Wszechnica Wszechwiedzy - Baner

Wszechnica Wszechwiedzy

Test Shapiro – Wilka — tablica i kalkulator

Test Shapiro – Wilka służy do sprawdzania, czy rozkład danych lub reszt modelu jest zgodny z rozkładem normalnym. Jest jednym z najczęściej wykorzystywanych testów normalności, szczególnie przy małych i średnich próbach. Kalkulator poniżej wyznacza statystykę W, p-value oraz wartość krytyczną dla wskazanego poziomu istotności.

Hipotezy testu: H0: badana próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym; H1: rozkład populacji odbiega od normalnego. Test Shapiro – Wilka jest lewostronny: małe wartości statystyki W przemawiają przeciwko H0.

Tablica wartości krytycznych testu Shapiro – Wilka

W klasycznych zadaniach porównuje się obliczoną statystykę W z wartością krytyczną zależną od liczebności próby n i poziomu istotności α. Odrzucamy hipotezę o normalności, gdy zachodzi nierówność W ≤ Wkryt. W przeciwieństwie do wielu testów nie szukamy tu wartości w prawym ogonie ani dwóch granic: istotne są przede wszystkim małe wartości W.

Wartości krytyczne Wkryt testu Shapiro – Wilka. Odrzuć H0 o normalności, gdy W ≤ Wkryt.
Liczebność n α = 0,10 α = 0,05 α = 0,01
3 0,793893 0,772320 0,754521
4 0,798752 0,762289 0,694495
5 0,811379 0,775100 0,701800
6 0,826313 0,792251 0,720110
7 0,840300 0,808800 0,740150
8 0,852081 0,822857 0,757963
9 0,861680 0,834385 0,772988
10 0,870013 0,844538 0,786738
11 0,878645 0,855279 0,802016
12 0,884463 0,860780 0,802485
13 0,890789 0,868535 0,813837
14 0,896396 0,875400 0,823861
15 0,901406 0,881525 0,832785
16 0,905912 0,887028 0,840786
17 0,909990 0,892003 0,848005
18 0,913701 0,896525 0,854554
19 0,917093 0,900656 0,860527
20 0,920207 0,904445 0,865998
21 0,923078 0,907935 0,871029
22 0,925735 0,911162 0,875674
23 0,928200 0,914154 0,879976
24 0,930494 0,916938 0,883973
25 0,932637 0,919535 0,887698
26 0,934641 0,921964 0,891177
27 0,936522 0,924241 0,894436
28 0,938290 0,926381 0,897495
29 0,939956 0,928395 0,900372
30 0,941528 0,930296 0,903084
31 0,943014 0,932092 0,905644
32 0,944422 0,933792 0,908066
33 0,945757 0,935405 0,910361
34 0,947026 0,936936 0,912538
35 0,948233 0,938392 0,914607
36 0,949383 0,939778 0,916575
37 0,950480 0,941100 0,918451
38 0,951527 0,942362 0,920240
39 0,952529 0,943569 0,921949
40 0,953487 0,944723 0,923583
41 0,954405 0,945828 0,925147
42 0,955286 0,946887 0,926645
43 0,956131 0,947904 0,928082
44 0,956943 0,948881 0,929462
45 0,957724 0,949819 0,930787
46 0,958476 0,950722 0,932061
47 0,959200 0,951592 0,933287
48 0,959897 0,952430 0,934468
49 0,960570 0,953238 0,935607
50 0,961220 0,954017 0,936704

Test Shapiro – Wilka jest lewostronny: małe wartości W wskazują na większą niezgodność danych z rozkładem normalnym. Tablica ma charakter pomocniczy; kalkulator poniżej wyznacza wartość krytyczną także dla innych poziomów istotności i liczebności do 5000.

Ważne: tablica pokazuje najczęściej stosowane poziomy α = 0,10, 0,05 i 0,01. Jeżeli w zadaniu podano inny poziom istotności albo liczebność większą niż 50, użyj kalkulatora wartości krytycznej. Nie trzeba dobierać „najbliższego” wiersza ani stosować przypadkowej interpolacji.

Kalkulator testu Shapiro – Wilka

Kalkulator testu Shapiro – Wilka

Wklej dane lub reszty modelu, aby wyznaczyć statystykę W, przybliżone p-value i właściwą wartość krytyczną. Obliczenia działają lokalnie w przeglądarce, bez przesyłania danych na serwer.

Test dla danych

Oddziel wartości średnikiem albo nową linią. Przecinek może być separatorem dziesiętnym. Kalkulator obsługuje od 3 do 5000 obserwacji.

Wartość krytyczna W

Nie ma potrzeby szukać pojedynczego wiersza w książce: kalkulator wyznaczy wartość krytyczną dla dowolnej całkowitej liczebności od 3 do 5000.

Statystyka W

Po uporządkowaniu obserwacji rosnąco statystyka testowa ma postać:

\[ W = \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} a_i x_{(i)}\right)^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}. \]
  • x(i) — i-ta obserwacja po uporządkowaniu rosnąco,
  • x̄ — średnia arytmetyczna próby,
  • ai — współczynniki zależne od liczebności n i własności statystyk pozycyjnych rozkładu normalnego.

Współczynniki ai zależą od liczebności próby n i własności uporządkowanych obserwacji z rozkładu normalnego. Poniżej udostępniamy je w wygodnym, sparowanym zapisie, zgodnym z algorytmem kalkulatora. Dzięki temu można przeprowadzić rachunek ręcznie, a następnie porównać wynik z narzędziem.

Współczynniki ai do obliczeń ręcznych

Po uporządkowaniu danych rosnąco wygodna postać licznika statystyki W wykorzystuje różnice skrajnych obserwacji. Zamiast wpisywać osobne współczynniki ujemne i dodatnie, odczytujemy dodatnie współczynniki ai i łączymy je w pary:

\[ W = \frac{\left[\sum_{i=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_i\left(x_{(n+1-i)}-x_{(i)}\right)\right]^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}. \]
  • dla n = 10 wykorzystujemy pięć par: x(10) − x(1), x(9) − x(2), …, x(6) − x(5);
  • dla nieparzystego n środkowa obserwacja nie występuje w liczniku, ponieważ odpowiadający jej współczynnik jest równy zero;
  • tablica pokazuje wartości zaokrąglone do sześciu miejsc po przecinku, natomiast kalkulator liczy z większą precyzją.

Współczynniki ai do obliczeń ręcznych

Wybierz liczebność próby n. Pokażemy dodatnie współczynniki dla sparowanej postaci wzoru, w której porównujemy skrajne obserwacje po uporządkowaniu danych rosnąco.

Dla n nieparzystego środkowa obserwacja nie występuje w liczniku wzoru, ponieważ jej współczynnik w symetrycznym zapisie jest równy zero.

Pełna tablica współczynników dla n = 3 – 50

W każdym wierszu są współczynniki a1, …, a⌊n / 2⌋. Puste pola oznaczają, że dla danej liczebności nie występuje już kolejny współczynnik.

Współczynniki ai testu Shapiro – Wilka w zapisie sparowanym.
n a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 a21 a22 a23 a24 a25
3 0,707107 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
4 0,687264 0,166336 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
5 0,664639 0,241360 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
6 0,642971 0,280712 0,088252 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
7 0,623106 0,303022 0,141127 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
8 0,605061 0,316303 0,175110 0,056485 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
9 0,588664 0,324288 0,198153 0,095115 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
10 0,573715 0,328970 0,214349 0,122791 0,040089 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
11 0,560025 0,331499 0,226011 0,143290 0,069764 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
12 0,547434 0,332578 0,234543 0,158856 0,092414 0,030365 — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
13 0,535801 0,332659 0,240842 0,170900 0,110110 0,054029 — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
14 0,525012 0,332040 0,245504 0,180354 0,124189 0,072877 0,024038 — — — — — — — — — — — — — — — — — —
15 0,514967 0,330927 0,248942 0,187857 0,135554 0,088149 0,043461 — — — — — — — — — — — — — — — — — —
16 0,505583 0,329461 0,251448 0,193860 0,144836 0,100697 0,059413 0,019645 — — — — — — — — — — — — — — — — —
17 0,496788 0,327745 0,253235 0,198691 0,152490 0,111126 0,072690 0,035952 — — — — — — — — — — — — — — — — —
18 0,488522 0,325853 0,254458 0,202592 0,158851 0,119878 0,083862 0,049660 0,016448 — — — — — — — — — — — — — — — —
19 0,480731 0,323838 0,255238 0,205748 0,164170 0,127280 0,093351 0,061306 0,030388 — — — — — — — — — — — — — — — —
20 0,473371 0,321740 0,255663 0,208297 0,168640 0,133584 0,101474 0,071289 0,042323 0,014035 — — — — — — — — — — — — — — —
21 0,466402 0,319590 0,255805 0,210351 0,172411 0,138984 0,108476 0,079912 0,052630 0,026129 — — — — — — — — — — — — — — —
22 0,459789 0,317410 0,255718 0,211996 0,175602 0,143631 0,114545 0,087410 0,061596 0,036637 0,012160 — — — — — — — — — — — — — —
23 0,453502 0,315217 0,255445 0,213300 0,178307 0,147647 0,119834 0,093968 0,069447 0,045833 0,022781 — — — — — — — — — — — — — —
24 0,447513 0,313024 0,255022 0,214319 0,180601 0,151129 0,124462 0,099731 0,076359 0,053930 0,032123 0,010669 — — — — — — — — — — — — —
25 0,441800 0,310841 0,254476 0,215099 0,182547 0,154157 0,128528 0,104820 0,082476 0,061100 0,040389 0,020094 — — — — — — — — — — — — —
26 0,436340 0,308675 0,253830 0,215676 0,184196 0,156796 0,132112 0,109330 0,087913 0,067480 0,047742 0,028468 0,009460 — — — — — — — — — — — —
27 0,431115 0,306532 0,253102 0,216081 0,185590 0,159098 0,135280 0,113342 0,092764 0,073180 0,054314 0,035947 0,017897 — — — — — — — — — — — —
28 0,426108 0,304415 0,252309 0,216339 0,186763 0,161111 0,138088 0,116922 0,097108 0,078293 0,060212 0,042658 0,025458 0,008464 — — — — — — — — — — —
29 0,421303 0,302329 0,251461 0,216471 0,187746 0,162870 0,140580 0,120124 0,101010 0,082896 0,065527 0,048704 0,032266 0,016073 — — — — — — — — — — —
30 0,416687 0,300274 0,250571 0,216496 0,188563 0,164408 0,142797 0,122996 0,104525 0,087052 0,070331 0,054172 0,038420 0,022945 0,007631 — — — — — — — — — —
31 0,412247 0,298254 0,249645 0,216429 0,189236 0,165753 0,144772 0,125577 0,107699 0,090816 0,074688 0,059133 0,044003 0,029175 0,014540 — — — — — — — — — —
32 0,407972 0,296267 0,248692 0,216282 0,189782 0,166926 0,146533 0,127900 0,110572 0,094232 0,078650 0,063648 0,049085 0,034843 0,020821 0,006926 — — — — — — — — —
33 0,403850 0,294316 0,247718 0,216065 0,190216 0,167948 0,148104 0,129996 0,113177 0,097341 0,082262 0,067769 0,053724 0,040016 0,026549 0,013237 — — — — — — — — —
34 0,399874 0,292400 0,246727 0,215790 0,190553 0,168837 0,149506 0,131888 0,115545 0,100177 0,085563 0,071539 0,057971 0,044752 0,031790 0,019005 0,006324 — — — — — — — —
35 0,396034 0,290520 0,245725 0,215463 0,190803 0,169607 0,150758 0,133598 0,117699 0,102767 0,088586 0,074996 0,061868 0,049099 0,036600 0,024295 0,012117 — — — — — — — —
36 0,392323 0,288675 0,244714 0,215091 0,190977 0,170270 0,151876 0,135146 0,119663 0,105137 0,091360 0,078173 0,065453 0,053098 0,041025 0,029160 0,017440 0,005804 — — — — — — —
37 0,388732 0,286865 0,243697 0,214681 0,191084 0,170839 0,152872 0,136548 0,121455 0,107311 0,093910 0,081099 0,068757 0,056786 0,045105 0,033645 0,022344 0,011147 — — — — — — —
38 0,385256 0,285089 0,242678 0,214238 0,191130 0,171323 0,153760 0,137818 0,123092 0,109306 0,096258 0,083798 0,071808 0,060194 0,048877 0,037790 0,026874 0,016078 0,005352 — — — — — —
39 0,381888 0,283347 0,241658 0,213766 0,191123 0,171730 0,154551 0,138969 0,124589 0,111139 0,098423 0,086292 0,074631 0,063349 0,052370 0,041628 0,031069 0,020641 0,010300 — — — — — —
40 0,378623 0,281638 0,240640 0,213270 0,191068 0,172070 0,155252 0,140012 0,125959 0,112827 0,100422 0,088599 0,077247 0,066276 0,055611 0,045191 0,034961 0,024873 0,014885 0,004955 — — — — —
41 0,375454 0,279962 0,239624 0,212752 0,190971 0,172347 0,155874 0,140958 0,127214 0,114381 0,102270 0,090738 0,079676 0,068995 0,058624 0,048503 0,038579 0,028806 0,019145 0,009555 — — — — —
42 0,372378 0,278317 0,238612 0,212216 0,190837 0,172570 0,156424 0,141814 0,128364 0,115815 0,103981 0,092723 0,081933 0,071525 0,061429 0,051587 0,041949 0,032469 0,023109 0,013833 0,004606 — — — —
43 0,369389 0,276704 0,237606 0,211664 0,190669 0,172741 0,156907 0,142590 0,129418 0,117138 0,105566 0,094567 0,084033 0,073882 0,064045 0,054465 0,045093 0,035886 0,026807 0,017821 0,008895 — — — —
44 0,366484 0,275121 0,236606 0,211099 0,190470 0,172868 0,157331 0,143291 0,130384 0,118359 0,107036 0,096282 0,085991 0,076082 0,066488 0,057153 0,048031 0,039079 0,030261 0,021545 0,012899 0,004295 — — —
45 0,363658 0,273568 0,235613 0,210523 0,190245 0,172953 0,157700 0,143925 0,131270 0,119488 0,108401 0,097878 0,087817 0,078137 0,068772 0,059669 0,050780 0,042067 0,033494 0,025029 0,016643 0,008309 — — —
46 0,360908 0,272044 0,234627 0,209938 0,189996 0,173001 0,158019 0,144497 0,132083 0,120531 0,109669 0,099367 0,089523 0,080059 0,070911 0,062025 0,053357 0,044868 0,036524 0,028293 0,020149 0,012066 0,004018 — —
47 0,358231 0,270548 0,233649 0,209345 0,189725 0,173015 0,158292 0,145013 0,132827 0,121496 0,110848 0,100755 0,091118 0,081859 0,072916 0,064236 0,055776 0,047497 0,039368 0,031357 0,023439 0,015589 0,007784 — —
48 0,355622 0,269079 0,232681 0,208745 0,189435 0,172998 0,158524 0,145476 0,133510 0,122389 0,111945 0,102051 0,092610 0,083546 0,074797 0,066312 0,058048 0,049968 0,042041 0,034237 0,026531 0,018899 0,011319 0,003769 —
49 0,353079 0,267637 0,231721 0,208141 0,189128 0,172953 0,158717 0,145891 0,134135 0,123215 0,112965 0,103261 0,094007 0,085129 0,076564 0,068264 0,060185 0,052293 0,044556 0,036947 0,029439 0,022012 0,014643 0,007312 —
50 0,350599 0,266221 0,230770 0,207532 0,188806 0,172883 0,158876 0,146263 0,134707 0,123980 0,113916 0,104393 0,095317 0,086615 0,078225 0,070100 0,062198 0,054484 0,046927 0,039500 0,032180 0,024944 0,017772 0,010646 0,003546

Wartości widoczne w tabeli są zaokrąglone do sześciu miejsc po przecinku. Przy ręcznych obliczeniach niewielka różnica względem kalkulatora może wynikać wyłącznie z tego zaokrąglenia.

Jak sprawdzić rachunek: po obliczeniu W ręcznie wklej te same dane do kalkulatora powyżej. Drobna różnica może wynikać wyłącznie z zaokrąglenia współczynników odczytanych z tablicy.

Jak interpretować wynik?

  • jeżeli W ≤ Wkryt albo p-value < α — odrzucamy H0 o zgodności rozkładu z normalnym;
  • jeżeli W > Wkryt i p-value ≥ α — nie ma podstaw do odrzucenia H0.

Statystyka W przyjmuje wartości od zera do jedności. Im bliżej jedności znajduje się W, tym uporządkowane dane bardziej przypominają układ oczekiwany przy rozkładzie normalnym. Nie oznacza to jednak, że wysoka wartość W dowodzi normalności — test może jedynie nie znaleźć dostatecznych podstaw do jej odrzucenia.

Przykład

Rozważmy dziesięć obserwacji: 0,12; 0,18; 0,24; 0,32; 0,41; 0,55; 0,74; 1,10; 1,72; 3,50. Dane są wyraźnie prawostronnie asymetryczne. Dla α = 0,05 kalkulator daje w przybliżeniu:

\[ n = 10, \qquad W = 0{,}740068, \qquad W_{kryt} = 0{,}844538, \qquad p \approx 0{,}002701. \]

Ponieważ W < Wkryt, a p-value jest mniejsze od 0,05, odrzucamy hipotezę o normalności rozkładu.

Zakres stosowania i ostrożność interpretacji

  • Kalkulator obsługuje próby od n = 3 do n = 5000.
  • Jeżeli wszystkie obserwacje są identyczne, test nie może zostać wyznaczony, ponieważ dane nie mają zróżnicowania.
  • Przy licznych wartościach powtarzających się wynik należy interpretować ostrożnie: klasyczny test wyprowadzono dla rozkładu ciągłego.
  • Przy bardzo dużych próbach test może wykrywać również niewielkie odstępstwa od normalności, które nie zawsze są ważne praktycznie.
  • Warto zestawić wynik testu z histogramem, wykresem Q – Q oraz wiedzą o naturze badanej zmiennej.
W ekonometrii: test Shapiro – Wilka można stosować do badania normalności reszt modelu. Nie bada on autokorelacji ani heteroskedastyczności. Do autokorelacji pierwszego rzędu służy np. test Durbina – Watsona, a do asymptotycznej oceny normalności na podstawie skośności i kurtozy — test Jarque’a – Bery.

Powiązane materiały

Pomoc w statystyce i ekonometrii

Nie wiesz, której tablicy użyć?

Pomagamy dobrać właściwy rozkład, odczytać wartość krytyczną, wybrać test statystyczny oraz poprawnie zinterpretować wynik. Możemy też przejść przez całe zadanie krok po kroku.

  • statystyka, ekonometria i analiza danych,
  • testowanie hipotez i interpretacja wyników,
  • konsultacje online oraz pomoc w rozwiązaniu zadania.
Skonsultuj zadanie

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl