Całki nieoznaczone – część 1

Wprowadzenie

Całkowanie to jeden ze wzbudzających najsilniejsze lęki działów analizy matematycznej na studiach wyższych. Całka to dość rozległe i wieloznaczne pojęcie i na studiach niematematycznych (np. na studiach politechnicznych) studenci zapoznają się tylko z niewielkim wycinkiem teorii związanej z całkami. Niniejszy artykuł jest pierwszym z serii artykułów dotyczących całek nieoznaczonych, czyli tych całek, od których studenci zaczynają swą całkową edukację i które wydają się najpowszechniej kojarzonym rodzajem całek.

Co to jest całka nieoznaczona

W skrócie, gdybyśmy ideę całki mieli przedstawić np. licealiście, całka nieoznaczona jest przykładem funkcjonału, czyli pewnej funkcji, której argumentem oraz wartością są inne funkcje. Jest to takie „pudełko”, na wejściu którego podajemy jedną funkcję, a na wyjściu otrzymujemy inną funkcję. Funkcja w tym ujęciu to też pudełko, tyle, że na wejściu mamy liczbę, a na wyjściu mamy inną liczbę. Zilustrowane to zostało na rysunkach 1 oraz 2.

Zrozumienie istoty całki nieoznaczonej, wymaga poznania pojęcia pochodnej i różniczkowania funkcji jednej zmiennej. Jeśli znamy pojęcie pochodnej funkcji, całkę nieoznaczoną zdefiniować można jako operację odwrotną do obliczania pochodnej funkcji, czyli różniczkowania. Pochodna funkcji, to po prostu takie samo „pudełko”, jak to przedstawione na rysunku 2, tyle, że działające „w drugą stronę”.

Funkcja $F(x)$ nazywana jest funkcją pierwotną funkcji $f(x)$, lub całką nieoznaczoną z funkcji $f(x)$ w danym przedziale, jeśli w całym tym przedziale, funkcja $f(x)$ jest pochodną funkcji $F(x)$, lub też – co jest równoznaczne – wyrażenie $f(x) \mathrm{dx}$ jest różniczką funkcji $F(x)$, tj:

$$F'(x) = f(x) \tag {1a} \label {eq:{1a}}$$

oraz:

$$dF(x) = f(x) dx \tag {1b} \label {eq:{1b}}$$

To, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania nie oznacza, że jest ono podobnej skali trudności do różniczkowania. Jest, niestety, znacznie trudniejsze. Moim Klientom zawsze powtarzam, że różniczkowanie, czyli obliczanie pochodnych, porównać można do „rozkręcania” tradycyjnego, mechanicznego zegarka i zmienienia go w kupkę śrubek i trybików. Może to zrobić nawet małe dziecko – kto wie, może nawet Tobie, Drogi Czytelniku, się to przytrafiło. Ba, nawet niejeden, co sprytniejszy, przedstawiciel małp człowiekowatych tego bez problemu dokona, po krótkim szkoleniu.

Całkowanie tymczasem, jest jak montowanie sprawnego zegarka z kupki śrubek i trybików. Prawda, że dużo trudniejsze? Mało tego. Każdy, mechaniczny zegarek, da się zamienić w kupkę śrubek i trybików, ale nie z każdej kupki śrubek i trybików da się zmontować sprawny zegarek. Dokładnie tak samo jest z różniczkowaniem i całkowaniem. By nauczyć się pochodnych, wystarczy poznać trochę wzorów, zrobić dosłownie kilka przykładów na różniczkowanie funkcji złożonej, by bez większego problemu zróżniczkować każdą funkcję elementarną.

Z całkowaniem jest inaczej. Tylko najprostsze przykłady mogą być wykonane w prosty sposób, zbliżony do różniczkowania. Ogromna większość funkcji wymaga poznania określonych „chwytów”. Nie wystarczy się nauczyć zasady, trzeba „kombinować”. To tak, jak z dowcipami typu „wisi na ścianie i śmierdzi” – mało kto wpadnie od razu na to, że chodzi o „zegar ze zdechłą kukułką”, ale jeśli raz już ktoś nam taką, lub podobną, zagadkę na jakiejś imprezie poda wraz z rozwiązaniem, przy kolejnej okazji będziemy już wiedzieć.

Nie ma więc innej drogi do nauczenia się całkowania, jak przerobienie wielu przykładów i zapamiętywanie, jakie to chwyty, tricki i sztuczki się tam pojawiały. Wówczas, gdy na egzaminie zobaczymy podobny przykład, otwieramy w głowie stosowną szufladkę i kojarzymy, że trzeba to zrobić tak, czy tak.

Ale to nie wszystko. Okazuje się, że pewnych funkcji – i to całkiem banalnych, których pochodne obliczymy „z zamkniętymi oczami” nie da się scałkować. Ściślej mówiąc one posiadają swoje całki nieoznaczone, ale nie są to funkcje elementarne. Czyli nie da się ich zapisać w postaci znanych symboli matematycznych¹.

Przykładem takiej funkcji, której całki nie da się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych jest np. całkiem niegroźnie wyglądająca funkcja:

$$f(x) = {\text e}^{x^2}$$

albo też funkcje:

$\frac {\sin x} x $, $\frac {\cos x} x$, $\sin{x^2}$ czy $\cos{x^2}$

Dla zapisania całek nieoznaczonych z tych i podobnych funkcji, opisano i wprowadzono do matematyki wyższej wiele nowych funkcji, jak funkcja błędu, funkcje Fresnela, sinus całkowy, czy logarytm całkowy, ale nie są to funkcje elementarne.

Wzory rachunku całkowego

Wzory rachunku całkowego są w zasadzie odwróceniem wzorów rachunku różniczkowego. Są to dokładnie te same wzory, ale czytane „od drugiej strony”. Pomiędzy operacją różniczkowania a całkowania nieoznaczonego jest też jedna, istotna różnica. Różniczkowanie jest zawsze jednoznaczne. Każda funkcja posiada tylko jedną pochodną. Ale, weźmy np. funkcję $f(x)=x^2$, jak wiemy – np. po lekturze naszego artykułu o obliczaniu pochodnych – pochodną tej funkcji jest $f'(x)=2x$. Ale przecież jest to także pochodna innej funkcji – np. takiej: $g(x) = x^2 + 5$. Ona również ma pochodną $g'(x) = 2x$.

Funkcją pierwotną (całką nieoznaczoną) funkcji $f(x)=2x$ mogą być zatem zarówno funkcje $F(x)=x^2$, jak też $F(x)=x^2+5$, ba – nawet $F(x)=x^2 + \sin^2 x + \cos^2 x$ (bo przecież $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$).

Zatem całkowanie nieoznaczone to operacja jednoznaczna, ale z dokładnością, co do stałej. Dlatego też, wzory rachunku całkowego zawsze podaje się z dodaniem stałej (zwyczajowo oznaczanej $C$) do funkcji po prawej stronie. 

Inną rzeczą, na którą nalezy zwrócić uwagę jest operator całkowania. Operatorem całkowania nie jest sam symbol $\int$, ale dopiero zestaw symboli: $\int\,\,\mathrm{dx}$, gdzie całkowana funkcja znajduje się w środku, pomiędzy znakiem $\int$ a wyrażeniem $\mathrm{dx}$, gdzie litera $x$ jest taka sama, jak zmienna, po której całkujemy.

Wyrażenie $\mathrm{dx}$ nie tylko wskazuje na zmienną, po której aktualnie całkujemy (możemy całkowac funkcję kilku zmiennych), ale jest ono elementarnym przyrostem tej zmiennej i gdy, korzystając z metody całkowania przez podstawienie, zamienimy zmienną $x$ na funkcję innej zmiennej, na zasadzie $x=g(t)$, to miejsce $\mathrm{dx}$ zajmie elementarny przyrost tej nowej zmiennej, czyli różniczka $g'(t)\mathrm{dt}$. To szalenie ważne – i należy sobie po prostu zakodować, że całka nieoznaczona, to $\int\,\,\mathrm{dx}$.

Innymi słowy, gdyby potraktować sam tylko symbol $\int$, jako operator całkowania nieoznaczonego, to jego argumentem nie jest funkcja, będąca pochodną wyznaczanej funkcji pierwotnej, ale różniczka funkcji pierwotnej. Całka nieoznaczona więc, to jakby „przepis” na obliczenie sumy z różniczki funkcji. Ale skąd dokąd ta suma ma być liczona, to już jest przedmiotem innego działania matematycznego – całki oznaczonej, która nie jest funkcją, a właśnie sumą. Całki oznaczone jednak będą przedmiotem zupełnie innego artykułu.

Wzory wyrażające własności całki nieoznaczonej

W przeciwieństwie do wzorów rachunku różniczkowego, wzory rachunku całkowego podamy tylko w dwu zestawach: wzory określające własności całki nieoznaczonej oraz wzory na całki nieoznaczone konkretnych funkcji. Nie będziemy tu wyróżniać wzorów ważniejszych i mniej ważnych, bo aby się sprawnie poruszać w rachunku całkowym, musimy znać wszystkie te wzory.

W przypadku pochodnych bowiem, procedura jest taka: patrzymy, jaką funkcję mamy zróżniczkować i dopasowujemy stosowny wzór. Jeśli „zapomniał” się nam on, to go sobie pomocniczo, „na boku”, wyprowadzamy. Obliczanie całek nieoznaczonych, to jednak zupełnie inna bajka. Tutaj musimy, patrząc na funkcję podcałkową, od razu rozpoznać któryś ze znanych wzorów. Jeśli jakiegoś wzoru zapomnimy, to go tam po prostu nie zauważymy i nawet nie będziemy wiedzieli, co mamy wyprowadzić.

$$\int {a \cdot f(x)} \mathrm{dx} = a \cdot \int f(x) \mathrm{dx} \tag 2 \label {eq:2}$$

$$\int \left[ f(x) \pm g(x) \right] \mathrm{dx} = \int f(x) \mathrm{dx} \pm \int g(x) \mathrm{dx} \tag 3 \label {eq:3}$$

Wzór (2), to tzw. „wyłączanie stałej przed całkę”, a wzór (3) pozwala na obliczenie sumy bądź różnicy całek różnych funkcji. Wzory te określają liniowość całki nieoznaczonej i mogą być zastąpione jednym wzorem o bardziej ogólnym charakterze, tak samo, jak miało to miejsce w przypadku wzorów rachunku różniczkowego:

$$\int \left[a \cdot f(x) + b \cdot g(x) \right] \mathrm{dx} = a \cdot \int f(x) \mathrm{dx} + b \cdot \int g(x) \mathrm{dx} \tag {3a} \label {eq:{3a}}$$

Wsród arsenału wzorów wyrażających własności całki nieoznaczonej, nie znajdziemy, niestety, wzorów na całkę ilorazu bądź iloczynu funkcji. Sprawa nie jest taka prosta, że aby scałkować wyrażenie będące iloczynem, bądź ilorazem, wystarczy użyć dedykowanego wzoru.

Istnieją jednak dwa „specjalne” wzory, będące swego rodzaju odwróceniem wzorów na pochodną iloczynu oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej, które to wzory są fundamentem dwu najważniejszych metod całkowania – metody całkowania przez podstawienie (zamianę zmiennej) oraz metody całkowania przez części.

Wzór na całkowanie przez podstawienie ma postać:

$$\int f \left[g(x) \right]g'(x) \mathrm{dx} = \int f(u) \mathrm {du} \tag 4 \label {eq:4}$$

gdzie: $u=g(x)$ jest funkcją mającą ciągłą pochodną a $f(u)$ jest ciągła – przynajmniej w interesującym nas przedziale.² Choć tego na pierwszy rzut oka może nie być widać, wzór ten jest odwróceniem wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Wzór na całkowanie przez części, będący odwróceniem wzoru na pochodną iloczynu, ma następujące dwie najczęściej stosowane postaci:

$$\int f(x)g'(x) \mathrm {dx} = f(x) g(x) - \int f'(x)g(x) \mathrm{dx} \tag {5a} \label {eq:{5a}}$$

$$\int u \mathrm {dv} = uv - \int v \mathrm{du} \tag {5b} \label {eq:{5b}}$$

Osobiście jestem gorącym zwolennikiem drugiej z powyższych postaci (5b) i z takiej też postaci będziemy korzystali w niniejszym artykule. Oczywiście obie funkcje, tj $f$ oraz $g$ (czyli odpowiednio $u$ oraz $v$) są funkcjami zmiennej $x$, posiadającymi ciągłe pochodne.

W literaturze podawany bywa także wzór:

$$\int \frac {f'(x)} {f(x)} \mathrm{dx} = \ln \left| f(x) \right| + C \tag 6 \label {eq:6}$$

ale nie jest to wzór, który można by określić mianem wzoru podstawowego. Jak się później okaże, wynika on ze wzorów (4) oraz (9) i stanowi niejako część metody całkowania przez podstawienie.

Wzory na całki konkretnych funkcji

Poniżej zestaw wzorów rachunku całkowego.

$$\int 0 = C \tag 7 \label {eq:7}$$

$$\int x^a \mathrm{dx} = \frac {x^{a+1}}{a+1} + C, \,\,\text{dla}\,a \neq -1 \tag 8 \label {eq:8}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}} x = \ln |x| + C \tag 9 \label {eq:9}$$

$$\int \e^x \mathrm{dx} = \e^x + C \tag {10} \label {eq:{10}}$$

$$\int a^x \mathrm{dx} = \frac {a^x}{\ln a} + C \tag {11} \label {eq:{11}}$$

$$\int \sin x \mathrm{dx} = -\cos x + C \tag {12} \label {eq:{12}}$$

$$\int \cos x \mathrm{dx} = \sin x + C \tag {13} \label {eq:{13}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\cos^2 x} = \tg x + C \tag {14} \label {eq:{14}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sin^2 x} = -\ctg x + C \tag {15} \label {eq:{15}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = -\arccos x + C \tag {16} \label {eq:{16}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{x^2+1} = \arctg x + C = -\arcctg x + C \tag {17} \label {eq:{17}}$$

$$\int \sinh x \mathrm{dx} = \cosh x + C \tag {18} \label {eq:{18}}$$

$$\int \cosh x \mathrm{dx} = \sinh x + C \tag {19} \label {eq:{19}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\cosh^2 x} = \tgh x + C \tag {20} \label {eq:{20}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sinh^2 x} = -\ctgh x + C \tag {21} \label {eq:{21}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sqrt{1+x^2}} = \arsinh x + C = \ln \left(x + \sqrt{x^2+1} \right) + C \tag {22} \label {eq:{22}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sqrt{x^2-1}} = \arcosh x + C = \ln \left| x + \sqrt{x^2-1} \right| + C \tag {23} \label {eq:{23}}$$

We wzorze (7) „pozwoliłem” sobie pominąć czynnik $\mathrm{dx}$, gdyż i tak funkcją podcałkową jest zero. Zauważmy, że wzór (8), to odwrócenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej. To bodaj najważniejszy wzór rachunku całkowego. Często zdarza się, że np. w kursie statystyki matematycznej, czy rachunku prawdopodobieństwa (probabilistyki) w pewnym momencie studenci dostają zadania, gdzie występuje całka. W zasadzie zawsze w takim wypadku będzie jakaś funkcja potęgowa, ewentualnie funkcja wykładnicza.

Zauważmy, że w przeciwieństwie do wzoru na pochodną funkcji potęgowej: $\left(x^a \right)' = ax^{a-1}$, który bierze pod uwagę absolutnie wszystkie potęgi: dodatnie, ujemne, ułamkowe – nawet z potęgą zerową sobie poradzi, o tyle wzór (8) nie poradzi sobie z potęgą $-1$, tj. nie da się za jego pomocą policzyć całki nieoznaczonej z funkcji $f(x) = \frac 1 x$. Całka ta wymaga odrębnego wzoru, niejako „dedykowanego” dla potęgi $-1$, czyli wzoru (9). Zwróćmy przy tym uwagę na wartość bezwzględną występującą po prawej stronie. Jest to odwrócenie „rozszerzonego” wariantu wzoru na pochodną z logarytmu naturalnego, wg którego $\left( \ln|x| \right)' = \frac 1 x$.

Warto też przyzwyczaić się do stosowanej w zapisie wzorów (9), (14), (15) i podobnych konwencji pisania $\mathrm{dx}$ w liczniku ułamka. We wzorach, w których występują mianowniki bądź pierwiastki, należy poczynić stosowne zastrzeżenia co do dziedziny, które na ogół korespondują z zastrzeżeniami, co do dziedziny funkcji po prawej stronie wzoru. Przykładowo we wzorze (16), musi być spełniony warunek $-1 < x < 1$, który gwarantuje zarówno istnienie w zbiorze liczb rzeczywistych wartości występującego w tym wzorze pierwiastka w mianowniku, jak też i funkcji $\arcsin$ bądź $\arccos$, choć dla nich warunek mógłby być nieco mniej restrykcyjny ($-1 \leq x \leq 1$).

Zresztą godne zwrócenia uwagi jest też alternatywne wyrażenie całek ze wzorów (16) oraz (17) poprzez, odpowiednio $\arcsin x$ bądź $\arccos x$ oraz $\arctg x$ bądź $\arcctg x$. W praktyce niemal zawsze wykorzystuje się wariant bez „arkus kofunkcji”, czyli odpowiednio $\arcsin x$ i $\arctg x$, jako, że są one bardziej „eleganckie” od swoich „kofunkcyjnych braci”, choćby ze względu na symetryczny zbiór wartości oraz rosnącą monotoniczność.

Całkowanie bezpośrednie

Odnosząc się do naszej analogii ze składaniem zegarka, zadania na całkowanie bezpośrednie, porównać można do składania zestawu, gdzie mamy złożony cały werk, a nalezy np. przykręcić cyferblat i wskazówki. Najprostszy wariant takeigo zadania, to po prostu funkcja żywcem wyjęta ze wzorów (7)–(23), ewentualnie ich suma bądź różnica z jakimiś współczynnikami. Spróbujmy zrobić kilka takich przykładów:

Przykład 1

Wyznaczyć całkę nieoznaczoną funkcji $f(x) = 2x^2 - 5\e^x + 4 \sin x$.

Oczywiście tutaj korzystamy z wyłączania stałej przed całkę (wzór 2), całkę sumy/róznicy (wzór 3) a także wzory (8), (10) oraz (12):

$$\int \left( 2x^2 - 5\e^x + 4\sin x \right) \mathrm{dx} = 2\int x^2 \mathrm{dx} - 5 \int \e^x \mathrm{dx} + 4 \int \sin x \mathrm{dx} = $$

$$= 2 \cdot \frac {x^3} 3 - 5 \e^x + 4 \cdot (-\sin x) = \frac 2 3 \cdot x^3 - 5 \e^x - 4 \cos x + C$$

Zwyczajowo ctałą całkowania $C$ dopisuje się dopiero na samym końcu, choć formalnie należałoby ją pisać, gdy tylko zniknie ostatni znak całki w sumie całek. Często też całkę taką robi się bez rozpisywania explicite sumy całek, po prostu robiąc to w pamięci i zapis wygląda wówczas tak:

$$\int \left( 2x^2 - 5\e^x + 4\sin x \right) \mathrm{dx} = 2 \cdot \frac {x^3} 3 - 5 \e^x + 4 \cdot (-\sin x)= $$

$$= \frac 2 3 x^3 - 5 \e^x - 4 \cos x + C$$

Przykład 2

Czasem może się zdarzyć, że bezpośrednia całka będzie nieco bardziej „zakamuflowana”. Obliczmy całkę z takiej funkcji $f(x) = \frac {x^2 + 2} {x^2 +1}$. Funkcja ta jest funkcją wymierną, i dla takich funkcji dedykowany jest dość złożony algorytm, który będzie przedmiotem innego artykułu. W tym jednak przypadku można to rozwiązać stosunkowo prosto. Zauważmy bowiem, że:

$$ \frac {x^2 + 2} {x^2 +1} = \frac {x^2 + 1 + 1} {x^2 +1} = \frac {x^2 + 1} {x^2 +1} + \frac 1 {x^2 +1}= 1 + \frac {1} {x^2 +1}$$

Ten bardzo prosty przykład, to już wprowadzenie w „klimaty” całkowania, czyli przykład typowego dla obliczania całek „kombinowania na wszelkie sposoby”. Czyli obliczamy nasza całkę tak:

$$\int \frac {x^2 + 2} {x^2 +1} \mathrm{dx} = \int \frac {x^2 + 1 + 1} {x^2 +1} \mathrm{dx} = \int \left( 1 + \frac 1 {x^2 +1} \right) \mathrm{dx} =$$

$$ = \int \mathrm{dx} + \int \frac {\mathrm{dx}}{x^2 + 1} = x + \arctg x + C $$

Przykład 3

Czasem, aby obliczyć całkę bezpośrednio, należy się „pobawić” w tożsamości trygonometryczne. Spróbujmy obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji $f(x) = \tg^2(x)$. W pierwszej chwili konsternacja. Jak to, to jest całka obliczana bezpośrednio? Przecież nie ma wzoru na całkę z tangensa? Nie ma. A nawet, gdyby był, mógłby się niewiele przydać, gdyż funkcją podcałkową jest kwadrat tangensa. Ale wystarczy zrobić tak:

$$\int \tg^2 x \mathrm{dx} = \int \frac {\sin^2 x}{\cos^2 x} \mathrm{dx} =\int \frac {1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} \mathrm{dx} =$$

$$=\int \left( \frac 1 {\cos^2 x} - \frac {\cos^2 x}{\cos^2 x} \right) \mathrm{dx} =\int \left( \frac 1 {\cos^2 x} - 1 \right) \mathrm{dx} =$$

$$ =\int \frac {\mathrm{dx}} {\cos^2 x} - \int \mathrm{dx} = \tg x - x + C$$

A zatem obliczenie całki wymagało skorzystania z zależności pomiędzy tangensem a sinusem i cosinusem oraz z „jedynki trygonometrycznej”, dzięki której możliwe stało się przekształcenie licznika: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Przykład 4

Obliczmy całkę nieoznaczoną z funkcji $f(x) = \frac {\cos 2x}{\cos x - \sin x}$. Pomocny będzie tutaj wzór na cosinus podwojonego kąta: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$$\int \frac {\cos 2x}{\cos x - \sin x} {\mathrm{dx}} = \int \frac {\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x} {\mathrm{dx}} = $$

$$ = \int \frac {\cancel {(\cos x - \sin x)}(\cos x + \sin x)}{\cancel{\cos x - \sin x}} {\mathrm{dx}} = $$

$$ = \int \left(\cos x + \sin x \right)\mathrm{dx}= \sin x - \cos x + C$$

Przykład 5

A teraz „klasyka” całkowania bezpośredniego. Czyli „funkcja pseudowymierna”, tj. wyrażenie zawierające pierwiastki z $x$ oraz potęgi $x$ . Ważne by rozróżniać podobne zadania. Otóż jeśli pierwiastki są tylko z $x$ a nie z wyrażeń zawierających $x$ oraz jeśli w mianowniku jest tylko jedno wyrażenie (jakiś pierwiastek z $x$, jakaś jego potęga, czy ich iloczyn) ale nie ma tam sumy takich wyrażeń, to jest to niewątpliwie zadanie na całkowanie bezpośrednie i to przy wykorzystaniu wyłącznie „osławionego” wzoru (8) lub (9) w przypadku wystąpienia wykładnika $-1$.

W naszym przypadku niech będzie to taka funkcja:

$$f(x) = \frac {\sqrt x - 2 x \sqrt[3] {x^2} + 3 \sqrt[4] {5x^3}}{6 x \sqrt[3] x}$$

Z pozoru wygląda koszmarnie, ale wszystkie sumowane wyrażenia w liczniku są de facto potęgami $x$ a w mianowniku jest jedna tylko taka potęga. Oznacza to, że podstawowe wzory rachunku całkowego wystarczą nam w zupełności. Gdyby w mianowniku również pojawiła się jakaś suma (różnica), to poza trywialnymi przypadkami, gdzie dałoby się w liczniku wyłączyć taką samą sumę i skrócić, oznaczałoby to, że mamy do czynienia z zadaniem na całkowanie przez podstawienie, takim, jak w przykładzie 12.

Gdyby pierwiastki nie były z $x$, ale z jakichś wyrażeń, to by była już raczej wyższa – dużo wyższa – szkoła jazdy (całkowanie funkcji niewymiernych). A u nas sprawa jest prosta. należy rozbić wyrażenie podcałkowe na sumę pierwiastków o wspólnym mianowniku i dokonać uproszczeń, wykorzystując właściwości potęg.

$$ \int \frac {\sqrt x - 2 x \sqrt[3] {x^2} + 3 \sqrt[4] {5x^3}}{6 x \sqrt[3] x} \mathrm{dx} = $$

$$ \int \left( \frac {\sqrt x}{6 x \sqrt[3] x} - \frac {2 x \sqrt[3] {x^2}}{6 x \sqrt[3] x} + \frac {3 \sqrt[4] {5x^3}}{6 x \sqrt[3] x} \right) \mathrm{dx} = $$

$$ \int \left( \frac {x^{\frac 1 2}}{6 x \cdot x^{\frac 1 3}} - \frac {2 x \cdot x^{\frac 2 3}}{6 x \cdot x^{\frac 1 3}} + \frac {3 \sqrt[4] 5 \cdot x^{\frac 3 4}}{6 x \cdot x^{\frac 1 3}} \right) \mathrm{dx} = $$

$$ \int \left( \frac {x^{\frac 1 2}}{6 x^{\frac 4 3}} - \frac {2 x^{\frac 5 3}}{6 x^{\frac 4 3}} + \frac {3 \sqrt[4] 5 \cdot x^{\frac 3 4}}{6 x^{\frac 4 3}} \right) \mathrm{dx} = $$

$$ = \frac 1 6 \int x^{\frac 1 2 - \frac 4 3} \mathrm{dx} - \frac 1 3 \int x^{\frac 5 3 - \frac 4 3} \mathrm{dx} - \frac {3 \sqrt[4] 5 } 6 \int x^{\frac 3 4 - \frac 4 3}\mathrm{dx} = $$

$$ = \frac 1 6 \int x^{-\frac 5 6} \mathrm{dx} - \frac 1 3 \int x^{\frac 1 3} \mathrm{dx} - \frac {3 \sqrt[4] 5 } 6 \int x^{-\frac 7 {12}}\mathrm{dx} = $$

$$ = \frac 1 6 \frac {x^{\frac 1 6}}{\frac 1 6} - \frac 1 3 \frac {x^{\frac 4 3}} {\frac 4 3} - \frac {3 \sqrt[4] 5 } 6 \frac {x^{\frac 5 {12}}}{\frac 5 {12}}= $$

$$ = x^{\frac 1 6}- \frac 1 {\cancel 3} \cdot \frac {\cancel 3} 4 x^{\frac 4 3} - \frac {3 \sqrt[4] 5 } 6 \cdot \frac {12} 5 x^{\frac 5 {12}}= $$

$$ = \sqrt[6] x - \frac 1 4 x \sqrt[3] x - \frac {6 \sqrt[4] 5 } 5 \sqrt[12] {x^5} + C $$

Przykład nieco długi, ale, jeśli chodzi o wzory rachunku całkowego, rzeczywiście nie było potrzeby zastosowania innego wzoru niż (8). Powrót z potęg ułamkowych do pierwiastków nie jest bezwzględnie konieczny, choć matematyczny savoir vivre nakazuje, że jeśli dostajemy do scałkowania funkcję w postaci pierwiastków z potęg, to wypada dokonać pod koniec stosownej zamiany. Pamiętajmy, że gdyby wyszła potęga o wykładniku będącym ułamkiem niewłaściwym, to zrobilibyśmy tak: $x^{\frac 8 3} = x^2 \cdot \sqrt[3]{x^2}$.

Przykład 6

A teraz przykład, który według wcześniejszych wskazówek już nie wygląda na całkowanie bezpośrednie, ale jednak da się tam wykonac pewną prostą operację. Obliczmy całkę nieoznaczoną funkcji $f(x)=\frac {1-x}{1-\sqrt[3] x}$.

$$\int \frac {1-x}{1-\sqrt[3] x} \mathrm{dx} = \int \frac {\cancel{\left(1-\sqrt[3] x \right)}\left(1+\sqrt[3] {x} + \sqrt[3] {x^2}\right) }{\cancel{1-\sqrt[3] x}} \mathrm{dx} =$$

$$=\int \left( 1 + x^{\frac 1 3} + x^{\frac 2 3} \right) \mathrm{dx}= x + \frac {x^{\frac 4 3}}{\frac 4 3}+ \frac {x^{\frac 5 3}}{\frac 5 3} = $$

$$ = x + \frac 3 4 x \sqrt[3] x + \frac 3 5 x \sqrt[3] {x^2} + C$$

A zatem sytuację uratował tutaj wzór skróconego mnożenia. Po prostu „sztucznie” rozłożono licznik ze wzoru na różnicę sześcianów, co pozwoliło na skrócenie licznika z mianownikiem.

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie wykonuje się, w zależności od potrzeb, w dwu wersjach. Pierwsza wersja polega na tym, że obieramy pomocniczą zmienną $t$, jako pewną funkcję zmiennej $x$, tj. podstawiamy $t=g(x)$. Należy pamiętać o dwóch żelaznych zasadach. Podstawić musimy tak, aby po podstawieniu nigdzie nie został x (ani $\mathrm{dx}$). Oprócz tego, koniecznie musimy mieć co podstawić za $\mathrm {dt}=g'(x) \mathrm{dx}$ i musi ono być w pierwszej potędze w liczniku.

Całkowanie przez podstawienie w tej wersji stosujemy wówczas, gdy jesteśmy w stanie w funkcji podcałkowej dopatrzyć się jakiejś funkcji zmiennej $x$ oraz pochodnej tej samej funkcji.

Przykład 7a

Z najbardziej banalnym przykładem zastosowania metody całkowania przez podstawienie mamy do czynienia wówczas, gdy całkujemy prostą funkcję, korzystając z podstawowych wzorów, ale argumentem nie jest $x$, ale pewne wyrażenie liniowe. Obliczmy całkę funkcji $f(x)=\sin {5x}$

$$\int \sin {5x} \mathrm{dx} = ...$$

Dokonujemy następujących podstawień:

$$\left | \begin{array}{l} t = 5x \\ \mathrm{dt}=5 \mathrm{dx} \\ \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 5 \end{array} \right. $$

zobaczmy, że nie wystarczy podstawić $t=5x$, ale trzeba mieć jeszcze co podstawić za $\mathrm{dt}$. Jako, że pochodna z $5x$ to po prostu 5, czyli różniczka $\mathrm{dt}=5\mathrm{dx}$, to sprawa jest prosta. Możemy zamiast $\mathrm{dx}$ podstawić najzwyczajniej w świecie $\mathrm{dt}$, ale trzeba jeszcze podzielić wszystko przez 5 – w praktyce, wyciągnąć $\frac 1 5$ przed całkę:

$$ ... = \frac 1 5 \int \sin t \mathrm{dt} = -\frac 1 5 \cos t = -\frac 1 5 \cos{5x} + C$$

Przykład 7b

Wyrażenie liniowe może zawierać również stałą – i tak nie wystąpi ona w różniczce $\mathrm{dt}$, gdyż pochodna ze stałej wynosi zero. Policzmy całkę nieoznaczoną z takiej funkcji: $f(x) = \cos (2x - 5)$:

$$\int \cos (2x - 5) \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = 2x - 5 \\ \mathrm{dt}=2 \mathrm{dx} \\ \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 2 \end{array} \right. $$

$$ … = \frac 1 2 \int \cos t \mathrm{dt} = \frac 1 2 \sin t = \frac 1 2 \sin (2x - 5) + C$$

Bystry Czytelnik zauważy analogię z pochodną funkcji złożonej. Przykładowo $\left[\sin 3x \right]'= 3 \cos 3x$. Przy wyliczaniu pochodnej się po prostu mnożyło przez pochodną funkcji wewnętrznej, a tutaj się dzieli. Spostrzeżenie trafne, ale słuszne tylko dla argumentów będących wyrażeniami liniowymi. Rzeczywiście w przypadku, gdy argumentem funkcji nie jest $x$, ale wyrażenie typu $ax+b$, wystarczy policzyć całkę, dla tego samego argumentu i podzielić ją przez $a$. Jest to tak dalece powszechne, że na pewnym etapie nauki całkowania, wykonuje się to w pamięci, bez formalnego rozpisywania podstawień.

Niestety, ten prosty schemat nie działa, gdy argumentem jest coś bardziej skomplikowanego aniżeli wyrażenie liniowe. Na przykład całki $\int \sin {x^2} \mathrm{dx}$ nie da się wyliczyć, jako $-\cos {x^2}$ i podzielić przez $2x$. Nawiasem mówiąc, jak wspomniano na początku artykułu, na całkę $\int \sin {x^2} \mathrm{dx}$ nie działa żadna metoda. Nie da się jej wyrazić za pomocą funkcji elementarnych.

Przykład 8

Co innego jednak, jeśli funkcja podcałkowa będzie taka, że „na talerzu” dostaniemy coś, w czym będziemy w stanie „upchnąć” nasze $\mathrm {dt}$. Weźmy funkcję bardzo podobną, to wspomnianej wyżej funkcji mającej całkę nieoznaczoną niedającą się wyrazić poprzez funkcje elementarne. Obliczymy bowiem teraz całkę nieoznaczoną z funkcji $f(x) = x \sin {x^2}$. Mały szczegół, a zmienia wszystko:

$$\int x \sin x^2 \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = x^2 \\ \mathrm{dt}=2x \mathrm{dx} \\ x \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 2 \end{array} \right. $$

Widzimy co się stało. Niepozorny $x$ uratował nam… skórę. Oto bowiem mamy co podstawić za $\mathrm{dt}$. I teraz będzie już prosto:

$$ … = \frac 1 2 \int \sin t \mathrm{dt} = -\frac 1 2 \cos t = -\frac 1 2 \cos {x^2} + C$$

Przykład 9

Czasem trzeba spojrzeć nieco szerzej i, jak to z całkami bywa, nieco „przycwaniakować”. Obliczmy całkę z takiej funkcji: $f(x) = \frac x {x^4 + 1}$. Pierwsze, co byśmy chcieli zrobić, to podstawić za $t=x^4$ albo nawet cały mianownik: $t=x^4 + 1$. Jednak to nie wypali, gdyż w obu przypadkach różniczka: $\mathrm{dt}=4x^3 \mathrm{dx}$. Nie mamy co za to $\mathrm{dt}$ podstawić. Tutaj trzeba chytrzej:

$$\int \frac x {x^4+1} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = x^2 \\ \mathrm{dt}=2x \mathrm{dx} \\ x \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 2 \end{array} \right. $$

i wówczas:

$$ ... = \frac 1 2 \int \frac {\mathrm{dt}} {t^2 +1} = \frac 1 2 \arctg t = \frac 1 2 \arctg {x^2} + C$$

Czasem więc funkcji podstawianej pod $t$ nie widać od razu. Trzeba ją sobie starannie „wyłuskać” z wyrażenia podcałkowego. Można też tu było pomyśleć od drugiej strony: mam $x$ w liczniku, a on jest pochodną (ok, połową pochodnej) z $x^2$, a zatem może z $x^2$ coś się da zawalczyć? I dokładnie tak trzeba myśleć. Wielomiany często pojawiają się w zadaniach na całki i trzeba pamiętać, że pochodną wielomianu stopnia $n$ jest wielomian stopnia $n-1$.

Przykład 10

To też szalenie prosty przykład i zastanawiałem się, czy nie nadać mu numeru 9b. Policzmy całkę nieoznaczoną funkcji: $f(x) = \frac {x^3} {x^4 + 1}$

$$\int \frac {x^3} {x^4+1} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = x^4 + 1 \\ \mathrm{dt}=4x^3 \mathrm{dx} \\ x^3 \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 4 \end{array} \right. $$

$$... = \frac 1 4 \int \frac {\mathrm{dt}} t = \frac 1 4 \ln |t| = \frac 1 4 \ln \left| x^4 + 1 \right| = \frac 1 4 \ln \left(x^4 + 1 \right) + C $$

Zapamiętania warte jest tutaj zastąpienie pod koniec obliczeń, znaku wartości bezwzględnej zwyczajnym nawiasem. Uczyniono tak dlatego, że wyrażenie $x^4+1$ jest zawsze dodatnie, toteż nie ma potrzeby ujmowania go w znak modułu. Gdybyśmy tego nie zrobili, rozwiązanie również byłoby poprawne, ale nieeleganckie. Akademiccy nauczyciele matematyki zwracają uwagę na elegancję. Zastąpienie modułu nawiasem, to takie „postawienie kropki nad i”, ostateczny szlif. A także dowód na to, że rozwiązujący zadanie student wie, co robi.

Przykład 11

Teraz policzmy całkę nieoznaczoną takiej funkcji: $f(x) = \frac {x^3}{x+1}$.

$$\int \frac {x^3}{x+1} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = x + 1 \\ \mathrm{dt}= \mathrm{dx} \\ x = t - 1 \end{array} \right. $$

Zaczęło się zatem tak samo, ale tym razem w oparciu o podstawienie dla $t$, przeliczono wartość zmiennej $x$. Co to dało? Bardzo dużo! Otóż podstawienie takie, pozwala wyeliminować z mianownika kłopotliwą sumę:

$$... = \int \frac {(t-1)^3}t \mathrm{dt} = \int \frac {t^3 - 3t^2 + 3t -1} t \mathrm{dt} = $$

$$= \int \left( t^2 - 3t + 3 -\frac 1 t \right) \mathrm{dt} = \frac {t^3} 3 - 3 \frac {t^2} 2 + 3t - \ln |t| =$$

$$= \frac 1 3 (x+1)^3 -\frac 3 2 (x+1)^2 + 3(x+1) - \ln|x+1| = $$

$$= \frac 1 3 \left(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \right) -\frac 3 2 \left(x^2 + 2x + 1 \right) + 3x + 3 - \ln|x+1| = $$

$$= \frac 1 3 x^3 - \frac 1 2 x^2 + x + \frac {11} 6 - \ln|x+1| = $$

$$= \frac 1 3 x^3 - \frac 1 2 x^2 + x - \ln|x+1| +C $$

Uważny Czytelnik może zadać w tym momencie pytanie, co się stało z liczbą $\frac {11} 6$, która jest widoczna w przedostatnim przekształceniu, a nie widać jej w końcowym wyniku? Otóż wartośc $\frac {11} 6$, jako stała, została pochłonięta przez stałą całkowania $C$. Skoro $C$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, to zamiast pisać $\frac {11} 6 + C$ wystarczy zapisać³ $C$. Pochłanianie stałej liczbowej przez stałą całkowania, to normalna praktyka rachunku całkowego.

Przykład 11 pozwolił nam „gładko” przejść do drugiego typu całkowania przez podstawienie, a mianowicie do podstawień postaci $x = g(t)$, $\mathrm{dx}=g'(t) \mathrm{dt}$.

Przykład 12

Obliczmy całkę nieoznaczoną funkcji $f(x) = \frac 1{\sqrt x + \sqrt[3] x}$. Nie da się tutaj wykorzystać metod podstawowych, z uwagi na to, że pierwiastki są w mianowniku.

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sqrt x + \sqrt[3] x} = \int \frac {\mathrm{dx}}{x^{\frac 1 2} + x^{\frac 1 3}} = ...$$

„Chwyt”, jaki w takim wypadku się stosuje, polega na podstawieniu za zmienną $x$, nowej zmiennej $t$ w potędze będącej najmniejszą wspólną wielokrotnością (czyli takim, jakby, wspólnym mianownikiem) występujących w wyrażeniu mianowników wykładników. U nas pojawiają się wykładniki $\frac 1 2$ oraz $\frac 1 3$, toteż wspólnym mianownikiem jest $6$.

$$\left | \begin{array}{l} x = t^6 \\ \mathrm{dx}= 6t^5 \mathrm{dt} \\ t = x^{\frac 1 6} = \sqrt[6] x \end{array} \right. $$

Zauważmy, że na ostatniej pozycji napisaliśmy „podstawienie zwrotne”, czyli ile równa się $t$ w funkcji $x$ po to, by pod koniec obliczania całki powrócić do oryginalnej zmiennej $x$. Zatem:

$$... = \int \frac {6t^5 \mathrm{dt}}{t^3 +t^2} = \int \frac {6t^5 \mathrm{dt}}{t^2 \left(t +1 \right)} = 6\int \frac {t^3 \mathrm{dt}}{t +1} = ... $$

Jest to funkcja wymierna. Całkowaniem funkcji tego typu, „na poważnie”, zajmiemy się w osobnym artykule. tutaj spróbujemy te funkcję scałkować troszkę po partyzancku, ale skutecznie.

Spróbujmy po raz kolejny zastosowac podstawienie, w stylu podobnym co przykładu 11.

$$\left | \begin{array}{l} u = t + 1 \\ \mathrm{du}= \mathrm{dt} \\ t = u - 1 \end{array} \right. $$

$$... = 6 \int \frac{\left(u-1 \right)^3\,\mathrm{du}} u = 6 \int \frac{\left(u^3 - 3u^2 + 3u -1 \right)\,\mathrm{du}} u = $$

$$= 6 \int \left(u^2 - 3u + 3 - \frac 1 u \right)\,\mathrm{du} = 6 \left( \frac {u^3} 3 - 3 \frac {u^2} 2 + 3u - \ln |u| \right) = $$

$$= 2u^3 - 9u^2 + 18u - 6\ln |u| = $$

$$= 2(t+1)^3 - 9(t+1)^2 + 18(t+1) - 6\ln |t+1| = $$

$$ = 2\left(t^3 + 3t^2 + 3t + 1 \right) - 9(t^2 + 2t+1) + 18t+18 - 6\ln |t+1| =$$

$$=2t^3 + 6t^2 + 6t + 2 - 9t^2 - 18t - 9 + 18t+18 - 6\ln |t+1| =$$

$$=2t^3 - 3t^2 + 6t + 11 - 6\ln |t+1| =$$

$$=2\sqrt x - 3\sqrt[3]x + 6\sqrt[6] x - 6\ln \left(\sqrt[6] x+1 \right) + C$$

Tutaj również stała $11$ została pochłonięta przez stałą całkowania. Wyrażenie $\sqrt[6]x + 1$ jest zawsze dodatnie (dziedziną wyjściowej całki jest oczywiście $\mathbb R_+$), więc można było zamienić znak modułu przy logarytmie naturalnym na zwykły nawias.

Jak widać, do rozwiązania doprowadziło nas aż dwukrotne zastosowanie całkowania przez podstawienie, przy czym pierwsze z tych podstawień było w stylu $x = g(t)$, a drugie w stylu $t=g(x)$ (w naszym przypadku $u=g(t)$).

Przedstawione przykłady nie wyczerpują wszystkich sztuczek, chwytów i pomysłów na podstawienia. W kolejnych artykułach, poświęconych całkowaniu szczególnych funkcji (wymiernych, niewymiernych, trygonometrycznych, itd), poznamy różne podstawienia niejako „dedykowane” do całkowania konkretnych funkcji. Niektóre z nich są owocem pracy najtęższych matematycznych umysłów drugiego tysiąclecia naszej ery, takich jak Euler czy Bernoulli.

Całkowanie analityczne to wciąż dziedzina, gdzie być może i Ty, drogi Czytelniku, pozostawisz swój wkład i swoje nazwisko. Dziś analityczne całkowanie nie jest może już tak ważne jak choćby sto lat temu – sporo całek można wyliczyć – i to również analitycznie – programami komputerowymi, jal np. Wolfram Mathematica, ale ciekawe podstawienie do scałkowania „ręcznego” jakiejś skomplikowanej funkcji, być może, czeka jeszcze na odkrycie. To tak jak z szachami. Niby wszystko o tej grze już napisano i opracowano, a wciąż odkrywane są nowe ruchy czy otwarcia.

Całkowanie przez części

O ile wskazaniem do zastosowania metody całkowania przez podstawienie jest „dopatrzenie się” w funkcji podcałkowej pewnej funkcji oraz jej pochodnej, o tyle metodę całkowania przez części można próbować zastosować, gdy w funkcji podcałkowej dopatrzymy się iloczynu dwu różnych funkcji.

Wzór (5b) mówi tu sam za siebie:

$$\int u \mathrm {dv} = uv - \int v \mathrm{du}$$

Gdy już dopatrzymy się iloczynu tych funkcji, we wzorze oznaczonych literami $u$ i $\mathrm{dv}$, zauważamy, że z pierwszej z nich, czyli z $u$ w dalszym toku obliczeń obliczać będziemy pochodną (różniczkę), natomiast z drugiej $\mathrm{dv}$, samej będącej różniczką, obliczać będziemy (zazwyczaj w pamięci) funkcję pierwotną (czyli całkę nieoznaczoną).

Po prawej stronie wzoru występuje całka $\int v \mathrm{du}$. Chodzi o to, by całka ta była prostsza do obliczenia aniżeli całka wyjściowa. Zazwyczaj dzieje się tak w wyniku tego, że po obliczeniu całki bądź pochodnej, funkcje są prostsze, bądź też nastąpi jakieś uproszczenie wyrażenia. Czasem też sytuacja rozwinie się jeszcze inaczej, co prześledzimy na przykładach.

Mnożenie jest przemienne, więc to od nas zależy, którą z funkcji obierzemy, jako $u$, a którą, jako $\mathrm{dv}$. Jednak pomóc tutaj mogą pewne spostrzeżenia. Otóż niektóre funkcje, jak np. wielomiany, upraszczają się w wyniku różniczkowania oraz komplikują w wyniku całkowania. Zazwyczaj będa one idealnymi kandydatami na $u$, bowiem w całce po prawej stronie wystąpią już jako $\mathrm{du}$. Są też funkcje, które przeciwnie – komplikują się przy różniczkowaniu, a upraszczają przy całkowaniu. Np funkcja $\frac 1 x$. Tego typu funkcje mogą być ewentualnie rozważane, jako kandydatki na $\mathrm{dv}$.

Są wreszcie funkcje, którym niestraszne ani całkowanie, ani różniczkowanie i moga one być w ten sposób przekształcane nawet setki razy. Te funkcje to $\e^x$, $\sin x$ oraz $\cos x$. One z powodzeniem mogą „robić” z jednakowym skutkiem zarówno za $u$, jak i za $\mathrm{dv}$.

Przykład 13

Obliczmy całkę nieoznaczoną funkcji $f(x) = x \cdot \sin x$. Tutaj nie powinniśmy mieć wątpliwości, co jest naszym $u$, a co $\mathrm{dv}$. Sinusowi jest wszystko jedno, ale metoda całkowania przez części dobrze spełni swoją rolę, gdy $x$ podstawimy za $u$.

$$\int x \sin x \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = x & \mathrm{du}=\mathrm{dx} \\ v = -\cos x & \mathrm{dv} = \sin x \, \mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$.. = -x \cos x - \int \left(-\cos x \right) \mathrm{dx} = $$

$$ = -x \cos x + \int \cos x \, \mathrm{dx} =- x \cos x + \sin x + C$$

Widzimy, o co chodzi? Dzięki metodzie całkowania przez części, nasz $x$ zniknął sprzed funkcji trygonometrycznej.

Czasem trzeba wykazać się cierpliwością i „zbijać” kolejno potęgi niechcianego „iksa”, stosując metodę całkowania przez części kilkakrotnie.

Przykład 14

Policzmy całkę funkcji $f(x) = x^3 \e^{2x}$. Oczywiście znów funkcji $\e^x$ jest wszystko jedno, jaką rolę obierze, ale $x^3$ upraszczać się będzie pod warunkiem, że podstawimy je za $u$. Tutaj należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną rzecz. Naszym $\mathrm{dv}$ będzie $\e^{2x}$, a więc funkcja złożona. Wyliczając z niej $v$, całkujemy ją niejako w pamięci. Formalnie należałoby zrobić to „na boku”, wykorzystując całkowanie przez podstawienie, ale wspomnieliśmy w przykładzie 7b, że w przypadku, gdy funkcją wewnętrzną jest funkcja liniowa, to można scałkować w pamięci, dzieląc całkę przez współczynnik przy zmiennej.

$$\int x^3 \e^{2x} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = x^3 & \mathrm{du}=3x^2\mathrm{dx} \\ v = \frac 1 2 \e^{2x} & \mathrm{dv} = \e^{2x} \, \mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = \frac 1 2 x^3 \e^{2x} - \frac 3 2 \int x^2 \e^{2x} \mathrm{dx} = ...$$

i to właśnie jest całkowanie przez części „w akcji” i w pełnej swej krasie. Stosujemy metodę ponownie:

$$\left|\left| \begin{array}{ll} u = x^2 & \mathrm{du}=2x \, \mathrm{dx} \\ v = \frac 1 2 \e^{2x} & \mathrm{dv} = \e^{2x} \, \mathrm{dx} \end{array} \right. \right.$$

$$... = \frac 1 2 x^3 \e^{2x} - \frac 3 2 \left(\frac 1 2 x^2 \e^{2x} - \int x \e^{2x} \mathrm{dx} \right) =$$

$$ = \frac 1 2 x^3 \e^{2x} - \frac 3 4 x^2 \e^{2x} + \frac 3 2 \int x \e^{2x} \mathrm{dx} = ...$$

i ponownie:

$$\left|\left|\left| \begin{array}{ll} u = x & \mathrm{du}=\mathrm{dx} \\ v = \frac 1 2 \e^{2x} & \mathrm{dv} = \e^{2x} \, \mathrm{dx} \end{array} \right. \right.\right.$$

$$ = \frac 1 2 x^3 \e^{2x} - \frac 3 4 x^2 \e^{2x} + \frac 3 2 \left(\frac 1 2 x \e^{2x} - \frac 1 2 \int \e^{2x} \right)\mathrm{dx} = $$

$$ = \frac 1 2 x^3 \e^{2x} - \frac 3 4 x^2 \e^{2x} + \frac 3 4 x \e^{2x} - \frac 3 4 \int \e^{2x} \mathrm{dx} = $$

$$ = \frac 1 2 x^3 \e^{2x} - \frac 3 4 x^2 \e^{2x} + \frac 3 4 x \e^{2x} - \frac 3 8 \e^{2x} = $$

$$ = \frac 1 8 \e^{2x} \left( 4x^3 - 6 x^2 + 6 x - 3 \right) +C $$

Prawda, że piękne?

Teraz pokażemy dwa przykłady z absolutnego kanonu całkowania przez części. Nie da się nauczyć kogoś tej metody, nie pokazując mu tych dwu nietypowych przypadków. Jeden lekko nietypowy, drugi bardziej.

Przykład 15

Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji $f(x) = \ln x$. Uważny czytelnik pewnie zauważył, że nie ma całki z tej funkcji wśród wzorów rachunku całkowego. Ten sam Czytelnik pewnie też zdziwi się, dlaczego obliczanie tej całki ma być wykonane metodą całkowania przez części, skoro na wstępie napisaliśmy, że stosujemy je, gdy w funkcji podcałkowej dopatrzymy się dwu funkcji, a tutaj jest tylko jedna. Czy aby na pewno jedna? Wyrażenie za znakiem $\int$ jest rózniczką, a zatem iloczynem pochodnej funkcji pierwotnej oraz $\mathrm{dx}$.

I to jest właśnie punkt wyjścia, do obliczenia całki z logarytmu naturalnego. Traktujemy funkcję podcałkową, jako iloczyn $\ln x$ oraz $\mathrm{dx}$. Jeśli chodzi o wybór $u$ oraz $\mathrm{dv}$, to nie może być inaczej. Logarytm musi zostać $u$, gdyż jego pochodną jest zwyczajne $\frac 1 x$. Gdyby został $\mathrm{dv}$ mielibyśmy klasyczne „masło maślane” – aby wyznaczyć $v$ trzeba byłoby wszak scałkować ten logarytm, a przeciez właśnie po to całkujemy przez części. Ale do rzeczy:

$$\int \ln x \,\mathrm {dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = \ln x & \mathrm{du}=\frac {\mathrm{dx}} x \\ v = x & \mathrm{dv} = \mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$ ... = x \ln x - \int {\cancel x} \cdot \frac {\mathrm {dx}} {\cancel x} = x \ln x - \int {\mathrm {dx}} =$$

$$ = x \ln x - x = x \left( \ln x - 1 \right) + C$$

Kto by pomyślał, że w taki sposób można scałkować logarytm naturalny? W analogiczny sposób całkuje się takie funkcje, jak $\arctg x$ czy $\arcsin x$.

Przykład 16

Obliczyć całkę funkcji $f(x) = \e^x \sin x$. Tutaj spotyka się dwoje „najtwardszych zawodników” rachunku różniczkowego i całkowego. Obie funkcje mogą w obie strony być przekształcane nieskończenie wiele razy. $\e^x$ pozostanie w swojej postaci, a $\sin x$ będzie zamieniał się cyklicznie w $\cos x$ i jeszcze dojdą zmiany znaku. Obie funkcje są doskonałymi kandydatami zarówno na $u$, jak i na $\mathrm{dv}$. Przyjmijmy, że jako $u$ obierzemy funkcję $\e^x$, a jako $\mathrm{dv}$ obierzemy $\sin x \mathrm{dx}$.

$$\int \e^x \sin x \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = \e^x & \mathrm{du}=\e^x {\mathrm{dx}} \\ v = -\cos x & \mathrm{dv} = \sin x \,\mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = -\e^x \cos x -\int \left(-\e^x \cos x \right) \mathrm{dx} = -\e^x \cos x +\int \e^x \cos x \mathrm{dx} =...$$

Po raz kolejny stosujemy więc całkowanie przez częsci. Tutaj drobna podpowiedź: aby wyszedł nam sensowny wynik, musimy być konsekwentni. Skoro jako $u$ obraliśmy funkcję wykładniczą, to musimy tak zrobić i teraz:

$$\left|\left| \begin{array}{ll} u = \e^x & \mathrm{du}=\e^x {\mathrm{dx}} \\ v = \sin x & \mathrm{dv} = \cos x \,\mathrm{dx} \end{array} \right.\right.$$

$$... -\e^x \cos x +\e^x \sin x - \int \e^x \sin x \mathrm{dx} $$

Początkujący może w tym momencie się załamać. Zapytać, ile jeszcze razy trzeba powtórzyć operację i czy są szanse na koniec w tym stuleciu. Otóż to już jest (prawie) koniec. Zazwyczaj, gdy całkując kilkakrotnie przez części, otrzymamy ponownie wyjściową całkę, świadczy to o tym, że coś poszło nie tak. Ale nie tutaj. W tym przypadku „ratuje nas” znak minus.

Zreasumujmy, co właściwie otrzymaliśmy. Otrzymaliśmy mianowicie:

$$\int \e^x \sin x \mathrm{dx} = -\e^x \cos x +\e^x \sin x - \int \e^x \sin x \mathrm{dx}$$

Teraz tylko wystarczy przenieść całkę z prawej strony na lewą, podzielić stronami przez 2 i uprościć:

$$2\int \e^x \sin x \mathrm{dx} = \e^x \sin x -\e^x \cos x /:2 $$

$$\int \e^x \sin x \mathrm{dx} = \frac 1 2 \e^x \left(\sin x -\e^x \cos x \right) + C $$

Tak więc nie zawsze całkowanie przez częsci (i ogólnie całkowanie) musi wyglądać tak, że po iluś tam przekształceniach otrzymujemy wynik. Czasem wynik dostajemy, tak jak tutaj, w niestandardowy sposób.

Przykład 17

A teraz troszke „zabawy”. Policzmy, róznymi metodami, całkę nieoznaczoną z funkcji $f(x) = \sin x \cos x$.

Na wstępie zauwazmy, że cosinus jest pochodną sinusa i vice versa (pomijając kwestię minusa). Wobec tego już samą metodą całkowania przez podstawienie można zadanie wykonać na dwa sposoby.

Sposób 1

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = \sin x \\ \mathrm{dt}= \cos x \, \mathrm{dx} \end{array} \right. $$

$$... = \int t \, \mathrm{dt} = \frac {t^2} 2 = \frac 1 2 \sin^2 x + C$$

Sposób 2

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = \cos x \\ \mathrm{dt}= -\sin x \, \mathrm{dx} \\ \sin x \, \mathrm{dx} - -\mathrm{dt}\end{array} \right. $$

$$... = -\int t \, \mathrm{dt} = -\frac {t^2} 2 = -\frac 1 2 \cos^2 x + C$$

Ciekawe, że innym sposobem wyszedł inny wynik. Czy jednak na pewno jest on inny? Zajmiemy się tym później. Teraz policzymy całkę tę dwukrotnie za pomoca całkowania przez części.

Sposób 3

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = \sin x & \mathrm{du}=\cos x {\mathrm{dx}} \\ v = \sin x & \mathrm{dv} = \cos x \,\mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = \sin x \cdot \sin x -\int \sin x \cos x \mathrm{dt} = \sin^2 x -\int \sin x \cos x \mathrm{dt}$$

Otrzymaliśmy więc, na podobnej zasadzie, jak w przykładzie 16:

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = \sin^2 x -\int \sin x \cos x \mathrm{dt}$$

skąd:

$$2 \int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = \sin^2 x /:2$$

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} =\frac 1 2 \sin^2 x + C$$

Sposób 4

Teraz $u$ oraz $\mathrm{dv}$ obierzemy na odwrót.

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = \cos x & \mathrm{du}= -\sin x {\mathrm{dx}} \\ v = -\cos x & \mathrm{dv} = \sin x \,\mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = -\cos x \cdot \cos x -\int \sin x \cos x \mathrm{dt} = -\cos^2 x -\int \sin x \cos x \mathrm{dt}$$

Czyli:

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = -\cos^2 x -\int \sin x \cos x \mathrm{dt}$$

skąd:

$$2\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = -\cos^2 x /:2$$

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = -\frac 1 2 \cos^2 x +C $$

Sposób 5

Tutaj skorzystamy z całkowania bezpośredniego. Użyjemy bowiem wzoru na sinus podwojonego kąta: $\sin {2 \alpha} = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha$. Ze wzoru tego wynika, że: $\sin x \cos x = \frac 1 2 \sin {2x}$.

Stąd:

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = \frac 1 2 \int \sin {2x} \mathrm{dx} = -\frac 1 4 \cos {2x} = $$

$$= -\frac 1 4 \left( \cos^2 x - \sin^2 x \right) = \frac 1 4 \sin^2 x - \frac 1 4 \cos^2 x + C $$

Licząc pięcioma sposobami, otrzymaliśmy w sumie trzy różne wyniki:

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} =\frac 1 2 \sin^2 x + C$$

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = -\frac 1 2 \cos^2 x +C $$

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = \frac 1 4 \sin^2 x - \frac 1 4 \cos^2 x + C $$

O co tutaj chodzi?

Policzmy różnicę pomiędzy pierwszym a drugim z otrzymanych wyników (pomijajac ctałą $C$):

$$\frac 1 2 \sin^2 x - \left(-\frac 1 2 \cos^2 x \right) = \frac 1 2 \sin^2 x + \frac 1 2 \cos^2 x = $$

$$\frac 1 2 \left(\sin^2 x + \cos^2 x \right) = \frac 1 2 \cdot 1 = \frac 1 2 $$

A zatem wynik otrzymany sposobami (1) oraz (3) różni się od wyniku otrzymanego sposobami (2) oraz (4) o stałą (w tym wypadku o $\frac 1 2$). Całki nieoznaczone różniące się o stałą wyrażają tę samą całkę! Policzmy jeszcze różnicę pomiędzy całką otrzymaną sposobami (1) oraz (3) a całką otrzymaną sposobem (5):

$$\frac 1 2 \sin^2 x -\left( \frac 1 4 \sin^2 x - \frac 1 4 \cos^2 x \right) =$$

$$\frac 1 2 \sin^2 x - \frac 1 4 \sin^2 x + \frac 1 4 \cos^2 x $$

$$= \frac 1 4 \sin^2 x + \frac 1 4 \cos^2 x =\frac 1 4 \left(\sin^2 x + \cos^2 x \right) = \frac 1 4 \cdot 1 = \frac 1 4$$

A zatem otrzymane trzy wyniki tylko pozornie, na pierwszy rzut oka, są inne. W rzeczywistości, jako że różnią się o stałą, wyrażają one tę samą funkcję pierwotną, a zatem tę całkę nieoznaczoną.

Warto podkreślić, że tylko w przypadku nielicznych całek, takich jak ta, będąca przedmiotem przykładu 17, można wybierać i przebierać w metodach całkowania. Na ogół do danej całki „pasuje” tylko jedna metoda i to my sami musimy wpaść na to, jaką metodę zastosować.

Do zobaczenia w kolejnej części

To pierwszy z artukułów o całkowaniu. Przedstawione zostały w nim podstawowe narzędzia, jakimi są wzory rachunku całkowego oraz dwie kluczowe metody całkowania: całkowanie przez podstawienie, zwane też całkowaniem przez zamianę zmiennej, oraz całkowanie przez części. W zasadzie nie istnieją inne metody, ale dla pewnych klas funkcji, w oparciu o te metody, zdefiniowano określone algorytmy postepowania, mówiące, jak użyć tych metod, aby wyznaczyć funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną).

Od studenta kierunków niematematycznych, czyli np. studiów politechnicznych, wymaga się najczęściej znajomości procedury całkowania funkcji wymiernych, niektórych funkcji niewymiernych (np. zawierających pierwiastek z trójmianu kwadratowego), całkowania niektórych funkcji przestępnych – np. całek funkcji będących złożeniami wielomianów bądź funkcji wymiernych z funkcjami trygonometrycznymi.

Aspirujacy do samodzielnego zaliczenia, na ocenę dostateczną, kursu matematyki wyższej student, powinien przynajmniej znać omówione w tym artykule metody i potrafić ich używać, a także potrafić całkować funkcje wymierne, co będzie tematem kolejnego artykułu z dziedziny rachunku całkowego.

1. O ile funkcję podcałkową można wyrazić za pomocą szeregu potęgowego, to szereg taki można scałkować stosunkowo łatwo (jak wielomian), ale efekt całkowania musiał będzie pozostać w takiej formie, czyli w formie nieskończonej sumy, więc w kontekście analitycznego (tj. przeprowadzanego na symbolach) całkowania funkcji się to „nie liczy”. ↩︎
2. To definicja książkowa. W praktyce, ciągłość w stosownym przedziale wymagana jest dla całki oznaczonej, natomiast dla całki nieoznaczonej najlepiej by było, gdyby funkcje te były ciągłe w swoich dziedzinach, ewentualnie w jakiejś dziedzinie danej stosownym założeniem (np. przez autora zadania). ↩︎
3. Niektórzy w takiej sytuacji, zamiast $C$ napisaliby $C_1$, definiując: $C_1 = \frac {11} 6 + C$. To oczywiście też poprawne i eleganckie. Moim zdaniem zbyt eleganckie. ↩︎