Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl
Indeksy dynamiki, przyrosty absolutne i względne oraz średnie tempo zmian służą do opisywania zmian wartości zjawiska w czasie. Pozwalają ustalić nie tylko, czy wartość wzrosła lub zmalała, lecz również o ile jednostek, o jaki procent albo ile razy zmieniła się w porównaniu z wybranym okresem.
Miary dynamiki można klasyfikować według dwóch niezależnych kryteriów. Pierwszym jest rodzaj mierzonej zmiany, a drugim sposób wyboru okresu stanowiącego podstawę porównania. Z tego powodu zarówno przyrosty absolutne, przyrosty względne, jak i indeksy dynamiki mogą być jednopodstawowe albo łańcuchowe.
W artykule przedstawiamy wzory, interpretacje i zależności między poszczególnymi miarami. Pokazujemy również, jak zmieniać podstawę indeksów jednopodstawowych, przeliczać indeksy jednopodstawowe na łańcuchowe i odwrotnie oraz obliczać średnie tempo zmian.
Miary dynamiki stosuje się przede wszystkim do analizy szeregów czasowych, czyli ciągów wartości tego samego zjawiska uporządkowanych według kolejnych momentów lub okresów.
gdzie \(y_t\) oznacza wartość badanego zjawiska w okresie \(t\). Okresy mogą oznaczać lata, kwartały, miesiące, dni albo inne jednostki czasu.
W zależności od sposobu porównywania wartości będziemy stosowali:
stałą podstawę porównania, na przykład wartość z okresu \(0\),
zmienną podstawę porównania, czyli wartość z okresu bezpośrednio poprzedzającego.
Klasyfikacja miar dynamiki
Miary dynamiki można uporządkować według dwóch kryteriów.
Kryterium 1: rodzaj miary
przyrosty absolutne — pokazują zmianę w jednostkach badanego zjawiska,
przyrosty względne — pokazują zmianę w relacji do wartości stanowiącej podstawę porównania,
indeksy dynamiki — pokazują, ile razy wartość w okresie badanym jest większa lub mniejsza od wartości odniesienia.
Kryterium 2: sposób przyjęcia podstawy
miary jednopodstawowe — wszystkie wartości są porównywane z jednym, stałym okresem bazowym,
miary łańcuchowe — każda wartość jest porównywana z okresem bezpośrednio poprzedzającym.
Określenia „jednopodstawowy” i „łańcuchowy” nie oznaczają osobnego rodzaju miary. Informują jedynie o tym, względem której wartości obliczamy przyrost lub indeks.
Miary dynamiki można klasyfikować według rodzaju miary oraz sposobu przyjęcia podstawy: stałej albo zmiennej.
Przyrosty absolutne
Przyrost absolutny informuje, o ile jednostek zmieniła się wartość badanego zjawiska. Jest wyrażony w tych samych jednostkach co analizowana zmienna, na przykład w złotych, kilogramach, osobach albo sztukach.
Przyrost absolutny jednopodstawowy
Jeżeli stałym okresem bazowym jest okres \(0\), przyrost absolutny jednopodstawowy ma postać:
\[
\Delta_t^{(0)}=y_t-y_0
\]
Miara pokazuje, o ile jednostek wartość w okresie \(t\) różni się od wartości w okresie bazowym.
Jeżeli sprzedaż wzrosła z 1000 do 1320 sztuk, przyrost jednopodstawowy wynosi:
\[
\Delta_t^{(0)}=1320-1000=320
\]
Sprzedaż jest więc o 320 sztuk większa niż w okresie bazowym.
Przyrost absolutny łańcuchowy
Przyrost absolutny łańcuchowy porównuje wartość z okresem bezpośrednio poprzedzającym:
\[
\Delta_t=y_t-y_{t-1}
\]
Jeżeli sprzedaż wzrosła z 1210 do 1320 sztuk, otrzymujemy:
\[
\Delta_t=1320-1210=110
\]
W badanym okresie sprzedaż wzrosła o 110 sztuk względem okresu poprzedniego.
Dodatni przyrost absolutny oznacza wzrost, przyrost ujemny — spadek, a wartość równa zero — brak zmiany.
Przyrosty względne
Przyrost względny informuje, jaką część wartości odniesienia stanowi zaobserwowana zmiana. Najczęściej przedstawia się go w procentach.
Indeks dynamiki jest ilorazem wartości z okresu badanego i wartości stanowiącej podstawę porównania. Informuje, ile razy wartość w okresie badanym jest większa lub mniejsza od wartości odniesienia.
Indeks jednopodstawowy
Jeżeli okresem bazowym jest okres \(0\), indeks jednopodstawowy ma postać:
\[
I_t^{(0)}
=
\frac{y_t}{y_0}
\]
Wskaźnik procentowy otrzymujemy przez pomnożenie indeksu przez \(100\%\):
Indeks może być przedstawiony jako współczynnik, na przykład \(1{,}15\), albo jako wskaźnik procentowy, na przykład \(115\%\).
jeżeli \(I>1\), wartość wzrosła,
jeżeli \(I=1\), wartość nie zmieniła się,
jeżeli \(I<1\), wartość zmalała.
Przykładowo indeks:
\[
I_t=1{,}25=125\%
\]
oznacza, że wartość w okresie badanym stanowi 125% wartości odniesienia, a zatem jest od niej większa o 25%.
Indeks:
\[
I_t=0{,}82=82\%
\]
oznacza, że wartość stanowi 82% wartości odniesienia, czyli jest od niej mniejsza o 18%.
Między indeksem i przyrostem względnym zachodzi prosta zależność:
\[
I_t=1+\delta_t
\]
oraz:
\[
\delta_t=I_t-1
\]
Indeks równy 120% nie oznacza wzrostu o 120%. Oznacza wartość równą 120% podstawy, czyli wzrost o 20%.
Wybór podstawy porównania
W indeksach jednopodstawowych podstawą jest bardzo często pierwsza obserwacja szeregu. Nie jest to jednak obowiązkowe. Jako podstawę można wybrać dowolny okres, który ma sens z punktu widzenia analizy.
Podstawą może być na przykład:
pierwszy rok badanego okresu,
rok poprzedzający ważną zmianę gospodarczą,
rok rozpoczęcia reformy lub inwestycji,
rok uznany za typowy,
ostatni rok, jeżeli wcześniejsze wartości chcemy porównać ze stanem aktualnym.
Jeżeli podstawą jest okres \(k\), indeks jednopodstawowy zapisujemy jako:
\[
I_t^{(k)}
=
\frac{y_t}{y_k}
\]
Dla okresu bazowego zawsze otrzymujemy:
\[
I_k^{(k)}=1=100\%
\]
Zmiana podstawy nie zmienia rzeczywistych wartości szeregu ani przebiegu zjawiska. Zmienia jedynie punkt odniesienia i skalę indeksów.
Przeliczanie indeksów
Zmiana podstawy indeksów jednopodstawowych
Załóżmy, że znamy indeksy względem okresu \(0\):
\[
I_t^{(0)}
=
\frac{y_t}{y_0}
\]
Chcemy przeliczyć je tak, aby nową podstawą był okres \(k\). Nowy indeks ma postać:
\[
I_t^{(k)}
=
\frac{y_t}{y_k}
\]
Dzieląc indeks okresu \(t\) przez indeks nowego okresu bazowego, otrzymujemy:
\[
I_t^{(k)}
=
\frac{I_t^{(0)}}{I_k^{(0)}}
\]
Przy zmianie podstawy indeksów jednopodstawowych wszystkie stare indeksy dzielimy przez indeks okresu, który ma zostać nową podstawą.
Z indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe
Indeks łańcuchowy jest ilorazem dwóch kolejnych indeksów jednopodstawowych:
Z indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe przechodzimy przez dzielenie kolejnych indeksów. Z indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe przechodzimy przez mnożenie.
Przeliczanie przyrostów
Przyrosty absolutne łańcuchowe a jednopodstawowe
Jednopodstawowy przyrost absolutny jest sumą kolejnych przyrostów łańcuchowych:
Przyrostów względnych i procentowych zmian z kolejnych okresów nie należy zwykle dodawać, ponieważ każda zmiana jest liczona od innej podstawy.
Jeżeli wartość wzrosła najpierw o 10%, a następnie ponownie o 10%, łączny wzrost nie wynosi 20%, lecz:
\[
1{,}10\cdot1{,}10
=
1{,}21
\]
czyli 21%. W przypadku zmian względnych korzystamy więc z indeksów i mnożenia, a nie z prostego sumowania procentów.
Średnie tempo zmian
Średnie tempo zmian opisuje przeciętną zmianę wartości zjawiska przypadającą na jeden okres. Ponieważ kolejne indeksy dynamiki łączą się przez mnożenie, do obliczeń wykorzystuje się średnią geometryczną, a nie średnią arytmetyczną.
Jeżeli obserwujemy wartości:
\[
y_1,\ y_2,\ \ldots,\ y_n \]
to występuje \(n-1\) zmian pomiędzy kolejnymi obserwacjami. Średni indeks zmian wynosi:
Jeżeli \(\overline{I}=1{,}08\), oznacza to przeciętny wzrost o 8% w jednym okresie. Jeżeli \(\overline{I}=0{,}97\), oznacza to przeciętny spadek o 3% na okres.
Stopień pierwiastka odpowiada liczbie zmian, a nie liczbie obserwacji. Dla pięciu kolejnych wartości występują cztery zmiany, dlatego stosujemy pierwiastek czwartego stopnia.
Średnie tempo zmian a prognozowanie
Średni indeks dynamiki może zostać wykorzystany do sporządzenia prostej prognozy. Zakładamy wtedy, że przeciętne tempo zmian obserwowane w przeszłości utrzyma się również w przyszłości.
Należy pamiętać, że utrzymanie średniego tempa z przeszłości jest tylko założeniem. Prognoza może być nietrafna, jeżeli zmienią się warunki funkcjonowania badanego zjawiska.
Przykład obliczeniowy
Załóżmy, że sprzedaż produktu w kolejnych latach wynosiła:
Mylenie indeksu z tempem wzrostu — indeks 115% oznacza wzrost o 15%, a nie o 115%.
Dzielenie przez niewłaściwą podstawę — w indeksie łańcuchowym dzielimy przez wartość z okresu poprzedniego, a w jednopodstawowym przez wartość z ustalonego okresu bazowego.
Dodawanie procentowych zmian z kolejnych okresów — indeksy łańcuchowe należy mnożyć.
Stosowanie średniej arytmetycznej indeksów — średnie tempo zmian opiera się na średniej geometrycznej.
Niewłaściwy stopień pierwiastka — powinien odpowiadać liczbie zmian między obserwacjami.
Brak informacji o podstawie — interpretując indeks, zawsze należy wskazać okres odniesienia.
Podsumowanie
Przyrosty absolutne pokazują zmianę w jednostkach badanego zjawiska, przyrosty względne — zmianę w stosunku do podstawy, a indeksy dynamiki — relację wartości z dwóch okresów.
Każda z tych miar może być:
jednopodstawowa, gdy wszystkie okresy porównujemy z jedną stałą podstawą,
łańcuchowa, gdy każdy okres porównujemy z okresem poprzednim.
Przy zmianie podstawy indeksów jednopodstawowych dzielimy każdy indeks przez indeks nowego okresu bazowego:
\[
I_t^{(k)}
=
\frac{I_t^{(0)}}{I_k^{(0)}}
\]
Indeksy łańcuchowe uzyskujemy przez dzielenie kolejnych indeksów jednopodstawowych:
\[
I_t
=
\frac{I_t^{(0)}}{I_{t-1}^{(0)}}
\]
Indeksy jednopodstawowe odtwarzamy natomiast przez mnożenie indeksów łańcuchowych:
\[
I_t^{(0)}
=
\prod_{j=1}^{t}I_j
\]
Średnie tempo zmian opiera się na średniej geometrycznej i opisuje przeciętną zmianę przypadającą na jeden okres:
Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne,
analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku.
