Postać trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej
Postać trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej pozwala opisywać liczbę nie tylko za pomocą jej części rzeczywistej i urojonej, lecz także za pomocą modułu oraz argumentu. Taki zapis szczególnie ułatwia mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb zespolonych, a także pozwala interpretować te działania jako skalowanie i obrót na płaszczyźnie zespolonej.
W poprzednim artykule Liczby zespolone – postać algebraiczna, działania, moduł i sprzężenie liczby zespolone zapisywaliśmy w postaci
\[z=a+bi.\]
Teraz tę samą liczbę przedstawimy za pomocą długości jej promienia wodzącego oraz kąta określającego jego kierunek. Następnie przejdziemy do postaci wykładniczej, wzoru Eulera i wzoru de Moivre’a.
Spis treści
- Od postaci algebraicznej do opisu biegunowego
- Moduł liczby zespolonej
- Argument liczby zespolonej
- Argument ogólny i argument główny
- Dwie konwencje argumentu głównego
- Jak wyznaczyć argument liczby zespolonej?
- Przykład: argument liczby \(z=-1+2i\)
- Postać trygonometryczna liczby zespolonej
- Zamiana postaci algebraicznej na trygonometryczną
- Zamiana postaci trygonometrycznej na algebraiczną
- Mnożenie w postaci trygonometrycznej
- Dzielenie w postaci trygonometrycznej
- Mnożenie jako skalowanie i obrót
- Wzór de Moivre’a
- Potęgowanie liczb zespolonych
- Wzór Eulera
- Postać wykładnicza liczby zespolonej
- Działania w postaci wykładniczej
- Sprzężenie i odwrotność
- Tożsamość Eulera
- Porównanie trzech postaci liczby zespolonej
- Notacja elektrotechniczna
- Najczęstsze błędy
- Podsumowanie
Od postaci algebraicznej do opisu biegunowego
Liczbie zespolonej
\[z=a+bi\]
odpowiada na płaszczyźnie zespolonej punkt o współrzędnych \((a,b)\) oraz wektor prowadzący od początku układu współrzędnych do tego punktu.
Położenie punktu można opisać na dwa sposoby:
- za pomocą współrzędnych prostokątnych \(a\) i \(b\),
- za pomocą długości wektora \(r\) i kąta \(\varphi\).
Drugi sposób odpowiada współrzędnym biegunowym. Długość wektora jest modułem liczby zespolonej, natomiast kąt jest jej argumentem.
Moduł liczby zespolonej
Modułem liczby zespolonej \(z=a+bi\) jest długość odpowiadającego jej wektora. Oznaczamy go symbolem \(|z|\) albo literą \(r\):
\[ r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}. \]
Wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa. Części rzeczywista i urojona są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, natomiast moduł jest jego przeciwprostokątną.
Moduł jest zawsze liczbą rzeczywistą nieujemną:
\[|z|\geq0.\]
Ponadto
\[|z|=0\iff z=0.\]
Argument liczby zespolonej
Dla liczby zespolonej \(z\neq0\) argumentem nazywamy kąt skierowany między dodatnią półosią rzeczywistą a promieniem wodzącym liczby \(z\).
Kąt dodatni mierzymy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Jeżeli liczba leży w IV ćwiartce, można opisać jej położenie zarówno za pomocą kąta ujemnego, jak i odpowiadającego mu kąta dodatniego większego od \(\frac{3\pi}{2}\).
Dla liczby
\[z=a+bi\neq0\]
zachodzą zależności
\[ \cos\varphi=\frac{a}{r}, \qquad \sin\varphi=\frac{b}{r}, \]
gdzie
\[r=\sqrt{a^2+b^2}.\]
Liczba \(0\) nie ma argumentu. Jej promień wodzący ma długość zero, a zatem nie wyznacza żadnego kierunku na płaszczyźnie zespolonej.
Argument ogólny i argument główny
Jeżeli \(\varphi\) jest argumentem liczby zespolonej, to argumentami są również wszystkie kąty różniące się od niego o całkowitą wielokrotność pełnego obrotu:
\[ \varphi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Wynika to z okresowości funkcji sinus i cosinus:
\[ \cos(\varphi+2k\pi)=\cos\varphi, \]
\[ \sin(\varphi+2k\pi)=\sin\varphi. \]
Zbiór wszystkich argumentów liczby można zapisać jako
\[ \arg z=\{\varphi+2k\pi:k\in\mathbb{Z}\}. \]
W praktyce często wybiera się z tego zbioru jedną wyróżnioną wartość, nazywaną argumentem głównym i oznaczaną najczęściej przez \(\operatorname{Arg}z\).
Dwie konwencje argumentu głównego
W podręcznikach, programach komputerowych i różnych dziedzinach techniki spotyka się dwie powszechne konwencje wyboru argumentu głównego.
Konwencja z argumentami nieujemnymi
\[ \operatorname{Arg}z\in[0,2\pi). \]
W tej konwencji argumenty liczb z IV ćwiartki są większe od \(\frac{3\pi}{2}\), a argument liczby leżącej na ujemnej półosi rzeczywistej jest równy \(\pi\).
Konwencja symetryczna względem zera
\[ \operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi]. \]
W tej konwencji liczby z IV ćwiartki mają argumenty ujemne. Liczba leżąca na ujemnej półosi rzeczywistej nadal ma argument główny równy \(\pi\), natomiast wartość \(-\pi\) jest wyłączona z przedziału.
Obie konwencje są poprawne. Przed rozpoczęciem obliczeń należy jednak ustalić, która z nich jest stosowana. W dalszej części artykułu, o ile nie zaznaczono inaczej, przyjmujemy
\[ \operatorname{Arg}z\in[0,2\pi). \]
Jak wyznaczyć argument liczby zespolonej?
Aby wyznaczyć argument liczby \(z=a+bi\), należy najpierw ustalić, w której ćwiartce znajduje się punkt \((a,b)\). Sam iloraz \(\frac{b}{a}\) nie zawiera pełnej informacji o położeniu liczby.
Często wygodnie jest najpierw obliczyć ostry kąt pomocniczy \(\alpha\), utworzony przez promień wodzący i najbliższą półoś rzeczywistą. Dla \(a\neq0\) można wykorzystać zależności
\[ \cos\alpha=\frac{|a|}{r}, \qquad \sin\alpha=\frac{|b|}{r}, \qquad \tan\alpha=\frac{|b|}{|a|}. \]
Kąt \(\alpha\) należy do przedziału
\[ 0\leq\alpha\leq\frac{\pi}{2}. \]
Następnie, po ustaleniu ćwiartki, obliczamy argument \(\varphi\):
| Położenie liczby | Znaki \(a\) i \(b\) | Argument w konwencji \([0,2\pi)\) |
|---|---|---|
| I ćwiartka | \(a>0,\ b>0\) | \(\varphi=\alpha\) |
| II ćwiartka | \(a<0,\ b>0\) | \(\varphi=\pi-\alpha\) |
| III ćwiartka | \(a<0,\ b<0\) | \(\varphi=\pi+\alpha\) |
| IV ćwiartka | \(a>0,\ b<0\) | \(\varphi=2\pi-\alpha\) |
Dla punktów leżących na osiach otrzymujemy bezpośrednio:
| Położenie | Argument główny w \([0,2\pi)\) |
|---|---|
| dodatnia półoś rzeczywista | \(0\) |
| dodatnia półoś urojona | \(\frac{\pi}{2}\) |
| ujemna półoś rzeczywista | \(\pi\) |
| ujemna półoś urojona | \(\frac{3\pi}{2}\) |
W programach komputerowych argument wyznacza się często za pomocą funkcji dwuargumentowej typu
\[ \operatorname{atan2}(b,a), \]
która uwzględnia osobno znaki obu współrzędnych i dzięki temu rozpoznaje właściwą ćwiartkę.
Przykład: argument liczby \(z=-1+2i\)
Rozważmy liczbę
\[ z=-1+2i. \]
Jej moduł wynosi
\[ r=|z|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt5. \]
Wyznaczamy ostry kąt pomocniczy \(\alpha\). Możemy wykorzystać sinus i cosinus:
\[ \cos\alpha=\frac{|a|}{r}=\frac1{\sqrt5}, \]
\[ \sin\alpha=\frac{|b|}{r}=\frac2{\sqrt5}. \]
Równoważnie:
\[ \tan\alpha=\frac{|b|}{|a|}=2. \]
Stąd
\[ \alpha=\arctan2\approx1{,}107\ \text{rad} \approx63{,}435^\circ. \]
Ponieważ \(a=-1<0\) oraz \(b=2>0\), punkt znajduje się w II ćwiartce. Argument główny wynosi więc
\[ \varphi=\pi-\alpha. \]
Ostatecznie:
\[ \varphi =\pi-\arctan2 \approx2{,}034\ \text{rad} \approx116{,}565^\circ. \]
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Z zależności
\[ \cos\varphi=\frac{a}{r}, \qquad \sin\varphi=\frac{b}{r} \]
wynika, że
\[ a=r\cos\varphi, \qquad b=r\sin\varphi. \]
Po podstawieniu do postaci algebraicznej otrzymujemy:
\[ \begin{aligned} z &=a+bi\\ &=r\cos\varphi+ir\sin\varphi\\ &=r(\cos\varphi+i\sin\varphi). \end{aligned} \]
Postać
\[ \boxed{z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)} \]
nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
W zapisie tym:
- \(r=|z|>0\) jest modułem liczby,
- \(\varphi\) jest jednym z jej argumentów.
Ze względu na okresowość sinusa i cosinusa pełniejszy zapis ma postać
\[ z=r\left[\cos(\varphi+2k\pi)+i\sin(\varphi+2k\pi)\right], \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Postać trygonometryczną definiuje się dla \(z\neq0\). Wyrażenie
\[ 0(\cos\varphi+i\sin\varphi)=0 \]
jest wprawdzie prawdziwe dla każdego \(\varphi\), ale kąta tego nie można nazywać argumentem liczby zero.
Zamiana postaci algebraicznej na trygonometryczną
Aby przejść z postaci \(a+bi\) do postaci trygonometrycznej, wykonujemy trzy kroki:
- obliczamy moduł \(r=\sqrt{a^2+b^2}\),
- wyznaczamy argument \(\varphi\),
- podstawiamy wartości do wzoru \(z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\).
Przykład 1: liczba \(z=\sqrt3+i\)
Moduł wynosi
\[ r=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt4=2. \]
Liczba leży w I ćwiartce, a ponadto
\[ \cos\varphi=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\varphi=\frac12. \]
Stąd
\[ \varphi=\frac{\pi}{6}. \]
Postać trygonometryczna jest równa
\[ z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right). \]
Przykład 2: liczba \(z=-1+2i\)
Na podstawie wcześniejszych obliczeń:
\[ r=\sqrt5, \qquad \varphi=\pi-\arctan2. \]
Zatem
\[ z=\sqrt5\left[ \cos(\pi-\arctan2) +i\sin(\pi-\arctan2) \right]. \]
Zamiana postaci trygonometrycznej na algebraiczną
Aby przejść do postaci algebraicznej, obliczamy
\[ a=r\cos\varphi, \qquad b=r\sin\varphi. \]
Przykładowo dla
\[ z=4\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right) \]
mamy
\[ \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\frac{5\pi}{6}=\frac12. \]
Zatem
\[ \begin{aligned} z &=4\left(-\frac{\sqrt3}{2}+i\frac12\right)\\ &=-2\sqrt3+2i. \end{aligned} \]
Mnożenie w postaci trygonometrycznej
Niech
\[ z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1), \]
\[ z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2). \]
Ich iloczyn wynosi
\[ \begin{aligned} z_1z_2 &=r_1r_2 (\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1) (\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2). \end{aligned} \]
Po wykonaniu mnożenia i zastosowaniu wzorów na sinus oraz cosinus sumy kątów otrzymujemy
\[ \boxed{ z_1z_2= r_1r_2 \left[ \cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2) \right]. } \]
Oznacza to, że:
\[ |z_1z_2|=|z_1||z_2| \]
oraz
\[ \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2 \pmod{2\pi}. \]
Dzielenie w postaci trygonometrycznej
Dla \(z_2\neq0\) iloraz dwóch liczb zespolonych ma postać
\[ \boxed{ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left[ \cos(\varphi_1-\varphi_2) +i\sin(\varphi_1-\varphi_2) \right]. } \]
Moduły się dzielą, natomiast argument dzielnika odejmuje się od argumentu dzielnej:
\[ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \]
\[ \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1-\arg z_2 \pmod{2\pi}. \]
Mnożenie jako skalowanie i obrót
Niech liczba
\[ w=\rho(\cos\alpha+i\sin\alpha) \]
mnoży liczbę
\[ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi). \]
Iloczyn ma postać
\[ wz= \rho r \left[ \cos(\varphi+\alpha)+i\sin(\varphi+\alpha) \right]. \]
Geometrycznie oznacza to dwie jednoczesne operacje:
- długość wektora zostaje pomnożona przez \(\rho\),
- wektor zostaje obrócony o kąt \(\alpha\).
Jeżeli \(\rho>1\), następuje wydłużenie wektora. Jeżeli \(0<\rho<1\), wektor ulega skróceniu. Dla \(\rho=1\) mnożenie powoduje wyłącznie obrót.
Szczególnym przykładem jest mnożenie przez jednostkę urojoną:
\[ i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}. \]
Mnożenie przez \(i\) obraca więc wektor o kąt \(\frac{\pi}{2}\), czyli o \(90^\circ\), przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Wzór de Moivre’a
Wielokrotne zastosowanie wzoru na mnożenie liczb zespolonych prowadzi do wzoru de Moivre’a:
\[ \boxed{ (\cos\varphi+i\sin\varphi)^n = \cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi), } \]
gdzie \(n\) jest liczbą całkowitą.
Dla liczby o dowolnym module otrzymujemy
\[ \boxed{ \left[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^n = r^n\left[\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)\right]. } \]
Potęgowanie liczb zespolonych
Wzór de Moivre’a pozwala zastąpić wielokrotne mnożenie przez jedno potęgowanie modułu i pomnożenie argumentu przez wykładnik.
Przykład: obliczenie \((1+i)^8\)
Najpierw zapisujemy liczbę \(1+i\) w postaci trygonometrycznej. Jej moduł wynosi
\[ r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, \]
a argument
\[ \varphi=\frac{\pi}{4}. \]
Zatem
\[ 1+i= \sqrt2\left( \cos\frac{\pi}{4} +i\sin\frac{\pi}{4} \right). \]
Po podniesieniu do ósmej potęgi:
\[ \begin{aligned} (1+i)^8 &=(\sqrt2)^8 \left[ \cos\left(8\cdot\frac{\pi}{4}\right) +i\sin\left(8\cdot\frac{\pi}{4}\right) \right]\\ &=16(\cos2\pi+i\sin2\pi)\\ &=16. \end{aligned} \]
Wzór Eulera
Jedną z najważniejszych zależności łączących analizę matematyczną, trygonometrię i liczby zespolone jest wzór Eulera:
\[ \boxed{ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. } \]
Dla rzeczywistego kąta \(\varphi\) liczba \(e^{i\varphi}\) leży na okręgu jednostkowym. Jej część rzeczywista jest równa \(\cos\varphi\), a część urojona \(\sin\varphi\):
\[ \operatorname{Re}(e^{i\varphi})=\cos\varphi, \]
\[ \operatorname{Im}(e^{i\varphi})=\sin\varphi. \]
Postać wykładnicza liczby zespolonej
Po podstawieniu wzoru Eulera do postaci trygonometrycznej otrzymujemy
\[ \begin{aligned} z &=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\\ &=re^{i\varphi}. \end{aligned} \]
Postać
\[ \boxed{z=re^{i\varphi}} \]
nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.
Podobnie jak w postaci trygonometrycznej należy pamiętać o wielowartościowości argumentu:
\[ z=re^{i(\varphi+2k\pi)}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Ponieważ
\[ e^{i2k\pi}=1, \]
wszystkie te zapisy oznaczają tę samą liczbę zespoloną.
Działania w postaci wykładniczej
Postać wykładnicza sprawia, że działania multiplikatywne na liczbach zespolonych przyjmują szczególnie prostą postać.
Mnożenie
\[ r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}. \]
Dzielenie
\[ \frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}, \qquad r_2\neq0. \]
Potęgowanie
\[ \left(re^{i\varphi}\right)^n = r^ne^{in\varphi}. \]
Ostatnia zależność jest wykładniczą wersją wzoru de Moivre’a.
Sprzężenie i odwrotność w postaci wykładniczej
Dla liczby
\[ z=re^{i\varphi} \]
liczba sprzężona ma ten sam moduł, lecz przeciwny argument:
\[ \boxed{\overline{z}=re^{-i\varphi}.} \]
Geometrycznie odpowiada to odbiciu punktu względem osi rzeczywistej.
Odwrotność liczby niezerowej wynosi
\[ \boxed{ z^{-1}=\frac1r e^{-i\varphi}. } \]
Moduł zostaje zastąpiony jego odwrotnością, natomiast argument zmienia znak.
Tożsamość Eulera
Dla kąta \(\varphi=\pi\) wzór Eulera daje
\[ e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi. \]
Ponieważ
\[ \cos\pi=-1, \qquad \sin\pi=0, \]
otrzymujemy
\[ e^{i\pi}=-1. \]
Po przeniesieniu jedynki na lewą stronę powstaje słynna tożsamość Eulera:
\[ \boxed{e^{i\pi}+1=0.} \]
Równość ta łączy pięć podstawowych stałych matematycznych:
\[ 0,\qquad1,\qquad e,\qquad i,\qquad\pi. \]
Porównanie trzech postaci liczby zespolonej
| Postać | Zapis | Najwygodniejsze zastosowania |
|---|---|---|
| algebraiczna | \(z=a+bi\) | dodawanie, odejmowanie, porównywanie części rzeczywistych i urojonych |
| trygonometryczna | \(z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\) | interpretacja geometryczna, mnożenie, dzielenie i potęgowanie |
| wykładnicza | \(z=re^{i\varphi}\) | zwięzły zapis mnożenia, dzielenia, potęgowania, obrotów i drgań |
Przejścia pomiędzy postaciami opisują zależności
\[ a=r\cos\varphi, \qquad b=r\sin\varphi, \]
\[ r=\sqrt{a^2+b^2}, \]
\[ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. \]
Notacja elektrotechniczna
W elektrotechnice jednostkę urojoną oznacza się najczęściej literą \(j\), ponieważ litera \(i\) jest powszechnie używana jako symbol natężenia prądu.
Odpowiednikiem wzoru Eulera jest wtedy zapis
\[ e^{j\varphi}=\cos\varphi+j\sin\varphi. \]
Impedancję można zapisywać w postaci algebraicznej
\[ Z=R+jX \]
albo wykładniczej
\[ Z=|Z|e^{j\varphi}. \]
W obu zapisach litery \(i\) i \(j\) oznaczają tę samą jednostkę urojoną.
Najczęstsze błędy
Wyznaczanie argumentu tylko ze wzoru na tangens
Równość
\[ \tan\varphi=\frac{b}{a} \]
nie wystarcza do jednoznacznego określenia argumentu. Tangens ma okres \(\pi\), dlatego ten sam wynik otrzymujemy dla kierunków leżących w przeciwległych ćwiartkach.
Trzeba dodatkowo uwzględnić znaki \(a\) i \(b\) albo użyć funkcji \(\operatorname{atan2}(b,a)\).
Mylenie kąta pomocniczego z argumentem
Ostry kąt \(\alpha\) jest równy argumentowi tylko w I ćwiartce. W pozostałych ćwiartkach należy zastosować odpowiednią korektę:
\[ \pi-\alpha,\qquad \pi+\alpha \quad\text{lub}\quad 2\pi-\alpha. \]
Mieszanie dwóch konwencji argumentu głównego
Dla liczby z IV ćwiartki argument może zostać zapisany jako wartość dodatnia z przedziału \([0,2\pi)\) albo ujemna z przedziału \((-\pi,\pi]\). Nie należy zmieniać konwencji w trakcie jednego obliczenia bez wyraźnego zaznaczenia.
Przypisywanie argumentu liczbie zero
Liczba \(0\) nie ma argumentu, ponieważ nie wyznacza kierunku na płaszczyźnie zespolonej.
Dodawanie modułów i argumentów przy dodawaniu liczb
Reguły dotyczące mnożenia modułów i dodawania argumentów odnoszą się do iloczynu, a nie do sumy liczb zespolonych. Dodawanie najłatwiej wykonywać w postaci algebraicznej.
Stosowanie stopni we wzorze wykładniczym bez przeliczenia
We wzorze
\[ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi \]
kąt \(\varphi\) należy standardowo podawać w radianach.
Podsumowanie
Liczbę zespoloną można opisać za pomocą modułu \(r\) i argumentu \(\varphi\). Dla liczby \(z=a+bi\neq0\) zachodzą zależności
\[ r=\sqrt{a^2+b^2}, \]
\[ a=r\cos\varphi, \qquad b=r\sin\varphi. \]
Postać trygonometryczna ma postać
\[ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi), \]
natomiast dzięki wzorowi Eulera można ją zapisać jako
\[ z=re^{i\varphi}. \]
Przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły się mnoży, a argumenty dodaje. Przy dzieleniu moduły się dzieli, a argumenty odejmuje. Potęgowanie upraszcza wzór de Moivre’a:
\[ z^n= r^n\left[\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)\right] = r^ne^{in\varphi}. \]
Postać algebraiczna jest najwygodniejsza przy dodawaniu i odejmowaniu, natomiast postacie trygonometryczna i wykładnicza pozwalają w prosty sposób wykonywać działania związane z mnożeniem, dzieleniem, potęgowaniem, skalowaniem i obrotami.
Najważniejsze wzory:
\[ \begin{aligned} r&=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\\ a&=r\cos\varphi,\\ b&=r\sin\varphi,\\ z&=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\\ e^{i\varphi}&=\cos\varphi+i\sin\varphi,\\ z&=re^{i\varphi},\\ z_1z_2&=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)},\\ \frac{z_1}{z_2}&=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)},\\ z^n&=r^ne^{in\varphi}. \end{aligned} \]
Utworzono: 21.05.2026 | Zmodyfikowano: 19.07.2026
Powiązane artykuły
Masz problem z tym tematem?
Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku.
Zapytaj o pomoc