Rozciąganie i ściskanie prętów
Rozciąganie i ściskanie prętów należą do najprostszych, ale jednocześnie najważniejszych zagadnień wytrzymałości materiałów. Jeżeli obciążenie działa wzdłuż osi pręta, w jego przekrojach powstaje siła normalna, która wywołuje naprężenia normalne oraz zmianę długości elementu. Na tej podstawie możemy sprawdzić zarówno jego wytrzymałość, jak i sztywność.
W poprzednim artykule Naprężenia i odkształcenia – prawo Hooke’a wprowadziliśmy naprężenie normalne \(\sigma\), odkształcenie \(\varepsilon\) oraz moduł Younga \(E\). Teraz wykorzystamy te wielkości do analizy rzeczywistych prętów obciążonych osiowo.
Spis treści
- Rozciąganie i ściskanie pręta
- Siła normalna w pręcie
- Metoda przekrojów i wykres \(N(x)\)
- Naprężenie normalne
- Odkształcenie i zmiana długości
- Wydłużenie pręta jednorodnego
- Pręt stopniowany
- Pręt o zmiennych parametrach
- Warunek wytrzymałości
- Warunek sztywności
- Zmiana temperatury i odkształcenia cieplne
- Pręty statycznie niewyznaczalne
- Przykład obliczeniowy
- Najczęstsze błędy
- Podsumowanie
Rozciąganie i ściskanie pręta
Prętem nazywamy element konstrukcyjny, którego jeden wymiar – długość – jest znacznie większy od wymiarów przekroju poprzecznego. Jeżeli siły zewnętrzne działają wzdłuż osi pręta, mamy do czynienia z obciążeniem osiowym.
Wyróżniamy dwa podstawowe przypadki:
- rozciąganie – siły działające na końcach pręta są skierowane od jego wnętrza i powodują wydłużenie;
- ściskanie – siły są skierowane ku wnętrzu pręta i powodują jego skrócenie.
W typowej konwencji znaków przyjmujemy:
\[ N>0 \quad \text{– rozciąganie}, \]
\[ N<0 \quad \text{– ściskanie}. \]
Analogicznie dodatnia zmiana długości oznacza wydłużenie, a ujemna – skrócenie:
\[ \Delta L>0 \quad \text{– wydłużenie}, \qquad \Delta L<0 \quad \text{– skrócenie}. \]
Siła normalna w pręcie
Pod wpływem obciążeń osiowych wewnątrz pręta powstaje siła normalna \(N\). Jest ona wypadkową naprężeń normalnych działających w danym przekroju poprzecznym.
Siła normalna nie musi mieć tej samej wartości na całej długości pręta. Jeżeli w różnych miejscach przyłożone są siły skupione albo występuje obciążenie ciągłe, wartość \(N\) może zmieniać się wraz ze współrzędną \(x\):
\[ N=N(x). \]
Aby wyznaczyć siłę normalną, korzystamy z tej samej idei równowagi, którą poznaliśmy wcześniej w statyce.
Metoda przekrojów i wykres \(N(x)\)
Najważniejszym narzędziem do wyznaczania siły normalnej jest metoda przekrojów. Jej idea została już wprowadzona w artykule Wytrzymałość materiałów – wprowadzenie.
Postępujemy w kilku krokach:
- wybieramy przekrój w interesującym nas miejscu pręta;
- przecinamy pręt myślowo i odrzucamy jedną z jego części;
- oddziaływanie odrzuconej części zastępujemy siłą normalną \(N\);
- dla pozostałej części zapisujemy równanie równowagi w kierunku osi pręta.
Dla prostego zagadnienia osiowego otrzymujemy więc:
\[ \sum F_x=0. \]
Jeżeli między kolejnymi siłami skupionymi nie występuje obciążenie ciągłe, siła normalna w każdym takim przedziale ma stałą wartość. Na tej podstawie tworzymy wykres siły normalnej \(N(x)\).
Wykres ten jest odpowiednikiem wykresów sił wewnętrznych, które później będziemy tworzyć również dla belek poddanych ścinaniu i zginaniu.
Naprężenie normalne
Jeżeli siła normalna \(N\) jest rozłożona równomiernie na przekroju o polu \(A\), naprężenie normalne wynosi:
\[ \sigma=\frac{N}{A}. \]
Zależność tę omawialiśmy już dokładniej w artykule Naprężenia i odkształcenia – prawo Hooke’a.
Dla pręta rozciąganego osiowo naprężenie jest dodatnie, natomiast przy ściskaniu – ujemne, jeżeli stosujemy wcześniej przyjętą konwencję.
Warto zwrócić uwagę, że zmniejszenie pola przekroju powoduje wzrost wartości naprężenia przy tej samej sile:
\[ A\downarrow \quad\Longrightarrow\quad |\sigma|\uparrow. \]
Dlatego przewężenia, otwory i inne zmiany geometrii mogą mieć istotny wpływ na bezpieczeństwo elementu. W bardziej zaawansowanych analizach dochodzi jeszcze zjawisko koncentracji naprężeń.
Odkształcenie i zmiana długości
Dla pręta o początkowej długości \(L\), którego długość zmieniła się o \(\Delta L\), średnie odkształcenie normalne wynosi:
\[ \varepsilon=\frac{\Delta L}{L}. \]
W zakresie liniowo sprężystym prawo Hooke’a daje zależność:
\[ \sigma=E\varepsilon. \]
Po podstawieniu:
\[ \frac{N}{A} = E\frac{\Delta L}{L}. \]
Stąd otrzymujemy jedną z podstawowych zależności wytrzymałości materiałów.
Wydłużenie pręta jednorodnego
Dla pręta jednorodnego o stałym przekroju, stałym module Younga i stałej sile normalnej na całej długości:
\[ \boxed{ \Delta L=\frac{NL}{EA} } \]
gdzie:
- \(N\) – siła normalna;
- \(L\) – długość pręta;
- \(E\) – moduł Younga;
- \(A\) – pole przekroju poprzecznego.
Z zależności tej możemy bezpośrednio odczytać kilka ważnych prawidłowości:
- większa siła \(N\) powoduje większe odkształcenie;
- dłuższy pręt odkształca się bardziej;
- większy moduł Younga \(E\) oznacza mniejsze odkształcenie;
- większe pole przekroju \(A\) oznacza mniejsze odkształcenie.
W przypadku ściskania \(N<0\), dlatego ze wzoru otrzymujemy \(\Delta L<0\), czyli skrócenie pręta.
Pręt stopniowany
Jeżeli pręt składa się z kilku odcinków różniących się długością, polem przekroju, materiałem lub wartością siły normalnej, zmianę długości obliczamy osobno dla każdego odcinka.
Dla \(n\) odcinków:
\[ \Delta L = \sum_{i=1}^{n} \Delta L_i. \]
Po wykorzystaniu prawa Hooke’a:
\[ \boxed{ \Delta L = \sum_{i=1}^{n} \frac{N_iL_i}{E_iA_i} } \]
Każdy składnik zachowuje swój znak. Odcinek rozciągany daje dodatni przyrost długości, natomiast ściskany – ujemny.
Pręt stopniowany jest jednym z najprostszych przykładów pokazujących, dlaczego przed obliczeniem odkształcenia trzeba najpierw prawidłowo wyznaczyć przebieg siły normalnej \(N(x)\).
Pręt o zmiennych parametrach
Jeżeli siła normalna, pole przekroju albo moduł Younga zmieniają się w sposób ciągły wzdłuż pręta, sumę zastępujemy całką.
Dla elementarnego odcinka \(dx\):
\[ d(\Delta L) = \frac{N(x)}{E(x)A(x)}\,dx. \]
Całkowita zmiana długości wynosi więc:
\[ \boxed{ \Delta L = \int_0^L \frac{N(x)}{E(x)A(x)} \,dx } \]
Jest to ogólna postać zależności na wydłużenie osiowo obciążonego pręta w zakresie liniowo sprężystym.
Przykładem sytuacji, w której \(N(x)\) nie jest stałe, może być pionowy pręt odkształcający się pod wpływem własnego ciężaru. Ciężar własny jest przykładem obciążenia rozłożonego, o którym pisaliśmy wcześniej w artykule Rodzaje obciążeń w statyce.
Warunek wytrzymałości
Jednym z podstawowych celów analizy jest sprawdzenie, czy naprężenia występujące w elemencie nie przekraczają wartości uznanej za dopuszczalną.
Podstawowy warunek wytrzymałości zapisujemy:
\[ |\sigma_{\max}| \leq \sigma_{\mathrm{dop}}. \]
Dla pręta o stałym przekroju, w którym naprężenie wynosi:
\[ |\sigma| = \frac{|N|}{A}, \]
możemy wyznaczyć minimalne wymagane pole przekroju:
\[ A \geq \frac{|N|}{\sigma_{\mathrm{dop}}}. \]
Wartość naprężenia dopuszczalnego zależy od materiału, rodzaju obciążenia, przyjętego współczynnika bezpieczeństwa oraz zasad stosowanych w danej dziedzinie projektowania.
Warunek sztywności
Element może spełniać warunek wytrzymałości, a mimo to odkształcać się zbyt mocno. Dlatego niezależnie sprawdza się często warunek sztywności:
\[ |\Delta L| \leq \Delta L_{\mathrm{dop}}. \]
O ile warunek wytrzymałości odpowiada przede wszystkim na pytanie:
Czy materiał bezpiecznie przeniesie obciążenie?
o tyle warunek sztywności odpowiada na pytanie:
Czy element nie odkształci się zbyt mocno?
Są to dwa różne kryteria i poprawnie zaprojektowany element powinien spełniać oba.
Zmiana temperatury i odkształcenia cieplne
Zmiana długości pręta nie musi być wywołana wyłącznie siłą mechaniczną. Materiały zmieniają swoje wymiary również pod wpływem temperatury.
Dla swobodnego pręta zmiana długości wywołana zmianą temperatury wynosi:
\[ \Delta L_T = \alpha L\Delta T, \]
gdzie \(\alpha\) jest współczynnikiem liniowej rozszerzalności cieplnej.
Jeżeli pręt może swobodnie się wydłużyć, taka zmiana temperatury nie musi powodować naprężeń. Jeżeli jednak więzy uniemożliwiają swobodne odkształcenie, pojawiają się naprężenia termiczne.
Zjawisko oddziaływań temperaturowych zostało zasygnalizowane już przy omawianiu rodzajów obciążeń.
Pręty statycznie niewyznaczalne
Rozciąganie i ściskanie prętów daje również bardzo proste przykłady układów statycznie niewyznaczalnych.
Wyobraźmy sobie pręt zamocowany sztywno pomiędzy dwiema nieprzesuwnymi podporami. Jeżeli działa na niego obciążenie albo zmienia się temperatura, w podporach powstaną reakcje. Samo równanie równowagi może jednak nie wystarczyć do ich wyznaczenia.
Wtedy do równań statyki dołączamy warunek zgodności odkształceń. Jeżeli odległość pomiędzy podporami nie może się zmienić, całkowita zmiana długości pręta musi spełniać na przykład warunek:
\[ \Delta L=0. \]
Podstawiając:
\[ \Delta L = \sum_i \frac{N_iL_i}{E_iA_i}, \]
otrzymujemy dodatkowe równanie, którego brakowało w czystej statyce. Jest to dokładnie ta idea, o której pisaliśmy w artykule Wytrzymałość materiałów – wprowadzenie: uwzględnienie odkształcalności pozwala rozwiązywać układy statycznie niewyznaczalne.
Przykład obliczeniowy – pręt rozciągany
Rozważmy stalowy pręt o długości:
\[ L=1{,}5\ \mathrm m, \]
polu przekroju:
\[ A=300\ \mathrm{mm^2}, \]
i module Younga:
\[ E=200\ \mathrm{GPa}. \]
Pręt jest rozciągany siłą:
\[ N=30\ \mathrm{kN}. \]
Naprężenie normalne wynosi:
\[ \sigma = \frac{30\,000}{300} = 100\ \mathrm{MPa}. \]
Aby obliczyć wydłużenie, wygodnie użyć jednostek \(\mathrm N\), \(\mathrm{mm}\) i \(\mathrm{MPa}\). Mamy więc:
\[ L=1500\ \mathrm{mm}, \qquad E=200\,000\ \mathrm{MPa}. \]
Zatem:
\[ \Delta L = \frac{NL}{EA} = \frac{30\,000\cdot1500} {200\,000\cdot300}. \]
\[ \Delta L = 0{,}75\ \mathrm{mm}. \]
Odkształcenie względne wynosi więc:
\[ \varepsilon = \frac{0{,}75}{1500} = 0{,}0005. \]
Otrzymujemy zatem ten sam ciąg zależności, który pojawił się w poprzednim artykule:
\[ N \longrightarrow \sigma \longrightarrow \varepsilon \longrightarrow \Delta L. \]
Najczęstsze błędy
- Mylenie siły z naprężeniem. – \(N\) jest siłą wewnętrzną wyrażaną w niutonach, natomiast \(\sigma=N/A\) jest naprężeniem.
- Brak konsekwencji w znakach. – Jeżeli rozciąganie przyjmujemy jako dodatnie, to przy ściskaniu \(N\), \(\sigma\) oraz mechaniczny przyrost długości mają znak ujemny.
- Stosowanie jednego \(N\) na całej długości pręta. – Przy kilku siłach skupionych siła normalna może być różna w kolejnych przedziałach.
- Pomijanie zmiany przekroju. – W pręcie stopniowanym każdy odcinek może mieć inne \(A_i\), a więc również inne naprężenie i odkształcenie.
- Dodawanie samych wartości bezwzględnych odkształceń. – W pręcie złożonym wydłużenia i skrócenia należy sumować algebraicznie z odpowiednimi znakami.
- Mylenie warunku wytrzymałości z warunkiem sztywności. – Małe naprężenie nie gwarantuje, że odkształcenie będzie dostatecznie małe.
- Stosowanie wzoru \(\Delta L=NL/(EA)\) bez sprawdzenia założeń. – W tej prostej postaci wymaga on stałych \(N\), \(E\) i \(A\) na rozpatrywanym odcinku.
- Stosowanie prawa Hooke’a poza zakresem liniowo sprężystym. – Zależności używane w tym artykule zakładają liniową sprężystość materiału.
Podsumowanie
Przy osiowym rozciąganiu lub ściskaniu podstawową wielkością wewnętrzną jest siła normalna \(N\). Na jej podstawie wyznaczamy naprężenie normalne:
\[ \sigma=\frac{N}{A}, \]
a po wykorzystaniu prawa Hooke’a możemy obliczyć zmianę długości pręta. Dla jednorodnego odcinka:
\[ \Delta L=\frac{NL}{EA}, \]
natomiast dla pręta złożonego sumujemy odkształcenia kolejnych części. W bardziej ogólnym przypadku stosujemy całkę \(\int N/(EA)\,dx\).
Analiza pręta nie kończy się jednak na obliczeniu naprężeń. Element powinien jednocześnie spełniać warunek wytrzymałości oraz warunek sztywności. Te same zależności pozwalają również tworzyć proste równania zgodności dla układów statycznie niewyznaczalnych.
W kolejnym artykule przejdziemy do następnego podstawowego przypadku wytrzymałościowego – skręcania wałów i prętów, gdzie główną rolę będą odgrywać moment skręcający, naprężenia styczne oraz moduł Kirchhoffa.
Utworzono: 17.06.2026 | Zmodyfikowano: 31.08.2026
Powiązane artykuły
- Naprężenia i odkształcenia – prawo Hooke’a
- Skręcanie wałów i prętów
- Wytrzymałość materiałów – wprowadzenie
Masz problem z tym tematem?
Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku.
Zapytaj o pomoc