Wszechnica Wszechwiedzy - Baner

Wszechnica Wszechwiedzy

Test Durbina – Watsona — tablica i kalkulator

Test Durbina – Watsona służy do badania autokorelacji pierwszego rzędu w resztach modelu regresji uporządkowanych w czasie. Na stronie znajdują się klasyczne tablice granic dL i dU, kalkulator statystyki d oraz automatyczna interpretacja dla autokorelacji dodatniej i ujemnej.

Na czym polega test Durbina – Watsona?

Test bada, czy kolejne reszty modelu regresji są ze sobą powiązane. Gdy reszta z jednego okresu jest dodatnia i po niej często występuje kolejna dodatnia reszta, może to świadczyć o autokorelacji dodatniej. Gdy znaki reszt nadmiernie się przeplatają, możliwa jest autokorelacja ujemna.

Warunkiem koniecznym jest zachowanie sensownej kolejności obserwacji — najczęściej chronologicznej. Samo przestawienie wierszy danych może zmienić wartość statystyki, dlatego testu nie interpretuje się dla danych ułożonych przypadkowo.

Hipoteza zerowa H0: brak autokorelacji pierwszego rzędu składnika losowego. Hipoteza alternatywna: występuje autokorelacja dodatnia albo ujemna pierwszego rzędu. Klasyczna tablica na tej stronie dotyczy modeli OLS z wyrazem wolnym; liczba k oznacza liczbę regresorów bez stałej.

Wzór na statystykę d

Dla reszt e1, e2, …, en statystykę wyznaczamy ze wzoru:

$$d=\frac{\sum_{t=2}^{n}(e_t-e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n}e_t^2}.$$

Wartość d należy do przedziału od 0 do 4. W uproszczonej interpretacji wartość w pobliżu 2 sugeruje brak autokorelacji pierwszego rzędu, wartość wyraźnie mniejsza od 2 — możliwą autokorelację dodatnią, a wyraźnie większa od 2 — możliwą autokorelację ujemną. Do formalnego wniosku wykorzystujemy jednak granice dL i dU.

Tablice granic dL i dU

Klasyczne tablice podają dwie granice zależne od liczby obserwacji n, liczby regresorów k oraz poziomu istotności α. Dolna granica to dL, a górna — dU. W tym zestawieniu k nie obejmuje wyrazu wolnego.

Wartości pochodzą z klasycznych tablic Savina i White’a dla modeli z wyrazem wolnym. Tablica obejmuje poziomy α = 0,05 i α = 0,01, liczebności od 6 do 200 oraz do 20 regresorów.

Poziom istotności α = 0,05 — k = 1 – 10

W każdej komórce podano granice dL i dU. Wiersz oznacza liczbę obserwacji n, a kolumna — liczbę zmiennych objaśniających k, bez wyrazu wolnego.

Granice dL / dU dla α = 0,05; model z wyrazem wolnym, k bez wyrazu wolnego
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 dL 0,610dU 1,400 — — — — — — — — —
7 dL 0,700dU 1,356 dL 0,467dU 1,896 — — — — — — — —
8 dL 0,763dU 1,332 dL 0,559dU 1,777 dL 0,367dU 2,287 — — — — — — —
9 dL 0,824dU 1,320 dL 0,629dU 1,699 dL 0,455dU 2,128 dL 0,296dU 2,588 — — — — — —
10 dL 0,879dU 1,320 dL 0,697dU 1,641 dL 0,525dU 2,016 dL 0,376dU 2,414 dL 0,243dU 2,822 — — — — —
11 dL 0,927dU 1,324 dL 0,758dU 1,604 dL 0,595dU 1,928 dL 0,444dU 2,283 dL 0,315dU 2,645 dL 0,203dU 3,004 — — — —
12 dL 0,971dU 1,331 dL 0,812dU 1,579 dL 0,658dU 1,864 dL 0,512dU 2,177 dL 0,380dU 2,506 dL 0,268dU 2,832 dL 0,171dU 3,149 — — —
13 dL 1,010dU 1,340 dL 0,861dU 1,562 dL 0,715dU 1,816 dL 0,574dU 2,094 dL 0,444dU 2,390 dL 0,328dU 2,692 dL 0,230dU 2,985 dL 0,147dU 3,266 — —
14 dL 1,045dU 1,350 dL 0,905dU 1,551 dL 0,767dU 1,779 dL 0,632dU 2,030 dL 0,505dU 2,296 dL 0,389dU 2,572 dL 0,286dU 2,848 dL 0,200dU 3,111 dL 0,127dU 3,360 —
15 dL 1,077dU 1,361 dL 0,946dU 1,543 dL 0,814dU 1,750 dL 0,685dU 1,977 dL 0,562dU 2,220 dL 0,447dU 2,471 dL 0,343dU 2,727 dL 0,251dU 2,979 dL 0,175dU 3,216 dL 0,111dU 3,438
16 dL 1,106dU 1,371 dL 0,982dU 1,539 dL 0,857dU 1,728 dL 0,734dU 1,935 dL 0,615dU 2,157 dL 0,502dU 2,388 dL 0,398dU 2,624 dL 0,304dU 2,860 dL 0,222dU 3,090 dL 0,155dU 3,304
17 dL 1,133dU 1,381 dL 1,015dU 1,536 dL 0,897dU 1,710 dL 0,779dU 1,900 dL 0,664dU 2,104 dL 0,554dU 2,318 dL 0,451dU 2,537 dL 0,356dU 2,757 dL 0,272dU 2,975 dL 0,198dU 3,184
18 dL 1,158dU 1,391 dL 1,046dU 1,535 dL 0,933dU 1,696 dL 0,820dU 1,872 dL 0,710dU 2,060 dL 0,603dU 2,258 dL 0,502dU 2,461 dL 0,407dU 2,668 dL 0,321dU 2,873 dL 0,244dU 3,073
19 dL 1,180dU 1,401 dL 1,074dU 1,536 dL 0,967dU 1,685 dL 0,859dU 1,848 dL 0,752dU 2,023 dL 0,649dU 2,206 dL 0,549dU 2,396 dL 0,456dU 2,589 dL 0,369dU 2,783 dL 0,290dU 2,974
20 dL 1,201dU 1,411 dL 1,100dU 1,537 dL 0,998dU 1,676 dL 0,894dU 1,828 dL 0,792dU 1,991 dL 0,691dU 2,162 dL 0,595dU 2,339 dL 0,502dU 2,521 dL 0,416dU 2,704 dL 0,336dU 2,885
21 dL 1,221dU 1,420 dL 1,125dU 1,538 dL 1,026dU 1,669 dL 0,927dU 1,812 dL 0,829dU 1,964 dL 0,731dU 2,124 dL 0,637dU 2,290 dL 0,546dU 2,461 dL 0,461dU 2,633 dL 0,380dU 2,806
22 dL 1,239dU 1,429 dL 1,147dU 1,541 dL 1,053dU 1,664 dL 0,958dU 1,797 dL 0,863dU 1,940 dL 0,769dU 2,090 dL 0,677dU 2,246 dL 0,588dU 2,407 dL 0,504dU 2,571 dL 0,424dU 2,735
23 dL 1,257dU 1,437 dL 1,168dU 1,543 dL 1,078dU 1,660 dL 0,986dU 1,785 dL 0,895dU 1,920 dL 0,804dU 2,061 dL 0,715dU 2,208 dL 0,628dU 2,360 dL 0,545dU 2,514 dL 0,465dU 2,670
24 dL 1,273dU 1,446 dL 1,188dU 1,546 dL 1,101dU 1,656 dL 1,013dU 1,775 dL 0,925dU 1,902 dL 0,837dU 2,035 dL 0,750dU 2,174 dL 0,666dU 2,318 dL 0,584dU 2,464 dL 0,506dU 2,613
25 dL 1,288dU 1,454 dL 1,206dU 1,550 dL 1,123dU 1,654 dL 1,038dU 1,767 dL 0,953dU 1,886 dL 0,868dU 2,013 dL 0,784dU 2,144 dL 0,702dU 2,280 dL 0,621dU 2,419 dL 0,544dU 2,560
26 dL 1,302dU 1,461 dL 1,224dU 1,553 dL 1,143dU 1,652 dL 1,062dU 1,759 dL 0,979dU 1,873 dL 0,897dU 1,992 dL 0,816dU 2,117 dL 0,735dU 2,246 dL 0,657dU 2,379 dL 0,581dU 2,513
27 dL 1,316dU 1,469 dL 1,240dU 1,556 dL 1,162dU 1,651 dL 1,084dU 1,753 dL 1,004dU 1,861 dL 0,925dU 1,974 dL 0,845dU 2,093 dL 0,767dU 2,216 dL 0,691dU 2,342 dL 0,616dU 2,470
28 dL 1,328dU 1,476 dL 1,255dU 1,560 dL 1,181dU 1,650 dL 1,104dU 1,747 dL 1,028dU 1,850 dL 0,951dU 1,959 dL 0,874dU 2,071 dL 0,798dU 2,188 dL 0,723dU 2,309 dL 0,649dU 2,431
29 dL 1,341dU 1,483 dL 1,270dU 1,563 dL 1,198dU 1,650 dL 1,124dU 1,743 dL 1,050dU 1,841 dL 0,975dU 1,944 dL 0,900dU 2,052 dL 0,826dU 2,164 dL 0,753dU 2,278 dL 0,681dU 2,396
30 dL 1,352dU 1,489 dL 1,284dU 1,567 dL 1,214dU 1,650 dL 1,143dU 1,739 dL 1,071dU 1,833 dL 0,998dU 1,931 dL 0,926dU 2,034 dL 0,854dU 2,141 dL 0,782dU 2,251 dL 0,712dU 2,363
31 dL 1,363dU 1,496 dL 1,297dU 1,570 dL 1,229dU 1,650 dL 1,160dU 1,735 dL 1,090dU 1,825 dL 1,020dU 1,920 dL 0,950dU 2,018 dL 0,879dU 2,120 dL 0,810dU 2,226 dL 0,741dU 2,333
32 dL 1,373dU 1,502 dL 1,309dU 1,574 dL 1,244dU 1,650 dL 1,177dU 1,732 dL 1,109dU 1,819 dL 1,041dU 1,909 dL 0,972dU 2,004 dL 0,904dU 2,102 dL 0,836dU 2,203 dL 0,769dU 2,306
33 dL 1,383dU 1,508 dL 1,321dU 1,577 dL 1,258dU 1,651 dL 1,193dU 1,730 dL 1,127dU 1,813 dL 1,061dU 1,900 dL 0,994dU 1,991 dL 0,927dU 2,085 dL 0,861dU 2,181 dL 0,796dU 2,281
34 dL 1,393dU 1,514 dL 1,333dU 1,580 dL 1,271dU 1,652 dL 1,208dU 1,728 dL 1,144dU 1,808 dL 1,079dU 1,891 dL 1,015dU 1,978 dL 0,950dU 2,069 dL 0,885dU 2,162 dL 0,821dU 2,257
35 dL 1,402dU 1,519 dL 1,343dU 1,584 dL 1,283dU 1,653 dL 1,222dU 1,726 dL 1,160dU 1,803 dL 1,097dU 1,884 dL 1,034dU 1,967 dL 0,971dU 2,054 dL 0,908dU 2,144 dL 0,845dU 2,236
36 dL 1,411dU 1,525 dL 1,354dU 1,587 dL 1,295dU 1,654 dL 1,236dU 1,724 dL 1,175dU 1,799 dL 1,114dU 1,876 dL 1,053dU 1,957 dL 0,991dU 2,041 dL 0,930dU 2,127 dL 0,868dU 2,216
37 dL 1,419dU 1,530 dL 1,364dU 1,590 dL 1,307dU 1,655 dL 1,249dU 1,723 dL 1,190dU 1,795 dL 1,131dU 1,870 dL 1,071dU 1,948 dL 1,011dU 2,029 dL 0,951dU 2,112 dL 0,891dU 2,197
38 dL 1,427dU 1,535 dL 1,373dU 1,594 dL 1,318dU 1,656 dL 1,261dU 1,722 dL 1,204dU 1,792 dL 1,146dU 1,864 dL 1,088dU 1,939 dL 1,029dU 2,017 dL 0,970dU 2,098 dL 0,912dU 2,180
39 dL 1,435dU 1,540 dL 1,382dU 1,597 dL 1,328dU 1,658 dL 1,273dU 1,722 dL 1,218dU 1,789 dL 1,161dU 1,859 dL 1,104dU 1,932 dL 1,047dU 2,007 dL 0,990dU 2,085 dL 0,932dU 2,164
40 dL 1,442dU 1,544 dL 1,391dU 1,600 dL 1,338dU 1,659 dL 1,285dU 1,721 dL 1,230dU 1,786 dL 1,175dU 1,854 dL 1,120dU 1,924 dL 1,064dU 1,997 dL 1,008dU 2,072 dL 0,952dU 2,149
45 dL 1,475dU 1,566 dL 1,430dU 1,615 dL 1,383dU 1,666 dL 1,336dU 1,720 dL 1,287dU 1,776 dL 1,238dU 1,835 dL 1,189dU 1,895 dL 1,139dU 1,958 dL 1,089dU 2,022 dL 1,038dU 2,088
50 dL 1,503dU 1,585 dL 1,462dU 1,628 dL 1,421dU 1,674 dL 1,378dU 1,721 dL 1,335dU 1,771 dL 1,291dU 1,822 dL 1,246dU 1,875 dL 1,201dU 1,930 dL 1,156dU 1,986 dL 1,110dU 2,044
55 dL 1,528dU 1,601 dL 1,490dU 1,641 dL 1,452dU 1,681 dL 1,414dU 1,724 dL 1,374dU 1,768 dL 1,334dU 1,814 dL 1,294dU 1,861 dL 1,253dU 1,909 dL 1,212dU 1,959 dL 1,170dU 2,010
60 dL 1,549dU 1,616 dL 1,514dU 1,652 dL 1,480dU 1,689 dL 1,444dU 1,727 dL 1,408dU 1,767 dL 1,372dU 1,808 dL 1,335dU 1,850 dL 1,298dU 1,894 dL 1,260dU 1,939 dL 1,222dU 1,984
65 dL 1,567dU 1,629 dL 1,536dU 1,662 dL 1,503dU 1,696 dL 1,471dU 1,731 dL 1,438dU 1,767 dL 1,404dU 1,805 dL 1,370dU 1,843 dL 1,336dU 1,882 dL 1,301dU 1,923 dL 1,266dU 1,964
70 dL 1,583dU 1,641 dL 1,554dU 1,672 dL 1,525dU 1,703 dL 1,494dU 1,735 dL 1,464dU 1,768 dL 1,433dU 1,802 dL 1,401dU 1,838 dL 1,369dU 1,874 dL 1,337dU 1,910 dL 1,305dU 1,948
75 dL 1,598dU 1,652 dL 1,571dU 1,680 dL 1,543dU 1,709 dL 1,515dU 1,739 dL 1,487dU 1,770 dL 1,458dU 1,801 dL 1,428dU 1,834 dL 1,399dU 1,867 dL 1,369dU 1,901 dL 1,339dU 1,935
80 dL 1,611dU 1,662 dL 1,586dU 1,688 dL 1,560dU 1,715 dL 1,534dU 1,743 dL 1,507dU 1,772 dL 1,480dU 1,801 dL 1,453dU 1,831 dL 1,425dU 1,861 dL 1,397dU 1,893 dL 1,369dU 1,925
85 dL 1,624dU 1,671 dL 1,600dU 1,696 dL 1,575dU 1,721 dL 1,550dU 1,747 dL 1,525dU 1,774 dL 1,500dU 1,801 dL 1,474dU 1,829 dL 1,448dU 1,857 dL 1,422dU 1,886 dL 1,396dU 1,916
90 dL 1,635dU 1,679 dL 1,612dU 1,703 dL 1,589dU 1,726 dL 1,566dU 1,751 dL 1,542dU 1,776 dL 1,518dU 1,801 dL 1,494dU 1,827 dL 1,469dU 1,854 dL 1,445dU 1,881 dL 1,420dU 1,909
95 dL 1,645dU 1,687 dL 1,623dU 1,709 dL 1,602dU 1,732 dL 1,579dU 1,755 dL 1,557dU 1,778 dL 1,535dU 1,802 dL 1,512dU 1,827 dL 1,489dU 1,852 dL 1,465dU 1,877 dL 1,442dU 1,903
100 dL 1,654dU 1,694 dL 1,634dU 1,715 dL 1,613dU 1,736 dL 1,592dU 1,758 dL 1,571dU 1,780 dL 1,550dU 1,803 dL 1,528dU 1,826 dL 1,506dU 1,850 dL 1,484dU 1,874 dL 1,462dU 1,898
150 dL 1,720dU 1,747 dL 1,706dU 1,760 dL 1,693dU 1,774 dL 1,679dU 1,788 dL 1,665dU 1,802 dL 1,651dU 1,817 dL 1,637dU 1,832 dL 1,622dU 1,846 dL 1,608dU 1,862 dL 1,593dU 1,877
200 dL 1,758dU 1,779 dL 1,748dU 1,789 dL 1,738dU 1,799 dL 1,728dU 1,809 dL 1,718dU 1,820 dL 1,707dU 1,831 dL 1,697dU 1,841 dL 1,686dU 1,852 dL 1,675dU 1,863 dL 1,665dU 1,874
Poziom istotności α = 0,05 — k = 11 – 20

Rozszerzona część klasycznej tablicy dla modeli z większą liczbą regresorów.

Granice dL / dU dla α = 0,05; model z wyrazem wolnym, k bez wyrazu wolnego
n \ k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6 — — — — — — — — — —
7 — — — — — — — — — —
8 — — — — — — — — — —
9 — — — — — — — — — —
10 — — — — — — — — — —
11 — — — — — — — — — —
12 — — — — — — — — — —
13 — — — — — — — — — —
14 — — — — — — — — — —
15 — — — — — — — — — —
16 dL 0,098dU 3,503 — — — — — — — — —
17 dL 0,138dU 3,378 dL 0,087dU 3,557 — — — — — — — —
18 dL 0,177dU 3,265 dL 0,123dU 3,441 dL 0,078dU 3,603 — — — — — — —
19 dL 0,220dU 3,159 dL 0,160dU 3,335 dL 0,111dU 3,496 dL 0,070dU 3,642 — — — — — —
20 dL 0,263dU 3,063 dL 0,200dU 3,234 dL 0,145dU 3,395 dL 0,100dU 3,542 dL 0,063dU 3,676 — — — — —
21 dL 0,307dU 2,976 dL 0,240dU 3,141 dL 0,182dU 3,300 dL 0,132dU 3,448 dL 0,091dU 3,583 dL 0,058dU 3,705 — — — —
22 dL 0,349dU 2,897 dL 0,281dU 3,057 dL 0,220dU 3,211 dL 0,166dU 3,358 dL 0,120dU 3,495 dL 0,083dU 3,619 dL 0,052dU 3,731 — — —
23 dL 0,391dU 2,826 dL 0,322dU 2,979 dL 0,259dU 3,128 dL 0,202dU 3,272 dL 0,153dU 3,409 dL 0,110dU 3,535 dL 0,076dU 3,650 dL 0,048dU 3,753 — —
24 dL 0,431dU 2,761 dL 0,362dU 2,908 dL 0,297dU 3,053 dL 0,239dU 3,193 dL 0,186dU 3,327 dL 0,141dU 3,454 dL 0,101dU 3,572 dL 0,070dU 3,678 dL 0,044dU 3,773 —
25 dL 0,470dU 2,702 dL 0,400dU 2,844 dL 0,335dU 2,983 dL 0,275dU 3,119 dL 0,221dU 3,251 dL 0,172dU 3,376 dL 0,130dU 3,494 dL 0,094dU 3,604 dL 0,065dU 3,702 dL 0,041dU 3,790
26 dL 0,508dU 2,649 dL 0,438dU 2,784 dL 0,373dU 2,919 dL 0,312dU 3,051 dL 0,256dU 3,179 dL 0,205dU 3,303 dL 0,160dU 3,420 dL 0,120dU 3,531 dL 0,087dU 3,632 dL 0,060dU 3,724
27 dL 0,544dU 2,600 dL 0,475dU 2,730 dL 0,409dU 2,859 dL 0,348dU 2,987 dL 0,291dU 3,112 dL 0,238dU 3,233 dL 0,191dU 3,349 dL 0,149dU 3,460 dL 0,112dU 3,563 dL 0,081dU 3,658
28 dL 0,578dU 2,555 dL 0,510dU 2,680 dL 0,445dU 2,805 dL 0,383dU 2,928 dL 0,325dU 3,050 dL 0,271dU 3,168 dL 0,222dU 3,283 dL 0,178dU 3,392 dL 0,138dU 3,495 dL 0,104dU 3,592
29 dL 0,612dU 2,515 dL 0,544dU 2,634 dL 0,479dU 2,755 dL 0,418dU 2,874 dL 0,359dU 2,992 dL 0,305dU 3,107 dL 0,254dU 3,219 dL 0,208dU 3,327 dL 0,166dU 3,431 dL 0,129dU 3,528
30 dL 0,643dU 2,477 dL 0,577dU 2,592 dL 0,512dU 2,708 dL 0,451dU 2,823 dL 0,392dU 2,937 dL 0,337dU 3,050 dL 0,286dU 3,160 dL 0,238dU 3,266 dL 0,195dU 3,368 dL 0,156dU 3,465
31 dL 0,674dU 2,443 dL 0,608dU 2,553 dL 0,545dU 2,665 dL 0,484dU 2,776 dL 0,425dU 2,887 dL 0,370dU 2,996 dL 0,317dU 3,103 dL 0,269dU 3,208 dL 0,224dU 3,309 dL 0,183dU 3,406
32 dL 0,703dU 2,411 dL 0,638dU 2,517 dL 0,576dU 2,625 dL 0,515dU 2,733 dL 0,457dU 2,840 dL 0,401dU 2,946 dL 0,349dU 3,050 dL 0,299dU 3,153 dL 0,253dU 3,252 dL 0,211dU 3,348
33 dL 0,731dU 2,382 dL 0,668dU 2,484 dL 0,606dU 2,588 dL 0,546dU 2,692 dL 0,488dU 2,796 dL 0,432dU 2,899 dL 0,379dU 3,000 dL 0,329dU 3,100 dL 0,283dU 3,198 dL 0,239dU 3,293
34 dL 0,758dU 2,355 dL 0,695dU 2,454 dL 0,634dU 2,554 dL 0,575dU 2,654 dL 0,518dU 2,754 dL 0,462dU 2,854 dL 0,409dU 2,954 dL 0,359dU 3,051 dL 0,312dU 3,147 dL 0,267dU 3,240
35 dL 0,783dU 2,330 dL 0,722dU 2,425 dL 0,662dU 2,521 dL 0,604dU 2,619 dL 0,547dU 2,716 dL 0,492dU 2,813 dL 0,439dU 2,910 dL 0,388dU 3,005 dL 0,340dU 3,099 dL 0,295dU 3,190
36 dL 0,808dU 2,306 dL 0,748dU 2,398 dL 0,689dU 2,492 dL 0,631dU 2,586 dL 0,575dU 2,680 dL 0,520dU 2,774 dL 0,467dU 2,868 dL 0,417dU 2,961 dL 0,369dU 3,053 dL 0,323dU 3,142
37 dL 0,831dU 2,285 dL 0,772dU 2,374 dL 0,714dU 2,464 dL 0,657dU 2,555 dL 0,602dU 2,646 dL 0,548dU 2,738 dL 0,495dU 2,829 dL 0,445dU 2,920 dL 0,397dU 3,009 dL 0,351dU 3,097
38 dL 0,854dU 2,265 dL 0,796dU 2,351 dL 0,739dU 2,438 dL 0,683dU 2,526 dL 0,628dU 2,614 dL 0,575dU 2,703 dL 0,522dU 2,792 dL 0,472dU 2,880 dL 0,424dU 2,968 dL 0,378dU 3,054
39 dL 0,875dU 2,246 dL 0,819dU 2,329 dL 0,763dU 2,413 dL 0,707dU 2,499 dL 0,653dU 2,585 dL 0,600dU 2,671 dL 0,549dU 2,757 dL 0,499dU 2,843 dL 0,451dU 2,929 dL 0,404dU 3,013
40 dL 0,896dU 2,228 dL 0,840dU 2,309 dL 0,785dU 2,391 dL 0,731dU 2,473 dL 0,678dU 2,557 dL 0,626dU 2,641 dL 0,575dU 2,724 dL 0,525dU 2,808 dL 0,477dU 2,829 dL 0,430dU 2,974
45 dL 0,988dU 2,156 dL 0,938dU 2,225 dL 0,887dU 2,296 dL 0,838dU 2,367 dL 0,788dU 2,439 dL 0,740dU 2,512 dL 0,692dU 2,586 dL 0,644dU 2,659 dL 0,598dU 2,733 dL 0,553dU 2,807
50 dL 1,064dU 2,103 dL 1,019dU 2,163 dL 0,973dU 2,225 dL 0,927dU 2,287 dL 0,882dU 2,350 dL 0,836dU 2,414 dL 0,792dU 2,479 dL 0,747dU 2,544 dL 0,703dU 2,610 dL 0,660dU 2,675
55 dL 1,129dU 2,062 dL 1,087dU 2,116 dL 1,045dU 2,170 dL 1,003dU 2,225 dL 0,961dU 2,281 dL 0,919dU 2,338 dL 0,877dU 2,396 dL 0,836dU 2,454 dL 0,795dU 2,512 dL 0,754dU 2,571
60 dL 1,184dU 2,031 dL 1,145dU 2,079 dL 1,106dU 2,127 dL 1,068dU 2,177 dL 1,029dU 2,227 dL 0,990dU 2,278 dL 0,951dU 2,330 dL 0,913dU 2,382 dL 0,874dU 2,434 dL 0,836dU 2,487
65 dL 1,231dU 2,006 dL 1,195dU 2,049 dL 1,160dU 2,093 dL 1,124dU 2,138 dL 1,088dU 2,183 dL 1,052dU 2,229 dL 1,016dU 2,276 dL 0,980dU 2,323 dL 0,944dU 2,371 dL 0,908dU 2,419
70 dL 1,272dU 1,987 dL 1,239dU 2,026 dL 1,206dU 2,066 dL 1,172dU 2,106 dL 1,139dU 2,148 dL 1,105dU 2,189 dL 1,072dU 2,232 dL 1,038dU 2,275 dL 1,005dU 2,318 dL 0,971dU 2,362
75 dL 1,308dU 1,970 dL 1,277dU 2,006 dL 1,247dU 2,043 dL 1,215dU 2,080 dL 1,184dU 2,118 dL 1,153dU 2,156 dL 1,121dU 2,195 dL 1,090dU 2,235 dL 1,058dU 2,275 dL 1,027dU 2,315
80 dL 1,340dU 1,957 dL 1,311dU 1,991 dL 1,283dU 2,024 dL 1,253dU 2,059 dL 1,224dU 2,093 dL 1,195dU 2,129 dL 1,165dU 2,165 dL 1,136dU 2,201 dL 1,106dU 2,238 dL 1,076dU 2,275
85 dL 1,369dU 1,946 dL 1,342dU 1,977 dL 1,315dU 2,009 dL 1,287dU 2,040 dL 1,260dU 2,073 dL 1,232dU 2,105 dL 1,205dU 2,139 dL 1,177dU 2,172 dL 1,149dU 2,206 dL 1,121dU 2,241
90 dL 1,395dU 1,937 dL 1,369dU 1,966 dL 1,344dU 1,995 dL 1,318dU 2,025 dL 1,292dU 2,055 dL 1,266dU 2,085 dL 1,240dU 2,116 dL 1,213dU 2,148 dL 1,187dU 2,179 dL 1,160dU 2,211
95 dL 1,418dU 1,930 dL 1,394dU 1,956 dL 1,370dU 1,984 dL 1,345dU 2,012 dL 1,321dU 2,040 dL 1,296dU 2,068 dL 1,271dU 2,097 dL 1,247dU 2,126 dL 1,222dU 2,156 dL 1,197dU 2,186
100 dL 1,439dU 1,923 dL 1,416dU 1,948 dL 1,393dU 1,974 dL 1,371dU 2,000 dL 1,347dU 2,026 dL 1,324dU 2,053 dL 1,301dU 2,080 dL 1,277dU 2,108 dL 1,253dU 2,135 dL 1,229dU 2,164
150 dL 1,579dU 1,892 dL 1,564dU 1,908 dL 1,550dU 1,924 dL 1,535dU 1,940 dL 1,519dU 1,956 dL 1,504dU 1,972 dL 1,489dU 1,989 dL 1,474dU 2,006 dL 1,458dU 2,023 dL 1,443dU 2,040
200 dL 1,654dU 1,885 dL 1,643dU 1,896 dL 1,632dU 1,908 dL 1,621dU 1,919 dL 1,610dU 1,931 dL 1,599dU 1,943 dL 1,588dU 1,955 dL 1,576dU 1,967 dL 1,565dU 1,979 dL 1,554dU 1,991
Poziom istotności α = 0,01 — k = 1 – 10

Granice dla bardziej restrykcyjnego poziomu istotności α = 0,01.

Granice dL / dU dla α = 0,01; model z wyrazem wolnym, k bez wyrazu wolnego
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 dL 0,390dU 1,142 — — — — — — — — —
7 dL 0,435dU 1,036 dL 0,294dU 1,676 — — — — — — — —
8 dL 0,497dU 1,003 dL 0,345dU 1,489 dL 0,229dU 2,102 — — — — — — —
9 dL 0,554dU 0,998 dL 0,408dU 1,389 dL 0,279dU 1,875 dL 0,183dU 2,433 — — — — — —
10 dL 0,604dU 1,001 dL 0,466dU 1,333 dL 0,340dU 1,733 dL 0,230dU 2,193 dL 0,150dU 2,690 — — — — —
11 dL 0,653dU 1,010 dL 0,519dU 1,297 dL 0,396dU 1,640 dL 0,286dU 2,030 dL 0,193dU 2,453 dL 0,124dU 2,892 — — — —
12 dL 0,697dU 1,023 dL 0,569dU 1,274 dL 0,449dU 1,575 dL 0,339dU 1,913 dL 0,244dU 2,280 dL 0,164dU 2,665 dL 0,105dU 3,053 — — —
13 dL 0,738dU 1,038 dL 0,616dU 1,261 dL 0,499dU 1,526 dL 0,391dU 1,826 dL 0,294dU 2,150 dL 0,211dU 2,490 dL 0,140dU 2,838 dL 0,090dU 3,182 — —
14 dL 0,776dU 1,054 dL 0,660dU 1,254 dL 0,547dU 1,490 dL 0,441dU 1,757 dL 0,343dU 2,049 dL 0,257dU 2,354 dL 0,183dU 2,667 dL 0,122dU 2,981 dL 0,078dU 3,287 —
15 dL 0,811dU 1,070 dL 0,700dU 1,252 dL 0,591dU 1,465 dL 0,487dU 1,705 dL 0,390dU 1,967 dL 0,303dU 2,244 dL 0,226dU 2,530 dL 0,161dU 2,817 dL 0,107dU 3,101 dL 0,068dU 3,374
16 dL 0,844dU 1,086 dL 0,738dU 1,253 dL 0,633dU 1,447 dL 0,532dU 1,664 dL 0,437dU 1,901 dL 0,349dU 2,153 dL 0,269dU 2,416 dL 0,200dU 2,681 dL 0,142dU 2,944 dL 0,094dU 3,201
17 dL 0,873dU 1,102 dL 0,773dU 1,255 dL 0,672dU 1,432 dL 0,574dU 1,631 dL 0,481dU 1,847 dL 0,393dU 2,078 dL 0,313dU 2,319 dL 0,241dU 2,566 dL 0,179dU 2,811 dL 0,127dU 3,053
18 dL 0,902dU 1,118 dL 0,805dU 1,259 dL 0,708dU 1,422 dL 0,614dU 1,604 dL 0,522dU 1,803 dL 0,435dU 2,015 dL 0,355dU 2,238 dL 0,282dU 2,467 dL 0,216dU 2,697 dL 0,160dU 2,925
19 dL 0,928dU 1,133 dL 0,835dU 1,264 dL 0,742dU 1,416 dL 0,650dU 1,583 dL 0,561dU 1,767 dL 0,476dU 1,963 dL 0,396dU 2,169 dL 0,322dU 2,381 dL 0,255dU 2,597 dL 0,196dU 2,813
20 dL 0,952dU 1,147 dL 0,862dU 1,270 dL 0,774dU 1,410 dL 0,684dU 1,567 dL 0,598dU 1,736 dL 0,515dU 1,918 dL 0,436dU 2,110 dL 0,362dU 2,308 dL 0,294dU 2,510 dL 0,232dU 2,174
21 dL 0,975dU 1,161 dL 0,889dU 1,276 dL 0,803dU 1,408 dL 0,718dU 1,554 dL 0,634dU 1,712 dL 0,552dU 1,881 dL 0,474dU 2,059 dL 0,400dU 2,244 dL 0,331dU 2,434 dL 0,268dU 2,625
22 dL 0,997dU 1,174 dL 0,915dU 1,284 dL 0,832dU 1,407 dL 0,748dU 1,543 dL 0,666dU 1,691 dL 0,587dU 1,849 dL 0,510dU 2,015 dL 0,437dU 2,188 dL 0,368dU 2,367 dL 0,304dU 2,548
23 dL 1,017dU 1,186 dL 0,938dU 1,290 dL 0,858dU 1,407 dL 0,777dU 1,535 dL 0,699dU 1,674 dL 0,620dU 1,821 dL 0,545dU 1,977 dL 0,473dU 2,140 dL 0,404dU 2,308 dL 0,340dU 2,479
24 dL 1,037dU 1,199 dL 0,959dU 1,298 dL 0,881dU 1,407 dL 0,805dU 1,527 dL 0,728dU 1,659 dL 0,652dU 1,797 dL 0,578dU 1,944 dL 0,507dU 2,097 dL 0,439dU 2,255 dL 0,375dU 2,417
25 dL 1,055dU 1,210 dL 0,981dU 1,305 dL 0,906dU 1,408 dL 0,832dU 1,521 dL 0,756dU 1,645 dL 0,682dU 1,776 dL 0,610dU 1,915 dL 0,540dU 2,059 dL 0,473dU 2,209 dL 0,409dU 2,362
26 dL 1,072dU 1,222 dL 1,000dU 1,311 dL 0,928dU 1,410 dL 0,855dU 1,517 dL 0,782dU 1,635 dL 0,711dU 1,759 dL 0,640dU 1,889 dL 0,572dU 2,026 dL 0,505dU 2,168 dL 0,441dU 2,313
27 dL 1,088dU 1,232 dL 1,019dU 1,318 dL 0,948dU 1,413 dL 0,878dU 1,514 dL 0,808dU 1,625 dL 0,738dU 1,743 dL 0,669dU 1,867 dL 0,602dU 1,997 dL 0,536dU 2,131 dL 0,473dU 2,269
28 dL 1,104dU 1,244 dL 1,036dU 1,325 dL 0,969dU 1,414 dL 0,901dU 1,512 dL 0,832dU 1,618 dL 0,764dU 1,729 dL 0,696dU 1,847 dL 0,630dU 1,970 dL 0,566dU 2,098 dL 0,504dU 2,229
29 dL 1,119dU 1,254 dL 1,053dU 1,332 dL 0,988dU 1,418 dL 0,921dU 1,511 dL 0,855dU 1,611 dL 0,788dU 1,718 dL 0,723dU 1,830 dL 0,658dU 1,947 dL 0,595dU 2,068 dL 0,533dU 2,193
30 dL 1,134dU 1,264 dL 1,070dU 1,339 dL 1,006dU 1,421 dL 0,941dU 1,510 dL 0,877dU 1,606 dL 0,812dU 1,707 dL 0,748dU 1,814 dL 0,684dU 1,925 dL 0,622dU 2,041 dL 0,562dU 2,160
31 dL 1,147dU 1,274 dL 1,085dU 1,345 dL 1,022dU 1,425 dL 0,960dU 1,509 dL 0,897dU 1,601 dL 0,834dU 1,698 dL 0,772dU 1,800 dL 0,710dU 1,906 dL 0,649dU 2,017 dL 0,589dU 2,131
32 dL 1,160dU 1,283 dL 1,100dU 1,351 dL 1,039dU 1,428 dL 0,978dU 1,509 dL 0,917dU 1,597 dL 0,856dU 1,690 dL 0,794dU 1,788 dL 0,734dU 1,889 dL 0,674dU 1,995 dL 0,615dU 2,104
33 dL 1,171dU 1,291 dL 1,114dU 1,358 dL 1,055dU 1,432 dL 0,995dU 1,510 dL 0,935dU 1,594 dL 0,876dU 1,683 dL 0,816dU 1,776 dL 0,757dU 1,874 dL 0,698dU 1,975 dL 0,641dU 2,080
34 dL 1,184dU 1,298 dL 1,128dU 1,364 dL 1,070dU 1,436 dL 1,012dU 1,511 dL 0,954dU 1,591 dL 0,896dU 1,677 dL 0,837dU 1,766 dL 0,779dU 1,860 dL 0,722dU 1,957 dL 0,665dU 2,057
35 dL 1,195dU 1,307 dL 1,141dU 1,370 dL 1,085dU 1,439 dL 1,028dU 1,512 dL 0,971dU 1,589 dL 0,914dU 1,671 dL 0,857dU 1,757 dL 0,800dU 1,847 dL 0,744dU 1,940 dL 0,689dU 2,037
36 dL 1,205dU 1,315 dL 1,153dU 1,376 dL 1,098dU 1,442 dL 1,043dU 1,513 dL 0,987dU 1,587 dL 0,932dU 1,666 dL 0,877dU 1,749 dL 0,821dU 1,836 dL 0,766dU 1,925 dL 0,711dU 2,018
37 dL 1,217dU 1,322 dL 1,164dU 1,383 dL 1,112dU 1,446 dL 1,058dU 1,514 dL 1,004dU 1,585 dL 0,950dU 1,662 dL 0,895dU 1,742 dL 0,841dU 1,825 dL 0,787dU 1,911 dL 0,733dU 2,001
38 dL 1,227dU 1,330 dL 1,176dU 1,388 dL 1,124dU 1,449 dL 1,072dU 1,515 dL 1,019dU 1,584 dL 0,966dU 1,658 dL 0,913dU 1,735 dL 0,860dU 1,816 dL 0,807dU 1,899 dL 0,754dU 1,985
39 dL 1,237dU 1,337 dL 1,187dU 1,392 dL 1,137dU 1,452 dL 1,085dU 1,517 dL 1,033dU 1,583 dL 0,982dU 1,655 dL 0,930dU 1,729 dL 0,878dU 1,807 dL 0,826dU 1,887 dL 0,774dU 1,970
40 dL 1,246dU 1,344 dL 1,197dU 1,398 dL 1,149dU 1,456 dL 1,098dU 1,518 dL 1,047dU 1,583 dL 0,997dU 1,652 dL 0,946dU 1,724 dL 0,895dU 1,799 dL 0,844dU 1,876 dL 0,749dU 1,956
45 dL 1,288dU 1,376 dL 1,245dU 1,424 dL 1,201dU 1,474 dL 1,156dU 1,528 dL 1,111dU 1,583 dL 1,065dU 1,643 dL 1,019dU 1,704 dL 0,974dU 1,768 dL 0,927dU 1,834 dL 0,881dU 1,902
50 dL 1,324dU 1,403 dL 1,285dU 1,445 dL 1,245dU 1,491 dL 1,206dU 1,537 dL 1,164dU 1,587 dL 1,123dU 1,639 dL 1,081dU 1,692 dL 1,039dU 1,748 dL 0,997dU 1,805 dL 0,955dU 1,864
55 dL 1,356dU 1,428 dL 1,320dU 1,466 dL 1,284dU 1,505 dL 1,246dU 1,548 dL 1,209dU 1,592 dL 1,172dU 1,638 dL 1,134dU 1,685 dL 1,095dU 1,734 dL 1,057dU 1,785 dL 1,018dU 1,837
60 dL 1,382dU 1,449 dL 1,351dU 1,484 dL 1,317dU 1,520 dL 1,283dU 1,559 dL 1,248dU 1,598 dL 1,214dU 1,639 dL 1,179dU 1,682 dL 1,144dU 1,726 dL 1,108dU 1,771 dL 1,072dU 1,817
65 dL 1,407dU 1,467 dL 1,377dU 1,500 dL 1,346dU 1,534 dL 1,314dU 1,568 dL 1,283dU 1,604 dL 1,251dU 1,642 dL 1,218dU 1,680 dL 1,186dU 1,720 dL 1,153dU 1,761 dL 1,120dU 1,802
70 dL 1,429dU 1,485 dL 1,400dU 1,514 dL 1,372dU 1,546 dL 1,343dU 1,577 dL 1,313dU 1,611 dL 1,283dU 1,645 dL 1,253dU 1,680 dL 1,223dU 1,716 dL 1,192dU 1,754 dL 1,162dU 1,792
75 dL 1,448dU 1,501 dL 1,422dU 1,529 dL 1,395dU 1,557 dL 1,368dU 1,586 dL 1,340dU 1,617 dL 1,313dU 1,649 dL 1,284dU 1,682 dL 1,256dU 1,714 dL 1,227dU 1,748 dL 1,199dU 1,783
80 dL 1,465dU 1,514 dL 1,440dU 1,541 dL 1,416dU 1,568 dL 1,390dU 1,595 dL 1,364dU 1,624 dL 1,338dU 1,653 dL 1,312dU 1,683 dL 1,285dU 1,714 dL 1,259dU 1,745 dL 1,232dU 1,777
85 dL 1,481dU 1,529 dL 1,458dU 1,553 dL 1,434dU 1,577 dL 1,411dU 1,603 dL 1,386dU 1,630 dL 1,362dU 1,657 dL 1,337dU 1,685 dL 1,312dU 1,714 dL 1,287dU 1,743 dL 1,262dU 1,773
90 dL 1,496dU 1,541 dL 1,474dU 1,563 dL 1,452dU 1,587 dL 1,429dU 1,611 dL 1,406dU 1,636 dL 1,383dU 1,661 dL 1,360dU 1,687 dL 1,336dU 1,714 dL 1,312dU 1,741 dL 1,288dU 1,769
95 dL 1,510dU 1,552 dL 1,489dU 1,573 dL 1,468dU 1,596 dL 1,446dU 1,618 dL 1,425dU 1,641 dL 1,403dU 1,666 dL 1,381dU 1,690 dL 1,358dU 1,715 dL 1,336dU 1,741 dL 1,313dU 1,767
100 dL 1,522dU 1,562 dL 1,502dU 1,582 dL 1,482dU 1,604 dL 1,461dU 1,625 dL 1,441dU 1,647 dL 1,421dU 1,670 dL 1,400dU 1,693 dL 1,378dU 1,717 dL 1,357dU 1,741 dL 1,335dU 1,765
150 dL 1,611dU 1,637 dL 1,598dU 1,651 dL 1,584dU 1,665 dL 1,571dU 1,679 dL 1,557dU 1,693 dL 1,543dU 1,708 dL 1,530dU 1,722 dL 1,515dU 1,737 dL 1,501dU 1,752 dL 1,486dU 1,767
200 dL 1,664dU 1,684 dL 1,653dU 1,693 dL 1,643dU 1,704 dL 1,633dU 1,715 dL 1,623dU 1,725 dL 1,613dU 1,735 dL 1,603dU 1,746 dL 1,592dU 1,757 dL 1,582dU 1,768 dL 1,571dU 1,779
Poziom istotności α = 0,01 — k = 11 – 20

Rozszerzona część tablicy dla modeli z większą liczbą regresorów.

Granice dL / dU dla α = 0,01; model z wyrazem wolnym, k bez wyrazu wolnego
n \ k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6 — — — — — — — — — —
7 — — — — — — — — — —
8 — — — — — — — — — —
9 — — — — — — — — — —
10 — — — — — — — — — —
11 — — — — — — — — — —
12 — — — — — — — — — —
13 — — — — — — — — — —
14 — — — — — — — — — —
15 — — — — — — — — — —
16 dL 0,060dU 3,446 — — — — — — — — —
17 dL 0,084dU 3,286 dL 0,053dU 3,506 — — — — — — — —
18 dL 0,113dU 3,146 dL 0,075dU 3,358 dL 0,047dU 3,557 — — — — — — —
19 dL 0,145dU 3,023 dL 0,102dU 3,227 dL 0,067dU 3,420 dL 0,043dU 3,601 — — — — — —
20 dL 0,178dU 2,914 dL 0,131dU 3,109 dL 0,092dU 3,297 dL 0,061dU 3,474 dL 0,038dU 3,639 — — — — —
21 dL 0,212dU 2,817 dL 0,162dU 3,004 dL 0,119dU 3,185 dL 0,084dU 3,358 dL 0,055dU 3,521 dL 0,035dU 3,671 — — — —
22 dL 0,246dU 2,729 dL 0,194dU 2,909 dL 0,148dU 3,084 dL 0,109dU 3,252 dL 0,077dU 3,412 dL 0,050dU 3,562 dL 0,032dU 3,700 — — —
23 dL 0,281dU 2,651 dL 0,227dU 2,822 dL 0,178dU 2,991 dL 0,136dU 3,155 dL 0,100dU 3,311 dL 0,070dU 3,459 dL 0,046dU 3,597 dL 0,029dU 3,725 — —
24 dL 0,315dU 2,580 dL 0,260dU 2,744 dL 0,209dU 2,906 dL 0,165dU 3,065 dL 0,125dU 3,218 dL 0,092dU 3,363 dL 0,065dU 3,501 dL 0,043dU 3,629 dL 0,027dU 3,747 —
25 dL 0,348dU 2,517 dL 0,292dU 2,674 dL 0,240dU 2,829 dL 0,194dU 2,982 dL 0,152dU 3,131 dL 0,116dU 3,274 dL 0,085dU 3,410 dL 0,060dU 3,538 dL 0,039dU 3,657 dL 0,025dU 3,766
26 dL 0,381dU 2,460 dL 0,324dU 2,610 dL 0,272dU 2,758 dL 0,224dU 2,906 dL 0,180dU 3,050 dL 0,141dU 3,191 dL 0,107dU 3,325 dL 0,079dU 3,452 dL 0,055dU 3,572 dL 0,036dU 3,682
27 dL 0,413dU 2,409 dL 0,356dU 2,552 dL 0,303dU 2,694 dL 0,253dU 2,836 dL 0,208dU 2,976 dL 0,167dU 3,113 dL 0,131dU 3,245 dL 0,100dU 3,371 dL 0,073dU 3,490 dL 0,051dU 3,602
28 dL 0,444dU 2,363 dL 0,387dU 2,499 dL 0,333dU 2,635 dL 0,283dU 2,772 dL 0,237dU 2,907 dL 0,194dU 3,040 dL 0,156dU 3,169 dL 0,122dU 3,294 dL 0,093dU 3,412 dL 0,068dU 3,524
29 dL 0,474dU 2,321 dL 0,417dU 2,451 dL 0,363dU 2,582 dL 0,313dU 2,713 dL 0,266dU 2,843 dL 0,222dU 2,972 dL 0,182dU 3,098 dL 0,146dU 3,220 dL 0,114dU 3,338 dL 0,087dU 3,450
30 dL 0,503dU 2,283 dL 0,447dU 2,407 dL 0,393dU 2,533 dL 0,342dU 2,659 dL 0,294dU 2,785 dL 0,249dU 2,909 dL 0,208dU 3,032 dL 0,171dU 3,152 dL 0,137dU 3,267 dL 0,107dU 3,379
31 dL 0,531dU 2,248 dL 0,475dU 2,367 dL 0,422dU 2,487 dL 0,371dU 2,609 dL 0,322dU 2,730 dL 0,277dU 2,851 dL 0,234dU 2,970 dL 0,193dU 3,087 dL 0,160dU 3,201 dL 0,128dU 3,311
32 dL 0,558dU 2,216 dL 0,503dU 2,330 dL 0,450dU 2,446 dL 0,399dU 2,563 dL 0,350dU 2,680 dL 0,304dU 2,797 dL 0,261dU 2,912 dL 0,221dU 3,026 dL 0,184dU 3,137 dL 0,151dU 3,246
33 dL 0,585dU 2,187 dL 0,530dU 2,296 dL 0,477dU 2,408 dL 0,426dU 2,520 dL 0,377dU 2,633 dL 0,331dU 2,746 dL 0,287dU 2,858 dL 0,246dU 2,969 dL 0,209dU 3,078 dL 0,174dU 3,184
34 dL 0,610dU 2,160 dL 0,556dU 2,266 dL 0,503dU 2,373 dL 0,452dU 2,481 dL 0,404dU 2,590 dL 0,357dU 2,699 dL 0,313dU 2,808 dL 0,272dU 2,915 dL 0,233dU 3,022 dL 0,197dU 3,126
35 dL 0,634dU 2,136 dL 0,581dU 2,237 dL 0,529dU 2,340 dL 0,478dU 2,444 dL 0,430dU 2,550 dL 0,383dU 2,655 dL 0,339dU 2,761 dL 0,297dU 2,865 dL 0,257dU 2,969 dL 0,221dU 3,071
36 dL 0,658dU 2,113 dL 0,605dU 2,210 dL 0,554dU 2,310 dL 0,504dU 2,410 dL 0,455dU 2,512 dL 0,409dU 2,614 dL 0,364dU 2,717 dL 0,322dU 2,818 dL 0,282dU 2,919 dL 0,244dU 3,019
37 dL 0,680dU 2,092 dL 0,628dU 2,186 dL 0,578dU 2,282 dL 0,528dU 2,379 dL 0,480dU 2,477 dL 0,434dU 2,576 dL 0,389dU 2,675 dL 0,347dU 2,774 dL 0,306dU 2,872 dL 0,268dU 2,969
38 dL 0,702dU 2,073 dL 0,651dU 2,164 dL 0,601dU 2,256 dL 0,552dU 2,350 dL 0,504dU 2,445 dL 0,458dU 2,540 dL 0,414dU 2,637 dL 0,371dU 2,733 dL 0,330dU 2,828 dL 0,291dU 2,923
39 dL 0,723dU 2,055 dL 0,673dU 2,143 dL 0,623dU 2,232 dL 0,575dU 2,323 dL 0,528dU 2,414 dL 0,482dU 2,507 dL 0,438dU 2,600 dL 0,395dU 2,694 dL 0,354dU 2,787 dL 0,315dU 2,879
40 dL 0,744dU 2,039 dL 0,694dU 2,123 dL 0,645dU 2,210 dL 0,597dU 2,297 dL 0,551dU 2,386 dL 0,505dU 2,476 dL 0,461dU 2,566 dL 0,418dU 2,657 dL 0,377dU 2,748 dL 0,338dU 2,838
45 dL 0,835dU 1,972 dL 0,790dU 2,044 dL 0,744dU 2,118 dL 0,700dU 2,193 dL 0,655dU 2,269 dL 0,612dU 2,346 dL 0,570dU 2,424 dL 0,528dU 2,503 dL 0,488dU 2,582 dL 0,448dU 2,661
50 dL 0,913dU 1,925 dL 0,871dU 1,987 dL 0,829dU 2,051 dL 0,787dU 2,116 dL 0,746dU 2,182 dL 0,705dU 2,250 dL 0,665dU 2,318 dL 0,625dU 2,387 dL 0,586dU 2,456 dL 0,548dU 2,526
55 dL 0,979dU 1,891 dL 0,940dU 1,945 dL 0,902dU 2,002 dL 0,863dU 2,059 dL 0,825dU 2,117 dL 0,786dU 2,176 dL 0,748dU 2,237 dL 0,711dU 2,298 dL 0,674dU 2,359 dL 0,637dU 2,421
60 dL 1,037dU 1,865 dL 1,001dU 1,914 dL 0,965dU 1,964 dL 0,929dU 2,015 dL 0,893dU 2,067 dL 0,857dU 2,120 dL 0,822dU 2,173 dL 0,786dU 2,227 dL 0,751dU 2,283 dL 0,716dU 2,338
65 dL 1,087dU 1,845 dL 1,053dU 1,889 dL 1,020dU 1,934 dL 0,986dU 1,980 dL 0,953dU 2,027 dL 0,919dU 2,075 dL 0,886dU 2,123 dL 0,852dU 2,172 dL 0,819dU 2,221 dL 0,789dU 2,272
70 dL 1,131dU 1,831 dL 1,099dU 1,870 dL 1,068dU 1,911 dL 1,037dU 1,953 dL 1,005dU 1,995 dL 0,974dU 2,038 dL 0,943dU 2,082 dL 0,911dU 2,127 dL 0,880dU 2,172 dL 0,849dU 2,217
75 dL 1,170dU 1,819 dL 1,141dU 1,856 dL 1,111dU 1,893 dL 1,082dU 1,931 dL 1,052dU 1,970 dL 1,023dU 2,009 dL 0,993dU 2,049 dL 0,964dU 2,090 dL 0,934dU 2,131 dL 0,905dU 2,172
80 dL 1,205dU 1,810 dL 1,177dU 1,844 dL 1,150dU 1,878 dL 1,122dU 1,913 dL 1,094dU 1,949 dL 1,066dU 1,984 dL 1,039dU 2,022 dL 1,011dU 2,059 dL 0,983dU 2,097 dL 0,955dU 2,135
85 dL 1,236dU 1,803 dL 1,210dU 1,834 dL 1,184dU 1,866 dL 1,158dU 1,898 dL 1,132dU 1,931 dL 1,106dU 1,965 dL 1,080dU 1,999 dL 1,053dU 2,033 dL 1,027dU 2,068 dL 1,000dU 2,104
90 dL 1,264dU 1,798 dL 1,240dU 1,827 dL 1,215dU 1,856 dL 1,191dU 1,886 dL 1,166dU 1,917 dL 1,141dU 1,948 dL 1,116dU 1,979 dL 1,091dU 2,012 dL 1,066dU 2,044 dL 1,041dU 2,077
95 dL 1,290dU 1,793 dL 1,267dU 1,821 dL 1,244dU 1,848 dL 1,221dU 1,876 dL 1,197dU 1,905 dL 1,174dU 1,943 dL 1,150dU 1,963 dL 1,126dU 1,993 dL 1,102dU 2,023 dL 1,079dU 2,054
100 dL 1,314dU 1,790 dL 1,292dU 1,816 dL 1,270dU 1,841 dL 1,248dU 1,868 dL 1,225dU 1,895 dL 1,203dU 1,922 dL 1,181dU 1,949 dL 1,158dU 1,977 dL 1,136dU 2,006 dL 1,113dU 2,034
150 dL 1,473dU 1,783 dL 1,458dU 1,799 dL 1,444dU 1,814 dL 1,429dU 1,830 dL 1,414dU 1,847 dL 1,400dU 1,863 dL 1,385dU 1,880 dL 1,370dU 1,897 dL 1,355dU 1,913 dL 1,340dU 1,931
200 dL 1,561dU 1,791 dL 1,550dU 1,801 dL 1,539dU 1,813 dL 1,528dU 1,824 dL 1,518dU 1,836 dL 1,507dU 1,847 dL 1,495dU 1,860 dL 1,484dU 1,871 dL 1,474dU 1,883 dL 1,462dU 1,896

Jak interpretować granice?

Dla autokorelacji dodatniej porównujemy bezpośrednio statystykę d z granicami:

Położenie statystykiWniosek
d < dLprzesłanki autokorelacji dodatniej
dL ≤ d ≤ dUobszar nierozstrzygający
d > dUbrak podstaw do stwierdzenia autokorelacji dodatniej

Dla autokorelacji ujemnej stosujemy tę samą tablicę do wartości 4 − d:

$$4-d

Przy pełnej interpretacji wyróżnia się pięć obszarów: dodatnia autokorelacja, obszar nierozstrzygający, brak podstaw do stwierdzenia autokorelacji, drugi obszar nierozstrzygający oraz autokorelacja ujemna. Kalkulator rozdziela oba kierunki i podaje ostrożny, łączny wniosek.

Kalkulator testu Durbina – Watsona

Możesz wpisać gotową wartość d, np. otrzymaną z programu ekonometrycznego, albo wkleić reszty modelu w kolejności obserwacji. Kalkulator nie wyznacza przybliżonego p-value: pokazuje klasyczną decyzję opartą na tabeli granic dL i dU.

Kalkulator testu Durbina – Watsona

W pierwszym formularzu wpisz gotową statystykę d. W drugim wklej reszty modelu w kolejności czasowej, aby obliczyć d automatycznie. Interpretacja korzysta z klasycznych granic dL i dU dla modeli z wyrazem wolnym.

Interpretacja podanej statystyki d

k oznacza liczbę zmiennych objaśniających bez stałej. Tabela obejmuje n = 6 – 40, następnie 45, 50, …, 200 oraz k = 1 – 20.

Obliczenie d z reszt modelu

Oddziel reszty średnikiem albo nową linią. Przecinek może być separatorem dziesiętnym. Nie zmieniaj kolejności czasowej.

Przykład zastosowania

Przykład: autokorelacja dodatnia

W modelu z wyrazem wolnym użyto n = 20 obserwacji i dwóch zmiennych objaśniających, nie licząc stałej. Obliczona statystyka wynosi d = 0,90. Zweryfikuj hipotezę o braku autokorelacji na poziomie α = 0,05.

Rozwiązanie

Dla n = 20 i k = 2 z tablicy odczytujemy:

$$d_L=1{,}100, \qquad d_U=1{,}537.$$

Ponieważ d = 0,90 < dL = 1,100, statystyka wpada do obszaru krytycznego dla autokorelacji dodatniej. Odrzucamy hipotezę o braku autokorelacji pierwszego rzędu na rzecz autokorelacji dodatniej.

W praktyce nie kończymy na samej diagnozie. Należy sprawdzić specyfikację modelu, wykres reszt oraz rozważyć modelowanie dynamiki, np. przez dodanie właściwych zmiennych opóźnionych lub zastosowanie odpowiedniej metody estymacji.

Ograniczenia testu

Test Durbina – Watsona jest narzędziem klasycznej diagnostyki, ale nie jest uniwersalnym testem każdej formy zależności w resztach. Dotyczy przede wszystkim autokorelacji pierwszego rzędu i wymaga właściwego porządku obserwacji. Szczególnej ostrożności wymagają modele zawierające opóźnioną zmienną zależną, ponieważ standardowa interpretacja granic dL i dU nie jest wtedy właściwym rozwiązaniem.

Gdy klasyczny test daje wynik nierozstrzygający, warto uzupełnić analizę innymi narzędziami diagnostycznymi. W szeregach czasowych stosuje się między innymi test Breuscha – Godfreya lub test Ljunga – Boxa; w dalszej części działu będziemy stopniowo dodawać kolejne testy.

Powiązane materiały

Pomoc w statystyce i ekonometrii

Nie wiesz, której tablicy użyć?

Pomagamy dobrać właściwy rozkład, odczytać wartość krytyczną, wybrać test statystyczny oraz poprawnie zinterpretować wynik. Możemy też przejść przez całe zadanie krok po kroku.

  • statystyka, ekonometria i analiza danych,
  • testowanie hipotez i interpretacja wyników,
  • konsultacje online oraz pomoc w rozwiązaniu zadania.
Skonsultuj zadanie

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl