W niniejszym artykule przedstawiamy ogólną postać funkcji wymiernej, jej najważniejsze własności oraz zastosowanie rozkładu na ułamki proste — będące wstępem do zagadnień związanych z całkowaniem funkcji wymiernych.
Co to jest funkcja wymierna?
Mianem funkcji wymiernej określamy iloraz dwóch wielomianów:
$$W(x) = {{P(x)} \over {Q(x)}}\tag 1 \label {eq:1}$$
Czyli:
$$W(x) = {{a_0 + a_1 x + ... + a_n x^m} \over {b_0 + b_1 x + ... + b_m x^n}} \tag 2 \label {eq:2}$$
Funkcja wymierna, jako funkcja elementarna, jest ciągła w całej dziedzinie. Dziedzinę natomiast wyznaczają miejsca zerowe wielomianu w mianowniku.
$$D_w = R \backslash \{x_0, x_1, ..., x_k\}$$
gdzie $Q(x_0) = Q(x_1) = ... = Q(x_k) = 0$.
W zależności od stopnia wielomianów w liczniku i mianowniku $m$ oraz $n$ we wzorze (2) , wyróżniamy funkcje wymierne:
- właściwe, gdy $m < n$,
- niewłaściwe, gdy $m \geq n$.
Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić, jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej właściwej.
Przykład 1
Na przykład mamy funkcję wymierną niewłaściwą:
$${x^3 + 2x^2 + 4x - 5} \over {x^2 - 2x + 4} \tag 3 \label {eq:3}$$
Licznik jest wielomianem stopnia trzeciego, a mianownik – wielomianem stopnia drugiego. W takiej sytuacji jest możliwość rozłożenia tej funkcji wymiernej na sumę wielomianu stopnia pierwszego oraz funkcji wymiernej właściwej. Spróbujmy dokonać stosownych przekształceń, aby przeprowadzić takie przekształcenie:
$${{x^3 + 2x^2 + 4x - 5} \over {x^2 - 2x + 4}} ={ ax + b + {{cx + d} \over {x^2 - 2x + 4}}}$$
Obliczamy wyrażenie po prawej stronie, sprowadzając je do wspólnego mianownika:
$${ ax + b + {{cx + d} \over {x^2 - 2x + 4}}} = {{(ax + b)(x^2 - 2x + 4) + cx + d}\over {x^2 - 2x + 4}} =$$
$$={{ax^3 + (-2a + b)x^2 + (4a - 2b + c) x + 4b + d} \over {x^2 - 2x + 4}} \tag 4 \label {eq:4}$$
Przyrównujemy do siebie współczynniki w licznikach postaci (3) oraz (4):
$$a = 1$$
$-2a + b = 2$ stąd $b = 4$
$4a - 2b + c = 4$, stąd $c = 8$
$4b + d = -5$, stąd $d = -21$
Wobec tego:
$${{x^3 + 2x^2 + 4x - 5} \over {x^2 - 2x + 4}} ={x + 4 + {{8x - 21} \over {x^2 - 2x + 4}}} \tag 5 \label {eq:5}$$
Funkcja wymierna może posiadać miejsca zerowe. Miejscami zerowymi funkcji wymiernej (1) są miejsca zerowe wielomianu $P(x)$, o ile oczywiście należą one do dziedziny funkcji wymiernej (tj. nie są one jednocześnie miejscami zerowymi wielomianu $Q(x)$.
W zależności od stopni wielomianów w liczniku i mianowniku, różne są wartości granic $ \lim\limits_{x \to -\infty} W(x)$ oraz $\lim\limits_{x \to \infty} W(x)$.
W przypadku, gdy $m > n$ granice te są granicami niewłaściwymi ($-\infty$ lub $\infty$); znak granicy $ \lim\limits_{x \to \infty} W(x)$ zależy od znaku współczynnika $a_m$, natomiast granicy $ \lim\limits_{x \to -\infty} W(x)$ dodatkowo od tego, czy różnica stopni wielomianów $m - n$ jest liczbą parzystą.
- $ \lim\limits_{x \to -\infty} W(x) = (\sgn a_m) \infty $ , gdy $ 2 | (m - n)$,
- $ \lim\limits_{x \to -\infty} W(x) = -(\sgn a_m) \infty $ , gdy $ 2 | (m - n + 1)$,
- $ \lim\limits_{x \to \infty} W(x) = (\sgn a_m) \infty $.
Gdy $m = n$, wówczas $ \lim\limits_{x \to -\infty} W(x) = \lim\limits_{x \to \infty} W(x) = {{a_m} \over {a_n}}$
Gdy $m < n$, wówczas $ \lim\limits_{x \to -\infty} W(x) = \lim\limits_{x \to \infty} W(x) = 0$
Granice w miejscach zerowych mianownika zależą od tego, czy są one również miejscami zerowymi licznika (wówczas granicą może być liczba, w przeciwnym wypadku $-\infty$ lub $\infty$) oraz od znaków wyrażeń licznika i mianownika dla otoczenia liczby, w której liczymy granicę.
Funkcje wymierne mogą posiadać asymptoty:
- pionowe $x=a$, jeśli $a$ jest punktem spoza dziedziny funkcji i funkcja posiada w tym punkcie granice niewłaściwą (lewostronna granica niewłaściwa może być różna od prawostronnej),
- ukośną, jeśli $0 \leq m - n \leq $, przy czym dla $m=n$ asymptota ukośna jest asymptotą poziomą; funkcja wymierna posiadać może tylko jedną asymptotę ukośną (w $-\infty$ oraz $\infty$).
Ułamki proste
Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić, jako sumę ułamków prostych. Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne właściwe typu:
$$A \over {(x - a)^p} \tag 6 \label {eq:6}$$
oraz:
$${Ax + B} \over {(x^2 +bx + c)^p} \tag 7 \label {eq:7}$$
Przy czym, aby wyrażenie (6) mogło zostać uznane za ułamek prosty, trójmian kwadratowy w jego mianowniku nie może mieć miejsc zerowych, tj.: $\Delta = b^2 - 4c < 0$. W przeciwnym razie wyrażenie to można byłoby rozłożyć na ułamki proste typu (5).
Aby rozłożyć funkcję wymierną właściwą na ułamki proste, należy rozłożyć jej mianownik na czynniki. Każdemu czynnikowi liniowemu jednokrotnemu $(x - a)$ odpowiada ułamek prosty typu:
$$A \over {x - a} \tag 8 \label {eq:8}$$
Każdemu czynnikowi wielokrotnemu $(x - a)^k$ odpowiada suma $k$ ułamków prostych typu (6), dla $1 \leq p \leq k$.
Każdemu czynnikowi jednokrotnemu $(x^2 +bx + c)$, dla którego $\Delta = b^2 - 4c < 0$, odpowiada jeden ułamek prosty, typu
$${Ax + B} \over {x^2 + ax + b} \tag 9 \label {eq:9}$$
Natomiast każdemu czynnikowi wielokrotnemu $(x^2 + bx + c )^k$ dla którego $\Delta = b^2 - 4c < 0$ odpowiada suma $k$ ułamków prostych typu (7), dla $1 \leq p \leq k$.
Przykład 2
Rozłóżmy na ułamki proste poniższą funkcję – dla ułatwienia, mianownik jest już rozłożony na czynniki:
$${x^2 - 3x + 5} \over {(x - 2)^2 \cdot (x + 1)} \tag {10} \label {eq:{10}}$$
Zgodnie z przytoczonymi wyżej regułami, rozkład na ułamki proste jest następujący:
$${{x^2 - 3x + 5} \over {(x - 2)^2 \cdot (x + 1)}} = {A \over {(x - 2)^2}} + {B \over {x - 2}} + {C \over {x + 1}} \tag {11} \label {eq:{11}}$$
należy tylko obliczyć wartości współczynników $A$, $B$, $C$.
W tym celu mnożymy obie strony wyrażenia (11) przez mianownik funkcji (10) po lewej stronie.
$$x^2 - 3x + 5 \equiv A \cdot (x + 1) + B \cdot (x + 1)(x - 2) + C \cdot (x - 2)^2 \tag {12} \label {eq:{12}}$$
Znak $\equiv$ oznacza tożsamość wyrażeń po lewej i prawej stronie, która zachodzi dla każdej wartości $x$ – w tym nawet takiej, dla której funkcja (10) nie istnieje (tj. $x=-1$, $x = 2$). Aby obliczyć wartości współczynników $A$, $B$, $C$ należy podstawić do wyrażenia (12) trzy różne wartości $x$. Mogą to być całkiem dowolne wartości, ale obliczeniowo najkorzystniej jest w pierwszej kolejności użyć wartości, dla których mianownik funkcji (10) równy jest zero.
Weźmy $x = -1$. Zeruje się wówczas wyrażenie $x + 1$. Równość (12) przybiera postać:
$$(-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 5 = C \cdot (-1 -2)^2$$
$9 = 9C$ stąd $C = 1$
Następnie bierzemy $x = 2$, Zeruje się wówczas wyrażenie $x - 2$:
$$2^2 - 3 \cdot 2 + 5 = A \cdot (2 + 1)$$
$3 = 3A$ stąd $A = 1$
Mając wartości $A$ oraz $B$ za $x$ możemy podstawić dowolną wartość. Najlepiej podstawić $x = 0$:
$$0^2 - 3 \cdot 0 + 5 = A \cdot (0 + 1) + B \cdot (0 + 1)(0 - 2) + C \cdot (0 - 2)^2$$
$5 = A - 2B + 4C$ stąd $5 = 1 - 2B + 4$ stąd $B=0$
Wobec tego rozkład funkcji (10) na ułamki proste jest następujący:
$${{x^2 - 3x + 5} \over {(x - 2)^2 \cdot (x + 1)}} = {1 \over {(x - 2)^2}} + {1 \over {x + 1}} \tag {13} \label {eq:{13}}$$
Przykład 3
Rozłóżmy na ułamki proste inną funkcję – mianownik również jest już rozłożony na czynniki:
$${x^3 + 4x^2 - x + 2} \over {(x^2 - 2x + 4) \cdot (x -1)} \tag {14} \label {eq:{14}}$$
W pierwszej kolejności powinniśmy zauważyć pewien „haczyk”. Licznik funkcji wymiernej (14) jest wielomianem trzeciego stopnia, a mianownik tej funkcji również jest wielomianem stopnia trzeciego, gdyż jest on iloczynem wielomianu stopnia drugiego oraz pierwszego. Wynika stąd, że funkcja (14) jest funkcją wymierną niewłaściwą, tymczasem rozkład na ułamki zwykłe dotyczy tylko funkcji wymiernych właściwych. W pierwszej kolejności zatem, musimy rozłożyć tę funkcję na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Ponieważ licznik i mianownik są tego samego stopnia, rozkład ten można wykonać nieco szybciej i prościej, aniżeli w przykładzie nr 1.
W tym celu przedstawmy „na siłę” licznik wyrażenia (14), jako identyczny z mianownikiem, a następnie, poprzez odejmowanie stosownych składników, przywróćmy go do pierwotnej postaci. Najpierw wymnóżmy mianownik:
$$(x^2 - 2x + 4) \cdot (x -1)= x^3 - 3x^2 + 6x -4$$
i teraz:
$${{x^3 + 4x^2 - x + 2} \over {(x^2 - 2x + 4) \cdot (x -1)}} = {{x^3 + 4x^2 - x + 2} \over {x^3 - 3x^2 + 6x - 4 }} =$$
Możemy już zastosować wspomniany „chwyt”:
$$= {{x^3 - 3x^2 + 6x - 4 + 7x^2 - 7x + 6} \over {x^3 - 3x^2 + 6x - 4 }} =$$
finalnie otrzymując:
$$= 1 + {{7x^2 - 7x + 6} \over {x^3 - 3x^2 + 6x - 4 }} = $$
$$= 1 + {{7x^2 - 7x + 6} \over {(x^2 - 2x + 4) \cdot (x -1)}} \tag {15} \label {eq:{15}} $$
Funkcję wymierną niewłaściwą (14) przedstawiliśmy w postaci (15), tj. sumy jedności (czyli wielomianu stopnia zerowego) oraz funkcji wymiernej właściwej . Teraz funkcję tę możemy już, bez problemu, rozłożyć na ułamki proste.
Sprawdźmy – na wszelki wypadek – czy trójmian kwadratowy $x^2 - 2x + 4$ rzeczywiście jest nierozkładalny na czynniki – czyli, czy nie posiada on pierwiastków rzeczywistych. Obliczamy $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 4 = -12<0$ Wszystko się zgadza, zatem rozkład na ułamki proste będzie następujący:
$${{7x^2 - 7x + 6} \over {(x^2 - 2x + 4) \cdot (x -1)}} = {{Ax + B} \over {x^2 - 2x + 4}} + {C \over {x - 1}} \tag {16} \label {eq:{16}}$$
Podobnie, jak w poprzednim przypadku, mnożymy obie strony wyrażenia (16) przez mianownik funkcji po lewej stronie:
$${7x^2 - 7x + 6} \equiv {Ax + B} \cdot (x - 1) + C \cdot (x^2 - 2x + 4) \tag {17} \label {eq:{17}}$$
Tutaj również mamy do wyliczenia trzy wartości: $A$, $B$, $C$. Można tego dokonać poprzez podstawienie trzech różnych wartości $x$. Tutaj będzie nieco trudniej, gdyż mianownik funkcji (15) miał tylko jedno rzeczywiste miejsce zerowe. Zatem nie uda się, tak jak to się udało w poprzednim przykładzie, podstawić dwu wartości „zerujących” wszystkie czynniki oprócz jednego.
Na początek podstawmy do (17) $x = 1$:
$${7 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 6} \equiv C \cdot (1^2 - 2 \cdot 1 + 4) $$
$6 = 3C$ stąd: $C = 2$
Teraz możemy podstawić $x=0$, co nieco uprości wyrażenie $Ax + B$:
$${7 \cdot 0^2 - 7 \cdot 0 + 6} \equiv {B} \cdot (0 - 1) + C \cdot (0^2 - 2 \cdot 0 + 4)$$
$6 = -B + 4C$, stąd: $6 = -B + 8$ a zatem $B = 2$
Aby obliczyć $A$ podstawiamy dowolną wartość. Najprostsza jest chyba $x = -1$:
$${7 \cdot (-1)^2 - 7 \cdot (-1) + 6} \equiv {-A + B} \cdot (-1 - 1) + C \cdot [(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 4] $$
$20 = 2A - 2B + 7C$, zatem $20 = 2A - 4 + 14$, stąd: $2A = 10$ i ostatecznie $A=5$.
Rozkład funkcji (14) na ułamki proste jest więc następujący:
$${{x^3 + 4x^2 - x + 2} \over {(x^2 - 2x + 4) \cdot (x -1)}} = 1 + {{5x + 2} \over {x^2 - 2x + 4}} + {2 \over {x - 1}} \tag {18} \label {eq:{18}}$$
Oczywiście, jeśli ktoś lubi wyzwania, to mógłby rozłożyć nierozkładalny trójmian kwadratowy w mianowniku, wyliczając pierwiastki zespolone, jednakże sposób taki – pomimo możliwości podstawienia za $x$ zespolonych miejsc zerowych mianownika – niekoniecznie byłby obliczeniowo łatwiejszy.
Cel rozkładu na ułamki proste
W wielu zastosowaniach, łatwiej używać zwyczajnej, ilorazowej postaci funkcji wymiernej (2), co najwyżej warto rozłożyć mianownik a czasem także i licznik na czynniki. Jednak jest kilka zagadnień, gdzie rozłożenie na ułamki proste jest konieczne. Jednym z nich jest rachunek całkowy. Otóż dla każdej funkcji wymiernej da się wyznaczyć funkcję pierwotną (czyli obliczyć całkę nieoznaczoną, bądź oznaczoną metodą Newtona-Leibnitza), jednak obliczenie całki nieoznaczonej wymaga rozkładu na ułamki proste. Każdy typ ułamka prostego ma swój algorytm postępowania, pozwalający na wyznaczenie całki nieoznaczonej, a całka funkcji wymiernej jest sumą tych całek.
Innymi obszarami, gdzie rozkład na ułamki proste znajduje zastosowanie, są: transformacja Laplace’a oraz odwrotna transformacja Laplace’a.
Całkowaniu funkcji wymiernych oraz transformacji Laplace’a poświęcone będą odrębne artykuły.