Tarcie w statyce – tarcie statyczne, graniczne i tarcie cięgna o krążek

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Tarcie jest oddziaływaniem występującym pomiędzy stykającymi się powierzchniami. Przeciwdziała ich względnemu przesuwaniu albo tendencji do rozpoczęcia takiego ruchu. W statyce szczególne znaczenie ma tarcie statyczne, dzięki któremu ciało może pozostawać w równowadze mimo działania sił próbujących wprawić je w ruch.

Siła tarcia nie zawsze przyjmuje swoją największą możliwą wartość. Dopiero na granicy poślizgu występuje tak zwane tarcie graniczne lub całkowicie rozwinięte. Osobnym zagadnieniem jest tarcie cięgna o nieruchomy krążek, bęben albo słup, opisywane równaniem Eulera – Eytelweina.

Przed rozpoczęciem analizy warto przypomnieć sobie zasady sporządzania diagramu ciała swobodnego, omówione w artykule Czym zajmuje się statyka? Podstawowe pojęcia i zasady. Dodawanie sił oraz rozkładanie ich na składowe przedstawiliśmy natomiast w materiale Rachunek wektorowy w statyce – siły, składowe i momenty.

Czym jest tarcie?

Tarcie jest siłą styczną do powierzchni kontaktu. Powstaje wskutek oddziaływań pomiędzy nierównościami stykających się powierzchni, ich odkształceń oraz zjawisk zachodzących na poziomie mikroskopowym.

W prostych zadaniach ze statyki najczęściej stosuje się model tarcia Coulomba. Zakłada on, że maksymalna wartość tarcia zależy od:

• wartości reakcji normalnej \(N\);
• współczynnika tarcia pomiędzy materiałami;
• tego, czy powierzchnie pozostają w spoczynku, czy przesuwają się względem siebie.

Współczynnik tarcia jest wielkością bezwymiarową. Zależy między innymi od rodzaju materiałów, stanu powierzchni, obecności smaru, wilgotności oraz innych warunków kontaktu.

Jak wyznaczyć kierunek siły tarcia?

Siła tarcia jest skierowana przeciwnie do względnego ruchu stykających się powierzchni albo przeciwnie do tendencji do rozpoczęcia takiego ruchu.

Nie należy automatycznie przyjmować, że tarcie jest zawsze skierowane przeciwnie do pojedynczej siły zewnętrznej. Najpierw trzeba ustalić, jak poruszyłoby się ciało, gdyby powierzchnia była idealnie gładka.

Jeżeli klocek miałby tendencję do przesuwania się w prawo, tarcie działające na klocek będzie skierowane w lewo. Jeżeli natomiast inne siły powodowałyby tendencję ruchu w lewo, zwrot tarcia należałoby odwrócić.

Na przedstawionym schemacie działają cztery siły:

• ciężar \(G\), skierowany pionowo w dół;
• reakcja normalna \(N\), skierowana prostopadle do podłoża;
• zewnętrzna siła \(P\), próbująca przesunąć ciało w prawo;
• siła tarcia \(T\), przeciwdziałająca tej tendencji.

Jeżeli przyjęty zwrot tarcia okaże się niewłaściwy, z równań równowagi otrzymamy ujemną wartość \(T\). Nie oznacza to zwykle błędu rachunkowego, lecz informuje, że rzeczywisty zwrot siły jest przeciwny do założonego.

Tarcie statyczne

Tarcie statyczne występuje wtedy, gdy stykające się powierzchnie nie przesuwają się względem siebie. Jego wartość dostosowuje się do warunków równowagi.

gdzie:

• \(T\) — siła tarcia statycznego;
• \(N\) — reakcja normalna powierzchni;
• \(\mu_s\) — współczynnik tarcia statycznego.

Nierówność jest niezwykle istotna. W ogólnym stanie równowagi tarcie nie musi być równe \(\mu_sN\). Może przyjmować każdą wartość od zera do wartości granicznej, zależnie od tego, jaka siła jest potrzebna do utrzymania równowagi.

Tarcie statyczne może być również równe zeru. Dzieje się tak wtedy, gdy żadna z pozostałych sił nie wywołuje tendencji do względnego przesunięcia powierzchni.

Tarcie graniczne i całkowicie rozwinięte

Gdy ciało znajduje się na granicy poślizgu, tarcie statyczne osiąga największą możliwą wartość. Mówimy wtedy o tarciu granicznym albo tarciu całkowicie rozwiniętym.

Równość tę stosujemy wtedy, gdy z treści zadania wynika, że:

• ciało znajduje się na granicy ruchu;
• ciało ma się właśnie przesunąć;
• należy wyznaczyć najmniejszą siłę powodującą ruch;
• należy obliczyć największe obciążenie, przy którym równowaga jest jeszcze możliwa;
• poszukujemy minimalnego współczynnika tarcia zapewniającego równowagę;
• układ znajduje się w stanie granicznym.

W zakresie tarcia statycznego wzrost siły próbującej przesunąć ciało powoduje odpowiedni wzrost siły tarcia. Po osiągnięciu wartości \(T_{\max}\) dalsze zwiększanie wymuszenia prowadzi do rozpoczęcia poślizgu.

Tarcie kinetyczne

Tarcie kinetyczne, nazywane również tarciem ślizgowym, występuje podczas względnego przesuwania się powierzchni. W prostym modelu Coulomba jego wartość określa zależność:

gdzie \(\mu_k\) jest współczynnikiem tarcia kinetycznego.

Zwykle zachodzi:

Oznacza to, że do rozpoczęcia ruchu potrzebna jest zazwyczaj większa siła niż do jego późniejszego podtrzymywania. Ponieważ w statyce analizujemy ciała pozostające w spoczynku, podstawowe znaczenie ma współczynnik \(\mu_s\). Tarcie kinetyczne należy już zasadniczo do zagadnień dynamiki.

Reakcja całkowita i kąt tarcia

Oddziaływanie chropowatego podłoża na ciało można przedstawić za pomocą dwóch składowych:

• reakcji normalnej \(N\), prostopadłej do powierzchni;
• siły tarcia \(T\), stycznej do powierzchni.

Wypadkową obu składowych jest reakcja całkowita \(\vec{R}\):

Jej wartość wynosi:

Kąt pomiędzy reakcją całkowitą a kierunkiem normalnym nazywamy kątem tarcia \(\varphi\). W stanie granicznym:

Stąd:

W zagadnieniach przestrzennych możliwe kierunki reakcji całkowitej w stanie granicznym tworzą tak zwany stożek tarcia. Jeżeli wypadkowa oddziaływań znajduje się wewnątrz stożka, równowaga jest możliwa. Na jego powierzchni występuje stan graniczny, a poza nim dochodzi do poślizgu.

Tarcie na równi pochyłej

Klasycznym przykładem jest ciało spoczywające na chropowatej równi nachylonej pod kątem \(\alpha\). Ciężar \(G\) rozkładamy na dwie składowe:

Jeżeli na ciało nie działają inne siły posiadające składową normalną do równi, reakcja podłoża wynosi:

Składowa \(G\sin\alpha\) próbuje zsunąć ciało w dół równi. Siła tarcia jest więc skierowana w górę równi.

W stanie równowagi:

Równowaga jest możliwa, jeżeli:

Po skróceniu przez \(G\cos\alpha\) otrzymujemy:

Na granicy zsuwania:

Jeżeli na ciało działa dodatkowa siła próbująca przesunąć je w górę równi, kierunek tarcia może się odwrócić. Tarcie nie jest więc z definicji zawsze skierowane w górę równi — zależy od tendencji ruchu całego układu.

Jak rozwiązywać zadania z tarciem?

W typowym zadaniu można zastosować następującą procedurę:

1. Wyodrębnij analizowane ciało i sporządź diagram ciała swobodnego.
2. Narysuj ciężar, reakcję normalną, siły zewnętrzne oraz możliwą siłę tarcia.
3. Ustal, w którą stronę ciało miałoby tendencję się poruszyć, gdyby tarcia nie było.
4. Skieruj siłę tarcia przeciwnie do przewidywanego ruchu względnego.
5. Zapisz równania równowagi sił i momentów.
6. Oblicz wartość tarcia wymaganą do zachowania równowagi.
7. Sprawdź, czy spełniony jest warunek \(|T|\leq\mu_sN\).

Jeżeli obliczona wartość spełnia nierówność, tarcie statyczne może utrzymać ciało w równowadze. Jeżeli natomiast:

utrzymanie spoczynku nie jest możliwe i rozpocznie się poślizg.

Jeżeli zadanie dotyczy bezpośrednio granicy ruchu, można od początku przyjąć:

Tarcie cięgna o krążek lub bęben

Jeżeli lina, pas albo inne wiotkie cięgno opasuje chropowaty krążek, bęben, słup lub kabestan, siły naciągu po obu stronach nie muszą być jednakowe.

Tarcie rozłożone na całej długości kontaktu umożliwia utrzymanie znacznie większej siły po stronie napiętej przy stosunkowo niewielkiej sile po stronie luźnej. Zjawisko to wykorzystuje się między innymi w kabestanach, hamulcach taśmowych, urządzeniach linowych i układach transportowych.

Wolne odcinki cięgna odchodzą od bębna stycznie do jego powierzchni. Siły naciągu działają wzdłuż osi tych odcinków, a więc również stycznie do krążka w punktach zejścia liny.

Równanie Eulera – Eytelweina

W stanie granicznym, gdy cięgno znajduje się na granicy poślizgu względem nieruchomego bębna, obowiązuje zależność:

Można ją również zapisać jako:

gdzie:

• \(S_{\mathrm{większa}}\) — większa siła naciągu po stronie napiętej;
• \(S_{\mathrm{mniejsza}}\) — mniejsza siła naciągu po stronie luźnej;
• \(\mu_s\) — współczynnik tarcia statycznego pomiędzy cięgnem a bębnem;
• \(\beta\) — całkowity kąt opasania wyrażony w radianach.

Równanie wynika z analizy bardzo małego fragmentu cięgna obejmującego kąt \(d\theta\). Dla stanu granicznego przyrost siły naciągu spełnia zależność:

Po rozdzieleniu zmiennych:

Całkując od strony luźnej do strony napiętej oraz od kąta \(0\) do \(\beta\), otrzymujemy:

a po podniesieniu liczby \(e\) do obu stron równania:

Jeżeli cięgno pozostaje w równowadze, lecz tarcie nie jest jeszcze całkowicie rozwinięte, zachodzi jedynie nierówność:

Równość stosujemy zatem na granicy poślizgu. Podczas rzeczywistego ślizgania można zastosować analogiczną zależność ze współczynnikiem tarcia kinetycznego \(\mu_k\), o ile przyjęty model tarcia jest odpowiedni.

Kąt opasania musi być podany w radianach

W wykładniku funkcji wykładniczej kąt \(\beta\) musi być wyrażony w radianach:

Przykładowo:

• ćwierć obwodu: \(\beta=\frac{\pi}{2}\);
• pół obwodu: \(\beta=\pi\);
• pełne owinięcie: \(\beta=2\pi\);
• dwa pełne owinięcia: \(\beta=4\pi\).

Każde dodatkowe owinięcie zwiększa kąt \(\beta\) o \(2\pi\), dlatego nawet niewielka siła po stronie luźnej może równoważyć bardzo dużą siłę po stronie napiętej.

Strona napięta i strona luźna cięgna

Nie można z góry przyjąć, że większa siła znajduje się zawsze po lewej albo po prawej stronie rysunku. Zależy to od układu pozostałych sił oraz przewidywanego kierunku poślizgu cięgna.

Aby wskazać stronę napiętą, należy:

1. przeanalizować obciążenia działające na oba końce cięgna;
2. ustalić, w którą stronę lina próbowałaby przesunąć się względem bębna;
3. wskazać stronę wywołującą ten ruch jako stronę napiętą;
4. oznaczyć po tej stronie \(S_{\mathrm{większa}}\);
5. po przeciwnej stronie oznaczyć \(S_{\mathrm{mniejsza}}\).

Tarcie działające na cięgno jest skierowane przeciwnie do przewidywanego poślizgu. Wzdłuż łuku kontaktu siła naciągu zmniejsza się od strony napiętej w kierunku strony luźnej.

Krążek gładki a chropowaty bęben

Równania Eulera – Eytelweina nie należy stosować automatycznie do każdego układu zawierającego linę i krążek.

W idealnym modelu gładkiego krążka, nieważkiej liny i pomijalnego oporu osi przyjmuje się:

Równanie Eulera – Eytelweina stosuje się natomiast wtedy, gdy:

• cięgno styka się z chropowatą powierzchnią;
• kontakt obejmuje określony kąt \(\beta\);
• pomiędzy cięgnem i powierzchnią występuje tarcie;
• analizujemy granicę poślizgu albo rzeczywisty poślizg cięgna względem powierzchni.

Typowymi przykładami są lina opasująca nieruchomy słup, bęben hamulcowy, kabestan albo nieruchomy chropowaty krążek.

Jednostki i kontrola poprawności

W zależności:

współczynnik \(\mu_s\) jest bezwymiarowy, dlatego prawa strona ma jednostkę siły.

W równaniu Eulera – Eytelweina wykładnik również musi być bezwymiarowy:

Obie wielkości \(S_{\mathrm{większa}}\) i \(S_{\mathrm{mniejsza}}\) są siłami i muszą być wyrażone w tych samych jednostkach.

Najczęstsze błędy

• automatyczne przyjmowanie \(T=\mu_sN\) w każdym zadaniu z tarciem;
• nieuwzględnianie, że tarcie statyczne może mieć wartość mniejszą od granicznej albo być równe zeru;
• kierowanie tarcia przeciwnie do jednej wybranej siły zamiast przeciwnie do tendencji względnego ruchu;
• przyjmowanie \(N=G\) mimo występowania dodatkowych składowych normalnych;
• stosowanie współczynnika tarcia kinetycznego w zadaniu dotyczącym granicy rozpoczęcia ruchu;
• umieszczanie tarcia na równi zawsze w górę, bez sprawdzenia przewidywanego kierunku ruchu;
• podstawianie kąta opasania w stopniach bez przeliczenia na radiany;
• przyjmowanie większej siły naciągu zawsze po tej samej stronie rysunku;
• stosowanie równania Eulera – Eytelweina do idealnego gładkiego krążka;
• pomijanie dodatkowych pełnych owinięć cięgna przy wyznaczaniu kąta \(\beta\);
• mylenie siły naciągu \(S\) z naprężeniem materiału cięgna;
• rysowanie sił naciągu w kierunkach innych niż styczne do wolnych odcinków liny.

Podsumowanie

Tarcie statyczne dostosowuje swoją wartość do warunków równowagi i spełnia nierówność:

Dopiero na granicy poślizgu tarcie jest całkowicie rozwinięte:

Po rozpoczęciu względnego ruchu powierzchni występuje tarcie kinetyczne:

W stanie granicznym reakcja całkowita jest odchylona od kierunku normalnego o kąt tarcia:

Dla cięgna opasującego nieruchomy chropowaty bęben obowiązuje na granicy poślizgu równanie Eulera – Eytelweina:

Najważniejszym etapem rozwiązania zadania jest prawidłowe ustalenie przewidywanego kierunku ruchu. Dopiero na tej podstawie można określić zwrot siły tarcia, wskazać napiętą i luźną stronę cięgna oraz zdecydować, czy należy zastosować nierówność opisującą tarcie statyczne, czy równość odpowiadającą stanowi granicznemu.

Utworzono: 04.07.2026 | Zmodyfikowano: 18.07.2026

Powiązane artykuły

• Czym zajmuje się statyka? Podstawowe pojęcia i zasady 

Masz problem z tym tematem?

Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku. 

Zapytaj o pomoc