Ruch po okręgu – prędkość kątowa, przyspieszenie dośrodkowe, okres i częstotliwość

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego, w którym punkt pozostaje w stałej odległości od środka toru. Do jego opisu wykorzystuje się zarówno wielkości liniowe, takie jak droga, prędkość i przyspieszenie, jak i wielkości kątowe: położenie kątowe, prędkość kątową, przyspieszenie kątowe, okres oraz częstotliwość.

Nawet w jednostajnym ruchu po okręgu, gdy szybkość punktu pozostaje stała, jego wektor prędkości nieustannie zmienia kierunek. Z tego powodu występuje przyspieszenie normalne, nazywane w tym przypadku przyspieszeniem dośrodkowym.

Ogólny rozkład przyspieszenia na składową styczną i normalną został przedstawiony w artykule Kinematyka punktu materialnego – przyspieszenie styczne i normalne. W ruchu po okręgu promień krzywizny toru jest stały i równy promieniowi okręgu \(R\).

Czym jest ruch po okręgu?

Ruch po okręgu zachodzi wtedy, gdy odległość poruszającego się punktu \(P\) od ustalonego środka \(O\) jest stała:

Tor punktu jest wówczas okręgiem o promieniu \(R\). Przykładami ruchu po okręgu lub ruchu zbliżonego do kołowego są:

• ruch punktu znajdującego się na obracającym się kole;
• ruch końca wskazówki zegara;
• ruch samochodu po okrągłym torze;
• ruch wirnika, wentylatora lub koła zamachowego;
• wyidealizowany ruch satelity po orbicie kołowej;
• ruch punktu na obracającej się tarczy.

W kinematycznym opisie ruchu po okręgu nie analizujemy jeszcze sił powodujących ten ruch. Pojęcie siły dośrodkowej należy do dynamiki, natomiast w kinematyce wyznaczamy przede wszystkim prędkość i przyspieszenie punktu.

Geometria ruchu po okręgu

Położenie punktu na okręgu można określić za pomocą kąta \(\varphi\), jaki promień wodzący \(\overrightarrow{OP}\) tworzy z przyjętym kierunkiem odniesienia.

Jeżeli punkt przemieszcza się po łuku okręgu o długości \(s\), zachodzi zależność:

pod warunkiem, że kąt \(\varphi\) jest wyrażony w radianach.

Dla małych przyrostów kąta i długości łuku:

Zależność ta stanowi podstawę powiązania prędkości liniowej z prędkością kątową.

Miara łukowa kąta – radiany

Jeden radian jest kątem środkowym, któremu odpowiada łuk o długości równej promieniowi okręgu:

Pełnemu obrotowi odpowiada kąt:

Stąd:

Zamiana stopni na radiany:

Zamiana radianów na stopnie:

Położenie i przemieszczenie kątowe

Położenie punktu na okręgu opisuje funkcja:

Jeżeli w chwili \(t_1\) punkt ma położenie kątowe \(\varphi_1\), a w chwili \(t_2\) położenie \(\varphi_2\), jego przemieszczenie kątowe wynosi:

Najczęściej za dodatni przyjmuje się zwrot przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Wtedy:

• \(\Delta\varphi>0\) oznacza obrót w dodatnim zwrocie;
• \(\Delta\varphi<0\) oznacza obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara;
• \(|\Delta\varphi|=2\pi\) odpowiada jednemu pełnemu obrotowi.

Liczba wykonanych obrotów jest związana z przemieszczeniem kątowym zależnością:

Przemieszczenie kątowe może być większe od \(2\pi\). Na przykład wartość \(6\pi\) oznacza trzy pełne obroty w dodatnim zwrocie.

Prędkość kątowa

Średnia prędkość kątowa

Średnia prędkość kątowa w przedziale czasu wynosi:

Chwilowa prędkość kątowa

Chwilowa prędkość kątowa jest pochodną położenia kątowego względem czasu:

Jednostką prędkości kątowej jest:

Znak \(\omega\) informuje o zwrocie obrotu. Wartość bezwzględna \(|\omega|\) określa szybkość zmian położenia kątowego.

Przyspieszenie kątowe

Średnie przyspieszenie kątowe jest ilorazem zmiany prędkości kątowej i czasu:

Chwilowe przyspieszenie kątowe definiujemy jako:

Jego jednostką jest:

Podobnie jak w ruchu prostoliniowym, sam znak przyspieszenia nie wystarcza do stwierdzenia, czy ruch przyspiesza.

Związki wielkości liniowych i kątowych

Z zależności:

po zróżniczkowaniu względem czasu otrzymujemy:

Ponieważ:

otrzymujemy podstawowy związek:

Po ponownym zróżniczkowaniu wartości prędkości:

czyli:

Wektor prędkości

Wektor prędkości punktu poruszającego się po okręgu jest w każdej chwili styczny do toru. Jest więc prostopadły do promienia poprowadzonego ze środka okręgu do aktualnego położenia punktu:

Jego wartość wynosi:

W ruchu jednostajnym po okręgu wartość \(v\) jest stała, ale kierunek wektora \(\vec v\) stale się zmienia. Oznacza to, że punkt ma niezerowe przyspieszenie mimo stałej szybkości.

Przyspieszenie dośrodkowe

Składowa normalna przyspieszenia jest skierowana od punktu \(P\) do środka okręgu \(O\). W ruchu po okręgu nazywamy ją przyspieszeniem dośrodkowym.

Po wykorzystaniu zależności \(v=\omega R\):

Można również zapisać:

Kierunek przyspieszenia normalnego nie zależy od tego, czy punkt porusza się zgodnie, czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W obu przypadkach wektor \(\vec a_n\) jest skierowany do środka okręgu.

Skąd bierze się wzór na przyspieszenie dośrodkowe?

Dla małego przemieszczenia po okręgu kierunek wektora prędkości zmienia się o niewielki kąt \(\Delta\varphi\). Dla małych kątów zmiana wartości wektora prędkości spełnia przybliżenie:

Po podzieleniu przez \(\Delta t\) i przejściu do granicy:

Ponieważ \(v=\omega R\), otrzymujemy:

Przyspieszenie styczne i całkowite

Jeżeli wartość prędkości zmienia się w czasie, oprócz przyspieszenia normalnego występuje także składowa styczna:

Przyspieszenie styczne jest styczne do okręgu:

• jest zgodne z wektorem prędkości, gdy szybkość rośnie;
• jest skierowane przeciwnie do prędkości, gdy szybkość maleje;
• jest równe zeru, gdy szybkość pozostaje stała.

Przyspieszenie całkowite jest sumą wektorową obu prostopadłych składowych:

Jego wartość wynosi:

Po podstawieniu zależności kątowych:

W ruchu niejednostajnym całkowite przyspieszenie zazwyczaj nie jest skierowane dokładnie do środka okręgu. Do środka skierowana jest wyłącznie jego składowa normalna.

Ruch jednostajny po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu zachodzi wtedy, gdy prędkość kątowa jest stała:

Wówczas:

Położenie kątowe zmienia się liniowo z czasem:

Dla \(t_0=0\):

Wartość prędkości liniowej jest stała:

Przyspieszenie jest jednak niezerowe:

Okres i częstotliwość

Okres \(T\) jest czasem wykonania jednego pełnego obrotu.

Częstotliwość \(f\) określa liczbę pełnych obrotów wykonywanych w jednostce czasu.

Podczas jednego pełnego obrotu:

W jednostajnym ruchu po okręgu:

Prędkość liniowa wynosi zatem:

Przyspieszenie dośrodkowe można zapisać jako:

albo:

Liczba obrotów wykonanych w czasie \(t\) wynosi:

Droga przebyta podczas \(n\) pełnych obrotów jest równa:

Obroty na minutę

Prędkość obrotowa urządzeń technicznych jest często podawana w obrotach na minutę, oznaczanych jako \(\mathrm{obr/min}\) albo rpm.

Jeżeli urządzenie wykonuje \(N\) obrotów na minutę, częstotliwość w hercach wynosi:

Prędkość kątowa:

W drugą stronę:

Ruch niejednostajny po okręgu

W ruchu niejednostajnym prędkość kątowa zależy od czasu:

Występuje wtedy niezerowe przyspieszenie kątowe:

Przyspieszenie punktu ma dwie składowe:

Składowa styczna zmienia wartość prędkości, natomiast składowa normalna zmienia jej kierunek. Ponieważ \(a_n\) zależy od kwadratu prędkości kątowej, może zmieniać się nawet przy stałym przyspieszeniu kątowym.

Ruch jednostajnie zmienny kątowo

Ruch jest jednostajnie zmienny kątowo, gdy przyspieszenie kątowe jest stałe:

Równanie prędkości kątowej:

Dla \(t_0=0\):

Równanie położenia kątowego:

Dla \(t_0=0\):

Po wyeliminowaniu czasu otrzymujemy odpowiednik równania znanego z ruchu prostoliniowego:

Warto podkreślić, że nawet przy stałym \(\varepsilon\) całkowite przyspieszenie punktu nie jest zazwyczaj stałe. Składowa styczna ma stałą wartość:

ale składowa normalna zmienia się zgodnie z:

Opis wektorowy w układzie kartezjańskim

Jeżeli środek okręgu znajduje się w początku układu współrzędnych, położenie punktu można zapisać jako:

Po zróżniczkowaniu względem czasu otrzymujemy wektor prędkości:

Jego wartość:

Wektor przyspieszenia wynosi:

Pierwszy składnik jest skierowany do środka okręgu i odpowiada przyspieszeniu normalnemu, natomiast drugi jest styczny do toru.

Przy użyciu wersorów radialnego \(\vec e_r\) i stycznego \(\vec e_t\) zapis jest krótszy:

Minus przy składowej radialnej oznacza, że przyspieszenie normalne jest skierowane przeciwnie do wersora \(\vec e_r\), czyli do środka okręgu.

Wykresy wielkości kątowych

Wykres położenia kątowego \(\varphi(t)\)

Nachylenie wykresu położenia kątowego jest równe prędkości kątowej:

• w ruchu jednostajnym wykres \(\varphi(t)\) jest linią prostą;
• przy stałym niezerowym \(\varepsilon\) wykres jest parabolą;
• rosnący wykres oznacza \(\omega>0\);
• malejący wykres oznacza \(\omega<0\).

Wykres prędkości kątowej \(\omega(t)\)

Nachylenie wykresu prędkości kątowej jest równe przyspieszeniu kątowemu:

Pole algebraiczne pod wykresem \(\omega(t)\) jest równe przemieszczeniu kątowemu:

Wykres przyspieszenia kątowego \(\varepsilon(t)\)

Pole algebraiczne pod wykresem przyspieszenia kątowego jest równe zmianie prędkości kątowej:

Przykłady obliczeniowe

Przykład 1. Samochód na okrągłym torze

Samochód porusza się ze stałą szybkością:

po okręgu o promieniu:

Prędkość kątowa:

Okres jednego okrążenia:

Przyspieszenie dośrodkowe:

Przykład 2. Wirnik wykonujący 1200 obrotów na minutę

Wirnik obraca się z prędkością:

Częstotliwość:

Okres:

Prędkość kątowa:

Jeżeli rozpatrywany punkt znajduje się w odległości \(R=0{,}08\ \mathrm{m}\) od osi, jego prędkość liniowa wynosi:

Przykład 3. Ruch ze stałym przyspieszeniem kątowym

Koło o promieniu:

ma początkową prędkość kątową:

i przyspieszenie kątowe:

Po \(6\ \mathrm{s}\) prędkość kątowa wynosi:

Przemieszczenie kątowe:

Przyspieszenie styczne:

Przyspieszenie normalne:

Przyspieszenie całkowite:

Przykład 4. Hamowanie ruchu obrotowego

Tarcza ma początkową prędkość kątową:

i stałe przyspieszenie kątowe:

Chwila zatrzymania spełnia:

Do chwili zatrzymania tarcza obróci się o kąt:

Liczba obrotów:

Jeżeli ujemne przyspieszenie kątowe działałoby nadal, po zatrzymaniu tarcza zaczęłaby obracać się w przeciwnym kierunku.

Jednostki i kontrola wymiarów

Kontrola wymiarów prędkości liniowej:

Radian jest formalnie jednostką bezwymiarową, dlatego nie wpływa na końcowy wymiar fizyczny.

Kontrola wymiarów przyspieszenia normalnego:

Kontrola wymiarów przyspieszenia stycznego:

Najczęstsze błędy

• stosowanie wzoru \(s=R\varphi\) dla kąta podanego w stopniach;
• mylenie prędkości kątowej \(\omega\) z prędkością liniową \(v\);
• pomijanie promienia w zależności \(v=\omega R\);
• uznawanie ruchu jednostajnego po okręgu za ruch bez przyspieszenia;
• kierowanie przyspieszenia normalnego stycznie do toru lub na zewnątrz okręgu;
• rysowanie kierunku \(\vec a_n\) tak, że jego przedłużenie nie przechodzi przez środek okręgu;
• utożsamianie całkowitego przyspieszenia z przyspieszeniem dośrodkowym w ruchu niejednostajnym;
• pomijanie przyspieszenia stycznego, gdy zmienia się wartość prędkości;
• mylenie przyspieszenia dośrodkowego z siłą dośrodkową;
• stosowanie wzoru \(\omega=2\pi/T\) bez sprawdzenia, czy ruch jest okresowy;
• nieprawidłowa zamiana obrotów na minutę na herce;
• uznawanie ujemnego \(\varepsilon\) zawsze za zmniejszanie szybkości obrotowej;
• traktowanie \(\omega=0\) jako dowodu, że \(\varepsilon=0\);
• zakładanie, że przy stałym \(\varepsilon\) przyspieszenie normalne również jest stałe.

Podsumowanie

Położenie punktu na okręgu opisuje kąt:

Długość łuku i kąt są związane zależnością:

Prędkość i przyspieszenie kątowe wynoszą:

Wielkości liniowe i kątowe łączą zależności:

Przyspieszenie normalne jest skierowane do środka okręgu:

W ruchu niejednostajnym całkowite przyspieszenie wynosi:

W jednostajnym ruchu po okręgu:

Okres, częstotliwość i prędkość kątową łączą wzory:

Ruch po okręgu pokazuje, że przyspieszenie nie musi oznaczać wyłącznie zmiany wartości prędkości. Może wynikać również ze zmiany jej kierunku, nawet gdy szybkość pozostaje stała.

Utworzono: 23.06.2026 | Zmodyfikowano: 19.07.2026

Powiązane artykuły

• Kinematyka punktu materialnego – równania ruchu, prędkość, przyspieszenie i promień krzywizny 
• Ruch prostoliniowy – położenie, prędkość, przyspieszenie i równania ruchu 
• Czym zajmuje się kinematyka? Podstawowe pojęcia opisu ruchu 

Masz problem z tym tematem?

Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku. 

Zapytaj o pomoc