Tablica rozkładu F-Snedecora i kalkulator wartości krytycznych

Tablica rozkładu F-Snedecora zawiera prawostronne wartości krytyczne potrzebne przede wszystkim w testach porównujących wariancje, w analizie wariancji oraz w ocenie łącznej istotności modeli regresji. Pod tablicami dla poziomów 0,05 i 0,01 znajduje się dokładny kalkulator dystrybuanty, prawego ogona i kwantyli dla dowolnych dodatnich całkowitych liczb stopni swobody.

Czym jest rozkład F-Snedecora?

Jeżeli U i V są niezależnymi zmiennymi o rozkładach chi-kwadrat odpowiednio z ν₁ i ν₂ stopniami swobody, to iloraz ich wartości po podzieleniu przez odpowiednie liczby stopni swobody ma rozkład F-Snedecora:

$$\frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\nu_2}.$$

Rozkład F jest określony wyłącznie dla wartości nieujemnych i jest na ogół asymetryczny prawostronnie. Ma dwie liczby stopni swobody: ν₁ dla licznika oraz ν₂ dla mianownika. Ich kolejność ma znaczenie.

Powiązanie z rozkładem t-Studenta

Jeżeli T_ν ma rozkład t-Studenta z ν stopniami swobody, to jego kwadrat ma rozkład F:

$$T_{\nu}^{2}\sim F_{1,\nu}.$$

Ta zależność wyjaśnia, dlaczego test t dla pojedynczego parametru i test F dla jednego ograniczenia prowadzą do równoważnych wniosków.

Tablice wartości krytycznych F-Snedecora

W tablicach przyjęto konwencję prawostronną:

$$P\left(F_{\nu_1,\nu_2}>F_{\alpha;\nu_1,\nu_2}\right)=\alpha.$$

Wybieramy kolumnę odpowiadającą ν₁, czyli liczbie stopni swobody licznika, oraz wiersz odpowiadający ν₂, czyli liczbie stopni swobody mianownika. Dla ν₁ = 4, ν₂ = 20 i α = 0,05 otrzymujemy wartość krytyczną około 2,866.

Tablica dla α = 0,05

Wartości w tabeli spełniają warunek P(F_ν₁,ν₂ > F_{0,05;ν₁,ν₂}) = 0,05.

Tablica F_{0,05;ν₁,ν₂}, gdzie P(F_ν₁,ν₂ > F_{α;ν₁,ν₂}) = α; kolumny: ν₁ (licznik), wiersze: ν₂ (mianownik)
ν₂ \ ν₁	1	2	3	4	5	6	8	10	12	15	20	24	30	40	60	120
1	161,448	199,500	215,707	224,583	230,162	233,986	238,883	241,882	243,906	245,950	248,013	249,052	250,095	251,143	252,196	253,253
2	18,513	19,000	19,164	19,247	19,296	19,330	19,371	19,396	19,413	19,429	19,446	19,454	19,462	19,471	19,479	19,487
3	10,128	9,552	9,277	9,117	9,013	8,941	8,845	8,786	8,745	8,703	8,660	8,639	8,617	8,594	8,572	8,549
4	7,709	6,944	6,591	6,388	6,256	6,163	6,041	5,964	5,912	5,858	5,803	5,774	5,746	5,717	5,688	5,658
5	6,608	5,786	5,409	5,192	5,050	4,950	4,818	4,735	4,678	4,619	4,558	4,527	4,496	4,464	4,431	4,398
6	5,987	5,143	4,757	4,534	4,387	4,284	4,147	4,060	4,000	3,938	3,874	3,841	3,808	3,774	3,740	3,705
8	5,318	4,459	4,066	3,838	3,687	3,581	3,438	3,347	3,284	3,218	3,150	3,115	3,079	3,043	3,005	2,967
10	4,965	4,103	3,708	3,478	3,326	3,217	3,072	2,978	2,913	2,845	2,774	2,737	2,700	2,661	2,621	2,580
12	4,747	3,885	3,490	3,259	3,106	2,996	2,849	2,753	2,687	2,617	2,544	2,505	2,466	2,426	2,384	2,341
15	4,543	3,682	3,287	3,056	2,901	2,790	2,641	2,544	2,475	2,403	2,328	2,288	2,247	2,204	2,160	2,114
20	4,351	3,493	3,098	2,866	2,711	2,599	2,447	2,348	2,278	2,203	2,124	2,082	2,039	1,994	1,946	1,896
24	4,260	3,403	3,009	2,776	2,621	2,508	2,355	2,255	2,183	2,108	2,027	1,984	1,939	1,892	1,842	1,790
30	4,171	3,316	2,922	2,690	2,534	2,421	2,266	2,165	2,092	2,015	1,932	1,887	1,841	1,792	1,740	1,683
40	4,085	3,232	2,839	2,606	2,449	2,336	2,180	2,077	2,003	1,924	1,839	1,793	1,744	1,693	1,637	1,577
60	4,001	3,150	2,758	2,525	2,368	2,254	2,097	1,993	1,917	1,836	1,748	1,700	1,649	1,594	1,534	1,467
120	3,920	3,072	2,680	2,447	2,290	2,175	2,016	1,910	1,834	1,750	1,659	1,608	1,554	1,495	1,429	1,352

Tablica dla α = 0,01

Wartości w tabeli spełniają warunek P(F_ν₁,ν₂ > F_{0,01;ν₁,ν₂}) = 0,01.

Tablica F_{0,01;ν₁,ν₂}, gdzie P(F_ν₁,ν₂ > F_{α;ν₁,ν₂}) = α; kolumny: ν₁ (licznik), wiersze: ν₂ (mianownik)
ν₂ \ ν₁	1	2	3	4	5	6	8	10	12	15	20	24	30	40	60	120
1	4052,181	4999,500	5403,352	5624,583	5763,650	5858,986	5981,070	6055,847	6106,321	6157,285	6208,730	6234,631	6260,649	6286,782	6313,030	6339,391
2	98,503	99,000	99,166	99,249	99,299	99,333	99,374	99,399	99,416	99,433	99,449	99,458	99,466	99,474	99,482	99,491
3	34,116	30,817	29,457	28,710	28,237	27,911	27,489	27,229	27,052	26,872	26,690	26,598	26,505	26,411	26,316	26,221
4	21,198	18,000	16,694	15,977	15,522	15,207	14,799	14,546	14,374	14,198	14,020	13,929	13,838	13,745	13,652	13,558
5	16,258	13,274	12,060	11,392	10,967	10,672	10,289	10,051	9,888	9,722	9,553	9,466	9,379	9,291	9,202	9,112
6	13,745	10,925	9,780	9,148	8,746	8,466	8,102	7,874	7,718	7,559	7,396	7,313	7,229	7,143	7,057	6,969
8	11,259	8,649	7,591	7,006	6,632	6,371	6,029	5,814	5,667	5,515	5,359	5,279	5,198	5,116	5,032	4,946
10	10,044	7,559	6,552	5,994	5,636	5,386	5,057	4,849	4,706	4,558	4,405	4,327	4,247	4,165	4,082	3,996
12	9,330	6,927	5,953	5,412	5,064	4,821	4,499	4,296	4,155	4,010	3,858	3,780	3,701	3,619	3,535	3,449
15	8,683	6,359	5,417	4,893	4,556	4,318	4,004	3,805	3,666	3,522	3,372	3,294	3,214	3,132	3,047	2,959
20	8,096	5,849	4,938	4,431	4,103	3,871	3,564	3,368	3,231	3,088	2,938	2,859	2,778	2,695	2,608	2,517
24	7,823	5,614	4,718	4,218	3,895	3,667	3,363	3,168	3,032	2,889	2,738	2,659	2,577	2,492	2,403	2,310
30	7,562	5,390	4,510	4,018	3,699	3,473	3,173	2,979	2,843	2,700	2,549	2,469	2,386	2,299	2,208	2,111
40	7,314	5,179	4,313	3,828	3,514	3,291	2,993	2,801	2,665	2,522	2,369	2,288	2,203	2,114	2,019	1,917
60	7,077	4,977	4,126	3,649	3,339	3,119	2,823	2,632	2,496	2,352	2,198	2,115	2,028	1,936	1,836	1,726
120	6,851	4,787	3,949	3,480	3,174	2,956	2,663	2,472	2,336	2,192	2,035	1,950	1,860	1,763	1,656	1,533

Jak korzystać z tablicy, gdy wariancja w liczniku jest mniejsza?

W testach porównujących wariancje wygodnie jest zwykle zbudować statystykę jako iloraz większej wariancji z próby przez mniejszą wariancję z próby. Wtedy otrzymujemy F ≥ 1 i korzystamy bezpośrednio z prawostronnej tablicy.

Należy jednak zachować konsekwencję: do licznika przypisujemy także właściwą liczbę stopni swobody ν₁ = n₁ − 1, a do mianownika ν₂ = n₂ − 1. Nie wolno odczytywać wartości krytycznej po zamianie wiersza i kolumny, ponieważ rozkład F_ν₁,ν₂ nie jest na ogół taki sam jak F_ν₂,ν₁.

Dokładny kalkulator rozkładu F-Snedecora

Kalkulator rozkładu F-Snedecora

Wpisz stopnie swobody licznika ν₁, mianownika ν₂ i wartość F albo prawdopodobieństwo p. Możesz użyć przecinka dziesiętnego.

Typowe zastosowania rozkładu F

porównywanie wariancji dwóch populacji normalnych,
analiza wariancji, czyli ANOVA,
ocena łącznej istotności modelu regresji i jego grup parametrów,
porównywanie modeli zagnieżdżonych,
wybrane testy diagnostyczne w ekonometrii.

Przykład użycia

Przykład: porównanie dwóch wariancji

W pierwszej niezależnej próbie otrzymano n₁ = 11 obserwacji i wariancję s₁² = 18. W drugiej próbie otrzymano n₂ = 16 obserwacji i wariancję s₂² = 6. Na poziomie istotności α = 0,05 sprawdźmy jednostronnie, czy wariancja w pierwszej populacji jest większa.

Rozwiązanie

Formułujemy hipotezy:

$$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,\qquad H_1:\sigma_1^2>\sigma_2^2.$$

Większą wariancję umieszczamy w liczniku, dlatego:

$$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{18}{6}=3.$$

Liczby stopni swobody wynoszą ν₁ = n₁ − 1 = 10 oraz ν₂ = n₂ − 1 = 15. Z tablicy dla α = 0,05 odczytujemy:

$$F_{0{,}05;10,15}\approx2{,}544.$$

Ponieważ 3 > 2,544, statystyka trafia do obszaru krytycznego. Odrzucamy H₀ na poziomie istotności 0,05: dane dostarczają przesłanek, że wariancja w pierwszej populacji jest większa.

Klasyczny test F dla wariancji wymaga niezależności prób i założenia normalności badanych populacji.

Powiązane materiały

Pomoc w statystyce i ekonometrii

Nie wiesz, której tablicy użyć?

Pomagamy dobrać właściwy rozkład, odczytać wartość krytyczną, wybrać test statystyczny oraz poprawnie zinterpretować wynik. Możemy też przejść przez całe zadanie krok po kroku.

statystyka, ekonometria i analiza danych,
testowanie hipotez i interpretacja wyników,
konsultacje online oraz pomoc w rozwiązaniu zadania.

Skonsultuj zadanie

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Tablica rozkładu F-Snedecora i kalkulator