Wszechnica Wszechwiedzy - Baner

Liczby zespolone – postać algebraiczna, działania, moduł i sprzężenie

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Liczby zespolone rozszerzają zbiór liczb rzeczywistych i umożliwiają wykonywanie działań prowadzących do pierwiastków z liczb ujemnych. Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci \(z=a+bi\), gdzie \(a\) jest jej częścią rzeczywistą, \(b\) – częścią urojoną, natomiast jednostka urojona \(i\) spełnia warunek \(i^2=-1\).

Liczby zespolone można przedstawiać zarówno algebraicznie, jak i geometrycznie – jako punkty lub wektory na płaszczyźnie zespolonej. W artykule omówimy ich postać algebraiczną, podstawowe działania, płaszczyznę Gaussa, moduł oraz sprzężenie. Postać trygonometryczna i wykładnicza, argument liczby zespolonej oraz pierwiastkowanie zostaną przedstawione w kolejnych materiałach.

Spis treści

Dlaczego wprowadzono liczby zespolone?

W zbiorze liczb rzeczywistych nie każde równanie algebraiczne ma rozwiązanie. Najprostszym przykładem jest równanie

\[x^2+1=0.\]

Po przeniesieniu jedynki na prawą stronę otrzymujemy

\[x^2=-1.\]

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, dlatego równanie to nie ma rozwiązania w zbiorze \(\mathbb{R}\). Aby można było je rozwiązać, wprowadzono nowy symbol – jednostkę urojoną \(i\).

Rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych o liczby zawierające jednostkę urojoną prowadzi do zbioru liczb zespolonych, oznaczanego symbolem

\[\mathbb{C}.\]

W zbiorze liczb zespolonych równanie \(x^2+1=0\) ma dwa rozwiązania:

\[x=i\qquad\text{oraz}\qquad x=-i.\]

Jednostka urojona

Jednostką urojoną nazywamy liczbę oznaczaną symbolem \(i\), która spełnia warunek

\[i^2=-1.\]

W zapisie szkolnym często spotyka się również symboliczne wyrażenie

\[i=\sqrt{-1}.\]

Najważniejszą własnością definiującą jednostkę urojoną pozostaje jednak równość \(i^2=-1\). Pozwala ona upraszczać wyrażenia zawierające wyższe potęgi \(i\).

Przykładowo:

\[3i\cdot2i=6i^2=-6.\]

Iloczyn dwóch liczb czysto urojonych może być zatem liczbą rzeczywistą.

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci algebraicznej:

\[z=a+bi,\]

gdzie

Przykładami liczb zespolonych są:

Liczba rzeczywista jest szczególnym przypadkiem liczby zespolonej. Jeżeli \(b=0\), to

\[z=a+0i=a.\]

Wynika stąd zawieranie się zbiorów:

\[\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.\]

Jeżeli natomiast \(a=0\), otrzymujemy liczbę czysto urojoną:

\[z=bi.\]

Każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną, ale nie każda liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą.

Część rzeczywista i część urojona

Dla liczby zespolonej

\[z=a+bi\]

część rzeczywistą oznaczamy przez

\[\operatorname{Re}(z)=a,\]

natomiast część urojoną przez

\[\operatorname{Im}(z)=b.\]

Trzeba zwrócić uwagę, że częścią urojoną liczby \(z=a+bi\) jest liczba rzeczywista \(b\), a nie całe wyrażenie \(bi\).

Przykładowo dla

\[z=-3+5i\]

mamy

\[\operatorname{Re}(z)=-3,\qquad \operatorname{Im}(z)=5.\]

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednio części rzeczywiste i urojone.

Dla

\[z_1=a+bi,\qquad z_2=c+di\]

zachodzi

\[z_1=z_2\iff a=c\ \text{oraz}\ b=d.\]

Jeżeli przykładowo

\[(2x-1)+(y+3)i=5+7i,\]

to porównujemy oddzielnie części rzeczywiste i urojone:

\[ \begin{cases} 2x-1=5,\\ y+3=7. \end{cases} \]

Stąd

\[x=3,\qquad y=4.\]

Płaszczyzna zespolona

Liczbę zespoloną \(z=a+bi\) można utożsamić z punktem o współrzędnych \((a,b)\). W tym celu wykorzystuje się płaszczyznę zespoloną, nazywaną również płaszczyzną Gaussa.

Jej osie mają następujące znaczenie:

Liczbie

\[z=a+bi\]

odpowiada punkt \(P=(a,b)\). Można ją również przedstawić jako wektor prowadzący od początku układu współrzędnych do tego punktu.

Liczba z równa a plus bi przedstawiona jako punkt i wektor na płaszczyźnie zespolonej
Liczbie zespolonej \(z=a+bi\) odpowiada punkt o współrzędnych \((a,b)\) na płaszczyźnie zespolonej.

Położenie punktu zależy od znaków części rzeczywistej i urojonej:

ĆwiartkaCzęść rzeczywistaCzęść urojona
I\(a>0\)\(b>0\)
II\(a<0\)\(b>0\)
III\(a<0\)\(b<0\)
IV\(a>0\)\(b<0\)
Położenie liczby \(z=a+bi\) na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby rzeczywiste leżą na osi poziomej, a liczby czysto urojone – na osi pionowej. Liczbie \(0\) odpowiada początek układu współrzędnych.

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych

Liczby zespolone dodajemy i odejmujemy, wykonując odpowiednie działania osobno na częściach rzeczywistych i urojonych.

Dla liczb

\[z_1=a+bi,\qquad z_2=c+di\]

suma jest równa

\[ z_1+z_2 =(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i. \]

Różnica ma natomiast postać

\[ z_1-z_2 =(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i. \]

Przykładowo:

\[ (3+2i)+(-1+4i)=2+6i, \]

\[ (3+2i)-(-1+4i)=4-2i. \]

Na płaszczyźnie zespolonej dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych odpowiada dodawaniu i odejmowaniu wektorów.

Geometryczna i algebraiczna interpretacja dodawania oraz odejmowania liczb zespolonych
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych polega na wykonywaniu odpowiednich działań na ich częściach rzeczywistych i urojonych: \((a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i\).

Mnożenie liczb zespolonych

Liczby zespolone mnożymy tak jak wyrażenia algebraiczne, pamiętając o zależności

\[i^2=-1.\]

Dla liczb \(z_1=a+bi\) i \(z_2=c+di\) otrzymujemy

\[ \begin{aligned} z_1z_2 &=(a+bi)(c+di)\\ &=ac+adi+bci+bdi^2\\ &=ac+adi+bci-bd\\ &=(ac-bd)+(ad+bc)i. \end{aligned} \]

Ostatecznie:

\[ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. \]

Przykład:

\[ \begin{aligned} (3+2i)(-1+4i) &=-3+12i-2i+8i^2\\ &=-3+10i-8\\ &=-11+10i. \end{aligned} \]

Potęgi jednostki urojonej

Kolejne potęgi jednostki urojonej powtarzają się cyklicznie:

\[ i^0=1,\qquad i^1=i,\qquad i^2=-1,\qquad i^3=-i,\qquad i^4=1. \]

Ponieważ \(i^4=1\), cały cykl ma długość czterech wyrazów:

Reszta z dzielenia wykładnika przez 4Wartość potęgi
\(0\)\(i^n=1\)
\(1\)\(i^n=i\)
\(2\)\(i^n=-1\)
\(3\)\(i^n=-i\)
Wartość \(i^n\) zależy od reszty z dzielenia wykładnika \(n\) przez \(4\).

Aby obliczyć na przykład \(i^{37}\), dzielimy wykładnik przez \(4\):

\[37=4\cdot9+1.\]

Reszta wynosi \(1\), zatem

\[i^{37}=i.\]

Dla potęgi \(i^{202}\) mamy

\[202=4\cdot50+2,\]

a więc

\[i^{202}=i^2=-1.\]

Sprzężenie liczby zespolonej

Dla liczby zespolonej

\[z=a+bi\]

liczbą sprzężoną nazywamy liczbę

\[\overline{z}=a-bi.\]

Sprzężenie pozostawia część rzeczywistą bez zmian i zmienia znak części urojonej:

\[ \operatorname{Re}(\overline{z})=\operatorname{Re}(z)=a, \]

\[ \operatorname{Im}(\overline{z})=-\operatorname{Im}(z)=-b. \]

Na płaszczyźnie zespolonej liczby \(z\) i \(\overline{z}\) są przedstawione przez punkty symetryczne względem osi rzeczywistej.

Najważniejsze własności sprzężenia to:

Moduł liczby zespolonej

Modułem liczby zespolonej \(z=a+bi\) nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}.\]

Geometrycznie moduł jest odległością punktu \((a,b)\) od początku układu współrzędnych. Wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

Dla liczby

\[z=3+4i\]

moduł jest równy

\[ |z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5. \]

Liczba zespolona i jej sprzężenie odbite względem osi rzeczywistej oraz geometryczna interpretacja modułu
Dla liczby \(z=a+bi\) sprzężenie ma postać \(\overline{z}=a-bi\), a moduł jest równy \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).

Moduł ma między innymi następujące własności:

Ostatnia zależność jest nazywana nierównością trójkąta.

Odwrotność i dzielenie liczb zespolonych

Iloczyn liczby zespolonej i jej sprzężenia jest liczbą rzeczywistą:

\[ \begin{aligned} z\overline{z} &=(a+bi)(a-bi)\\ &=a^2-b^2i^2\\ &=a^2+b^2. \end{aligned} \]

Ponieważ

\[|z|^2=a^2+b^2,\]

otrzymujemy ważną zależność

\[z\overline{z}=|z|^2.\]

Jeżeli \(z=a+bi\neq0\), to jego odwrotność ma postać

\[ z^{-1} =\frac{1}{z} =\frac{\overline{z}}{z\overline{z}} =\frac{a-bi}{a^2+b^2}. \]

Aby podzielić dwie liczby zespolone, rozszerzamy ułamek przez sprzężenie mianownika. Dla \(c+di\neq0\):

\[ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}. \]

Po wykonaniu mnożenia otrzymujemy

\[ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i. \]

Sprzężenie mianownika stosuje się po to, aby usunąć jednostkę urojoną z mianownika i otrzymać wynik w postaci algebraicznej.

Przykład obliczeniowy

Rozważmy liczby

\[ z_1=3+2i,\qquad z_2=-1+4i. \]

Suma

\[ z_1+z_2 =(3-1)+(2+4)i =2+6i. \]

Różnica

\[ z_1-z_2 =(3+1)+(2-4)i =4-2i. \]

Iloczyn

\[ z_1z_2 =(3+2i)(-1+4i) =-11+10i. \]

Iloraz

\[ \begin{aligned} \frac{z_1}{z_2} &=\frac{3+2i}{-1+4i}\\ &=\frac{(3+2i)(-1-4i)}{(-1+4i)(-1-4i)}\\ &=\frac{5-14i}{17}\\ &=\frac{5}{17}-\frac{14}{17}i. \end{aligned} \]

Sprzężenie i moduł

\[ \overline{z_1}=3-2i, \]

\[ |z_1|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}. \]

Oznaczenie \(j\) w elektrotechnice

W matematyce jednostkę urojoną oznacza się najczęściej literą \(i\). W elektrotechnice i elektronice powszechnie stosuje się jednak oznaczenie \(j\):

\[j^2=-1.\]

Powodem jest to, że litera \(i\) jest tradycyjnie używana do oznaczania natężenia prądu elektrycznego. Zapis z literą \(j\) pozwala więc uniknąć niejednoznaczności.

Ta sama liczba zespolona może być zapisana jako

\[z=a+bi\]

lub w notacji technicznej jako

\[z=a+jb.\]

W elektrotechnice impedancję zapisuje się często w postaci

\[Z=R+jX,\]

gdzie

Oznaczenia \(i\) i \(j\) opisują więc tę samą jednostkę urojoną. Różnica wynika wyłącznie z przyjętej konwencji zapisu.

Liczby zespolone jako ciało

Zbiór liczb zespolonych wraz z dodawaniem i mnożeniem tworzy ciało:

\[(\mathbb{C},+,\cdot).\]

Oznacza to między innymi, że:

Pojęcia grupy, pierścienia i ciała zostały dokładniej omówione w artykule Struktury algebraiczne – grupy, pierścienie i ciała.

W przeciwieństwie do liczb rzeczywistych liczb zespolonych nie można uporządkować w sposób zgodny ze wszystkimi własnościami ciała. Nie istnieje więc naturalna relacja pozwalająca ogólnie stwierdzić, że jedna liczba zespolona jest „większa” od drugiej.

Najczęstsze błędy

Uznawanie \(bi\) za część urojoną

Dla liczby \(z=a+bi\) częścią urojoną jest liczba rzeczywista \(b\):

\[\operatorname{Im}(z)=b,\]

a nie \(bi\).

Nieuwzględnianie zależności \(i^2=-1\)

Podczas mnożenia trzeba zawsze zamienić \(i^2\) na \(-1\). Przykładowo:

\[(2i)(3i)=6i^2=-6,\]

a nie \(6i\) ani \(6\).

Zmiana obu znaków przy sprzężeniu

Sprzężenie zmienia wyłącznie znak części urojonej:

\[ \overline{a+bi}=a-bi. \]

Część rzeczywista pozostaje bez zmian.

Dzielenie bez wykorzystania sprzężenia

Aby przedstawić iloraz w postaci algebraicznej, licznik i mianownik należy pomnożyć przez sprzężenie mianownika, a nie przez sprzężenie licznika.

Mylenie modułu z częścią rzeczywistą

Moduł liczby \(z=a+bi\) nie jest równy \(a\). Jest długością wektora na płaszczyźnie zespolonej:

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}.\]

Podsumowanie

Liczba zespolona w postaci algebraicznej ma postać

\[z=a+bi,\]

gdzie \(a\) jest częścią rzeczywistą, \(b\) – częścią urojoną, a jednostka urojona spełnia warunek \(i^2=-1\).

Liczbę zespoloną można przedstawić jako punkt \((a,b)\) lub wektor na płaszczyźnie Gaussa. Dodawanie i odejmowanie polega na wykonywaniu działań na odpowiednich częściach, natomiast podczas mnożenia należy uwzględnić zależność \(i^2=-1\).

Dla liczby \(z=a+bi\) sprzężenie i moduł są określone wzorami

\[ \overline{z}=a-bi, \qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2}. \]

Zależność

\[z\overline{z}=|z|^2\]

umożliwia wyznaczanie odwrotności i wykonywanie dzielenia liczb zespolonych. W elektrotechnice zamiast litery \(i\) stosuje się zazwyczaj oznaczenie \(j\), które ma dokładnie takie samo znaczenie matematyczne.

Najważniejsze wzory:

\[ \begin{aligned} i^2&=-1,\\ \operatorname{Re}(a+bi)&=a,\\ \operatorname{Im}(a+bi)&=b,\\ \overline{a+bi}&=a-bi,\\ |a+bi|&=\sqrt{a^2+b^2},\\ (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\ (a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i. \end{aligned} \]

Utworzono: 27.05.2026 | Zmodyfikowano: 19.07.2026

Powiązane artykuły

Masz problem z tym tematem?

Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku. 

Zapytaj o pomoc