Całkowanie numeryczne – metoda prostokątów, trapezów i Simpsona

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Całka oznaczona może być interpretowana jako zorientowane pole obszaru pomiędzy wykresem funkcji a osią argumentów. Jeżeli znamy funkcję pierwotną, jej wartość obliczamy za pomocą twierdzenia Newtona – Leibniza:

\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), \qquad F'(x)=f(x). \]

Nie każda funkcja ma jednak funkcję pierwotną, którą można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Ponadto w praktycznych zastosowaniach funkcja może być znana jedynie w postaci tabeli wyników pomiarów albo jej obliczanie może być bardzo kosztowne.

W takich sytuacjach stosuje się całkowanie numeryczne, nazywane również kwadraturą numeryczną. Pole pod wykresem zastępuje się wówczas sumą pól prostszych figur: prostokątów, trapezów lub obszarów ograniczonych parabolami interpolacyjnymi.

Całkowanie numeryczne jest jednym z podstawowych zagadnień metod numerycznych. Jego dokładność zależy od zastosowanej kwadratury, liczby podprzedziałów, własności funkcji oraz błędów obliczeń komputerowych.

Całka bez elementarnej funkcji pierwotnej

Prostym przykładem pokazującym użyteczność metod numerycznych jest całka:

\[ \int_0^1 e^{x^2}\,dx. \]

Funkcja \(e^{x^2}\) nie ma funkcji pierwotnej wyrażalnej za pomocą funkcji elementarnych. Można ją zapisać za pomocą funkcji specjalnej \(\operatorname{erfi}(x)\), ale do wyznaczenia liczbowej wartości całki oznaczonej nie jest to konieczne.

Metody numeryczne pozwalają otrzymać:

\[ \int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1{,}4626517459. \]

Nie musimy więc znać elementarnego wzoru na funkcję pierwotną, aby z dużą dokładnością obliczyć wartość całki oznaczonej.

Podział przedziału całkowania

Rozważmy całkę:

\[ I=\int_a^b f(x)\,dx. \]

Przedział \([a,b]\) dzielimy na \(n\) równych części. Długość każdego podprzedziału wynosi:

\[ h=\frac{b-a}{n}. \]

Węzły podziału mają współrzędne:

\[ x_i=a+ih, \qquad i=0,1,\ldots,n. \]

Wartości funkcji w węzłach będziemy oznaczać jako:

\[ f_i=f(x_i). \]

Metody prostokątów, trapezów i Simpsona różnią się sposobem zastępowania funkcji na każdym fragmencie przedziału.

Błąd kwadratury numerycznej

Jeżeli \(Q_n\) oznacza wynik otrzymany za pomocą kwadratury numerycznej, jej błąd można zapisać jako:

\[ E_n=I-Q_n. \]

Najczęściej interesuje nas moduł błędu:

\[ |E_n|=|I-Q_n|. \]

Wzory na błędy metod całkowania zawierają największą wartość modułu odpowiedniej pochodnej na całym przedziale. Wprowadzamy oznaczenie:

\[ M_k= \sup_{x\in[a,b]} \left|f^{(k)}(x)\right|. \]

Supremum jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru wartości. Jeżeli pochodna \(f^{(k)}\) jest ciągła na domkniętym przedziale \([a,b]\), supremum jest osiągane i można po prostu napisać:

\[ M_k= \max_{x\in[a,b]} \left|f^{(k)}(x)\right|. \]

Nie sprawdzamy więc pochodnej tylko w kilku węzłach obliczeniowych. Poszukujemy największego modułu pochodnej wśród wszystkich punktów przedziału całkowania.

Oszacowanie błędu jest ograniczeniem z góry. Gwarantuje, że błąd nie przekroczy określonej wartości, ale rzeczywisty błąd może być — i zazwyczaj jest — znacznie mniejszy.

Metoda prostokątów

W metodzie prostokątów funkcję na każdym podprzedziale zastępuje się funkcją stałą. Pole pod wykresem przybliża się sumą pól prostokątów o szerokości \(h\).

W zależności od miejsca, w którym obliczamy wysokość prostokąta, wyróżniamy metodę prostokątów lewych, prawych i środkowych.

Prostokąty lewe

Wysokość prostokąta na podprzedziale \([x_i,x_{i+1}]\) jest równa wartości funkcji na jego lewym końcu:

\[ f(x_i). \]

Złożony wzór lewych prostokątów ma postać:

\[ L_n= h\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i). \]

Jeżeli funkcja jest malejąca, lewe prostokąty zwykle zawyżają pole. Dla funkcji rosnącej zazwyczaj je zaniżają.

Prostokąty prawe

Wysokość prostokąta wyznacza wartość funkcji na prawym końcu podprzedziału:

\[ f(x_{i+1}). \]

Złożony wzór prawych prostokątów jest równy:

\[ P_n= h\sum_{i=1}^{n}f(x_i). \]

Dla funkcji malejącej prawe prostokąty zazwyczaj zaniżają pole, natomiast dla funkcji rosnącej je zawyżają.

Prostokąty środkowe

W metodzie punktu środkowego wysokość prostokąta obliczamy w środku każdego podprzedziału:

\[ m_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2} =x_i+\frac{h}{2}. \]

Otrzymujemy wzór:

\[ M_n= h\sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i+\frac{h}{2}\right). \]

Metoda środkowych prostokątów jest zazwyczaj znacznie dokładniejsza od wariantu lewego i prawego. Wynika to między innymi z częściowego znoszenia się błędów po obu stronach środka podprzedziału.

Oszacowanie błędu metody prostokątów

Dla lewych i prawych prostokątów:

\[ |E_{L,P}| \leq \frac{b-a}{2}hM_1. \]

Po podstawieniu \(h=(b-a)/n\):

\[ |E_{L,P}| \leq \frac{(b-a)^2}{2n}M_1. \]

Błąd maleje proporcjonalnie do \(h\), dlatego są to metody rzędu:

\[ O(h). \]

Dla prostokątów środkowych:

\[ |E_M| \leq \frac{b-a}{24}h^2M_2, \]

czyli:

\[ |E_M| \leq \frac{(b-a)^3}{24n^2}M_2. \]

Metoda punktu środkowego ma dokładność rzędu:

\[ O(h^2). \]

Metoda trapezów

W metodzie trapezów funkcję na każdym podprzedziale zastępuje się odcinkiem łączącym punkty:

\[ (x_i,f(x_i)) \qquad\text{oraz}\qquad (x_{i+1},f(x_{i+1})). \]

Jest to interpolacja wielomianem pierwszego stopnia. Obszar pod odcinkiem ma kształt trapezu.

Pole pojedynczego trapezu wynosi:

\[ T_i= h\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}. \]

Po zsumowaniu pól wszystkich trapezów otrzymujemy złożony wzór:

\[ T_n= \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(x_n) \right]. \]

Trapez a prostokąt środkowy

Metoda trapezów może na pierwszy rzut oka przypominać metodę prostokątów środkowych. W obu przypadkach można bowiem mówić o pewnej „średniej wysokości” figury. Są to jednak dwie różne wielkości.

W metodzie prostokątów środkowych wysokość jest wartością funkcji dla argumentu znajdującego się w środku podprzedziału:

\[ H_M= f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right). \]

W metodzie trapezów średnia wysokość jest średnią arytmetyczną wartości funkcji na obu końcach podprzedziału:

\[ H_T= \frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}. \]

W ogólnym przypadku:

\[ f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right) \ne \frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}. \]

Równość zachodzi dla funkcji liniowych, ale nie musi zachodzić dla funkcji nieliniowej.

W prostokącie środkowym najpierw uśredniamy argumenty, a następnie obliczamy wartość funkcji. W trapezie najpierw obliczamy wartości funkcji na końcach, a następnie je uśredniamy.

Jeżeli funkcja jest wypukła na podprzedziale, zachodzi nierówność:

\[ f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right) \leq \frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}. \]

Wtedy trapez ma większą średnią wysokość niż prostokąt środkowy. Dla funkcji wklęsłej kierunek nierówności jest przeciwny.

Błąd metody trapezów

Jeżeli funkcja ma ciągłą drugą pochodną, błąd złożonej metody trapezów spełnia oszacowanie:

\[ |E_T| \leq \frac{b-a}{12}h^2M_2. \]

Równoważnie:

\[ |E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2}M_2. \]

Metoda trapezów, podobnie jak metoda prostokątów środkowych, ma błąd rzędu:

\[ O(h^2). \]

Współczynnik w górnym oszacowaniu błędu metody punktu środkowego jest jednak dwukrotnie mniejszy niż dla trapezów:

\[ \frac{1}{24} \frac{1}{12}. \]

Nie oznacza to, że w każdym pojedynczym przykładzie prostokąty środkowe muszą dać dokładnie dwukrotnie mniejszy błąd. Są to oszacowania najgorszego możliwego przypadku.

Metoda Simpsona

Metoda Simpsona zastępuje funkcję na każdej parze sąsiednich podprzedziałów wielomianem drugiego stopnia. Parabola interpolacyjna przechodzi dokładnie przez trzy kolejne węzły:

\[ (x_{2k},f_{2k}), \qquad (x_{2k+1},f_{2k+1}), \qquad (x_{2k+2},f_{2k+2}). \]

Interpolanta nie musi być styczna do wykresu całkowanej funkcji. Ma jedynie przechodzić przez trzy wybrane punkty. Pomiędzy węzłami może znajdować się zarówno nad wykresem, jak i pod nim oraz przecinać go w węźle środkowym.

Dla trzech kolejnych węzłów \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\), oddalonych o \(h\), pojedynczy wzór Simpsona ma postać:

\[ \int_{x_0}^{x_2}f(x)\,dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2) \right]. \]

Aby można było grupować podprzedziały parami, liczba \(n\) musi być parzysta.

Złożony wzór Simpsona wynosi:

\[ S_n= \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4\sum_{\substack{i=1\\ i\ \mathrm{nieparzyste}}}^{n-1}f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=2\\ i\ \mathrm{parzyste}}}^{n-2}f(x_i) + f(x_n) \right]. \]

Wagi kolejnych wartości funkcji mają więc układ:

\[ 1,\ 4,\ 2,\ 4,\ 2,\ldots,\ 4,\ 1. \]

Dlaczego Simpson jest tak dokładny?

Choć konstrukcja metody opiera się na interpolacji wielomianem drugiego stopnia, wzór Simpsona jest dokładny również dla wielomianów stopnia trzeciego. Wynika to z symetrii węzłów i całkowania na parze podprzedziałów.

Jeżeli funkcja ma ciągłą czwartą pochodną, błąd złożonej metody Simpsona spełnia:

\[ |E_S| \leq \frac{b-a}{180}h^4M_4. \]

Po zapisaniu przez liczbę podprzedziałów:

\[ |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4}M_4. \]

Metoda Simpsona ma zatem dokładność rzędu:

\[ O(h^4). \]

Dwukrotne zmniejszenie kroku powoduje w typowej sytuacji zmniejszenie głównego składnika błędu około:

\[ 2^4=16 \]

razy.

Porównanie metod na wspólnym przykładzie

Rozważmy całkę:

\[ I= \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx. \]

W tym przypadku znamy wartość dokładną:

\[ I= \arctan 1-\arctan 0 = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7853981634. \]

Przyjmujemy cztery podprzedziały:

\[ n=4, \qquad h=\frac14. \]

Węzły są równe:

\[ x_0=0,\quad x_1=0{,}25,\quad x_2=0{,}5,\quad x_3=0{,}75,\quad x_4=1. \]

Dla funkcji:

\[ f(x)=\frac{1}{1+x^2} \]

otrzymujemy:

Już przy zaledwie czterech podprzedziałach metoda Simpsona daje wynik różniący się od wartości dokładnej o około sześć milionowych.

Czy oszacowania błędów są spełnione?

Dla funkcji:

\[ f(x)=\frac{1}{1+x^2} \]

potrzebne pochodne wynoszą:

\[ f'(x)= -\frac{2x}{(1+x^2)^2}, \]

\[ f''(x)= \frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}, \]

\[ f^{(4)}(x)= \frac{24(5x^4-10x^2+1)} {(1+x^2)^5}. \]

Na przedziale \([0,1]\):

\[ M_1= \max_{x\in[0,1]}|f'(x)| = \frac{3\sqrt3}{8} \approx 0{,}649519, \]

\[ M_2= \max_{x\in[0,1]}|f''(x)| = 2, \]

\[ M_4= \max_{x\in[0,1]}|f^{(4)}(x)| = 24. \]

Dla \(h=1/4\) otrzymujemy następujące górne oszacowania:

W każdym przypadku rzeczywisty błąd jest mniejszy od wartości wynikającej z oszacowania. Widać też, że granice są dość zachowawcze, szczególnie dla metody Simpsona.

Nie jest to wada wzoru. Jego zadaniem jest zagwarantowanie maksymalnego błędu na podstawie najgorszej wartości odpowiedniej pochodnej na całym przedziale.

Dobór liczby podprzedziałów

Jeżeli chcemy zagwarantować błąd nie większy niż \(\varepsilon\), ze wzorów na błędy można wyznaczyć minimalną liczbę podprzedziałów.

Dla lewych i prawych prostokątów:

\[ n \geq \frac{(b-a)^2M_1}{2\varepsilon}. \]

Dla prostokątów środkowych:

\[ n \geq \sqrt{ \frac{(b-a)^3M_2}{24\varepsilon} }. \]

Dla trapezów:

\[ n \geq \sqrt{ \frac{(b-a)^3M_2}{12\varepsilon} }. \]

Dla metody Simpsona:

\[ n \geq \sqrt[4]{ \frac{(b-a)^5M_4}{180\varepsilon} }. \]

W metodzie Simpsona wynik zaokrąglamy w górę do najbliższej liczby parzystej.

Metoda Simpsona 3/8

Metoda Simpsona 3/8 jest kolejną zamkniętą kwadraturą Newtona – Cotesa. Wykorzystuje cztery kolejne węzły i wielomian interpolacyjny stopnia trzeciego.

Dla trzech podprzedziałów:

\[ \int_{x_0}^{x_3}f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8} \left[ f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3) \right]. \]

W wersji złożonej liczba podprzedziałów musi być podzielna przez trzy:

\[ Q_{3/8} = \frac{3h}{8} \left[ f(x_0)+f(x_n) + 3\sum_{\substack{1\leq i\leq n-1\\3\nmid i}}f(x_i) + 2\sum_{\substack{3\leq i\leq n-3\\3\mid i}}f(x_i) \right]. \]

Błąd można oszacować jako:

\[ |E_{3/8}| \leq \frac{b-a}{80}h^4M_4. \]

Metoda 3/8, podobnie jak klasyczny wzór Simpsona 1/3, ma dokładność rzędu \(O(h^4)\). Użycie interpolacji sześciennej nie powoduje automatycznie uzyskania wyższego rzędu dokładności. Klasyczna metoda Simpsona 1/3 ma nawet korzystniejszą stałą w oszacowaniu błędu.

Metoda Romberga

Metoda Romberga rozpoczyna obliczenia od kolejnych przybliżeń uzyskanych metodą trapezów dla kroków:

\[ h,\quad \frac{h}{2},\quad \frac{h}{4},\quad \frac{h}{8},\ldots \]

Następnie wykorzystuje ekstrapolację Richardsona do systematycznego usuwania dominujących składników błędu.

Nie chodzi więc jedynie o lepsze zaokrąglenie wyniku. Metoda wykorzystuje znaną strukturę błędu kwadratury trapezów i eliminuje kolejno składniki proporcjonalne do \(h^2\), \(h^4\), \(h^6\) i dalszych parzystych potęg kroku.

Pierwsza kolumna tablicy Romberga zawiera wyniki trapezów:

\[ R_{k,0}=T_{2^k}. \]

Kolejne elementy oblicza się ze wzoru:

\[ R_{k,j} = R_{k,j-1} + \frac{ R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1} }{ 4^j-1 }. \]

Dla naszego przykładu:

\[ T_4=0{,}7827941176, \qquad T_8=0{,}7847471236. \]

Pierwsza ekstrapolacja daje:

\[ R= T_8+\frac{T_8-T_4}{3} = 0{,}7853981256. \]

Wartość dokładna wynosi \(0{,}7853981634\), więc już jedno poprawienie dwóch wyników metody trapezów daje bardzo dużą dokładność.

Kwadratury Gaussa

W klasycznych wzorach Newtona – Cotesa węzły są zwykle rozmieszczone równomiernie. W kwadraturach Gaussa zarówno położenie węzłów, jak i ich wagi dobiera się w sposób optymalny.

Dla kwadratury Gaussa – Legendre’a całkę sprowadza się najpierw do przedziału \([-1,1]\):

\[ x= \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t. \]

Wtedy:

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} f\left( \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t \right)dt. \]

Całkę na przedziale standardowym przybliża się jako:

\[ \int_{-1}^{1}g(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{m}w_i g(t_i), \]

gdzie \(t_i\) są specjalnie dobranymi węzłami, a \(w_i\) odpowiadającymi im wagami.

Dla dwóch punktów Gaussa:

Dla trzech punktów:

Węzły i wagi można odczytać z tablic albo wyznaczyć jako miejsca zerowe odpowiednich wielomianów ortogonalnych.

Kwadratura Gaussa wykorzystująca \(m\) punktów jest dokładna dla wszystkich wielomianów stopnia nie większego niż:

\[ 2m-1. \]

Jest to bardzo korzystna własność. Dwa odpowiednio dobrane punkty Gaussa zapewniają dokładność dla wielomianów do trzeciego stopnia, a trzy punkty — do stopnia piątego.

Całkowanie adaptacyjne

Równomierny podział przedziału nie zawsze jest efektywny. Funkcja może być prawie liniowa w jednej części przedziału, a w innej gwałtownie zmieniać wartość lub krzywiznę.

W całkowaniu adaptacyjnym przedział dzieli się gęściej tylko tam, gdzie lokalny błąd jest duży. Na spokojnych fragmentach pozostawia się większe podprzedziały.

W adaptacyjnej metodzie Simpsona porównuje się:

• wynik Simpsona na całym przedziale,
• sumę wyników Simpsona na jego dwóch połowach.

Jeżeli \(S\) oznacza wynik na całym przedziale, a \(S_L+S_R\) sumę wyników na połowach, lokalny błąd można oszacować jako:

\[ \frac{|S_L+S_R-S|}{15}. \]

Jeśli błąd przekracza tolerancję, odpowiedni fragment przedziału dzieli się ponownie.

Całkowanie funkcji zadanej tabelarycznie

Całkowanie numeryczne ma szczególne znaczenie, gdy dysponujemy jedynie tabelą wartości:

\[ (x_0,f_0),\ (x_1,f_1),\ldots,\ (x_n,f_n). \]

Metoda trapezów może być stosowana również wtedy, gdy węzły nie są rozmieszczone równomiernie:

\[ T= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_{i+1}-x_i}{2} \left[ f_i+f_{i+1} \right]. \]

Klasyczna złożona metoda Simpsona wymaga natomiast równomiernego rozstawienia węzłów i parzystej liczby podprzedziałów.

Metoda prostokątów środkowych wymaga znajomości wartości funkcji w środkach podprzedziałów. Jeżeli tabela ich nie zawiera, wartości te trzeba dodatkowo zmierzyć, obliczyć albo przybliżyć za pomocą interpolacji.

Powrót do całki z funkcji \(e^{x^2}\)

Zastosujmy metodę Simpsona do całki:

\[ I= \int_0^1e^{x^2}\,dx. \]

Kolejne wyniki zbliżają się do wartości:

\[ I\approx1{,}4626517459. \]

Przykład ten pokazuje, że brak elementarnej funkcji pierwotnej nie przeszkadza w praktycznym obliczeniu całki oznaczonej.

Zmniejszanie kroku a dokładność

Zmniejszenie kroku zazwyczaj zwiększa dokładność, ale nie należy robić tego bez ograniczeń. Bardzo mały krok powoduje:

• wzrost liczby obliczeń wartości funkcji,
• większy koszt czasowy,
• kumulowanie błędów zaokrągleń,
• możliwość utraty cyfr znaczących.

Wpływ ograniczonej precyzji reprezentacji liczb został opisany w artykule Arytmetyka zmiennoprzecinkowa – cecha, mantysa i zapis binarny.

Oprócz teoretycznych wzorów na błąd można badać zbieżność przez porównywanie wyników uzyskanych dla kroku \(h\) i \(h/2\). Jeżeli błąd metody jest proporcjonalny do \(h^p\), jego praktyczne oszacowanie ma postać:

\[ |E_{h/2}| \approx \frac{|Q_{h/2}-Q_h|}{2^p-1}. \]

Dla trapezów i prostokątów środkowych \(p=2\), natomiast dla metody Simpsona \(p=4\).

Porównanie najważniejszych metod

Którą metodę wybrać?

• Prostokąty lewe lub prawe są łatwe do zrozumienia i implementacji, ale stosunkowo mało dokładne.
• Prostokąty środkowe są proste i zapewniają dokładność drugiego rzędu.
• Trapezy dobrze nadają się do danych tabelarycznych, również przy nierównomiernym rozmieszczeniu węzłów.
• Metoda Simpsona daje bardzo dobre wyniki dla funkcji gładkich i równomiernego podziału.
• Metoda Romberga jest użyteczna, gdy można wielokrotnie zagęszczać podział i zależy nam na dużej dokładności.
• Kwadratury Gaussa są szczególnie efektywne, gdy koszt obliczenia funkcji jest duży i możemy wybierać położenie węzłów.
• Metody adaptacyjne sprawdzają się dla funkcji, których zachowanie silnie zmienia się w różnych częściach przedziału.

Praktyczne zasady całkowania numerycznego

• Sprawdź ciągłość funkcji i położenie ewentualnych osobliwości.
• Dobierz metodę do dostępnej postaci danych.
• Nie zakładaj, że zwiększenie liczby cyfr wyświetlanego wyniku oznacza większą dokładność.
• Porównuj wyniki dla różnych kroków.
• Kontroluj zarówno błąd teoretyczny, jak i praktyczną stabilizację wyniku.
• Przy metodzie Simpsona pamiętaj o parzystej liczbie podprzedziałów.
• Przy Simpsonie 3/8 liczba podprzedziałów musi być podzielna przez trzy.
• W kwadraturach Gaussa prawidłowo przekształć przedział do \([-1,1]\).
• Dziel przedział w miejscach nieciągłości pochodnych lub gwałtownych zmian funkcji.
• Ustal maksymalną liczbę podziałów i minimalny dopuszczalny krok.

Szersze omówienie błędów, ich oszacowań i wpływu pochodnych na wynik znajduje się w artykule Błędy obliczeń numerycznych – rodzaje, źródła i ocena dokładności.

Całkowanie numeryczne nie wymaga znajomości elementarnej funkcji pierwotnej. Wymaga natomiast świadomego wyboru kwadratury, kroku oraz sposobu kontroli błędu.

Podsumowanie

Całkowanie numeryczne pozwala obliczać przybliżone wartości całek oznaczonych, także wtedy, gdy całkowana funkcja nie ma elementarnej funkcji pierwotnej albo jest znana jedynie w postaci danych tabelarycznych.

Metoda prostokątów zastępuje funkcję wartościami stałymi. Jej wariant środkowy jest dokładniejszy od prostokątów lewych i prawych.

Metoda trapezów wykorzystuje średnią wartości funkcji na końcach podprzedziału. Nie należy jej utożsamiać z metodą punktu środkowego, w której obliczamy wartość funkcji dla średniego argumentu.

Metoda Simpsona zastępuje funkcję na parach podprzedziałów parabolami przechodzącymi przez trzy kolejne węzły. Dzięki błędowi rzędu \(h^4\) zapewnia zwykle bardzo dużą dokładność.

Metody Romberga, Gaussa i kwadratury adaptacyjne pozwalają uzyskiwać jeszcze lepsze wyniki przez eliminowanie składników błędu, optymalny dobór węzłów albo lokalne zagęszczanie podziału.

Wzory zawierające supremum pochodnej dają górne ograniczenia błędu. Rzeczywisty błąd może być znacznie mniejszy, co potwierdza przykład całki z funkcji \(1/(1+x^2)\).

Utworzono: 16.06.2026 | Zmodyfikowano: 25.07.2026

Powiązane artykuły

• Metody numeryczne – czym są i do czego służą? 
• Aproksymacja i interpolacja 
• Całki nieoznaczone – metody podstawowe 

Masz problem z tym tematem?

Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku. 

Zapytaj o pomoc