Całkowanie funkcji wymiernych
Wprowadzenie
W poprzedniej części poznaliśmy najważniejsze metody całkowania. Nadszedł czas na omówienie całkowania szczególnych typów funkcji. Jednym z rodzajów funkcji, z całkowaniem których studenci muszą się zmierzyć, są funkcje wymierne. Funkcje te omówione zostały w innym artykule. Tutaj zajmiemy się obliczaniem całek nieoznaczonych z tych funkcji.
Spis treści
Całkowanie funkcji wymiernych
Dobra wiadomość związana z funkcjami wymiernymi jest taka, że każdą, bez wyjątku, funkcję wymierną da się scałkować za pomocą funkcji elementarnych. Nie zawsze jednak jest to proste. Kluczem do scałkowania funkcji wymiernych jest przede wszystkim ich rozkład. Funkcje wymierne niewłaściwe należy w pierwszej kolejności rozłożyć na sumę wielomianu, którego całka jest bardzo prosta do obliczenia — wystarczy bowiem tylko korzystać ze wzoru na całkę funkcji potęgowej, oraz funkcji wymiernej właściwej. Otrzymaną funkcję wymierną właściwą rozkładamy na ułamki proste i konkretną procedurę całkowania dopasowujemy do typu otrzymanego ułamka prostego.
Całkowanie ułamków prostych
Najprostsze do scałkowania są ułamki proste typu:
$$\frac A {(x - a)^p} \tag 1 \label {eq:1}$$
Dla $p=1$ całkę obliczamy jako logarytm naturalny:
$$ \int {\frac A {x - a}} \mathrm {dx} = A \cdot \ln |x - a| + C \tag 2 \label {eq:2} $$
Dla wyższych $p>1$ korzystamy ze wzoru na całkę funkcji potęgowej, pamiętając, że wykładnik jest liczbą ujemną:
$$ \int {\frac A {(x - a)^p}} \mathrm {dx} = A \cdot \int {(x - a)^{-p}} \,\mathrm {dx} = \frac {A}{1-p} \cdot (x-a)^{1-p} = - \frac A {(p-1)(x-a)^{p-1}} + C \tag 3 \label {eq:3} $$
Przykład 1
Obliczmy całkę z następującego ułamka prostego:
$$\int {\frac 5 {(x + 2)^4}} \,\mathrm{dx} = 5 \int (x+2)^{-4} \,\mathrm{dx} = - \frac {5} {3(x+2)^3} + C $$
Przykład 2
Obliczmy całkę z ułamka prostego:
$$\int {\frac 1 {(3x - 5)^2}} \,\mathrm{dx} = ...$$
Całkę obliczamy analogicznie jak w przykładzie 1, pamiętając, że mianownik jest wyrażeniem liniowym i dzielimy całkę przez stosowny współczynnik. Wspominaliśmy o tym w poprzednim artykule poświęconym całkom nieoznaczonym:
$$\int {\frac 1 {(3x - 5)^2}} \,\mathrm{dx} = - \frac 1 {3x - 5} \cdot \frac 1 3 = - \frac 1 {3(3x-5)} + C $$
Z formalnego punktu widzenia jest to po prostu całkowanie przez podstawienie:
$$\int {\frac 1 {(3x - 5)^2}} \,\mathrm{dx} = ... $$
$$\left | \begin{array}{l} t = 3x - 5 \\ \mathrm{dt}=3 \mathrm{dx} \\ \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 3 \end{array} \right. $$
$$... = \int \frac 1 {t^2} \cdot {\frac {\mathrm{dt}} 3} = \frac 1 3 \cdot \int t^{-2} \mathrm{dt} = - \frac 1 3 \cdot t^{-1} = - \frac 1 {3t} = - \frac 1 {3(3x-5)} + C $$
Zazwyczaj jednak tego rodzaju podstawienie wykonuje się „w pamięci”, w sposób analogiczny do obliczania pochodnej. Podkreślić jednak należy, że takie uproszczenie stosowane może być tylko do wyrażeń liniowych.
Nieco trudniej, ale nadal według schematu, oblicza się całki z ułamków prostych typu:
$$\frac {Ax + B} {ax^2 + bx + c} \tag 4 \label {eq:4} $$
gdzie wyrażenie $ax^2 + bx + c$ nie posiada miejsc zerowych. Gdyby wyrażenie (4) posiadało miejsca zerowe, wówczas nie byłoby ono ułamkiem prostym, gdyż dałoby się je — i należałoby! — rozłożyć na ułamki proste typu (1).
Jeśli jednak mianownik jest nierozkładalny, tj. $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ oraz $a>0$, wówczas ułamek prosty (4) należy rozłożyć na sumę wyrażeń:
$$\frac {Ax + B} {ax^2 + bx + c} = \alpha \cdot \frac {2ax + b} {ax^2 + bx + c} + \frac D {ax^2 + bx + c} \tag 5 \label {eq:5} $$
gdzie stałe $\alpha$ oraz $D$ dobieramy tak, aby zachodziła równość:
$$Ax+B=\alpha(2ax+b)+D$$
W pierwszym wyrażeniu licznik jest pochodną mianownika i wówczas:
$$\int \frac {2ax + b} {ax^2 + bx + c} \mathrm{dx} = \ln (ax^2 + bx + c) + C \tag 6 \label {eq:6}$$
co wynika bezpośrednio z metody całkowania przez podstawienie. Zauważmy, że w całce (6) argument logarytmu naturalnego nie jest ujęty w znak wartości bezwzględnej, gdyż wyrażenie $ax^2 + bx + c$ dla $a > 0$ i $\Delta<0$ jest zawsze dodatnie. W przypadku $a<0$ zawsze można skrócić/rozszerzyć ułamek przez $-1$.
Najciekawsze jednak jest całkowanie drugiego z wyrażeń sumy (5). Aby tego dokonać, należy przedstawić trójmian $ax^2 + bx + c$ w postaci kanonicznej. Najwygodniej zapisać ją w postaci:
$$ax^2+bx+c=a\left[(x-p)^2+q\right]$$
gdzie:
$$p=-\frac b {2a}, \qquad q=-\frac {\Delta}{4a^2}$$
Po takim przekształceniu współczynnik $a$ z mianownika, podobnie jak ewentualny współczynnik $D$ z licznika, wynosimy przed całkę. Otrzymujemy w rezultacie całkę typu:
$$\int \frac {\mathrm {dx}} {(x-p)^2 + q} \tag 7 \label {eq:7} $$
która, za pomocą „sprytnego” podstawienia, sprowadza się z łatwością do całki zawierającej $\arctg x$:
$$\int \frac {\mathrm {dx}} {(x-p)^2 + q} = ... $$
$$\left | \begin{array}{l} x - p = \sqrt q t \\ \mathrm{dx}= \sqrt q \mathrm{dt} \\ t = \frac {x-p} {\sqrt q} \end{array} \right. $$
$$... = \int \frac {{\sqrt q} \mathrm{dt}}{q t^2 + q} = \frac {\sqrt q} q \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{t^2+1} = \frac 1 {\sqrt q} \cdot \arctg t = \frac 1 {\sqrt q} \cdot \arctg {\frac {x-p}{\sqrt q}} + C \tag 8 \label {eq:8} $$
Takich „sztuczek” w całkowaniu jest więcej. Trudno na nie wpaść samemu — jeśli ktoś sam to wymyśli, śmiało może uważać się za następcę Eulera. My, zwykli śmiertelnicy, musimy się po prostu tego nauczyć.
Przykład 3
Obliczmy całkę:
$$\int \frac {x^2 -2x + 6} {x^2 + 4x + 5} \mathrm{dx} = ...$$
W pierwszej kolejności zauważyć należy, że funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną niewłaściwą — stopień wielomianu w liczniku jest równy stopniowi wielomianu w mianowniku. Aby ją scałkować, musimy najpierw rozłożyć ją na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Można zrobić to stosunkowo łatwo. Wystarczy tylko „sztucznie” rozpisać licznik:
$$\frac {x^2 -2x + 6} {x^2 + 4x + 5} = \frac {x^2 + 4x + 5 - 6x +1}{x^2 + 4x + 5} = \frac {x^2 + 4x + 5} {x^2 + 4x + 5} - \frac {6x-1}{x^2 + 4x + 5} = $$
$$= 1 - \frac {6x-1}{x^2 + 4x + 5} $$
Całka z $1$ to oczywiście $x+C$, zatem skupiamy się na całce:
$$\int \frac {6x-1}{x^2 + 4x + 5} \mathrm{dx} $$
Zauważmy, że gdyby licznik był postaci $2x+4$, wówczas całkę obliczylibyśmy błyskawicznie, według schematu wyrażonego wzorem (6). Licznik jest innej postaci, ale… dla chcącego nic trudnego. Najpierw sprawdźmy, czy mianownik posiada miejsce zerowe — gdyby tak było, otrzymana funkcja wymierna właściwa nie byłaby ułamkiem prostym i można byłoby ją rozłożyć na ułamki proste typu (1). U nas jednak:
$$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16-20=-4 < 0$$
Mianownik nie posiada zatem miejsc zerowych i nasza funkcja wymierna właściwa jest ułamkiem prostym. Co do pochodnej mianownika, zauważmy, że można zrobić tak:
$$\frac {6x-1}{x^2 + 4x + 5} = \frac {6x + 12 - 13}{x^2 + 4x + 5} = \frac {3 \cdot (2x + 4) - 13}{x^2 + 4x + 5} =$$
$$= 3 \cdot \frac {2x + 4}{x^2 + 4x + 5} - \frac {13} {x^2 + 4x + 5} $$
Bierzemy się więc za całkę:
$$\int \frac {\mathrm {dx}} {x^2 + 4x + 5} $$
Wyznaczamy postać kanoniczną. Ponieważ:
$$x^2+4x+5=(x+2)^2+1$$
otrzymujemy:
$$\int \frac {\mathrm {dx}} {x^2 + 4x + 5} = \int \frac {\mathrm {dx}} {(x+2)^2 + 1} = ... $$
Stosujemy podstawienie (8):
$$\left | \begin{array}{l} x + 2 = t \\ \mathrm{dx}= \mathrm{dt} \\ t = x+2 \end{array} \right. $$
$$... = \int \frac {\mathrm{dt} } {t^2+1} = \arctg t = \arctg {(x+2)} + C$$
Ostatecznie więc:
$$\int \frac {x^2 -2x + 6} {x^2 + 4x + 5} \mathrm{dx} = \int \left( 1 - 3 \cdot \frac {2x + 4}{x^2 + 4x + 5} + \frac {13} {x^2 + 4x + 5} \right) \mathrm{dx} = $$
$$= \int \mathrm{dx} -3 \cdot \int \frac {2x + 4}{x^2 + 4x + 5} \mathrm{dx} + 13 \cdot \int \frac {\mathrm{dx}}{x^2 + 4x + 5} = $$
$$ = x - 3 \cdot \ln (x^2 + 4x + 5) + 13 \cdot \arctg (x+2) + C $$
Najtrudniejszym do scałkowania typem ułamków prostych są ułamki proste:
$$\frac {Ax + B} {(ax^2 + bx + c)^p} \tag 9 \label {eq:9} $$
w których oczywiście $a>0$ oraz $\Delta=b^2-4ac<0$. Zauważmy jednak, że za pomocą podstawienia (8) można zawsze ułamek taki sprowadzić do postaci:
$$\frac {Ct + D} {(t^2 + 1)^p} \tag {10a} \label {eq:10a} $$
a finalnie, po „wyodrębnieniu” z licznika pochodnej mianownika, co sprowadzi całkę do wyliczenia całki z funkcji potęgowej, i wyłączeniu stałej przed całkę — do postaci:
$$\frac 1 {(t^2 + 1)^p} \tag {10b} \label {eq:10b} $$
I wówczas, do obliczenia całki nieoznaczonej z takiego ułamka, można zastosować wzór rekurencyjny.
Niech:
$$I_n = \int \frac {\mathrm {dx}}{(x^2+1)^n} \tag {11} \label {eq:11}$$
wówczas zachodzi1:
$$I_n = \frac 1 {2n-2} \cdot \frac x {(x^2+ 1)^{n-1}} + \frac {2n-3}{2n-2} \cdot I_{n-1} \tag {12} \label {eq:12}$$
Wzór (12) umożliwia więc sekwencyjne obniżanie kłopotliwej potęgi w mianowniku, aż do otrzymania w wyrażeniu (9) $p=1$, co sprowadza całkę do arcusa tangensa.
Przykład 4
Obliczmy całkę:
$$\int \frac {x + 5}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm {dx}$$
Obliczamy wyróżnik wyrażenia w mianowniku: $\Delta = (-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2 = 4-8=-4<0$. Trójmian ten jest zatem nierozkładalny i wyrażenie podcałkowe jest ułamkiem prostym. Przekształćmy wyrażenie podcałkowe, aby wyłączyć z licznika pochodną mianownika, która ma postać $2x - 2$:
$$\frac {x + 5}{(x^2 - 2x + 2)^3} = \frac {x - 1 + 6}{(x^2 - 2x + 2)^3} = \frac 1 2 \cdot \frac {2x-2}{(x^2 - 2x + 2)^3} + \frac 6 {(x^2 - 2x + 2)^3}$$
Nasza całka zatem:
$$\int \frac {x + 5}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm {dx} = \frac 1 2 \cdot \int \frac {2x-2}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm{dx} + 6 \cdot \int \frac {\mathrm{dx}}{(x^2 - 2x + 2)^3}$$
Pierwszą z całek obliczamy przez proste podstawienie:
$$\int \frac {2x-2}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm{dx} = ...$$
$$\left | \begin{array}{l} t = x^2 - 2x + 2 \\ \mathrm{dt}= (2x - 2) \mathrm{dx} \end{array} \right. $$
$$... = \int \frac {\mathrm{dt}}{t^3} = \int t^{-3} \mathrm{dt} = \frac {t^{-2}}{-2} = - \frac 1 {2t^2} = -\frac 1 {2(x^2-2x+2)^2} + C$$
Drugą całkę musimy odpowiednio przekształcić. Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:
$$x^2-2x+2=(x-1)^2+1$$
Całka przyjmuje postać:
$$\int \frac {\mathrm{dx}}{(x^2 - 2x + 2)^3} = \int \frac {\mathrm{dx}}{[(x-1)^2+1]^3} = ...$$
Stosujemy podstawienie (8) i do przekształconej całki stosujemy wzór rekurencyjny (12):
$$\left | \begin{array}{l} x - 1 = t \\ \mathrm{dx}= \mathrm{dt} \end{array} \right. $$
$$... = \int \frac {\mathrm{dt}}{(t^2+1)^3} = \frac 1 {2 \cdot 3 -2} \cdot \frac t {(t^2+1)^2} + \frac {2 \cdot 3 -3}{2 \cdot 3 - 2} \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{(t^2+1)^2} = $$
$$= \frac 1 4 \cdot \frac t {(t^2+1)^2} + \frac 3 4 \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{(t^2+1)^2} =... $$
Do uzyskanej całki ponownie stosujemy wzór rekurencyjny (12):
$$= \frac t {4(t^2+1)^2} + \frac 3 4 \cdot \left[ \frac 1 {2 \cdot 2 - 2} \cdot \frac t {t^2 + 1} + \frac {2 \cdot 2 - 3}{2 \cdot 2 - 2} \int \frac {\mathrm{dt}}{t^2+1} \right] = $$
$$= \frac t {4(t^2+1)^2} + \frac 3 4 \cdot \left[ \frac 1 2 \cdot \frac t {t^2 + 1} + \frac 1 2 \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{t^2+1} \right] = $$
$$= \frac t {4(t^2+1)^2} + \frac 3 8 \cdot \frac t {t^2 + 1} + \frac 3 8 \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{t^2+1} = $$
$$= \frac t {4(t^2+1)^2} + \frac {3t} {8(t^2 + 1)} + \frac 3 8 \cdot \arctg t = $$
$$= \frac {x-1} {4[(x-1)^2+1]^2} + \frac {3(x-1)} {8[(x-1)^2 + 1]} + \frac 3 8 \cdot \arctg (x-1) = $$
$$= \frac {x-1} {4(x^2-2x+2)^2} + \frac {3(x-1)} {8(x^2-2x+2)} + \frac 3 8 \cdot \arctg (x-1) + C $$
Ostatecznie zatem wyjściowa całka:
$$\int \frac {x + 5}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm {dx} = \frac 1 2 \cdot \int \frac {2x-2}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm{dx} + 6 \cdot \int \frac {\mathrm{dx}}{(x^2 - 2x + 2)^3} = $$
$$-\frac 1 {4(x^2-2x+2)^2} + \frac {3(x-1)} {2(x^2-2x+2)^2} + \frac {9(x-1)} {4(x^2-2x+2)} + \frac 9 4 \cdot \arctg (x-1) = $$
$$ = \frac {-1 + 6x - 6 + 9(x-1)(x^2-2x+2)} {4(x^2-2x+2)^2} + \frac 9 4 \cdot \arctg (x-1) = $$
$$ = \frac {-1 + 6x - 6 + 9(x^3-3x^2+4x-2)} {4(x^2-2x+2)^2} + \frac 9 4 \cdot \arctg (x-1) = $$
$$ = \frac {9x^3 - 27x^2 + 42x - 25} {4(x^2-2x+2)^2} + \frac 9 4 \cdot \arctg (x-1) + C $$
Całkowanie złożonych funkcji wymiernych
Całka nieoznaczona z funkcji wymiernej zawsze jest pewną kombinacją liniową funkcji wymiernej, logarytmu naturalnego funkcji liniowej, logarytmu naturalnego funkcji kwadratowej o wyróżniku ujemnym oraz arcusa tangensa funkcji liniowej.
W praktyce najtrudniejszą rzeczą przy całkowaniu funkcji wymiernej okazuje się rozłożenie mianownika na czynniki, niezbędne do rozłożenia funkcji podcałkowej na ułamki proste.
Przykład 5
Obliczmy całkę:
$$\int \frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5} \mathrm {dx}$$
Niewątpliwie jest to funkcja wymierna właściwa, gdyż stopień licznika wynosi 5, a stopień mianownika 6. Jednak funkcja ta nie nadaje się jeszcze do bezpośredniego scałkowania, gdyż trzeba najpierw rozłożyć ją na ułamki proste. Spróbujmy rozłożyć mianownik na czynniki. Mianownik jest wielomianem szóstego stopnia:
$$Q(x) = x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5$$
Zgodnie z własnościami wielomianów zmiennej rzeczywistej, wielomian ten może mieć od zera do sześciu miejsc zerowych. Jest to wielomian o współczynnikach całkowitych, a zatem jeśli ma on pierwiastki wymierne, to są one postaci $\frac p q$, gdzie $p \mid a_0$ oraz $q \mid a_n$. Symbole $a_0$ oraz $a_n$ oznaczają odpowiednio wyraz wolny wielomianu oraz współczynnik przy najwyższej potędze.
W naszym przypadku $a_n = a_6 = 1$, co oznacza, że wymiernymi pierwiastkami wielomianu $Q(x)$ mogą być tylko liczby całkowite, będące podzielnikami wyrazu wolnego $a_0 = 5$. W grę wchodzą zatem liczby $-5$, $-1$, $1$ oraz $5$. Sprawdzamy tych kandydatów, zaczynając od najprostszego, $x=1$:
$$Q(1) = 1^6 + 1^5 + 3 \cdot 1^4 + 10 \cdot 1^3 + 15 \cdot 1^2 + 13 \cdot 1 + 5 = 1 +1 + 3 + 10 + 15 + 13 + 5 = 48 \neq 0$$
Próba ta była z góry skazana na niepowodzenie wobec wyłącznie dodatnich współczynników wielomianu. Z tego powodu nie ma także sensu sprawdzać dla $x=5$. Sprawdźmy dla $x=-1$:
$$Q(-1) = (-1)^6 + (-1)^5 + 3 \cdot (-1)^4 + 10 \cdot (-1)^3 + 15 \cdot (-1)^2 + 13 \cdot (-1) + 5 = $$
$$ = 1 -1 + 3 - 10 + 15 - 13 + 5 = 0$$
A zatem — sukces. Na mocy twierdzenia Bezouta, jeśli liczba $p$ jest miejscem zerowym wielomianu, to dzieli się on bez reszty przez dwumian $x-p$. Nasz wielomian zatem dzieli się bez reszty przez dwumian $x+1$. Podzielmy go zatem:
Wiemy już, że nasz mianownik można przedstawić w postaci:
$$Q(x) = (x+1)(x^5 + 3x^3 + 7x^2 + 8x + 5)$$
Wciąż jednak kolejny czynnik jest czynnikiem stopnia piątego i wymaga rozkładu. Wielomian stopnia nieparzystego musi mieć co najmniej jedno miejsce zerowe. Nadal jedynymi wymiernymi kandydatami są $-5$, $-1$, $1$ oraz $5$, przy czym z pewnością nie jest nim $1$, gdyż po pierwsze, gdyby $x=1$ było miejscem zerowym wielomianu $S(x) = x^5 + 3x^3 + 7x^2 + 8x + 5$, to byłoby ono również miejscem zerowym „całego” wielomianu $Q(x)$, a poza tym, jak widać, żadna liczba dodatnia nie może być miejscem zerowym wielomianu o wszystkich współczynnikach dodatnich. Sprawdźmy więc $-1$. Wprawdzie już tę liczbę z sukcesem sprawdzaliśmy, ale może być ona podwójnym miejscem zerowym wielomianu $Q(x)$, w wyniku czego otrzymany czynnik $S(x)$ nadal będzie zerował się dla $x=-1$.
$$S(-1) = (-1)^5 + 3 \cdot (-1)^3 + 7 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) + 5 = -1 -3 + 7 -8 + 5 = 0$$
Bingo. Dzielimy zatem wielomian $S(x)$ przez dwumian $x+1$:
Można zatem przedstawić mianownik w postaci:
$$Q(x) = (x+1)^2(x^4 - x^3 + 4x^2 + 3x + 5)$$
Następnie próbujemy znaleźć miejsca zerowe wielomianu czwartego stopnia $T(x) = x^4 - x^3 + 4x^2 + 3x + 5$. Jedynymi „perspektywicznymi” kandydatami pozostają $x=-5$ oraz $x=-1$. Sprawdzamy zatem:
$$T(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 5 = 1 + 1 + 4 -3 + 5 = 8 \neq 0$$
Tym razem „sztuczka” z $-1$ się już nie udała. Próbujemy dalej:
$$T(-5) = (-5)^4 - (-5)^3 + 4 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) + 5 = 625 + 125 + 100 - 15 + 5 = 840 \neq 0$$
Niestety. Skoro żadna z liczb ze zbioru $\{ -5, -1, 1, 5 \} $ nie jest miejscem zerowym wielomianu $T(x)$, to możliwości są tylko dwie: albo wielomian ten posiada miejsca zerowe, ale są one liczbami niewymiernymi, albo też nie posiada on w ogóle miejsc zerowych. Jest to wielomian stopnia parzystego, a zatem możliwość taka również istnieje.
Jednak w dziedzinie rzeczywistej każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Spróbujmy zatem wielomian $T(x)$ rozłożyć następująco:
$$ x^4 - x^3 + 4x^2 + 3x + 5 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$$
Wymnażając prawą stronę, dostajemy:
$$ x^4 - x^3 + 4x^2 + 3x + 5 = x^4 + (a+c)x^3 + (b + ac + d)x^2 + (ad+bc)x + bd $$
Porównujemy współczynniki po obu stronach równania. Zakładając optymistycznie, że współczynniki $a$, $b$, $c$, $d$ są liczbami całkowitymi, wobec równości $bd = 5$ otrzymujemy tylko cztery możliwości: $b= -1 \wedge d= -5$; $b=1 \wedge d=5$; $b= -5 \wedge d= -1$; $b=5 \wedge d=1$. Dwie ostatnie możliwości są tożsame z dwiema pierwszymi, gdyż nie jest jeszcze wiadome, który z dwu czynników stopnia drugiego jest którym.
Weźmy $b= -1 \wedge d= -5$. Porównując współczynniki przy $x$ oraz przy $x^3$, dostajemy:
$$\left | \begin{array}{l} a + c = -1 \\ -5a - c = 3 \end{array} \right. $$
Stąd $-4a = 2$, a zatem $a = - \frac 1 2$ oraz $c = -\frac 1 2$. Przeczy to założeniu o całkowitości współczynników, ale jeszcze nie przesądza błędu w rozkładzie. Sprawdźmy współczynnik przy $x^2$:
$$b + ac + d = -1 + \left(-\frac 1 2\right) \cdot \left(-\frac 1 2\right) - 5 = -1 + \frac 1 4 - 5 = - \frac {23} 4 \neq 4$$
Para $b= -1 \wedge d= -5$ nie może zatem generować właściwych współczynników rozkładu wielomianu $T(x)$ na czynniki. Próbujemy z parą $b= 1 \wedge d= 5$.
Analogicznie porównujemy współczynniki przy $x^3$ oraz $x$:
$$\left | \begin{array}{l} a + c = -1 \\ 5a + c = 3 \end{array} \right. $$
Stąd $4a = 4$, zatem $a = 1$ oraz $c = -2$. Sprawdzamy współczynnik przy $x^2$ i dostajemy:
$$b + ac + d = 1 + 1 \cdot (-2) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$$
Udało się, dostaliśmy $T(x) = (x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5)$. Wobec czego mianownik wyjściowej funkcji wymiernej:
$$Q(x) = (x+1)^2(x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5)$$
Dla porządku należy obliczyć wyróżniki obu trójmianów kwadratowych, by sprawdzić, czy nie mają one niewymiernych miejsc zerowych, których nie mogliśmy znaleźć, gdyż poszukiwaliśmy wyłącznie miejsc zerowych wymiernych.
Wyróżnik pierwszego trójmianu: $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$
Wyróżnik drugiego trójmianu: $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16 < 0$
Oba trójmiany kwadratowe nie mają miejsc zerowych. Rozkład wielomianu $Q(x)$ jest zatem w dziedzinie rzeczywistej kompletny.
W celu scałkowania funkcji dokonujemy jej rozkładu na ułamki proste.
$$\frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5} = \frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{(x+1)^2(x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5)} = $$
$$ = \frac A {(x+1)^2} + \frac B {x+1} + \frac {Cx + D}{x^2 + x + 1} + \frac {Ex+F}{x^2 -2x + 5}$$
Mnożymy obie strony przez wspólny mianownik:
$$ x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3 \equiv A \cdot (x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5) + $$
$$+ B \cdot (x+1)(x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5) + (Cx + D) \cdot (x+1)^2(x^2 -2x + 5) + (Ex + F) \cdot (x+1)^2(x^2 + x + 1)$$
Współczynniki $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ znajdujemy albo wymnażając prawą stronę i porównując współczynniki przy potęgach, albo podstawiając w miejsce $x$ sześć dowolnych wartości. Najłatwiej podstawić $x=-1$:
$$(-1)^5 - 2 \cdot (-1)^4 + 3 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 + 3 \cdot (-1)+ 3 = A \cdot \left[ (-1)^2 + (-1) + 1 \right] \left[ (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 5 \right] $$
$$-7 = 8A $$
stąd $A = - \frac 7 8$.
Powtarzamy czynność dla $x=0$.
$$3 = 5A + 5B + 5D + F$$
skąd dostajemy:
$$5B + 5D + F = \frac {59} 8$$
Analogicznie podstawiając $x=1$, dostajemy:
$$7 = 12A + 24B + 16C + 16D + 12E + 12F$$
czyli, uwzględniając $A = - \frac 7 8$, dostajemy:
$$24B + 16C + 16D + 12E + 12F = \frac {35} 2$$
Podstawiając $x=2$, dostajemy:
$$29 = 35A + 105B + 90C + 45D + 126E + 63F$$
czyli:
$$105B + 90C + 45D + 126E + 63F = \frac {477} 8$$
Podstawiając $x = -2$, dostajemy:
$$-95 = 39A - 39B - 26C + 13D - 6E + 3F$$
skąd:
$$-39B - 26C + 13D - 6E + 3F = - \frac {487} 8$$
I wreszcie dla $x = 3$:
$$165 = 104A + 416B + 384C + 128D + 624E + 208F$$
skąd:
$$416B + 384C + 128D + 624E + 208F = 256$$
W celu wyznaczenia współczynników $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ rozwiązać musimy układ równań:
$$ \left \lbrace \begin{array}{l} 5B + 5D + F = \frac {59} 8 \\ 24B + 16C + 16D + 12E + 12F = \frac {35} 2 \\ 105B + 90C + 45D + 126E + 63F = \frac {477} 8 \\ -39B - 26C + 13D - 6E + 3F = - \frac {487} 8 \\ 416B + 384C + 128D + 624E + 208F = 256 \end{array} \right. $$
Rozwiązaniem tego układu jest:
$$B = \frac {33}{16}, \qquad C = - \frac {39}{37}, \qquad D = - \frac {17}{37}, \qquad E = - \frac {5}{592}, \qquad F = - \frac {379}{592}$$
Ostatecznie otrzymujemy więc rozkład:
$$\frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{(x+1)^2(x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5)} = - \frac {7}{8(x+1)^2} + \frac {33}{16(x+1)} - \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)} - \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)}$$
Możemy zatem wrócić do wyjściowej całki. Po rozkładzie na ułamki proste mamy:
$$\int \frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5} \mathrm {dx} = $$
$$= \int \left[- \frac {7}{8(x+1)^2} + \frac {33}{16(x+1)} - \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)} - \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)} \right] \mathrm {dx}$$
Pierwsze dwa składniki całkujemy natychmiast:
$$\int - \frac {7}{8(x+1)^2} \mathrm {dx} = - \frac 7 8 \int (x+1)^{-2} \mathrm {dx} = \frac {7}{8(x+1)}$$
oraz:
$$\int \frac {33}{16(x+1)} \mathrm {dx} = \frac {33}{16} \ln |x+1|$$
Pozostają nam dwa składniki z nierozkładalnymi trójmianami kwadratowymi w mianownikach. Zaczynamy od składnika:
$$- \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)}$$
Pochodna mianownika $x^2+x+1$ wynosi $2x+1$. Rozpisujemy zatem licznik tak, aby pojawiła się w nim ta pochodna:
$$39x+17 = \frac {39}{2}(2x+1) - \frac 5 2$$
Wobec tego:
$$- \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)} = - \frac {39}{74} \cdot \frac {2x+1}{x^2+x+1} + \frac {5}{74} \cdot \frac 1 {x^2+x+1}$$
Całka z pierwszego składnika jest logarytmem:
$$\int - \frac {39}{74} \cdot \frac {2x+1}{x^2+x+1} \mathrm {dx} = - \frac {39}{74} \ln (x^2+x+1)$$
Do obliczenia drugiej całki sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:
$$x^2+x+1 = \left(x+\frac 1 2\right)^2 + \frac 3 4$$
Stąd:
$$\int \frac {\mathrm {dx}} {x^2+x+1} = \frac {2}{\sqrt 3} \arctg \frac {2x+1}{\sqrt 3}$$
Zatem:
$$\int - \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)} \mathrm {dx} = - \frac {39}{74} \ln (x^2+x+1) + \frac {5}{37\sqrt 3} \arctg \frac {2x+1}{\sqrt 3}$$
Analogicznie postępujemy z ostatnim składnikiem:
$$- \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)}$$
Pochodna mianownika $x^2-2x+5$ wynosi $2x-2$. Rozpisujemy licznik:
$$5x+379 = \frac 5 2 (2x-2) + 384$$
Wobec tego:
$$- \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)} = - \frac {5}{1184} \cdot \frac {2x-2}{x^2-2x+5} - \frac {384}{592} \cdot \frac 1 {x^2-2x+5}$$
Po skróceniu drugiego współczynnika:
$$- \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)} = - \frac {5}{1184} \cdot \frac {2x-2}{x^2-2x+5} - \frac {24}{37} \cdot \frac 1 {x^2-2x+5}$$
Całka z pierwszego składnika wynosi:
$$\int - \frac {5}{1184} \cdot \frac {2x-2}{x^2-2x+5} \mathrm {dx} = - \frac {5}{1184} \ln (x^2-2x+5)$$
Drugi składnik sprowadzamy do arcusa tangensa. Mamy bowiem:
$$x^2-2x+5 = (x-1)^2+4$$
zatem:
$$\int \frac {\mathrm {dx}} {x^2-2x+5} = \int \frac {\mathrm {dx}} {(x-1)^2+4} = \frac 1 2 \arctg \frac {x-1}{2}$$
Wobec tego:
$$\int - \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)} \mathrm {dx} = - \frac {5}{1184} \ln (x^2-2x+5) - \frac {12}{37} \arctg \frac {x-1}{2}$$
Łącząc wszystkie otrzymane składniki, dostajemy ostatecznie:
$$\int \frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5} \mathrm {dx} = $$
$$= \frac {7}{8(x+1)} + \frac {33}{16} \ln |x+1| - \frac {39}{74} \ln (x^2+x+1) + \frac {5}{37\sqrt 3} \arctg \frac {2x+1}{\sqrt 3} - $$
$$- \frac {5}{1184} \ln (x^2-2x+5) - \frac {12}{37} \arctg \frac {x-1}{2} + C$$
I to jest wynik końcowy. Jak widać, całka z dość groźnie wyglądającej funkcji wymiernej sprowadziła się ostatecznie do sumy funkcji wymiernej, logarytmów oraz arcusów tangensów.
Przykład 6
Po niewątpliwej „kobyle”, jaką okazała się nasza funkcja wymierna, dla rozluźnienia zrobimy dużo, dużo prostszą całkę — i to dwiema metodami.
$$\int \frac {2x + 7}{x^2 + 7x + 12} \mathrm{dx}$$
Sprawdźmy mianownik, obliczając wyróżnik:
$$\Delta=7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49-48=1$$
Posiada on miejsca zerowe. Wyznaczmy je. $\sqrt \Delta = 1$ i wobec tego: $x_1 = \frac {-7-1} 2 = -4$ oraz $x_2 = \frac {-7+1} 2 = -3$. Funkcję podcałkową można więc przedstawić jako:
$$\frac {2x + 7}{x^2 + 7x + 12} = \frac {2x + 7}{(x+4)(x+3)}$$
Oznacza to, że możemy rozłożyć ją na ułamki proste:
$$ \frac {2x + 7}{(x+4)(x+3)} = \frac A {x+4} + \frac B {x+3}$$
Po wymnożeniu obu stron przez wspólny mianownik dostajemy:
$$2x + 7 = A \cdot (x+3) + B \cdot (x+4)$$
Gdy każdy czynnik posiada miejsce zerowe, wyznaczenie współczynników jest „lekkie, łatwe i przyjemne”. Podstawiamy $x=-4$:
$$-1 = -A$$
skąd $A = 1$, a podstawiając $x=-3$:
$$1 = B$$
czyli $B = 1$.
Rozkład funkcji na ułamki proste wygląda następująco:
$$ \frac {2x + 7}{(x+4)(x+3)} = \frac 1 {x+4} + \frac 1 {x+3}$$
Całkę liczymy błyskawicznie:
$$\int \frac {2x + 7}{x^2 + 7x + 12} \mathrm{dx} = \int \left( \frac 1 {x+4} + \frac 1 {x+3} \right) \mathrm{dx} = $$
$$ = \int \frac {\mathrm{dx}}{x+4} + \int \frac {\mathrm{dx}}{x+3} = \ln {|x + 4|} + \ln {|x+3|} + C $$
Czy da się tę całkę zrobić inaczej? Zauważmy, że w naszej funkcji podcałkowej licznik jest pochodną mianownika, gdyż $(x^2 + 7x + 12)' = 2x + 7$. Korzystanie z tej zależności jest obowiązkowe, gdy mianownik jest nierozkładalny. Nie ma jednak ograniczenia wyłącznie do tej sytuacji — należy tylko pamiętać o jednej rzeczy:
$$\int \frac {2x + 7}{x^2 + 7x + 12} \mathrm{dx} = ...$$
$$\left| \begin {array}{l} t = x^2 + 7x + 12 \\ \mathrm{dt} = (2x + 7) \mathrm{dx} \end{array} \right.$$
$$... = \int \frac {\mathrm{dt}} t = \ln |t| = \ln {|x^2 + 7x + 12|} + C$$
Zapis taki będzie poprawny pod warunkiem, że nie zapomnimy o ujęciu argumentu logarytmu w znak wartości bezwzględnej. Nasz trójmian kwadratowy posiada bowiem miejsca zerowe, a to oznacza, że przyjmuje też wartości ujemne, czego nie ma w przypadku braku miejsc zerowych, czyli ujemnej delty. Wtedy można, a nawet wypada (!), zastąpić znak wartości bezwzględnej zwykłym nawiasem. Poza tym uzyskany wynik jest zgodny z otrzymanym poprzednio, bo przecież:
$$\ln {|x^2 + 7x + 12|} = \ln {|(x+4)(x+3)|} = \ln {|x+4|} + \ln {|x+3|}$$
Postać z rozłożeniem na czynniki jest bardziej „elegancka” matematycznie, choć i bez tego powinien być komplet punktów na kolokwium, pod warunkiem, że nie zapomnimy o wartości bezwzględnej. Generalnie jednak nie należy w przypadku mianownika posiadającego rozkład na czynniki liniowe na siłę dopasowywać licznika do zgodności z pochodną mianownika, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach z trójmianem nierozkładalnym. Zostaniemy bowiem z całką typu:
$$\int \frac A {ax^2 + bx + c} \mathrm{dx}$$
którą i tak będziemy musieli rozłożyć na ułamki proste — a przecież tyle samo pracy wymaga rozłożenie wyjściowego wyrażenia.
Podsumowanie
Całkowanie funkcji wymiernych może na pierwszy rzut oka wyglądać groźnie, zwłaszcza wtedy, gdy w liczniku i mianowniku pojawiają się wielomiany wysokich stopni. W rzeczywistości jednak cała procedura jest dość schematyczna. Najpierw sprawdzamy, czy funkcja wymierna jest właściwa. Jeśli nie jest, wykonujemy dzielenie wielomianów. Następnie rozkładamy mianownik na czynniki i przedstawiamy funkcję jako sumę ułamków prostych.
Po wykonaniu tego rozkładu najtrudniejsza część zadania jest już zazwyczaj za nami. Każdy z otrzymanych ułamków prostych całkujemy według jednego z kilku poznanych schematów. Czynniki liniowe prowadzą najczęściej do logarytmów albo prostych potęg wyrażeń liniowych. Czynniki kwadratowe nierozkładalne prowadzą natomiast do logarytmów oraz funkcji arcus tangens.
Warto zauważyć, że w całkowaniu funkcji wymiernych nie ma właściwie żadnej magii. Jest za to sporo rachunków, w których łatwo o pomyłkę. Dlatego dobrze jest pilnować kolejności działań: najpierw rozkład mianownika, potem rozkład na ułamki proste, następnie wyznaczenie współczynników, a dopiero na końcu samo całkowanie. Próba skracania drogi bywa kusząca, ale często kończy się tym, że zamiast zaoszczędzić czas, trzeba szukać błędu w kilku linijkach obliczeń.
Najważniejszy wniosek jest jednak optymistyczny: każdą funkcję wymierną da się scałkować za pomocą funkcji elementarnych. Wynikiem może być kombinacja funkcji wymiernych, logarytmów naturalnych oraz arcusów tangensów. Nie zawsze będzie to wynik krótki i elegancki, ale zawsze można do niego dojść konsekwentnym stosowaniem opisanej procedury.
Na tym polega siła metod algebraicznych w analizie matematycznej. Z pozoru trudne zadanie z całkowania sprowadzamy do rachunkowego, choć czasem dość pracochłonnego, problemu rozkładu wielomianów i ułamków prostych. A gdy ten etap zostanie wykonany poprawnie, sama całka staje się już tylko sumą kilku dobrze znanych, elementarnych całek.
Powiązane artykuły
- Funkcje wymierne i ułamki proste
- Wielomiany
- Całki nieoznaczone – metody podstawowe
- Funkcje elementarne
Utworzono: 15.05.2026 | Zmodyfikowano: 16.05.2026