Swobodne spadanie i rzut pionowy – prędkość, czas lotu i maksymalna wysokość

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Swobodne spadanie i rzut pionowy są szczególnymi przypadkami ruchu prostoliniowego ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym. Ich opis zależy przede wszystkim od przyjętego zwrotu osi pionowej oraz od poprawnego rozróżnienia prędkości algebraicznej i szybkości, czyli wartości bezwzględnej prędkości.

Przy pominięciu oporu powietrza wszystkie ciała znajdujące się w pobliżu powierzchni Ziemi poruszają się z takim samym przyspieszeniem skierowanym pionowo w dół. W rzucie pionowym w górę prędkość początkowo maleje, w najwyższym punkcie jest chwilowo równa zeru, a następnie zmienia znak i ciało zaczyna spadać.

Ruch pionowy korzysta z tych samych zależności, które omówiliśmy w artykule Ruch prostoliniowy – położenie, prędkość, przyspieszenie i równania ruchu. Tutaj zastosujemy je do ruchu pod wpływem przyspieszenia ziemskiego.

Czym jest ruch pionowy?

Ruchem pionowym nazywamy ruch ciała wzdłuż pionowej prostej. Jeżeli pomijamy opór powietrza, jedynym rozpatrywanym przyspieszeniem jest przyspieszenie grawitacyjne skierowane ku powierzchni Ziemi.

Do podstawowych przypadków ruchu pionowego należą:

• swobodne spadanie — ciało zostaje puszczone bez prędkości początkowej;
• rzut pionowy w dół — ciało otrzymuje początkową prędkość skierowaną w dół;
• rzut pionowy w górę — ciało otrzymuje początkową prędkość skierowaną przeciwnie do przyspieszenia ziemskiego.

We wszystkich trzech przypadkach ruch odbywa się wzdłuż tej samej pionowej osi. Różne są natomiast prędkość początkowa oraz jej zwrot.

Założenia modelu

W podstawowych zadaniach dotyczących swobodnego spadania i rzutu pionowego przyjmujemy, że:

• opór powietrza jest pomijalnie mały;
• przyspieszenie ziemskie jest stałe;
• ruch odbywa się na niewielkiej wysokości w porównaniu z promieniem Ziemi;
• ciało można traktować jako punkt materialny;
• oś ruchu jest pionowa;
• obrót i kształt ciała nie wpływają na rozwiązanie.

W rzeczywistym ruchu opór powietrza zależy między innymi od prędkości, kształtu ciała i gęstości powietrza. W tym artykule rozpatrujemy jednak wyidealizowany model bez oporu.

Przyspieszenie ziemskie

W pobliżu powierzchni Ziemi wartość przyspieszenia grawitacyjnego wynosi w przybliżeniu:

W prostszych zadaniach szkolnych często stosuje się przybliżenie:

Symbol \(g\) oznacza dodatnią wartość przyspieszenia ziemskiego. Znak algebraiczny przyspieszenia zależy natomiast od przyjętego zwrotu osi.

Wybór zwrotu osi pionowej

W ruchu pionowym można wybrać oś skierowaną dodatnio w górę albo dodatnio w dół. Oba sposoby są poprawne, jeżeli konsekwentnie stosujemy wynikające z nich znaki.

Oś skierowana dodatnio w górę

Jeżeli dodatni zwrot osi \(y\) jest skierowany w górę, przyspieszenie ziemskie ma wartość algebraiczną:

Prędkość skierowana w górę jest dodatnia, a skierowana w dół ujemna.

Oś skierowana dodatnio w dół

Jeżeli dodatni zwrot osi jest skierowany w dół, przyspieszenie ma znak dodatni:

W takim układzie prędkość spadającego ciała także jest dodatnia.

Prędkość a szybkość

W ruchu jednowymiarowym często posługujemy się algebraiczną składową prędkości \(v_y\). Jej znak wskazuje zwrot ruchu:

• \(v_y>0\) — ruch zgodny z dodatnim zwrotem osi;
• \(v_y<0\) — ruch przeciwny do dodatniego zwrotu osi;
• \(v_y=0\) — chwilowe zatrzymanie.

Szybkość jest natomiast wartością bezwzględną prędkości i nigdy nie jest ujemna:

Przy osi skierowanej w górę podczas swobodnego spadania:

ale szybkość ciała wynosi:

W wielu zadaniach szkolnych słowo „prędkość” jest używane potocznie w znaczeniu szybkości. Wtedy poprawną odpowiedzią może być dodatnia wartość, na przykład \(20\ \mathrm{m/s}\), wraz z informacją, że ciało porusza się w dół.

Ogólne równania ruchu pionowego

Przyjmijmy oś \(y\) skierowaną dodatnio w górę. Wtedy:

Jeżeli w chwili \(t=0\) ciało znajduje się na wysokości \(y_0\) i ma algebraiczną prędkość początkową \(v_{0y}\), równania ruchu przyjmują postać:

Wielkość \(v_{0y}\) jest tutaj składową algebraiczną:

• dla rzutu w górę \(v_{0y}>0\);
• dla rzutu w dół \(v_{0y}<0\);
• dla swobodnego puszczenia ciała \(v_{0y}=0\).

Swobodne spadanie

Swobodne spadanie zachodzi wtedy, gdy ciało zostaje puszczone bez prędkości początkowej:

Przy osi skierowanej dodatnio w górę:

Jeżeli przez \(h\) oznaczymy dodatnią odległość przebytą w dół:

to otrzymujemy wygodne zależności dotyczące wartości ruchu:

W tych wzorach szybkość i droga są dodatnie. Kierunek ruchu określamy osobno jako pionowo w dół.

Rzut pionowy w dół

W rzucie pionowym w dół ciało otrzymuje początkową prędkość skierowaną zgodnie z przyspieszeniem ziemskim.

Niech \(v_0>0\) oznacza dodatnią szybkość początkową. Przy osi skierowanej w górę algebraiczna prędkość początkowa wynosi:

Równania ruchu:

Szybkość ciała rośnie zgodnie z zależnością:

Dodatnią odległość przebytą w dół można zapisać jako:

Po wyeliminowaniu czasu:

Tak zapisane wzory operują dodatnią szybkością oraz dodatnią drogą mierzoną w dół. Są dlatego często spotykane w zadaniach praktycznych.

Rzut pionowy w górę

W rzucie pionowym w górę prędkość początkowa jest skierowana przeciwnie do przyspieszenia ziemskiego. Przy osi dodatniej w górę:

Prędkość zmienia się zgodnie z równaniem:

Położenie ciała:

Zależność bez czasu:

Podczas wznoszenia:

Prędkość i przyspieszenie mają przeciwne znaki, dlatego szybkość maleje.

Podczas spadania:

Prędkość i przyspieszenie mają ten sam znak, dlatego szybkość rośnie.

Najwyższy punkt ruchu

W najwyższym punkcie rzutu pionowego w górę prędkość chwilowa jest równa zeru:

Z równania:

otrzymujemy czas wznoszenia:

Maksymalna wysokość

Maksymalny przyrost wysokości ponad poziom wyrzutu wyznaczamy z równania:

W najwyższym punkcie \(v_y=0\), więc:

Stąd:

Bezwzględna wysokość najwyższego punktu wynosi:

Czas lotu i powrót na poziom wyrzutu

Jeżeli ciało wraca na ten sam poziom, z którego zostało wyrzucone, spełniony jest warunek:

Z równania położenia:

otrzymujemy:

Pierwsze rozwiązanie \(t=0\) odpowiada chwili wyrzutu. Drugie daje całkowity czas lotu:

Czas lotu jest dwukrotnie większy od czasu wznoszenia:

Po powrocie na poziom wyrzutu algebraiczna prędkość wynosi:

Szybkość ma więc taką samą wartość jak w chwili wyrzutu:

ale prędkość jest skierowana w dół.

Rzut pionowy z wysokości

Jeżeli ciało nie wraca na poziom wyrzutu, nie można automatycznie stosować wzoru:

Trzeba wtedy skorzystać z pełnego równania położenia:

Dla chwili uderzenia o ziemię, gdy poziom ziemi przyjęto jako \(y=0\):

Jest to równanie kwadratowe względem czasu. Z jego rozwiązań wybieramy czas spełniający warunki fizyczne, najczęściej dodatni.

Prędkość końcową można następnie wyznaczyć z zależności:

albo bez obliczania czasu:

Wykresy położenia, prędkości i przyspieszenia

Wykres położenia \(y(t)\)

W rzucie pionowym w górę:

Wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Jego nachylenie w każdej chwili odpowiada prędkości:

W najwyższym punkcie styczna do wykresu jest pozioma, ponieważ:

Wykres prędkości \(v_y(t)\)

Prędkość zmienia się liniowo:

Nachylenie wykresu wynosi:

Pole algebraiczne pod wykresem prędkości jest równe przemieszczeniu:

Wykres przyspieszenia \(a_y(t)\)

Przyspieszenie jest stałe:

Wykres jest poziomą linią znajdującą się poniżej osi czasu. Nie przecina osi nawet w najwyższym punkcie ruchu.

Symetria rzutu pionowego

Jeżeli ciało powraca na poziom wyrzutu i pomijamy opór powietrza, ruch jest symetryczny względem najwyższego punktu.

• czas wznoszenia jest równy czasowi spadania;
• na tej samej wysokości szybkość ma taką samą wartość podczas wznoszenia i spadania;
• prędkości na tej samej wysokości mają przeciwne znaki;
• przyspieszenie przez cały czas pozostaje takie samo;
• po powrocie na poziom wyrzutu szybkość jest równa szybkości początkowej.

Jeżeli na pewnej wysokości podczas wznoszenia:

to podczas spadania na tej samej wysokości:

Szybkość w obu chwilach wynosi jednak:

Przykłady obliczeniowe

Przykład 1. Swobodne spadanie z wysokości \(20\ \mathrm{m}\)

Ciało zostaje puszczone bez prędkości początkowej z wysokości:

Czas spadania wyznaczamy z równania:

Stąd:

Szybkość przed uderzeniem:

Przy osi skierowanej w górę algebraiczna prędkość wynosi:

Ciało uderza w ziemię z szybkością około \(19{,}8\ \mathrm{m/s}\), poruszając się pionowo w dół.

Przykład 2. Rzut pionowy w górę

Piłkę wyrzucono pionowo w górę z prędkością:

Czas wznoszenia:

Maksymalna wysokość ponad poziom wyrzutu:

Całkowity czas lotu przy powrocie na poziom początkowy:

Przykład 3. Rzut pionowy w dół

Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości:

z szybkością początkową:

Stosujemy równanie dodatniej drogi mierzonej w dół:

Po podstawieniu:

Dodatnie rozwiązanie równania wynosi w przybliżeniu:

Szybkość końcowa:

Przy osi skierowanej w górę algebraiczna prędkość końcowa wynosi około:

Przykład 4. Rzut w górę z dachu

Piłkę wyrzucono pionowo w górę z dachu znajdującego się na wysokości:

z prędkością początkową:

Chwilę uderzenia o ziemię wyznaczamy z warunku \(y=0\):

Po rozwiązaniu równania wybieramy dodatni pierwiastek:

Prędkość w chwili uderzenia:

Piłka uderza w ziemię z szybkością około \(21{,}6\ \mathrm{m/s}\), skierowaną pionowo w dół.

Jednostki i kontrola wymiarów

Kontrola wymiarów równania położenia:

Wszystkie składniki mają jednostkę długości.

Kontrola wzoru na maksymalną wysokość:

Najczęstsze błędy

• wpisywanie \(a=+g\) przy osi skierowanej dodatnio w górę;
• traktowanie symbolu \(g\) jako liczby ujemnej;
• mieszanie wzorów zapisanych dla osi skierowanej w górę i w dół;
• mylenie algebraicznej prędkości ze szybkością;
• uznawanie ujemnego wyniku prędkości za błędny mimo ruchu w dół;
• podawanie ujemnej szybkości;
• przyjmowanie, że w najwyższym punkcie \(a=0\);
• stosowanie \(v_{\max}=0\) zamiast poprawnego \(v=0\) w najwyższym punkcie;
• stosowanie \(t_{\mathrm{lotu}}=2v_0/g\), gdy ciało nie wraca na poziom wyrzutu;
• pomijanie wysokości początkowej \(y_0\);
• nieuwzględnianie dwóch rozwiązań równania kwadratowego;
• wybieranie ujemnego czasu bez interpretacji fizycznej;
• mylenie drogi z przemieszczeniem po powrocie na poziom początkowy;
• stosowanie modelu bez oporu powietrza do sytuacji, w której opór odgrywa istotną rolę.

Podsumowanie

Przy osi pionowej skierowanej dodatnio w górę przyspieszenie ziemskie ma postać:

Ogólne równania ruchu pionowego są następujące:

W swobodnym spadaniu z bezruchu:

W rzucie pionowym w dół, gdy \(v_0\) oznacza dodatnią szybkość początkową:

W rzucie pionowym w górę:

Czas wznoszenia i maksymalna wysokość ponad poziom wyrzutu wynoszą:

Jeżeli ciało wraca na poziom wyrzutu:

W najwyższym punkcie prędkość jest chwilowo równa zeru, ale przyspieszenie nadal wynosi \(-g\). Podczas spadania algebraiczna prędkość może być ujemna, natomiast szybkość jest jej dodatnią wartością bezwzględną.

Utworzono: 29.06.2026 | Zmodyfikowano: 18.07.2026

Powiązane artykuły

• Ruch prostoliniowy – położenie, prędkość, przyspieszenie i równania ruchu 
• Rzut ukośny – tor ruchu, czas lotu, zasięg i maksymalna wysokość 
• Kinematyka punktu materialnego – równania ruchu, prędkość, przyspieszenie i promień krzywizny 
• Rzut poziomy – tor ruchu, czas lotu, zasięg i prędkość 

Masz problem z tym tematem?

Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku. 

Zapytaj o pomoc