Wielomiany
Wprowadzenie
Wielomiany należą do najważniejszych i najczęściej spotykanych funkcji w matematyce. Pojawiają się już w szkole podstawowej przy prostych wyrażeniach algebraicznych, później w szkole średniej przy funkcji kwadratowej, równaniach wielomianowych i schemacie Hornera, a następnie w matematyce wyższej: w analizie matematycznej, algebrze liniowej, metodach numerycznych, interpolacji, aproksymacji oraz w rachunku różniczkowym i całkowym.
W tym artykule omówimy wielomiany przede wszystkim jako funkcje zmiennej rzeczywistej, czyli funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych. Warto jednak pamiętać, że wielomiany można również rozpatrywać nad zbiorem liczb zespolonych. Wtedy pojawiają się dodatkowe własności, między innymi związane z zasadniczym twierdzeniem algebry. Temu zagadnieniu warto poświęcić osobny artykuł.
Wielomiany są funkcjami elementarnymi, a więc należą do podstawowego „arsenału” funkcji używanych w matematyce. Ich przewagą jest prostota: można je dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić z resztą, różniczkować i całkować według bardzo przejrzystych reguł. Jednocześnie potrafią opisywać bardzo różnorodne kształty wykresów.
Spis treści
- Definicja wielomianu
- Stopień wielomianu
- Dziedzina i wykres wielomianu
- Zachowanie wielomianu w nieskończoności
- Miejsca zerowe wielomianu
- Krotność miejsca zerowego
- Działania na wielomianach
- Dzielenie wielomianu przez wielomian
- Schemat Hornera
- Twierdzenie Bézouta
- Rozkładanie wielomianów na czynniki
- Jak szukać kandydatów na pierwiastki wymierne?
- Co zrobić, gdy nie widać miejsca zerowego?
- Rozkład nad liczbami rzeczywistymi i zespolonymi
- Wielomiany w matematyce wyższej
- Najczęstsze błędy przy pracy z wielomianami
- Podsumowanie
Definicja wielomianu
Wielomianem zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcję postaci
$$ W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0, $$
gdzie:
- $x$ jest zmienną,
- $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ są współczynnikami wielomianu,
- $n$ jest liczbą naturalną,
- $a_n\neq 0$, jeżeli mówimy o wielomianie stopnia $n$.
Liczby $a_0,a_1,\ldots,a_n$ mogą być rzeczywiste, zespolone albo pochodzić z jeszcze innego zbioru, zależnie od tego, nad jakim zbiorem rozpatrujemy wielomian. W tym artykule przyjmujemy najczęściej, że są to liczby rzeczywiste.
Przykładowe wielomiany to:
$$ W(x)=3x^4-2x^3+7x-5, $$
$$ P(x)=x^2-4x+4, $$
$$ Q(x)=-5x+1. $$
Także funkcja stała, na przykład
$$ F(x)=7, $$
jest wielomianem. Jest to wielomian stopnia zerowego, o ile stała jest różna od zera.
Stopień wielomianu
Stopniem wielomianu nazywamy największy wykładnik potęgi zmiennej $x$, przy której współczynnik jest różny od zera.
Na przykład wielomian
$$ W(x)=4x^5-3x^2+x-8 $$
jest wielomianem stopnia piątego, ponieważ najwyższa potęga zmiennej $x$, która rzeczywiście występuje w tym wielomianie, to $x^5$.
Szczególnym przypadkiem jest wielomian zerowy, czyli
$$ W(x)=0. $$
Dla wielomianu zerowego stopień nie jest określony w standardowy sposób. W zastosowaniach algebraicznych czasem przyjmuje się umownie, że ma stopień $-\infty$, ale w szkolnym rachunku algebraicznym najbezpieczniej powiedzieć po prostu, że stopień wielomianu zerowego nie jest określony.
Dziedzina i wykres wielomianu
Jeżeli wielomian rozpatrujemy jako funkcję zmiennej rzeczywistej, to jego dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych:
$$ D_W=\mathbb{R}. $$
Nie pojawiają się tutaj ograniczenia typowe dla niektórych innych funkcji. Nie trzeba wykluczać miejsc zerowych mianownika, jak przy funkcjach wymiernych, ani pilnować nieujemności wyrażenia pod pierwiastkiem parzystego stopnia, jak przy wielu funkcjach niewymiernych.
Wykres wielomianu jest krzywą ciągłą i gładką. Oznacza to, że nie ma przerw, dziur, skoków ani pionowych asymptot. Wykres można narysować „jednym pociągnięciem ołówka”, choć oczywiście dla wielomianów wysokich stopni jego kształt może być dość złożony.
Zachowanie wielomianu w nieskończoności
O tym, jak wielomian zachowuje się dla bardzo dużych dodatnich i bardzo małych, czyli bardzo dużych co do wartości bezwzględnej ujemnych argumentów, decyduje przede wszystkim wyraz najwyższego stopnia.
Dla wielomianu
$$ W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0 $$
najważniejszy dla dużych wartości $|x|$ jest składnik $a_nx^n$.
Wielomian stopnia nieparzystego
Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty, to ramiona wykresu idą w przeciwne strony. Dla dodatniego współczynnika wiodącego wykres po lewej stronie spada w dół, a po prawej rośnie w górę. Symbolicznie można to zapisać tak:
$$ \lim_{x\to -\infty}W(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty}W(x)=+\infty. $$
Dla ujemnego współczynnika wiodącego sytuacja jest odwrotna:
$$ \lim_{x\to -\infty}W(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty}W(x)=-\infty. $$
Właśnie dlatego każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jedno rzeczywiste miejsce zerowe. Skoro wykres z jednej strony znajduje się bardzo wysoko, a z drugiej bardzo nisko, to ze względu na ciągłość musi gdzieś przeciąć oś $OX$.
Wielomian stopnia parzystego
Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty, to oba ramiona wykresu są skierowane w tę samą stronę. Dla dodatniego współczynnika wiodącego oba ramiona idą do góry, a dla ujemnego oba ramiona idą w dół.
Na przykład wielomian
$$ W(x)=x^2+1 $$
nie ma żadnego rzeczywistego miejsca zerowego, ponieważ
$$ x^2+1>0 $$
dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wykres tej funkcji leży w całości nad osią $OX$.
Natomiast wielomian
$$ P(x)=x^2-1 $$
ma dwa miejsca zerowe:
$$ x=-1 \quad \text{oraz} \quad x=1. $$
Wielomian stopnia parzystego może więc mieć miejsca zerowe rzeczywiste, ale nie musi ich mieć.
Miejsca zerowe wielomianu
Miejscem zerowym wielomianu $W(x)$ nazywamy taką liczbę $x_0$, dla której
$$ W(x_0)=0. $$
Geometrycznie miejsce zerowe oznacza punkt przecięcia wykresu wielomianu z osią $OX$ albo punkt styczności z tą osią.
Na przykład dla wielomianu
$$ W(x)=x^2-5x+6 $$
mamy rozkład
$$ W(x)=(x-2)(x-3), $$
a więc miejscami zerowymi są liczby
$$ x=2 \quad \text{oraz} \quad x=3. $$
Krotność miejsca zerowego
Jeżeli wielomian można zapisać w postaci
$$ W(x)=(x-x_0)^k\cdot Q(x), $$
gdzie $Q(x_0)\neq 0$, to liczbę $x_0$ nazywamy miejscem zerowym krotności $k$.
Przykład:
$$ W(x)=(x-1)^2(x+3). $$
Wielomian ten ma dwa miejsca zerowe:
- $x=1$ — miejsce zerowe dwukrotne,
- $x=-3$ — miejsce zerowe jednokrotne.
Krotność miejsca zerowego ma istotne znaczenie dla wyglądu wykresu. Jeżeli miejsce zerowe ma krotność nieparzystą, wykres zwykle przechodzi przez oś $OX$. Jeżeli miejsce zerowe ma krotność parzystą, wykres zwykle dotyka osi $OX$ i zawraca.
Działania na wielomianach
Na wielomianach możemy wykonywać podstawowe działania algebraiczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie z resztą.
Dodawanie i odejmowanie wielomianów
Przy dodawaniu i odejmowaniu wielomianów redukujemy wyrazy podobne, czyli wyrazy z takimi samymi potęgami zmiennej.
Przykład:
$$ (3x^3-2x^2+5x-1)+(x^3+4x^2-7x+6) $$
$$ =4x^3+2x^2-2x+5. $$
Mnożenie wielomianów
Przy mnożeniu wielomianów każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a następnie redukujemy wyrazy podobne.
Przykład:
$$ (x+2)(x^2-3x+4) $$
$$ =x(x^2-3x+4)+2(x^2-3x+4) $$
$$ =x^3-3x^2+4x+2x^2-6x+8 $$
$$ =x^3-x^2-2x+8. $$
Dzielenie wielomianu przez wielomian
Dzielenie wielomianów jest analogiczne do dzielenia pisemnego liczb. Jeżeli mamy wielomiany $W(x)$ i $P(x)$, przy czym $P(x)\neq 0$, to możemy zapisać
$$ W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x), $$
gdzie:
- $Q(x)$ jest ilorazem,
- $R(x)$ jest resztą z dzielenia,
- stopień reszty $R(x)$ jest mniejszy od stopnia dzielnika $P(x)$ albo reszta jest wielomianem zerowym.
Przykład. Podzielmy wielomian
$$ W(x)=x^3-2x^2-5x+6 $$
przez dwumian
$$ P(x)=x-3. $$
Wykonując dzielenie, otrzymujemy
$$ x^3-2x^2-5x+6=(x-3)(x^2+x-2)+0. $$
Oznacza to, że wielomian $x^3-2x^2-5x+6$ dzieli się przez $x-3$ bez reszty.
Schemat Hornera
Schemat Hornera jest wygodnym sposobem obliczania wartości wielomianu oraz dzielenia wielomianu przez dwumian postaci $x-a$.
Załóżmy, że chcemy podzielić wielomian
$$ W(x)=2x^3-3x^2-11x+6 $$
przez dwumian
$$ x-3. $$
W schemacie Hornera zapisujemy współczynniki wielomianu:
$$ 2,\quad -3,\quad -11,\quad 6. $$
Ponieważ dzielimy przez $x-3$, używamy liczby $3$.
Wynik schematu Hornera daje współczynniki ilorazu oraz resztę. Otrzymujemy:
$$ 2,\quad 3,\quad -2,\quad 0. $$
Stąd
$$ 2x^3-3x^2-11x+6=(x-3)(2x^2+3x-2). $$
Ostatnia liczba w schemacie Hornera jest resztą z dzielenia. Ponieważ tutaj reszta wynosi $0$, dzielenie jest dokładne.
Twierdzenie Bézouta
Twierdzenie Bézouta mówi, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x-a$ jest równa wartości tego wielomianu w punkcie $a$, czyli
$$ R=W(a). $$
Z twierdzenia tego wynika bardzo ważny wniosek:
Liczba $a$ jest miejscem zerowym wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x-a$.
Inaczej mówiąc:
$$ W(a)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-a)\mid W(x). $$
To twierdzenie jest jednym z podstawowych narzędzi przy rozkładaniu wielomianów na czynniki.
Rozkładanie wielomianów na czynniki
Rozłożyć wielomian na czynniki znaczy zapisać go w postaci iloczynu prostszych wielomianów. Najczęściej dążymy do tego, aby czynniki miały jak najniższe stopnie: liniowe albo kwadratowe.
Na przykład
$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). $$
Rozkład na czynniki pozwala łatwo znaleźć miejsca zerowe, uprościć ułamki algebraiczne, rozwiązywać nierówności wielomianowe oraz rozkładać funkcje wymierne na ułamki proste.
Przykład 1. Odgadywanie pierwiastka i dzielenie przez dwumian
Rozłóżmy na czynniki wielomian
$$ W(x)=x^3-6x^2+11x-6. $$
Sprawdzamy proste kandydatury na miejsca zerowe. Dla $x=1$ mamy
$$ W(1)=1-6+11-6=0. $$
Z twierdzenia Bézouta wynika, że wielomian jest podzielny przez $x-1$. Po podzieleniu otrzymujemy
$$ W(x)=(x-1)(x^2-5x+6). $$
Trójmian kwadratowy rozkładamy dalej:
$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). $$
Ostatecznie
$$ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3). $$
Przykład 2. Miejsce zerowe wielokrotne
Rozważmy wielomian
$$ P(x)=x^3-3x^2+3x-1. $$
Jest to wzór skróconego mnożenia:
$$ P(x)=(x-1)^3. $$
Wielomian ma jedno miejsce zerowe rzeczywiste:
$$ x=1, $$
ale jest ono miejscem zerowym trzykrotnym.
Przykład 3. Wielomian parzystego stopnia bez miejsc zerowych rzeczywistych
Weźmy wielomian
$$ W(x)=x^4+2x^2+1. $$
Możemy go zapisać jako
$$ W(x)=(x^2+1)^2. $$
Ponieważ $x^2+1>0$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$, wielomian ten nie ma miejsc zerowych rzeczywistych. Nad zbiorem liczb zespolonych rozkłada się jednak dalej, ponieważ $x^2+1=(x-i)(x+i)$.
Jak szukać kandydatów na pierwiastki wymierne?
Jeżeli wielomian ma współczynniki całkowite, to kandydatów na pierwiastki wymierne można często ograniczyć do skończonej listy. Dla wielomianu
$$ W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0 $$
potencjalne pierwiastki wymierne mają postać
$$ \frac{p}{q}, $$
gdzie $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$, a $q$ jest dzielnikiem współczynnika wiodącego $a_n$.
W szczególnym przypadku, gdy współczynnik wiodący jest równy $1$, sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego.
Przykład:
$$ W(x)=x^3+2x^2-5x-6. $$
Wyraz wolny to $-6$, więc kandydatami na pierwiastki całkowite są:
$$ \pm 1,\quad \pm 2,\quad \pm 3,\quad \pm 6. $$
Sprawdzamy:
$$ W(2)=8+8-10-6=0. $$
Zatem $x=2$ jest miejscem zerowym i możemy podzielić wielomian przez $x-2$.
Otrzymujemy
$$ W(x)=(x-2)(x^2+4x+3). $$
Drugi czynnik rozkłada się dalej:
$$ x^2+4x+3=(x+1)(x+3). $$
Ostatecznie
$$ W(x)=(x-2)(x+1)(x+3). $$
Co zrobić, gdy nie widać miejsca zerowego?
Nie każdy wielomian da się łatwo rozłożyć przez odgadnięcie pierwiastka. Czasami wielomian nie ma pierwiastków wymiernych, ale mimo to rozkłada się na czynniki kwadratowe. W takiej sytuacji można zastosować metodę współczynników nieoznaczonych.
Załóżmy, że chcemy rozłożyć wielomian czwartego stopnia
$$ W(x)=x^4-x^3+4x^2+3x+5. $$
Jeżeli nie znajdujemy pierwiastków rzeczywistych lub wymiernych, możemy podejrzewać rozkład na dwa trójmiany kwadratowe:
$$ W(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d). $$
Po wymnożeniu prawej strony dostajemy
$$ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $$
$$ =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd. $$
Porównujemy współczynniki z wielomianem
$$ x^4-x^3+4x^2+3x+5. $$
Otrzymujemy układ równań:
$$ \begin{cases} a+c=-1,\\ ac+b+d=4,\\ ad+bc=3,\\ bd=5. \end{cases} $$
W tym przykładzie pasuje rozkład
$$ W(x)=(x^2+x+1)(x^2-2x+5). $$
Rzeczywiście:
$$ (x^2+x+1)(x^2-2x+5) $$
$$ =x^4-x^3+4x^2+3x+5. $$
Oba czynniki kwadratowe mają ujemne delty:
$$ \Delta_1=1-4=-3, $$
$$ \Delta_2=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16. $$
Dlatego wielomian nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, mimo że da się rozłożyć nad liczbami rzeczywistymi na czynniki kwadratowe.
Rozkład nad liczbami rzeczywistymi i zespolonymi
Wielomian o współczynnikach rzeczywistych może rozkładać się nad liczbami rzeczywistymi na czynniki liniowe i kwadratowe. Nad zbiorem liczb rzeczywistych nierozkładalne są takie trójmiany kwadratowe, które mają ujemną deltę.
Na przykład
$$ x^2+1 $$
nie rozkłada się na czynniki liniowe nad zbiorem liczb rzeczywistych. Natomiast nad zbiorem liczb zespolonych mamy
$$ x^2+1=(x-i)(x+i). $$
Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego o współczynnikach zespolonych ma przynajmniej jeden pierwiastek zespolony. W konsekwencji każdy wielomian stopnia $n$ nad liczbami zespolonymi można rozłożyć na $n$ czynników liniowych, licząc z krotnościami.
Dla wielomianów o współczynnikach rzeczywistych pierwiastki zespolone nierzeczywiste występują parami sprzężonymi. Jeżeli więc pierwiastkiem jest $2+3i$, to pierwiastkiem będzie także $2-3i$.
Wielomiany w matematyce wyższej
W szkole średniej wielomiany kojarzą się głównie z równaniami, nierównościami, rozkładem na czynniki i schematem Hornera. W matematyce wyższej ich rola jest znacznie szersza.
Wielomiany pojawiają się między innymi w:
- analizie matematycznej — przy rozwinięciach Taylora i Maclaurina,
- algebrze liniowej — przy wielomianach charakterystycznych macierzy,
- metodach numerycznych — przy interpolacji i aproksymacji funkcji,
- równaniach różniczkowych — przy metodach poszukiwania rozwiązań,
- statystyce i ekonometrii — przy modelach trendu wielomianowego.
Szczególnie ważna jest idea przybliżania funkcji wielomianami. W wielu sytuacjach funkcję bardziej skomplikowaną można lokalnie zastąpić odpowiednio dobranym wielomianem, co znacznie ułatwia obliczenia.
Najczęstsze błędy przy pracy z wielomianami
- Mylenie stopnia wielomianu z liczbą jego wyrazów.
- Pomijanie zerowych współczynników w schemacie Hornera, na przykład przy wielomianie $x^4-3x+1$ trzeba pamiętać o współczynnikach przy $x^3$ i $x^2$ równych zero.
- Zakładanie, że każdy wielomian parzystego stopnia ma miejsca zerowe rzeczywiste.
- Zakładanie, że brak pierwiastków wymiernych oznacza brak rozkładu na czynniki nad liczbami rzeczywistymi.
- Nieodróżnianie rozkładu nad liczbami rzeczywistymi od rozkładu nad liczbami zespolonymi.
- Błędne znaki przy korzystaniu z twierdzenia Bézouta: jeżeli pierwiastkiem jest $a$, to czynnikiem jest $x-a$, a nie $x+a$.
Podsumowanie
Wielomiany są jednymi z najważniejszych funkcji elementarnych. Mają prostą definicję, ale bardzo bogate własności. Ich dziedziną, przy rozpatrywaniu zmiennej rzeczywistej, jest cały zbiór liczb rzeczywistych, a wykres jest krzywą ciągłą i gładką.
Stopień wielomianu decyduje o wielu jego własnościach, między innymi o zachowaniu wykresu w nieskończoności. Wielomian stopnia nieparzystego musi mieć co najmniej jedno rzeczywiste miejsce zerowe, natomiast wielomian stopnia parzystego może nie mieć żadnych miejsc zerowych rzeczywistych.
Rozkładanie wielomianów na czynniki jest podstawowym narzędziem w algebrze. Wykorzystujemy do tego wzory skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów, twierdzenie Bézouta, schemat Hornera, dzielenie wielomianów oraz metodę współczynników nieoznaczonych. W bardziej zaawansowanych zagadnieniach ważne staje się również rozróżnienie między rozkładem nad liczbami rzeczywistymi i zespolonymi.
Zrozumienie wielomianów jest dobrym fundamentem do dalszej nauki matematyki: funkcji wymiernych, granic, pochodnych, całek, algebry liniowej, metod numerycznych i wielu innych działów.
Powiązane artykuły
- Funkcje elementarne
- Funkcje wymierne i ułamki proste
- Pochodna funkcji
- Całki nieoznaczone – metody podstawowe
- Aproksymacja i interpolacja
Utworzono: 16.05.2026