Rzut ukośny – tor ruchu, czas lotu, zasięg i maksymalna wysokość

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Rzut ukośny jest ruchem ciała, któremu nadano prędkość początkową skierowaną pod pewnym kątem do poziomu. Przy pominięciu oporu powietrza ruch można rozłożyć na jednostajny ruch poziomy oraz ruch pionowy ze stałym przyspieszeniem ziemskim. Połączenie obu składowych daje paraboliczny tor ruchu.

Rzut ukośny jest rozwinięciem zagadnień omówionych w artykułach Rzut poziomy – tor ruchu, czas lotu, zasięg i prędkość oraz Swobodne spadanie i rzut pionowy – prędkość, czas lotu i maksymalna wysokość.

Czym jest rzut ukośny?

Rzut ukośny zachodzi wtedy, gdy ciało otrzymuje prędkość początkową \(\vec v_0\) skierowaną pod kątem \(\alpha\) do poziomu. Po rozpoczęciu ruchu, przy pominięciu oporu powietrza, na ciało działa wyłącznie siła grawitacji.

Prędkość początkowa ma dwie składowe:

• poziomą, odpowiadającą za przemieszczanie się ciała w kierunku osi \(x\);
• pionową, powodującą początkowe wznoszenie, a następnie opadanie ciała.

W kierunku poziomym ciało porusza się ruchem jednostajnym. W kierunku pionowym jego ruch jest ruchem jednostajnie zmiennym z przyspieszeniem skierowanym w dół.

Założenia modelu

W podstawowym modelu rzutu ukośnego przyjmujemy, że:

• opór powietrza jest pomijalnie mały;
• przyspieszenie ziemskie jest stałe;
• ruch odbywa się blisko powierzchni Ziemi;
• powierzchnię Ziemi można traktować jako płaską;
• ciało jest punktem materialnym;
• obrót i kształt ciała nie wpływają na jego ruch.

Wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi w przybliżeniu:

W prostszych zadaniach często przyjmuje się:

Układ współrzędnych

Przyjmujemy początek układu współrzędnych w punkcie wyrzutu. Oś \(x\) jest skierowana poziomo w prawo, a oś \(y\) pionowo w górę.

Składowe przyspieszenia wynoszą wtedy:

Wektor przyspieszenia można zapisać jako:

Znak minus oznacza, że przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do dodatniego zwrotu osi \(y\).

Rozkład prędkości początkowej

Wektor prędkości początkowej \(\vec v_0\) tworzy z poziomem kąt \(\alpha\). Rozkładamy go na dwie wzajemnie prostopadłe składowe:

Składowa pozioma wynosi:

Składowa pionowa:

Ponieważ składowe są prostopadłe, wartość prędkości początkowej spełnia zależność:

Równania ruchu

Ruch w kierunku poziomym

W kierunku poziomym przyspieszenie jest równe zeru:

Pozioma składowa prędkości pozostaje stała:

Położenie poziome:

Ruch w kierunku pionowym

W kierunku pionowym przyspieszenie jest stałe:

Pionowa składowa prędkości zmienia się zgodnie z równaniem:

Położenie pionowe, gdy punkt wyrzutu przyjęto jako \(y=0\), wynosi:

W zapisie wektorowym:

Równanie toru rzutu ukośnego

Równanie toru otrzymujemy przez wyeliminowanie czasu z równań położenia.

Z równania:

wyznaczamy czas:

Po podstawieniu do równania pionowego:

Otrzymujemy:

Jest to równanie paraboli skierowanej ramionami w dół. Przy braku oporu powietrza tor rzutu ukośnego jest więc paraboliczny.

Składowe prędkości podczas lotu

Pozioma składowa prędkości przez cały czas pozostaje stała:

Pionowa składowa prędkości maleje liniowo:

Podczas wznoszenia:

W najwyższym punkcie:

Podczas opadania:

Wartość prędkości w dowolnej chwili wynosi:

Najwyższy punkt toru

W najwyższym punkcie pionowa składowa prędkości jest równa zeru:

Nie oznacza to jednak zatrzymania ciała. Pozioma składowa prędkości nadal wynosi:

Wartość prędkości w najwyższym punkcie jest więc równa:

Czas wznoszenia

Czas wznoszenia wyznaczamy z warunku:

Z równania:

otrzymujemy:

Maksymalna wysokość

Maksymalną wysokość ponad poziom wyrzutu można wyznaczyć przez podstawienie czasu wznoszenia do równania położenia pionowego:

Po podstawieniu:

Wzór ten określa wysokość ponad poziom punktu wyrzutu. Jeżeli punkt wyrzutu znajduje się na wysokości \(y_0\), najwyższe położenie wynosi:

Całkowity czas lotu

Jeżeli ciało wraca na ten sam poziom, z którego zostało wyrzucone, w chwili końcowej:

Z równania:

otrzymujemy:

Rozwiązanie \(t=0\) odpowiada chwili wyrzutu. Drugie rozwiązanie jest całkowitym czasem lotu:

Przy jednakowym poziomie początkowym i końcowym czas opadania jest równy czasowi wznoszenia:

Zasięg rzutu ukośnego

Zasięg \(L\) jest poziomą odległością pomiędzy punktem wyrzutu i punktem upadku.

W kierunku poziomym ciało porusza się ze stałą prędkością:

Zatem:

Po podstawieniu czasu lotu:

Korzystamy z tożsamości:

Ostatecznie:

Wzór ten obowiązuje wyłącznie wtedy, gdy punkt wyrzutu i punkt upadku znajdują się na tej samej wysokości.

Symetria ruchu i kąt uderzenia

Jeżeli ciało wraca na poziom wyrzutu i pomijamy opór powietrza, tor jest symetryczny względem pionowej prostej przechodzącej przez najwyższy punkt.

W chwili wyrzutu:

W chwili powrotu na poziom początkowy:

Wartość prędkości podczas uderzenia wynosi więc:

Jeżeli \(\beta\) oznacza wartość kąta uderzenia mierzonego poniżej poziomu, to:

Zatem:

Kąt uderzenia ma więc taką samą wartość jak kąt wyrzutu, lecz jest skierowany poniżej poziomu.

Wpływ kąta rzutu na zasięg

Dla ustalonej wartości prędkości początkowej i jednakowych poziomów wyrzutu oraz upadku zasięg zależy od wyrażenia:

Największa możliwa wartość sinusa wynosi:

Warunek ten jest spełniony, gdy:

W idealnym modelu największy zasięg występuje więc dla kąta \(45^\circ\).

Kąty dopełniające się

Kąty \(\alpha\) oraz \(90^\circ-\alpha\) dają ten sam zasięg, ponieważ:

Przykładowo:

Tor dla \(60^\circ\) osiąga większą wysokość i wiąże się z dłuższym czasem lotu. Tor dla \(30^\circ\) jest niższy i bardziej płaski, ale oba rzuty mają taki sam zasięg.

Wykresy ruchu

Położenie poziome \(x(t)\)

Wykres jest linią prostą. Jego nachylenie jest równe stałej składowej poziomej prędkości.

Położenie pionowe \(y(t)\)

Wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Położenie początkowo rośnie, osiąga maksimum, a następnie maleje.

Prędkość pozioma \(v_x(t)\)

Wykres jest poziomą linią, ponieważ składowa pozioma prędkości jest stała.

Prędkość pionowa \(v_y(t)\)

Wykres jest linią prostą o nachyleniu \(-g\). W najwyższym punkcie przecina oś czasu, ponieważ wtedy \(v_y=0\).

Rzut ukośny z wysokości

Jeżeli punkt upadku znajduje się na innej wysokości niż punkt wyrzutu, ruch nie jest symetryczny względem najwyższego punktu. Nie można wtedy stosować wzorów:

Należy skorzystać z ogólnego równania położenia:

Jeżeli ciało zostało wyrzucone z wysokości \(h\) nad poziomem upadku, a początek osi umieszczono w punkcie wyrzutu, poziom końcowy ma współrzędną:

Warunek uderzenia ma postać:

Dodatnie rozwiązanie równania kwadratowego wynosi:

Zasięg obliczamy następnie ze wzoru:

W takim przypadku czas opadania jest dłuższy od czasu wznoszenia, kąt uderzenia nie musi być równy kątowi wyrzutu, a kąt \(45^\circ\) nie musi dawać największego zasięgu.

Wpływ oporu powietrza

W rzeczywistym ruchu opór powietrza powoduje zmniejszanie zarówno poziomej, jak i pionowej składowej prędkości. W konsekwencji:

• tor nie jest dokładną parabolą;
• składowa pozioma prędkości nie pozostaje stała;
• zasięg jest mniejszy niż w modelu idealnym;
• ruch nie jest symetryczny;
• kąt uderzenia nie jest na ogół równy kątowi wyrzutu;
• kąt największego zasięgu jest zazwyczaj mniejszy niż \(45^\circ\).

Znaczenie oporu powietrza zależy między innymi od kształtu i rozmiaru ciała, jego masy, prędkości oraz gęstości powietrza.

Przykłady obliczeniowe

Przykład 1. Rzut pod kątem \(30^\circ\)

Ciało wyrzucono z poziomu podłoża z prędkością:

pod kątem:

Składowe prędkości początkowej:

Czas wznoszenia:

Maksymalna wysokość:

Całkowity czas lotu:

Zasięg:

W chwili uderzenia ciało ma szybkość \(20\ \mathrm{m/s}\), a jego prędkość jest skierowana pod kątem \(30^\circ\) poniżej poziomu.

Przykład 2. Porównanie kątów \(30^\circ\) i \(60^\circ\)

Dwa ciała wyrzucono z taką samą prędkością \(v_0=20\ \mathrm{m/s}\), odpowiednio pod kątem \(30^\circ\) i \(60^\circ\).

Zasięg dla kąta \(30^\circ\):

Zasięg dla kąta \(60^\circ\):

Zasięgi są takie same, ale maksymalne wysokości różnią się.

Rzut pod kątem \(60^\circ\) trwa dłużej i osiąga większą wysokość, ale ma taki sam zasięg jak rzut pod kątem \(30^\circ\).

Przykład 3. Rzut ukośny z wysokości

Ciało wyrzucono z wysokości \(10\ \mathrm{m}\) z prędkością:

pod kątem:

Czas lotu:

Składowa pozioma prędkości:

Zasięg:

Ponieważ punkt upadku znajduje się niżej niż punkt wyrzutu, czas opadania jest dłuższy od czasu wznoszenia, a kąt uderzenia jest większy od kąta wyrzutu.

Jednostki i kontrola wymiarów

Kontrola wymiarów wzoru na czas lotu:

Kontrola wzoru na maksymalną wysokość:

Kontrola wzoru na zasięg:

Najczęstsze błędy

• nierozkładanie prędkości początkowej na składowe poziomą i pionową;
• zamiana funkcji sinus i cosinus w zależnościach na składowe;
• przyjmowanie \(v_{0x}=v_0\sin\alpha\) zamiast \(v_0\cos\alpha\);
• przyjmowanie \(v_{0y}=v_0\cos\alpha\) zamiast \(v_0\sin\alpha\);
• wpisywanie \(a_x=g\) zamiast \(a_x=0\);
• przyjmowanie \(a_y=+g\) przy osi skierowanej w górę;
• uznawanie, że składowa pozioma prędkości maleje pod wpływem grawitacji;
• uznawanie, że w najwyższym punkcie całkowita prędkość jest równa zeru;
• przyjmowanie, że w najwyższym punkcie przyspieszenie jest równe zeru;
• mylenie czasu wznoszenia z całkowitym czasem lotu;
• stosowanie wzorów na czas lotu i zasięg dla jednakowych poziomów, gdy punkt upadku znajduje się wyżej lub niżej;
• uznawanie, że kąty \(30^\circ\) i \(60^\circ\) dają różne zasięgi w modelu idealnym;
• twierdzenie, że największy zasięg zawsze występuje dla \(45^\circ\), niezależnie od oporu powietrza i różnicy wysokości;
• uznawanie toru rzutu ukośnego za fragment okręgu;
• dodawanie składowych prędkości algebraicznie zamiast wektorowo;
• pomijanie jednostek kątowych w obliczeniach kalkulatorem.

Podsumowanie

Prędkość początkową w rzucie ukośnym rozkładamy na składowe:

Równania ruchu:

Składowe prędkości:

Tor ruchu jest parabolą:

Przy jednakowych poziomach wyrzutu i upadku:

W idealnym modelu największy zasięg występuje dla kąta \(45^\circ\), a kąty dopełniające się do \(90^\circ\) dają taki sam zasięg. Tor jest symetryczny, szybkość w chwili uderzenia jest równa szybkości początkowej, a kąt uderzenia ma taką samą wartość jak kąt wyrzutu.

Utworzono: 29.06.2026 | Zmodyfikowano: 19.07.2026

Powiązane artykuły

• Rzut poziomy – tor ruchu, czas lotu, zasięg i prędkość 
• Kinematyka punktu materialnego – równania ruchu, prędkość, przyspieszenie i promień krzywizny 
• Swobodne spadanie i rzut pionowy – prędkość, czas lotu i maksymalna wysokość 

Masz problem z tym tematem?

Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku. 

Zapytaj o pomoc