Test Jarque’a – Bery służy do badania zgodności rozkładu danych lub reszt modelu z rozkładem normalnym. Wykorzystuje dwie cechy rozkładu: skośność oraz kurtozę. Jest szczególnie często stosowany w ekonometrii jako element diagnostyki reszt modelu regresji.
Wartości krytyczne testu Jarque’a – Bery
Przy hipotezie zerowej statystyka Jarque’a – Bery ma asymptotycznie rozkład chi-kwadrat z 2 stopniami swobody. Dlatego wartości krytyczne można odczytywać także z tablicy rozkładu chi-kwadrat, dla ν = 2.
| Poziom istotności α | 0,100 | 0,050 | 0,025 | 0,010 | 0,005 |
|---|---|---|---|---|---|
| χ22;1−α | 4,605 | 5,991 | 7,378 | 9,210 | 10,597 |
Tabela jest równoważna odpowiedniemu wierszowi tablicy rozkładu χ2 z 2 stopniami swobody. Przybliżenie ma charakter asymptotyczny, dlatego dla małych prób wynik należy interpretować ostrożnie.
Kalkulator testu Jarque’a – Bery
Kalkulator testu Jarque’a – Bery
Wklej obserwacje, aby obliczyć statystykę JB automatycznie, albo wpisz liczbę obserwacji, skośność i kurtozę. Kalkulator stosuje klasyczną postać opartą na momentowej skośności S oraz kurtozie K, dla której rozkład normalny ma K = 3.
Wzór na statystykę JB
Klasyczna statystyka Jarque’a – Bery ma postać:
- n — liczebność próby,
- S — momentowa skośność rozkładu,
- K — momentowa kurtoza rozkładu.
Dla idealnego rozkładu normalnego mamy S = 0 oraz K = 3. Wtedy oba składniki wzoru są równe zero, więc statystyka JB jest mała. Wraz ze wzrostem odchylenia skośności od zera albo kurtozy od trzech statystyka rośnie.
Ważne: we wzorze występuje kurtoza K, a nie eksces. Jeżeli znasz eksces E = K − 3, możesz zapisać wzór równoważnie:
\[ JB = \frac{n}{6}\left(S^2 + \frac{E^2}{4}\right). \]Jak interpretować wynik?
- jeżeli JB jest większe od wartości krytycznej albo p-value jest mniejsze od α — odrzucamy hipotezę o normalności;
- jeżeli JB nie przekracza wartości krytycznej i p-value nie jest mniejsze od α — nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności.
Brak podstaw do odrzucenia H0 nie oznacza dowodu, że rozkład jest dokładnie normalny. Oznacza jedynie, że na podstawie dostępnych danych test nie wykazał istotnego odstępstwa od normalności przy wybranym poziomie istotności.
Przykład obliczenia
Załóżmy, że dla próby o liczebności n = 100 otrzymano skośność S = 0,50 i kurtozę K = 4,00. Wtedy:
Dla α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991. Ponieważ 8,333 > 5,991, odrzucamy hipotezę o normalności rozkładu. Kalkulator podaje w tym przypadku asymptotyczne p-value około 0,0155.
Kiedy zachować ostrożność?
Rozkład χ2(2), wartości krytyczne i p-value stosowane w teście Jarque’a – Bery mają charakter asymptotyczny. Przy małych próbach wynik może być mniej dokładny, dlatego warto zestawić go z wykresem histogramu, wykresem Q – Q oraz — gdy jest to uzasadnione — z innym testem normalności.
Powiązane materiały
Pomoc w statystyce i ekonometrii
Nie wiesz, której tablicy użyć?
Pomagamy dobrać właściwy rozkład, odczytać wartość krytyczną, wybrać test statystyczny oraz poprawnie zinterpretować wynik. Możemy też przejść przez całe zadanie krok po kroku.
- statystyka, ekonometria i analiza danych,
- testowanie hipotez i interpretacja wyników,
- konsultacje online oraz pomoc w rozwiązaniu zadania.
