Funkcje elementarne
Wprowadzenie
Ten krótki artykuł w zamierzeniu ma nie być samodzielną treścią, a jedynie służyć wyjaśnieniu pojęcia funkcji elementarnej, które pojawia się w innych artykułach.
Spis treści
Co to są funkcje elementarne?
W różnych podręcznikach można spotkać nieco różniące się sformułowania definicji funkcji elementarnej. Najczęściej przyjmuje się jednak, że funkcje elementarne powstają z pewnego zestawu funkcji podstawowych przez skończoną liczbę dozwolonych operacji.
Funkcje elementarne podzielić można na dwie klasy:
- podstawowe funkcje elementarne, do których zalicza się:
- funkcję stałą: $f(x) = c$,
- funkcję tożsamościową: $f(x) = x$,
- funkcję wykładniczą: $f(x) = \mathrm e^x$,
- funkcję sinus: $f(x) = \sin x$.
- pozostałe funkcje elementarne, które obejmują wszystkie funkcje, jakie można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych poprzez wykonywanie skończonej liczby operacji takich jak: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz składanie i odwracanie funkcji.
W dużym uproszczeniu można powiedzieć, że funkcjami elementarnymi są te funkcje, które da się zapisać jednym skończonym wzorem zbudowanym z typowych funkcji szkolnych i akademickich, takich jak potęgi, pierwiastki, funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne i funkcje odwrotne do nich.
Przykładowo funkcjami elementarnymi są wielomiany $W(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n$, gdyż otrzymuje się je poprzez dodawanie do siebie funkcji stałej oraz wyrażeń powstałych przez pomnożenie funkcji stałej przez kilkakrotnie przez siebie pomnożoną funkcję tożsamościową (albo przez funkcję tożsamościową podniesioną do odpowiedniej potęgi).
Funkcją elementarną jest pierwiastek kwadratowy: $f(x) = \sqrt x$, gdyż jest to funkcja tożsamościowa podniesiona do potęgi $\frac 1 2$. Funkcją elementarną jest funkcja cosinus, gdyż: $\cos x = \sin \left(\frac {\pi} 2 - x \right)$. Funkcją elementarną jest logarytm naturalny: $f(x) = \ln x$, gdyż jest to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej $\mathrm e^x$.
Funkcją elementarną jest np. arcus tangens: $f(x) = \operatorname {arctg} x$, gdyż jest to funkcja odwrotna do funkcji $\operatorname {tg} x$, która z kolei powstaje przez podzielenie funkcji $\sin x$ przez $\cos x$.
Funkcją elementarną jest np. funkcja $2^{x^2 + \sin x}$, gdyż jest to złożenie funkcji $2^x$, która z kolei jest równa: $2^x = \mathrm e^{x\ln 2}$, z funkcją $x^2 + \sin x$, która jest sumą potęgi funkcji tożsamościowej i sinusa.
Przykłady funkcji nieelementarnych
Może w tym momencie paść pytanie – skoro każdej funkcji można przypisać „historyjkę” jej powstania z użyciem podstawowych funkcji elementarnych, to jakie są w ogóle funkcje nieelementarne? Oczywiście są takie funkcje. Niektóre z nich poznajemy już w szkole średniej. Np. funkcje „klamerkowe”:
$$f(x) = \left\{ \begin{array} {lcr} \sin x & \text{dla} & x \leq 0 \\ x^2 + 5x - 7 & \text{dla} & x > 0 \end{array} \right.$$
Ogólnie samo „sklejanie” funkcji z kilku innych nie należy do standardowych operacji tworzenia funkcji elementarnych. Trzeba jednak uważać, bo niektóre funkcje zapisane klamerkowo dają się przekształcić do zwykłego wzoru elementarnego. Sprawa z funkcjami klamerkowymi nie jest więc bardzo oczywista, o czym mowa będzie dalej.
Innym przykładem jest funkcja Dirichleta:
$$f(x) = \left\{ \begin{array} {lcr} 1 & \text{dla} & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{dla} & x \notin \mathbb{Q} \end{array} \right.$$
gdzie $\mathbb Q$ oznacza zbiór liczb wymiernych.
Często spotykaną funkcją nieelementarną jest funkcja entier $f(x) = \lfloor x \rfloor$, czyli część całkowita z liczby. Po polsku czasem nazywana jest „podłogą”, na zasadzie kalki językowej z języka angielskiego, gdzie znana jest jako floor. W czasach popularności tablic logarytmicznych funkcja entier nazywana była cechą liczby i pełniła ważną rolę przy obliczaniu wartości logarytmów dziesiętnych z wykorzystaniem owych tablic. Wartość funkcji entier jest największą liczbą całkowitą nie większą od argumentu funkcji. Przykładowo $\lfloor 2 \rfloor = 2$, $\lfloor 4{,}99 \rfloor = 4$, $\lfloor -1{,}2 \rfloor = -2$. Dla liczb dodatnich tradycyjne zaokrąglanie do najbliższej liczby całkowitej można wyrazić za pomocą funkcji entier jako $\lfloor x + 0{,}5 \rfloor$.
Funkcje nieelementarne mogą być otrzymywane z funkcji elementarnych poprzez nieskończoną liczbę działań. Np. funkcja błędu:
$$\operatorname {erf}(x) = \frac 2 {\sqrt \pi} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {\frac {(-1)^n \cdot x^{2n +1}} {(2n +1) \cdot n!}}$$
o ile oczywiście taki szereg nie jest rozwinięciem w szereg potęgowy jakiejś funkcji elementarnej, np.:
$$\mathrm e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^n} {n!}$$
Nawiasem mówiąc, funkcja błędu $\operatorname {erf}(x)$ zdefiniowana jest wzorem:
$$\operatorname {erf}(x) = \frac 2 {\sqrt \pi} \cdot \int_0^x \mathrm e^{-t^2} \mathrm{dt}$$
a także prawdą jest, że:
$$\int \mathrm e^{-x^2} \mathrm {dx} = \frac {\sqrt \pi} 2 \cdot \operatorname {erf}(x) + C$$
gdzie $C$ oznacza dowolną stałą.
Albowiem dość częstym „generatorem” funkcji nieelementarnych jest właśnie całka nieoznaczona. Wiele prostych funkcji elementarnych, jak np. właśnie $\mathrm e^{-x^2}$, $\mathrm e^{x^2}$ czy $\frac {\sin x} x$, posiada funkcje pierwotne niebędące funkcjami elementarnymi.
Niektórzy jako funkcję nieelementarną traktują wartość bezwzględną $f(x) = |x|$. Nie sposób się z tym twierdzeniem zgodzić, gdyż wprawdzie najczęstszą definicją wartości bezwzględnej jest definicja „klamerkowa”:
$$f(x) = \left\{ \begin{array} {lcr} \ x & \text{dla} & x \geq 0 \\ -x & \text{dla} & x < 0 \end{array} \right.$$
to jednak bezsprzecznie: $|x| = \sqrt {x^2}$, co spełnia warunek uznania wartości bezwzględnej za funkcję elementarną.
Skoro tak, to przynajmniej niektóre funkcje „klamerkowe” również można potraktować jako elementarne. Weźmy funkcję:
$$f(x) = \left\{ \begin{array} {lcr} \cos x & \text{dla} & x < 0 \\ x^2 + 5x + 1& \text{dla} & x > 0 \end{array} \right. \tag {*} \label {eq:{*}}$$
Funkcja ta jest ciągła w całym $\mathbb R \backslash \{0\}$.
Można jednak zapisać ją jako:
$$f(x) = \frac {x-\sqrt {x^2}} {2x} \cdot \cos x + \frac {x+\sqrt {x^2}} {2x} \cdot \left(x^2 + 5x +1 \right)$$
Tak zapisane wyrażenie jest równoważne z (*), gdyż dla $x < 0$ wyrażenie $\frac {x-\sqrt {x^2}} {2x}$ jest równe $1$, natomiast wyrażenie $\frac {x+\sqrt {x^2}} {2x}$ jest równe $0$. Dla $x > 0$ jest odwrotnie: wyrażenie $\frac {x-\sqrt {x^2}} {2x}$ jest równe $0$, natomiast wyrażenie $\frac {x+\sqrt {x^2}} {2x}$ jest równe $1$. Tak więc udało nam się formułę „klamerkową” zapisać jako skończoną liczbę działań na funkcjach elementarnych.
Powiązane artykuły
Utworzono: 27.10.2025 | Zmodyfikowano: 16.05.2026
Masz problem z tym tematem?
Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku.
Zapytaj o pomoc