Test serii to nieparametryczna metoda badania losowości kolejności obserwacji. Pozwala sprawdzić, czy w szeregu występują zbyt długie skupienia wartości jednego rodzaju albo przeciwnie — zbyt częste przeplatanie się wartości dodatnich i ujemnych. Na stronie znajdują się klasyczne tablice granic krytycznych liczby serii oraz kalkulator działający dla gotowej sekwencji znaków i dla danych liczbowych podzielonych względem mediany.
Na czym polega test serii?
Serią nazywamy maksymalny ciąg kolejnych obserwacji tego samego rodzaju. Przykładowo w sekwencji + + − − + + + − występują cztery serie: ++, −−, +++ oraz −. W teście serii badamy, czy zaobserwowana liczba serii R jest zgodna z tym, czego oczekiwalibyśmy przy losowym ułożeniu znaków + i −.
W najczęściej stosowanym wariancie dla danych liczbowych każdą obserwację porównuje się z medianą: wartości większe od mediany oznaczamy znakiem +, mniejsze — znakiem −, a obserwacje równe medianie pomijamy. Następnie zachowujemy pierwotną kolejność znaków i liczymy serie.
Hipoteza zerowa H0: kolejność obserwacji jest losowa. Hipoteza alternatywna H1: kolejność obserwacji nie jest losowa. Zarówno bardzo mała liczba serii, jak i bardzo duża liczba serii może prowadzić do odrzucenia H0.
Tablice granic krytycznych liczby serii
W klasycznej tablicy nie zapisuje się osobno wszystkich par n+, n−, ponieważ zamiana liczby znaków dodatnich z ujemnymi nie zmienia rozkładu liczby serii. Dlatego wiersz oznacza m = min(n+, n−), a kolumna M = max(n+, n−). Każda komórka zawiera dwie granice: RL / RU.
Dla testu dwustronnego odrzucamy H0, gdy:
$$R \le R_L \quad \text{lub} \quad R \ge R_U.$$
Tablica dla α = 0,05
W każdej komórce zapisano parę RL / RU. Odrzucamy hipotezę o losowości, gdy R ≤ RL albo R ≥ RU. Wiersz oznacza m = min(n+, n−), a kolumna M = max(n+, n−).
| m \ M | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 / 5 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 2 / 6 | 2 / 6 | 2 / 6 | 2 / 6 | 2 / 6 | 2 / 6 | 2 / 6 | 2 / 6 | 2 / 6 |
| 3 | — | 1 / 7 | 1 / 8 | 1 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 3 / 8 | 3 / 8 | 3 / 8 | 3 / 8 | 3 / 8 | 3 / 8 | 3 / 8 |
| 4 | — | — | 1 / 9 | 2 / 9 | 2 / 9 | 2 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 4 / 10 | 4 / 10 | 4 / 10 | 4 / 10 | 4 / 10 |
| 5 | — | — | — | 2 / 10 | 3 / 10 | 3 / 11 | 3 / 11 | 3 / 12 | 3 / 12 | 4 / 12 | 4 / 12 | 4 / 12 | 4 / 12 | 4 / 12 | 4 / 12 | 4 / 12 | 5 / 12 | 5 / 12 | 5 / 12 |
| 6 | — | — | — | — | 3 / 11 | 3 / 12 | 3 / 12 | 4 / 13 | 4 / 13 | 4 / 13 | 4 / 13 | 5 / 14 | 5 / 14 | 5 / 14 | 5 / 14 | 5 / 14 | 5 / 14 | 6 / 14 | 6 / 14 |
| 7 | — | — | — | — | — | 3 / 13 | 4 / 13 | 4 / 14 | 5 / 14 | 5 / 14 | 5 / 14 | 5 / 15 | 5 / 15 | 6 / 15 | 6 / 16 | 6 / 16 | 6 / 16 | 6 / 16 | 6 / 16 |
| 8 | — | — | — | — | — | — | 4 / 14 | 5 / 14 | 5 / 15 | 5 / 15 | 6 / 16 | 6 / 16 | 6 / 16 | 6 / 16 | 6 / 17 | 7 / 17 | 7 / 17 | 7 / 17 | 7 / 17 |
| 9 | — | — | — | — | — | — | — | 5 / 15 | 5 / 16 | 6 / 16 | 6 / 16 | 6 / 17 | 7 / 17 | 7 / 18 | 7 / 18 | 7 / 18 | 8 / 18 | 8 / 18 | 8 / 18 |
| 10 | — | — | — | — | — | — | — | — | 6 / 16 | 6 / 17 | 7 / 17 | 7 / 18 | 7 / 18 | 7 / 18 | 8 / 19 | 8 / 19 | 8 / 19 | 8 / 20 | 9 / 20 |
| 11 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 7 / 17 | 7 / 18 | 7 / 19 | 8 / 19 | 8 / 19 | 8 / 20 | 9 / 20 | 9 / 20 | 9 / 21 | 9 / 21 |
| 12 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 7 / 19 | 8 / 19 | 8 / 20 | 8 / 20 | 9 / 21 | 9 / 21 | 9 / 21 | 10 / 22 | 10 / 22 |
| 13 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 8 / 20 | 9 / 20 | 9 / 21 | 9 / 21 | 10 / 22 | 10 / 22 | 10 / 23 | 10 / 23 |
| 14 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 9 / 21 | 9 / 22 | 10 / 22 | 10 / 23 | 10 / 23 | 11 / 23 | 11 / 24 |
| 15 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 10 / 22 | 10 / 23 | 11 / 23 | 11 / 24 | 11 / 24 | 12 / 25 |
| 16 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 11 / 23 | 11 / 24 | 11 / 25 | 12 / 25 | 12 / 25 |
| 17 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 11 / 25 | 12 / 25 | 12 / 26 | 13 / 26 |
| 18 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 12 / 26 | 13 / 26 | 13 / 27 |
| 19 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 13 / 27 | 13 / 27 |
| 20 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 14 / 28 |
Tablica dla α = 0,01
W każdej komórce zapisano parę RL / RU dla testu dwustronnego o całkowitym poziomie istotności α = 0,01.
| m \ M | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 / 5 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 |
| 3 | — | 1 / 7 | 1 / 8 | 1 / 8 | 1 / 8 | 1 / 8 | 1 / 8 | 1 / 8 | 1 / 8 | 1 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 | 2 / 8 |
| 4 | — | — | 1 / 9 | 1 / 10 | 1 / 10 | 1 / 10 | 2 / 10 | 2 / 10 | 2 / 10 | 2 / 10 | 2 / 10 | 2 / 10 | 2 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 | 3 / 10 |
| 5 | — | — | — | 1 / 11 | 2 / 11 | 2 / 12 | 2 / 12 | 2 / 12 | 3 / 12 | 3 / 12 | 3 / 12 | 3 / 12 | 3 / 12 | 3 / 12 | 3 / 12 | 3 / 12 | 4 / 12 | 4 / 12 | 4 / 12 |
| 6 | — | — | — | — | 2 / 12 | 2 / 13 | 3 / 13 | 3 / 14 | 3 / 14 | 3 / 14 | 3 / 14 | 3 / 14 | 4 / 14 | 4 / 14 | 4 / 14 | 4 / 14 | 4 / 14 | 4 / 14 | 4 / 14 |
| 7 | — | — | — | — | — | 3 / 13 | 3 / 14 | 3 / 15 | 3 / 15 | 4 / 15 | 4 / 16 | 4 / 16 | 4 / 16 | 4 / 16 | 5 / 16 | 5 / 16 | 5 / 16 | 5 / 16 | 5 / 16 |
| 8 | — | — | — | — | — | — | 3 / 15 | 3 / 15 | 4 / 16 | 4 / 16 | 4 / 17 | 5 / 17 | 5 / 17 | 5 / 18 | 5 / 18 | 5 / 18 | 6 / 18 | 6 / 18 | 6 / 18 |
| 9 | — | — | — | — | — | — | — | 4 / 16 | 4 / 17 | 5 / 17 | 5 / 18 | 5 / 18 | 5 / 18 | 6 / 19 | 6 / 19 | 6 / 19 | 6 / 20 | 6 / 20 | 7 / 20 |
| 10 | — | — | — | — | — | — | — | — | 5 / 17 | 5 / 18 | 5 / 19 | 5 / 19 | 6 / 19 | 6 / 20 | 6 / 20 | 7 / 20 | 7 / 21 | 7 / 21 | 7 / 21 |
| 11 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 5 / 19 | 6 / 19 | 6 / 20 | 6 / 20 | 7 / 21 | 7 / 21 | 7 / 22 | 7 / 22 | 8 / 22 | 8 / 22 |
| 12 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 6 / 20 | 6 / 21 | 7 / 21 | 7 / 22 | 7 / 22 | 8 / 22 | 8 / 23 | 8 / 23 | 8 / 23 |
| 13 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 7 / 21 | 7 / 22 | 7 / 22 | 8 / 23 | 8 / 23 | 8 / 24 | 9 / 24 | 9 / 24 |
| 14 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 7 / 23 | 8 / 23 | 8 / 24 | 8 / 24 | 9 / 25 | 9 / 25 | 9 / 25 |
| 15 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 8 / 24 | 9 / 24 | 9 / 25 | 9 / 25 | 10 / 26 | 10 / 26 |
| 16 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 9 / 25 | 9 / 26 | 10 / 26 | 10 / 27 | 10 / 27 |
| 17 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 10 / 26 | 10 / 27 | 10 / 27 | 11 / 28 |
| 18 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 11 / 27 | 11 / 28 | 11 / 29 |
| 19 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 11 / 29 | 12 / 29 |
| 20 | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | 12 / 30 |
Dlaczego granice z tablicy mogą być konserwatywne?
Liczba serii jest liczbą całkowitą, a więc jej rozkład jest dyskretny. Nie zawsze da się wybrać granicę dokładnie odpowiadającą połowie poziomu istotności, np. 0,025 w każdym ogonie przy α = 0,05. W tabeli przyjmuje się więc takie granice, aby prawdopodobieństwo błędu I rodzaju nie przekroczyło zadanego poziomu.
Jeżeli jedna z granic leży poza zakresem możliwych wartości R, oznacza to po prostu, że przy danych liczebnościach w tym ogonie nie da się odrzucić H0 na wybranym poziomie istotności. Różne podręczniki mogą zapisywać taką umowną granicę odmienną liczbą, ale sens decyzji pozostaje ten sam.
Kalkulator testu serii
Kalkulator wyznacza dokładny rozkład liczby serii dla podanych n+ i n−, odczytuje granice krytyczne oraz pokazuje wartości prawdopodobieństwa w obu ogonach. W przypadku danych liczbowych najpierw oblicza medianę i jawnie pokazuje sekwencję wykorzystaną w teście.
Kalkulator testu serii
Wprowadź gotową sekwencję znaków albo dane liczbowe. Kalkulator wyznaczy liczbę serii, liczebności n+ i n−, dokładne granice krytyczne oraz wniosek dla wybranego poziomu istotności.
Wartość oczekiwana i aproksymacja normalna
Przy większych liczebnościach można dodatkowo posłużyć się aproksymacją normalną. Jeżeli n+ oznacza liczbę znaków dodatnich, a n− liczbę znaków ujemnych, to:
$$E(R)=1+\frac{2n_+n_-}{n_++n_-},$$
$$Var(R)=\frac{2n_+n_-\left(2n_+n_- - n_+ - n_-\right)}{(n_+ + n_-)^2(n_+ + n_- - 1)}.$$
W kalkulatorze współczynnik Z ma charakter pomocniczy. Dla małych prób podstawą decyzji pozostają dokładne granice krytyczne z rozkładu liczby serii.
Przykład odczytu z tablicy
Przykład: czy kolejność znaków wygląda losowo?
Dana jest sekwencja: + + − − + + + − + − −. Zweryfikuj hipotezę o losowości na poziomie α = 0,05.
Rozwiązanie
W sekwencji występuje n+ = 6 znaków dodatnich i n− = 5 znaków ujemnych. Liczba serii wynosi R = 6:
++ | −− | +++ | − | + | −−.
W tablicy przyjmujemy m = 5 i M = 6. Dla α = 0,05 otrzymujemy granice RL = 3 oraz RU = 10.
Ponieważ 3 < 6 < 10, liczba serii nie wpada do obszaru krytycznego. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości kolejności obserwacji.
Co test serii wykrywa, a czego nie?
Test serii jest użyteczny w wykrywaniu skupień, przeplatania oraz możliwej nielosowości kolejności danych. Nie zastępuje jednak pełnej diagnostyki zależności czasowej ani analizy wykresu szeregu. W ekonometrii, gdy analizujemy reszty modelu uporządkowane w czasie, naturalnym uzupełnieniem będzie test Durbina – Watsona, gdy tylko zostanie opublikowany.
Pomoc w statystyce i ekonometrii
Nie wiesz, której tablicy użyć?
Pomagamy dobrać właściwy rozkład, odczytać wartość krytyczną, wybrać test statystyczny oraz poprawnie zinterpretować wynik. Możemy też przejść przez całe zadanie krok po kroku.
- statystyka, ekonometria i analiza danych,
- testowanie hipotez i interpretacja wyników,
- konsultacje online oraz pomoc w rozwiązaniu zadania.
