Zginanie belek – siły tnące, momenty, naprężenia i ugięcia

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Zginanie belek jest jednym z najważniejszych zagadnień wytrzymałości materiałów. Obciążenia działające poprzecznie do osi belki powodują powstawanie sił tnących i momentów zginających, a te z kolei prowadzą do naprężeń w przekroju oraz ugięcia elementu. Analiza belki wymaga więc połączenia statyki, geometrii przekroju i właściwości materiału.

W poprzednich artykułach omawialiśmy naprężenia, odkształcenia i prawo Hooke’a, rozciąganie i ściskanie prętów oraz skręcanie wałów i prętów. Teraz przechodzimy do zginania, w którym naprężenia normalne nie są już równomierne w całym przekroju, lecz zmieniają się wraz z odległością od osi obojętnej.

Spis treści

• Czym jest belka i na czym polega zginanie?
• Schemat statyczny, podpory i obciążenia
• Metoda przekrojów
• Siła tnąca Q
• Moment zginający M
• Zależności między obciążeniem, siłą tnącą i momentem
• Zginanie czyste i zginanie poprzeczne
• Oś obojętna
• Naprężenia normalne przy zginaniu
• Moment bezwładności przekroju
• Wskaźnik wytrzymałości przekroju
• Warunek wytrzymałości na zginanie
• Ugięcie belki i linia ugięcia
• Metody wyznaczania ugięć
• Warunek sztywności
• Przykład obliczeniowy
• Najczęstsze błędy
• Podsumowanie

Czym jest belka i na czym polega zginanie?

Belka jest elementem konstrukcyjnym, którego długość jest znacznie większa od wymiarów przekroju poprzecznego i który jest przeznaczony przede wszystkim do przenoszenia obciążeń działających poprzecznie do swojej osi.

Pod wpływem takich obciążeń belka ulega zginaniu. Jej oś początkowo prosta staje się krzywą, a w przekrojach poprzecznych pojawiają się przede wszystkim:

• siła tnąca \(Q\);
• moment zginający \(M\).

W literaturze siła tnąca bywa również oznaczana symbolem \(V\) albo \(T\). W tym artykule pozostaniemy przy oznaczeniu \(Q\), zgodnym z zastosowanymi ilustracjami.

Schemat statyczny, podpory i obciążenia

Zanim zaczniemy analizować naprężenia w belce, musimy najpierw wyznaczyć reakcje podporowe. Jest to jeszcze zadanie należące do statyki.

Typowa belka może być podparta między innymi przegubowo, przegubowo-przesuwnie albo utwierdzona. Rodzaj podpory decyduje o tym, jakie reakcje mogą w niej wystąpić. Reakcje wyznaczamy z równań równowagi:

\[ \sum F_x=0, \qquad \sum F_y=0, \qquad \sum M=0. \]

Na belkę mogą działać różne rodzaje obciążeń: siły skupione, momenty skupione oraz obciążenia ciągłe – równomierne, trójkątne lub bardziej ogólne \(q(x)\). Ich sposób zastępowania siłami wypadkowymi został omówiony w artykule Rodzaje obciążeń w statyce – siły skupione, momenty i obciążenia rozłożone.

Metoda przekrojów

Podobnie jak przy rozciąganiu i ściskaniu prętów oraz skręcaniu wałów, do wyznaczania wielkości wewnętrznych stosujemy metodę przekrojów.

Przecinamy myślowo belkę w interesującym nas miejscu \(x\), odrzucamy jedną jej część, a oddziaływanie usuniętej części zastępujemy siłą tnącą \(Q(x)\) i momentem zginającym \(M(x)\).

Następnie dla pozostawionej części zapisujemy równania równowagi. Dzięki temu możemy wyznaczyć przebieg:

\[ Q=Q(x), \qquad M=M(x). \]

Siła tnąca \(Q\)

Siła tnąca jest wypadkową wewnętrznych naprężeń stycznych działających w przekroju belki. Jej wartość wyznaczamy z równowagi sił jednej z odciętych części.

Jeżeli na rozpatrywanym odcinku nie działa obciążenie rozłożone, \(Q(x)\) jest stałe. Jeżeli występuje obciążenie ciągłe \(q(x)\), siła tnąca zmienia się wzdłuż belki.

Siła skupiona powoduje natomiast skok wykresu siły tnącej o wartość równą tej sile, z uwzględnieniem przyjętego znaku.

Siła tnąca powoduje w przekroju naprężenia styczne, jednak ich rozkład nie jest zazwyczaj równomierny. Szczegółowe wyznaczanie naprężeń stycznych w belkach stanowi osobne zagadnienie i może być rozwinięte w artykule poświęconym ścinaniu.

Moment zginający \(M\)

Moment zginający opisuje tendencję do zakrzywienia osi belki. Jego wartość w danym przekroju otrzymujemy z równania równowagi momentów.

Przy często stosowanej konwencji znaków dodatni moment zginający powoduje tak zwane sagging – belka wygina się w dół, włókna dolne są rozciągane, a górne ściskane.

W miejscu przyłożenia momentu skupionego wykres \(M(x)\) ma skok odpowiadający wartości tego momentu.

Zależności między obciążeniem, siłą tnącą i momentem

Między obciążeniem ciągłym \(q(x)\), siłą tnącą \(Q(x)\) i momentem zginającym \(M(x)\) istnieją bardzo ważne zależności różniczkowe.

Przy konwencji, w której dodatnie \(q\) jest skierowane w dół:

\[ \boxed{ \frac{dQ}{dx}=-q(x) } \]

oraz:

\[ \boxed{ \frac{dM}{dx}=Q(x) } \]

Po połączeniu:

\[ \frac{d^2M}{dx^2} = -q(x). \]

Zależności te pozwalają szybko przewidywać kształt wykresów. Przykładowo:

• jeżeli \(q=0\), siła tnąca jest stała, a moment zmienia się liniowo;
• jeżeli \(q=\mathrm{const}\), wykres \(Q(x)\) jest liniowy, a \(M(x)\) ma kształt paraboli;
• ekstremum momentu występuje zwykle tam, gdzie \(Q(x)=0\).

Zginanie czyste i zginanie poprzeczne

Warto rozróżnić dwa przypadki.

• Zginanie czyste – w rozpatrywanym odcinku działa moment zginający, natomiast siła tnąca jest równa zeru.
• Zginanie poprzeczne – oprócz momentu zginającego występuje również siła tnąca.

Klasyczny wzór na naprężenia normalne od zginania wynika najprościej z analizy zginania czystego, ale w smukłych belkach jest powszechnie stosowany również w typowych zagadnieniach zginania poprzecznego.

Oś obojętna

Podczas zginania jedna część przekroju jest rozciągana, a druga ściskana. Pomiędzy nimi znajduje się warstwa, której długość w idealnym modelu nie zmienia się.

Jej przecięcie z przekrojem nazywamy osią obojętną. Wzdłuż tej osi naprężenie normalne od zginania jest równe zeru:

\[ \sigma=0. \]

Dla jednorodnego przekroju zginanego wokół głównej osi bez jednoczesnego działania siły normalnej oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Naprężenia normalne przy zginaniu

Jednym z podstawowych założeń klasycznej teorii belki Eulera – Bernoulliego jest to, że przekroje płaskie przed odkształceniem pozostają płaskie również po zgięciu.

Powoduje to liniowy rozkład odkształceń normalnych na wysokości przekroju, a w zakresie obowiązywania prawa Hooke’a – również liniowy rozkład naprężeń.

Dla momentu zginającego względem osi \(z\):

\[ \boxed{ \sigma_x(y) = -\frac{M_z y}{I_z} } \]

Znak zależy od przyjętej konwencji. Dla dodatniego momentu powodującego ugięcie belki w dół włókna górne są ściskane, a dolne rozciągane.

Wartość bezwzględna naprężenia wynosi:

\[ |\sigma| = \frac{|M|\,|y|}{I_z}. \]

Największe naprężenia występują więc w punktach najbardziej oddalonych od osi obojętnej.

Jest to istotna różnica w porównaniu z osiowym rozciąganiem i ściskaniem prętów, gdzie w prostym przypadku naprężenie \(\sigma=N/A\) jest równomierne w całym przekroju.

Moment bezwładności przekroju

Wielkość \(I_z\) jest geometrycznym momentem bezwładności pola przekroju względem osi \(z\):

\[ I_z = \int_A y^2\,dA. \]

Im więcej materiału znajduje się daleko od osi obojętnej, tym większy jest moment bezwładności i tym mniejsze naprężenia powstają przy tym samym momencie zginającym.

Dla prostokąta o szerokości \(b\) i wysokości \(h\):

\[ I_z = \frac{bh^3}{12}. \]

Wysokość przekroju występuje aż w trzeciej potędze. Dlatego zwiększenie wysokości belki jest zwykle znacznie skuteczniejszym sposobem zwiększania jej sztywności na zginanie niż zwiększenie szerokości.

Ta sama zasada wyjaśnia efektywność dwuteowników: duża część materiału znajduje się w pasach położonych daleko od osi obojętnej.

Wskaźnik wytrzymałości przekroju

Do szybkiego obliczania maksymalnych naprężeń wygodnie wprowadzić wskaźnik wytrzymałości przekroju:

\[ W_z = \frac{I_z}{y_{\max}}. \]

Wtedy:

\[ \boxed{ |\sigma_{\max}| = \frac{|M_{\max}|}{W_z} } \]

Dla przekroju niesymetrycznego odległości skrajnych włókien od osi obojętnej mogą być różne, dlatego osobno sprawdza się naprężenia po obu stronach przekroju.

Warunek wytrzymałości na zginanie

Warunek wytrzymałości ma postać:

\[ \boxed{ |\sigma_{\max}| \leq \sigma_{\mathrm{dop}} } \]

czyli:

\[ \frac{|M_{\max}|}{W_z} \leq \sigma_{\mathrm{dop}}. \]

Możemy również wyznaczyć minimalny wymagany wskaźnik wytrzymałości:

\[ W_z \geq \frac{|M_{\max}|}{\sigma_{\mathrm{dop}}}. \]

Ugięcie belki i linia ugięcia

Sprawdzenie naprężeń nie wystarcza. Obciążona belka zmienia również swój kształt. Przemieszczenie punktów osi belki w kierunku poprzecznym nazywamy ugięciem.

Funkcja:

\[ v=v(x) \]

opisuje tak zwaną linię ugięcia belki.

Dla małych ugięć i klasycznej belki Eulera – Bernoulliego związek krzywizny z momentem prowadzi do równania:

\[ \boxed{ EI_z\,v''(x) = M(x) } \]

W zależności od przyjętej konwencji znaków po jednej stronie równania może pojawić się znak minus. Fizyczna treść zależności pozostaje jednak taka sama: krzywizna belki jest proporcjonalna do momentu zginającego i odwrotnie proporcjonalna do jej sztywności na zginanie.

Iloczyn:

\[ EI_z \]

nazywamy sztywnością na zginanie.

Metody wyznaczania ugięć

Ugięcia i kąty obrotu przekrojów belek można wyznaczać na kilka sposobów. Jedną z najbardziej bezpośrednich metod jest całkowanie równania różniczkowego linii ugięcia:

\[ EI_zv''(x)=M(x). \]

Po dwukrotnym całkowaniu otrzymujemy kolejno kąt obrotu przekroju i ugięcie:

\[ v'(x), \qquad v(x). \]

Stałe całkowania wyznacza się z odpowiednich warunków brzegowych. Przykładowo na podporze nieprzesuwnej w kierunku ugięcia mamy zwykle \(v=0\), natomiast w utwierdzeniu zarówno ugięcie, jak i obrót przekroju są równe zeru:

\[ v=0, \qquad v'=0. \]

W praktyce stosuje się również inne metody, które pozwalają uprościć obliczenia, zwłaszcza dla bardziej złożonych układów. Należą do nich między innymi:

• metoda Clebscha, pozwalająca zapisywać jedno równanie momentu dla wielu przedziałów belki;
• metoda momentów wtórnych, wykorzystująca własności wykresu \(M/(EI)\);
• metody energetyczne, między innymi oparte na twierdzeniu Castigliana;
• metoda belki sprzężonej.

Metody te mogą być później omówione osobno, ponieważ każda z nich jest użyteczna w nieco innych typach zadań.

Warunek sztywności

Belka może spełniać warunek wytrzymałości, a mimo to uginać się zbyt mocno. Dlatego projektowanie wymaga również sprawdzenia warunku sztywności:

\[ \boxed{ |v_{\max}| \leq v_{\mathrm{dop}} } \]

Dopuszczalne ugięcie zależy od przeznaczenia konstrukcji i wymagań projektowych.

Ugięcie można zmniejszyć między innymi poprzez:

• zmniejszenie obciążenia;
• zmniejszenie rozpiętości belki;
• zastosowanie materiału o większym module Younga \(E\);
• zwiększenie momentu bezwładności przekroju \(I_z\).

Przykład obliczeniowy – belka z siłą w środku rozpiętości

Rozważmy belkę swobodnie podpartą o rozpiętości:

\[ L=3\ \mathrm m, \]

obciążoną w środku siłą:

\[ P=12\ \mathrm{kN}. \]

Przekrój prostokątny ma wymiary:

\[ b=60\ \mathrm{mm}, \qquad h=120\ \mathrm{mm}. \]

Przyjmijmy:

\[ E=210\ \mathrm{GPa}. \]

Z symetrii reakcje podporowe wynoszą:

\[ R_A=R_B=\frac{P}{2}=6\ \mathrm{kN}. \]

Maksymalny moment występuje w środku rozpiętości:

\[ M_{\max} = \frac{PL}{4} = \frac{12\cdot3}{4} = 9\ \mathrm{kN\,m}. \]

Moment bezwładności przekroju:

\[ I_z = \frac{bh^3}{12} = \frac{60\cdot120^3}{12} = 8{,}64\cdot10^6\ \mathrm{mm^4}. \]

Wskaźnik wytrzymałości:

\[ W_z = \frac{I_z}{h/2} = \frac{8{,}64\cdot10^6}{60} = 144\,000\ \mathrm{mm^3}. \]

Po zapisaniu momentu w \(\mathrm{N\,mm}\):

\[ M_{\max}=9\cdot10^6\ \mathrm{N\,mm}. \]

Maksymalne naprężenie normalne wynosi:

\[ |\sigma_{\max}| = \frac{M_{\max}}{W_z} = \frac{9\cdot10^6}{144\,000} = 62{,}5\ \mathrm{MPa}. \]

Dla siły skupionej w środku belki swobodnie podpartej maksymalne ugięcie wynosi:

\[ v_{\max} = \frac{PL^3}{48EI_z}. \]

Po zastosowaniu spójnych jednostek otrzymujemy w przybliżeniu:

\[ v_{\max} \approx 3{,}72\ \mathrm{mm}. \]

W jednym zadaniu otrzymujemy więc dwie niezależne informacje: naprężenie maksymalne służy do sprawdzenia wytrzymałości, a ugięcie maksymalne – sztywności.

Najczęstsze błędy

• Rozpoczynanie analizy naprężeń bez wyznaczenia reakcji podporowych. – Najpierw trzeba rozwiązać część statyczną zadania.
• Mylenie siły tnącej z momentem zginającym. – Są to dwie różne wielkości wewnętrzne o innych jednostkach i innych skutkach.
• Brak konsekwencji w konwencji znaków. – Wykresy \(Q(x)\) i \(M(x)\) muszą być sporządzane według jednej przyjętej konwencji.
• Zakładanie jednakowego naprężenia w całym przekroju. – Przy zginaniu naprężenia normalne zmieniają się liniowo z odległością od osi obojętnej.
• Przyjmowanie największego naprężenia na osi obojętnej. – Na osi obojętnej \(\sigma=0\); maksimum występuje w skrajnych włóknach.
• Mylenie geometrycznego momentu bezwładności z masowym momentem bezwładności. – \(I_z\) opisuje rozmieszczenie pola przekroju względem osi.
• Mylenie wytrzymałości ze sztywnością. – Belka może mieć bezpieczne naprężenia, lecz niedopuszczalnie duże ugięcie.
• Stosowanie wzoru na ugięcie bez sprawdzenia schematu obciążenia i podpór. – Każdy wzór tablicowy odpowiada konkretnemu przypadkowi.
• Pomijanie jednostek czwartej potęgi przy \(I\). – Moment bezwładności ma jednostkę \(\mathrm{m^4}\) lub często w obliczeniach technicznych \(\mathrm{mm^4}\).

Podsumowanie

Analiza zginania belki rozpoczyna się od rozwiązania jej schematu statycznego i wyznaczenia reakcji. Następnie metodą przekrojów określamy przebieg siły tnącej \(Q(x)\) oraz momentu zginającego \(M(x)\).

Moment zginający powoduje liniowo zmienne naprężenia normalne:

\[ \sigma_x(y) = -\frac{M_z y}{I_z}, \]

które są równe zeru na osi obojętnej i osiągają największe wartości w skrajnych włóknach przekroju. Geometria przekroju wpływa na zginanie poprzez moment bezwładności \(I_z\) i wskaźnik wytrzymałości \(W_z\).

Drugą stroną zagadnienia jest odkształcenie belki. W klasycznej teorii jej linię ugięcia opisuje równanie:

\[ EI_zv''(x)=M(x), \]

a ugięcia można wyznaczać między innymi przez bezpośrednie całkowanie, metodę Clebscha, metodę momentów wtórnych czy metody energetyczne. Poprawnie zaprojektowana belka powinna spełniać zarówno warunek wytrzymałości, jak i warunek sztywności.

Utworzono: 20.06.2026 | Zmodyfikowano: 31.08.2026

Powiązane artykuły

• Skręcanie wałów i prętów 
• Rozciąganie i ściskanie prętów 
• Naprężenia i odkształcenia – prawo Hooke’a
• Wytrzymałość materiałów – wprowadzenie 

Masz problem z tym tematem?

Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku. 

Zapytaj o pomoc