Naprężenia i odkształcenia – prawo Hooke’a
Naprężenia i odkształcenia są podstawowymi wielkościami opisującymi zachowanie materiału pod wpływem obciążeń. Naprężenie mówi, jak intensywnie obciążony jest materiał w danym miejscu, natomiast odkształcenie opisuje zmianę jego wymiarów lub kształtu. W zakresie liniowo sprężystym obie wielkości łączy prawo Hooke’a.
W artykule Wytrzymałość materiałów – wprowadzenie pokazaliśmy ogólny ciąg analizy: od obciążeń zewnętrznych, przez siły wewnętrzne i naprężenia, aż do odkształceń. Teraz przyjrzymy się dokładniej dwóm ostatnim etapom oraz podstawowym stałym opisującym sprężyste właściwości materiału.
Spis treści
- Czym jest naprężenie?
- Naprężenie normalne
- Naprężenie styczne
- Czym jest odkształcenie?
- Odkształcenie normalne
- Odkształcenie postaciowe
- Prawo Hooke’a
- Moduł Younga
- Moduł Kirchhoffa
- Współczynnik Poissona
- Zależności między stałymi sprężystymi
- Zakres obowiązywania prawa Hooke’a
- Przykład obliczeniowy
- Najczęstsze błędy
- Podsumowanie
Czym jest naprężenie?
Po wykonaniu myślowego przekroju obciążonego elementu ujawniamy działające w nim siły wewnętrzne. Sama wartość takiej siły nie wystarcza jednak do określenia stopnia obciążenia materiału. Istotne jest również pole powierzchni, przez które oddziaływanie to jest przenoszone.
Jeżeli tę samą siłę przenosi bardzo duży przekrój, materiał jest obciążony znacznie mniej intensywnie niż wtedy, gdy siła działa poprzez niewielką powierzchnię. Do opisu tej intensywności wprowadzamy pojęcie naprężenia.
W najprostszym ujęciu naprężenie można interpretować jako siłę wewnętrzną przypadającą na jednostkę pola przekroju. W ogólnym przypadku naprężenie zależy jednak od miejsca w przekroju oraz od kierunku rozpatrywanej powierzchni.
Podstawowymi składowymi naprężenia są:
- naprężenie normalne \(\sigma\) – działające prostopadle do rozpatrywanej powierzchni;
- naprężenie styczne \(\tau\) – działające równolegle do rozpatrywanej powierzchni.
Naprężenie normalne
Najprostszy przykład otrzymujemy dla prostego pręta rozciąganego osiowo. Jeżeli przez przekrój o polu \(A\) przenoszona jest siła normalna \(N\), a rozkład naprężeń w przekroju można uznać za równomierny, to:
\[ \sigma=\frac{N}{A}. \]
Dla rozciągania naprężenie normalne przyjmuje się zazwyczaj jako dodatnie, natomiast dla ściskania – jako ujemne. Konwencja znaków musi być jednak zawsze stosowana konsekwentnie.
Jednostką naprężenia jest paskal:
\[ 1\ \mathrm{Pa} = 1\ \frac{\mathrm N}{\mathrm{m}^2}. \]
W wytrzymałości materiałów naprężenia są zwykle na tyle duże, że wygodniej posługiwać się megapaskalami:
\[ 1\ \mathrm{MPa}=10^6\ \mathrm{Pa}. \]
Bardzo użyteczna jest również zależność:
\[ 1\ \frac{\mathrm N}{\mathrm{mm}^2}=1\ \mathrm{MPa}. \]
Dzięki temu w obliczeniach technicznych można wygodnie stosować siły w niutonach i pola przekrojów w milimetrach kwadratowych.
Naprężenie styczne
Jeżeli siła wewnętrzna działa równolegle do rozpatrywanej powierzchni przekroju, pojawiają się naprężenia styczne. Oznacza się je literą \(\tau\).
W prostym przypadku równomiernego ścinania można określić średnie naprężenie styczne ze wzoru:
\[ \tau_{\mathrm{śr}}=\frac{T}{A}, \]
gdzie \(T\) jest siłą tnącą, a \(A\) polem powierzchni przenoszącej ścinanie.
Trzeba podkreślić, że jest to zależność dotycząca naprężenia średniego w prostym modelu ścinania. W belkach, wałach oraz wielu innych elementach rzeczywisty rozkład naprężeń stycznych nie jest równomierny i wymaga zastosowania bardziej szczegółowych zależności.
Czym jest odkształcenie?
Naprężenia występujące w materiale powodują zmianę jego wymiarów lub kształtu. Zmiany te opisujemy za pomocą odkształceń.
Warto rozróżnić przemieszczenie od odkształcenia. Przemieszczenie opisuje zmianę położenia określonego punktu ciała, natomiast odkształcenie mówi o względnej zmianie odległości między punktami lub zmianie kształtu elementu.
Ciało może więc przemieścić się jako całość bez odkształcenia. Przykładem jest idealnie sztywne przesunięcie lub obrót. W wytrzymałości materiałów interesują nas natomiast przede wszystkim zmiany geometrii samego elementu.
Odkształcenie normalne
Jeżeli pręt o początkowej długości \(L_0\) wydłuży się o wartość \(\Delta L\), to jego średnie odkształcenie normalne wynosi:
\[ \varepsilon= \frac{\Delta L}{L_0}. \]
Dla wydłużenia mamy:
\[ \varepsilon>0, \]
a dla skrócenia:
\[ \varepsilon<0. \]
Odkształcenie jest wielkością bezwymiarową, ponieważ stanowi iloraz dwóch długości. Można je podawać jako liczbę dziesiętną, procent albo – przy bardzo małych odkształceniach – w mikroodkształceniach.
Przykładowo:
\[ \varepsilon=0{,}001 = 0{,}1\% = 1000\ \mu\varepsilon. \]
Odkształcenie postaciowe
Naprężeniom stycznym odpowiada przede wszystkim odkształcenie postaciowe, oznaczane literą \(\gamma\). Opisuje ono zmianę kąta między kierunkami, które przed odkształceniem były do siebie prostopadłe.
Możemy wyobrazić sobie prostokątny element, który pod wpływem ścinania przyjmuje kształt zbliżony do równoległoboku. Dla małych odkształceń:
\[ \gamma\simeq\tan\gamma\simeq\gamma, \]
jeżeli kąt \(\gamma\) wyrażamy w radianach i jest on dostatecznie mały. W praktyce symbol \(\gamma\) oznacza wtedy bezwymiarową miarę odkształcenia postaciowego.
Prawo Hooke’a
Dla wielu materiałów, jeżeli odkształcenia są niewielkie i znajdują się w zakresie liniowo sprężystym, naprężenie normalne jest proporcjonalne do odkształcenia normalnego:
\[ \sigma=E\varepsilon. \]
Jest to materiałowa postać prawa Hooke’a. Współczynnik \(E\) nosi nazwę modułu Younga.
Prawo Hooke’a poznaliśmy już w mechanice w odniesieniu do idealnej sprężyny:
\[ F_s=-kx. \]
Zależność tę omawiamy w artykule Siły w mechanice – ciężar, reakcja podłoża, napięcie i sprężystość. W wytrzymałości materiałów stosujemy analogiczną ideę proporcjonalności, lecz zamiast siły i wydłużenia całej sprężyny opisujemy lokalną zależność między naprężeniem i odkształceniem materiału.
Moduł Younga
Moduł Younga \(E\) określa sztywność materiału przy rozciąganiu i ściskaniu. Z prawa Hooke’a:
\[ E=\frac{\sigma}{\varepsilon}. \]
Ponieważ odkształcenie jest bezwymiarowe, moduł Younga ma tę samą jednostkę co naprężenie:
\[ [E]=\mathrm{Pa}. \]
Im większy moduł Younga, tym sztywniejszy jest materiał. Oznacza to, że przy takim samym naprężeniu materiał o większym \(E\) ulegnie mniejszemu odkształceniu:
\[ \varepsilon=\frac{\sigma}{E}. \]
Modułu Younga nie należy jednak utożsamiać z wytrzymałością materiału. Materiał może być bardzo sztywny, a jednocześnie stosunkowo kruchy. Sztywność opisuje opór przeciw odkształceniu, natomiast wytrzymałość dotyczy między innymi naprężeń prowadzących do uplastycznienia lub zniszczenia.
Moduł Kirchhoffa
Odpowiednikiem modułu Younga dla ścinania jest moduł Kirchhoffa, nazywany również modułem ścinania i oznaczany literą \(G\).
W zakresie liniowo sprężystym naprężenie styczne jest proporcjonalne do odkształcenia postaciowego:
\[ \tau=G\gamma. \]
Stąd:
\[ G=\frac{\tau}{\gamma}. \]
Moduł \(G\), podobnie jak moduł Younga, wyrażamy w paskalach. Określa on odporność materiału na zmianę kształtu wywołaną działaniem naprężeń stycznych.
Współczynnik Poissona
Jeżeli rozciągamy próbkę w jednym kierunku, zwykle nie tylko się ona wydłuża, ale jednocześnie zwęża się w kierunku poprzecznym. Przy ściskaniu zachodzi efekt przeciwny – element skraca się w kierunku działania siły i zazwyczaj zwiększa swoje wymiary poprzeczne.
Zjawisko to opisuje współczynnik Poissona \(\nu\):
\[ \nu= -\frac{\varepsilon_\perp}{\varepsilon_\parallel}, \]
gdzie:
- \(\varepsilon_\parallel\) – odkształcenie w kierunku działania naprężenia;
- \(\varepsilon_\perp\) – odkształcenie w kierunku poprzecznym.
Znak minus sprawia, że dla typowego materiału rozciąganego, który jednocześnie zwęża się poprzecznie, współczynnik Poissona jest dodatni.
Dla większości zwykłych materiałów izotropowych współczynnik Poissona mieści się w przedziale:
\[ 0<\nu<0{,}5. \]
Wartość bliska \(0{,}5\) odpowiada materiałowi prawie nieściśliwemu. Istnieją również szczególne materiały o ujemnym współczynniku Poissona, nazywane auksetykami, które podczas rozciągania zwiększają swój wymiar poprzeczny.
Zależności między stałymi sprężystymi
Dla materiału jednorodnego, izotropowego i liniowo sprężystego do pełnego opisu właściwości sprężystych wystarczą dwie niezależne stałe materiałowe.
Jeżeli znamy moduł Younga \(E\) oraz współczynnik Poissona \(\nu\), moduł Kirchhoffa możemy wyznaczyć ze wzoru:
\[ E=2G(1+\nu), \]
czyli:
\[ G=\frac{E}{2(1+\nu)}. \]
Oznacza to, że dla takiego materiału wartości \(E\), \(G\) i \(\nu\) nie są trzema niezależnymi parametrami. Znajomość dwóch z nich pozwala obliczyć trzeci.
Zakres obowiązywania prawa Hooke’a
Prawo Hooke’a nie jest uniwersalną zależnością obowiązującą dla dowolnie dużych obciążeń. Liniowa zależność:
\[ \sigma=E\varepsilon \]
opisuje materiał jedynie w odpowiednim zakresie liniowo sprężystym.
W tym zakresie po usunięciu obciążenia materiał powraca do pierwotnych wymiarów, a wykres \(\sigma(\varepsilon)\) jest w przybliżeniu linią prostą. Nachylenie tej prostej odpowiada modułowi Younga.
Po przekroczeniu zakresu liniowości zależność między naprężeniem i odkształceniem może stać się nieliniowa. Jeżeli materiał przejdzie w zakres odkształceń plastycznych, po usunięciu obciążenia pozostanie odkształcenie trwałe.
Nie należy też utożsamiać pojęć granicy proporcjonalności, granicy sprężystości i granicy plastyczności. W idealizowanych wykresach mogą znajdować się blisko siebie, ale opisują różne cechy zachowania materiału. Dokładniejszy wykres próby rozciągania będzie można omówić w osobnym materiale poświęconym właściwościom mechanicznym materiałów.
Przykład obliczeniowy – naprężenie, odkształcenie i wydłużenie pręta
Rozważmy stalowy pręt o polu przekroju:
\[ A=200\ \mathrm{mm^2}, \]
obciążony osiową siłą rozciągającą:
\[ N=20\ \mathrm{kN}. \]
Przyjmijmy moduł Younga:
\[ E=200\ \mathrm{GPa}. \]
Najpierw wyznaczamy naprężenie normalne. Ponieważ \(20\ \mathrm{kN}=20\,000\ \mathrm N\):
\[ \sigma= \frac{N}{A} = \frac{20\,000}{200} = 100\ \frac{\mathrm N}{\mathrm{mm^2}} = 100\ \mathrm{MPa}. \]
Z prawa Hooke’a otrzymujemy odkształcenie:
\[ \varepsilon= \frac{\sigma}{E}. \]
Po zapisaniu obu wielkości w tych samych jednostkach:
\[ E=200\ \mathrm{GPa}=200\,000\ \mathrm{MPa}, \]
więc:
\[ \varepsilon= \frac{100}{200\,000} = 0{,}0005. \]
Jest to:
\[ \varepsilon=0{,}05\%. \]
Jeżeli długość pręta wynosi \(L_0=2\ \mathrm m\), jego wydłużenie będzie równe:
\[ \Delta L=\varepsilon L_0 = 0{,}0005\cdot2 = 0{,}001\ \mathrm m = 1\ \mathrm{mm}. \]
Widzimy więc wyraźnie kolejne etapy analizy:
\[ N \longrightarrow \sigma \longrightarrow \varepsilon \longrightarrow \Delta L. \]
W następnym artykule zastosujemy tę ideę szerzej przy analizie rozciągania i ściskania prętów, także wtedy, gdy siła normalna, pole przekroju lub właściwości materiału zmieniają się wzdłuż elementu.
Najczęstsze błędy
- Mylenie siły z naprężeniem. – Siła jest wielkością wypadkową wyrażaną w niutonach, natomiast naprężenie opisuje intensywność oddziaływania wewnętrznego i ma jednostkę \(\mathrm{Pa}\).
- Mylenie przemieszczenia z odkształceniem. – \(\Delta L\) jest zmianą długości, natomiast \(\varepsilon=\Delta L/L_0\) jest odkształceniem względnym.
- Przypisywanie odkształceniu jednostki długości. – Zarówno \(\varepsilon\), jak i \(\gamma\) są wielkościami bezwymiarowymi.
- Stosowanie \(\tau=T/A\) do każdego przypadku ścinania. – Zależność ta określa średnie naprężenie styczne w prostym modelu. Rzeczywisty rozkład naprężeń może być nierównomierny.
- Mylenie modułu Younga z wytrzymałością materiału. – Duży \(E\) oznacza dużą sztywność, a nie automatycznie dużą wytrzymałość na zniszczenie.
- Stosowanie prawa Hooke’a poza zakresem liniowo sprężystym. – Zależność \(\sigma=E\varepsilon\) nie opisuje ogólnie zachowania materiału po wejściu w zakres plastyczny.
- Pomijanie efektu Poissona. – Rozciąganie w jednym kierunku zazwyczaj powoduje jednocześnie odkształcenie w kierunkach poprzecznych.
- Traktowanie \(E\), \(G\) i \(\nu\) jako trzech niezależnych parametrów materiału izotropowego. – W zakresie liniowo sprężystym są one związane zależnością \(E=2G(1+\nu)\).
Podsumowanie
Naprężenie opisuje intensywność sił wewnętrznych działających w materiale, natomiast odkształcenie określa względną zmianę wymiarów lub kształtu elementu. Rozróżniamy przede wszystkim naprężenia normalne \(\sigma\) i styczne \(\tau\) oraz odpowiadające im odkształcenia normalne \(\varepsilon\) i postaciowe \(\gamma\).
W zakresie liniowo sprężystym zachowanie materiału można opisać prawem Hooke’a. Moduł Younga \(E\) określa sztywność przy rozciąganiu i ściskaniu, moduł Kirchhoffa \(G\) – sztywność przy ścinaniu, a współczynnik Poissona \(\nu\) łączy odkształcenia wzdłużne i poprzeczne.
Znajomość tych zależności pozwala przejść od sił wewnętrznych do rzeczywistych zmian wymiarów elementu. W kolejnym artykule wykorzystamy je do analizy jednego z podstawowych przypadków wytrzymałościowych – rozciągania i ściskania prętów.
Utworzono: 15.06.2026 | Zmodyfikowano: 31.08.2026
Powiązane artykuły
- Rozciąganie i ściskanie prętów
- Wytrzymałość materiałów – wprowadzenie
- Siły w mechanice – ciężar, reakcja podłoża, napięcie i sprężystość
- Skręcanie wałów i prętów
Masz problem z tym tematem?
Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku.
Zapytaj o pomoc