Kinematyka ciała sztywnego – ruch postępowy, obrotowy i płaski

Kinematyka ciała sztywnego opisuje zmianę położenia i orientacji obiektu, którego odkształcenia można pominąć. W odróżnieniu od punktu materialnego nie wystarczy określić ruchu jednego punktu — trzeba również uwzględnić obrót całego ciała oraz zależności między prędkościami i przyspieszeniami jego poszczególnych punktów.

Do podstawowych rodzajów ruchu ciała sztywnego należą ruch postępowy, ruch obrotowy wokół stałej osi oraz ruch płaski, będący złożeniem przesunięcia i obrotu. Ważnymi przykładami ruchu płaskiego są toczenie koła bez poślizgu oraz ruch członów mechanizmów.

Opis ruchu ciała sztywnego wykorzystuje wiadomości przedstawione wcześniej w artykułach Kinematyka punktu materialnego – równania ruchu, prędkość, przyspieszenie i promień krzywizny oraz Ruch po okręgu – prędkość kątowa, przyspieszenie dośrodkowe, okres i częstotliwość.

Spis treści

Czym jest ciało sztywne?
Punkt materialny a ciało sztywne
Położenie i orientacja ciała
Stopnie swobody
Podstawowe rodzaje ruchu ciała sztywnego
Ruch postępowy
Ruch obrotowy wokół stałej osi
Prędkość punktu w ruchu obrotowym
Przyspieszenie punktu w ruchu obrotowym
Ruch płaski ciała sztywnego
Zależność między prędkościami dwóch punktów
Zależność między przyspieszeniami dwóch punktów
Chwilowy środek obrotu
Toczenie koła bez poślizgu
Prędkości charakterystycznych punktów koła
Przykłady obliczeniowe
Jednostki i kontrola wymiarów
Najczęstsze błędy
Podsumowanie

Czym jest ciało sztywne?

Ciało sztywne jest idealizowanym układem punktów materialnych, w którym odległość między dowolnymi dwoma punktami nie zmienia się podczas ruchu.

Dla dowolnych punktów \(A\) i \(B\) należących do ciała warunek sztywności ma postać:

\[ \left| \vec r_B-\vec r_A \right| = \mathrm{const}. \]

Równoważnie można zapisać:

\[ \left| \vec r_{B/A} \right| = AB = \mathrm{const}, \]

gdzie:

\[ \vec r_{B/A} = \vec r_B-\vec r_A \]

jest wektorem położenia punktu \(B\) względem punktu \(A\).

Warunek ten oznacza, że ciało może zmieniać położenie i orientację, ale w przyjętym modelu nie zmienia kształtu ani wymiarów.

Ciało doskonale sztywne nie występuje w rzeczywistości. Każdy rzeczywisty materiał w pewnym stopniu się odkształca. Model ciała sztywnego jest jednak bardzo użyteczny, gdy odkształcenia są niewielkie w porównaniu z rozpatrywanym ruchem.

Punkt materialny a ciało sztywne

W modelu punktu materialnego pomijamy rozmiary, kształt i orientację obiektu. Jego ruch opisujemy za pomocą jednego wektora położenia:

\[ \vec r=\vec r(t). \]

W przypadku ciała sztywnego trzeba określić nie tylko położenie wybranego punktu odniesienia, lecz także orientację całego ciała.

W ruchu płaskim opis może obejmować:

\[ x_A(t), \qquad y_A(t), \qquad \varphi(t), \]

gdzie \(A\) jest wybranym punktem ciała, a \(\varphi\) określa jego orientację w płaszczyźnie.

Porównanie opisu ruchu punktu materialnego i ciała sztywnego — Ruch punktu materialnego opisujemy położeniem jednego punktu, natomiast w opisie ciała sztywnego trzeba uwzględnić również jego orientację.

Położenie i orientacja ciała

Położenie ciała sztywnego można opisać przez wskazanie położenia jednego punktu odniesienia oraz orientacji układu współrzędnych związanego z ciałem.

Dla dwóch punktów \(A\) i \(B\):

\[ \vec r_B = \vec r_A+\vec r_{B/A}. \]

Wektor \(\vec r_{B/A}\) ma stałą długość, ale podczas obrotu może zmieniać kierunek względem nieruchomego układu odniesienia.

Zmiana położenia punktu \(A\) odpowiada za przesunięcie ciała, natomiast zmiana kierunku wektora \(\vec r_{B/A}\) odpowiada za obrót.

Stopnie swobody

Liczba stopni swobody określa liczbę niezależnych współrzędnych potrzebnych do jednoznacznego opisania położenia ciała.

Ciało sztywne w przestrzeni

Swobodne ciało sztywne w przestrzeni ma sześć stopni swobody:

trzy przesunięcia w kierunkach osi \(x\), \(y\) i \(z\);
trzy niezależne obroty określające orientację ciała.

Ciało wykonujące ruch płaski

W ruchu płaskim ciało ma trzy stopnie swobody:

\[ x, \qquad y, \qquad \varphi. \]

Są to dwa przesunięcia w płaszczyźnie oraz jeden obrót wokół osi prostopadłej do tej płaszczyzny.

Podstawowe rodzaje ruchu ciała sztywnego

W kinematyce wyróżniamy przede wszystkim:

ruch postępowy — orientacja ciała nie zmienia się;
ruch obrotowy wokół stałej osi — punkty ciała poruszają się po okręgach wokół osi;
ruch płaski — ciało jednocześnie przesuwa się i obraca.

Porównanie ruchu postępowego, obrotowego wokół stałej osi oraz ruchu płaskiego ciała sztywnego — Podstawowymi przypadkami ruchu ciała sztywnego są ruch postępowy, ruch obrotowy wokół stałej osi oraz ruch płaski, będący złożeniem przesunięcia i obrotu.

Ruch postępowy

W ruchu postępowym każdy odcinek związany z ciałem pozostaje równoległy do swojego wcześniejszego położenia. Orientacja ciała nie zmienia się.

Wektor położenia punktu \(B\) możemy zapisać jako:

\[ \vec r_B = \vec r_A+\vec r_{B/A}. \]

W ruchu postępowym wektor \(\vec r_{B/A}\) jest stały nie tylko co do długości, lecz także co do kierunku. Po zróżniczkowaniu względem czasu otrzymujemy:

\[ \vec v_B = \vec v_A. \]

Po ponownym zróżniczkowaniu:

\[ \vec a_B = \vec a_A. \]

Wszystkie punkty ciała wykonującego ruch postępowy mają więc w tej samej chwili jednakowe prędkości i przyspieszenia.

Ruch postępowy nie musi być prostoliniowy. Ciało może wykonywać ruch postępowy po torze krzywoliniowym, jeżeli jego orientacja pozostaje niezmienna.

Przykładami mogą być:

kabina windy poruszająca się po pionowej prowadnicy;
tłok przesuwający się w cylindrze;
platforma pozostająca poziomo podczas ruchu po zakrzywionym torze;
szuflada wysuwana z mebla.

Ruch obrotowy wokół stałej osi

W ruchu obrotowym wokół stałej osi wszystkie punkty ciała znajdujące się poza osią poruszają się po okręgach. Środki tych okręgów leżą na osi obrotu, a ich płaszczyzny są do niej prostopadłe.

Punkty należące do osi obrotu pozostają nieruchome:

\[ \vec v=0. \]

Położenie kątowe ciała opisuje funkcja:

\[ \varphi=\varphi(t). \]

Prędkość kątowa wynosi:

\[ \vec\omega = \frac{d\varphi}{dt}\,\vec e_{\mathrm{osi}}. \]

Przyspieszenie kątowe:

\[ \vec\varepsilon = \frac{d\vec\omega}{dt}. \]

Wszystkie punkty ciała mają w danej chwili tę samą prędkość kątową \(\vec\omega\) i to samo przyspieszenie kątowe \(\vec\varepsilon\).

Prędkość punktu w ruchu obrotowym

Dla punktu \(P\), którego położenie względem wybranego punktu osi opisuje wektor \(\vec r\), prędkość wynosi:

\[ \boxed{ \vec v = \vec\omega\times\vec r } \]

Wektor prędkości jest:

styczny do okręgu opisywanego przez punkt;
prostopadły do promienia prowadzącego od osi obrotu;
zgodny ze zwrotem wyznaczonym przez iloczyn wektorowy.

Wartość prędkości liniowej punktu oddalonego od osi o odległość \(r\) wynosi:

\[ \boxed{ v=\omega r } \]

Im dalej punkt znajduje się od osi, tym większa jest jego szybkość liniowa. Jeżeli:

\[ r_B>r_A, \]

to:

\[ v_B>v_A. \]

Obracająca się tarcza z punktami położonymi w różnych odległościach od osi obrotu — Wszystkie punkty obracającego się ciała mają tę samą prędkość kątową \(\omega\), lecz ich szybkość liniowa \(v=\omega r\) rośnie wraz z odległością od osi.

Przyspieszenie punktu w ruchu obrotowym

Przyspieszenie punktu obracającego się ciała składa się z dwóch wzajemnie prostopadłych części:

przyspieszenia stycznego, związanego ze zmianą wartości prędkości kątowej;
przyspieszenia normalnego, związanego ze zmianą kierunku prędkości.

Przyspieszenie styczne:

\[ \vec a_t = \vec\varepsilon\times\vec r. \]

Jego wartość wynosi:

\[ a_t=\varepsilon r. \]

Przyspieszenie normalne:

\[ \vec a_n = \vec\omega\times \left( \vec\omega\times\vec r \right). \]

Jest ono skierowane ku osi obrotu, a jego wartość wynosi:

\[ a_n = \omega^2r = \frac{v^2}{r}. \]

Całkowite przyspieszenie punktu:

\[ \boxed{ \vec a = \vec\varepsilon\times\vec r + \vec\omega\times \left( \vec\omega\times\vec r \right) } \]

Ponieważ składowe styczna i normalna są prostopadłe, wartość przyspieszenia wynosi:

\[ a = \sqrt{a_t^2+a_n^2}. \]

Ruch płaski ciała sztywnego

Ruch płaski zachodzi wtedy, gdy wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do jednej ustalonej płaszczyzny.

Ruch ten można przedstawić jako złożenie:

ruchu postępowego wybranego punktu odniesienia;
obrotu całego ciała wokół osi przechodzącej przez ten punkt i prostopadłej do płaszczyzny ruchu.

Wybór punktu odniesienia jest dowolny. Najczęściej przyjmuje się środek masy, punkt połączenia członów mechanizmu albo punkt, którego prędkość jest znana.

Zależność między prędkościami dwóch punktów

Dla dwóch punktów \(A\) i \(B\) należących do tego samego ciała sztywnego:

\[ \boxed{ \vec v_B = \vec v_A + \vec\omega\times\vec r_{B/A} } \]

Prędkość punktu \(B\) jest sumą:

prędkości wybranego punktu odniesienia \(A\);
prędkości punktu \(B\) względem \(A\), wynikającej z obrotu ciała.

Składnik względny:

\[ \vec v_{B/A} = \vec\omega\times\vec r_{B/A} \]

jest prostopadły do odcinka \(AB\), a jego wartość wynosi:

\[ v_{B/A} = \omega\,AB. \]

Prędkości punktów ciała sztywnego należy dodawać wektorowo. Nie można na ogół obliczyć wartości \(v_B\) przez zwykłe dodanie wartości \(v_A+\omega AB\), ponieważ kierunki tych składników mogą być różne.

Ciało sztywne z punktami A i B oraz graficznym złożeniem ich wektorów prędkości — Prędkość punktu \(B\) jest sumą prędkości punktu odniesienia \(A\) oraz prędkości wynikającej z obrotu punktu \(B\) względem punktu \(A\).

Zależność między przyspieszeniami dwóch punktów

Przyspieszenia dwóch punktów należących do ciała sztywnego są związane równaniem:

\[ \boxed{ \vec a_B = \vec a_A + \vec\varepsilon\times\vec r_{B/A} + \vec\omega\times \left( \vec\omega\times\vec r_{B/A} \right) } \]

Składniki tego równania oznaczają:

\(\vec a_A\) — przyspieszenie punktu odniesienia \(A\);
\(\vec\varepsilon\times\vec r_{B/A}\) — względne przyspieszenie styczne punktu \(B\);
\(\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r_{B/A})\) — względne przyspieszenie normalne, skierowane od \(B\) ku \(A\).

W ruchu płaskim wartości składowych względnych wynoszą:

\[ a_{t,B/A} = \varepsilon\,AB, \] \[ a_{n,B/A} = \omega^2\,AB. \]

Zależność przyspieszeń jest bardziej złożona niż zależność prędkości, ponieważ występują w niej dwa składniki związane z obrotem.

Chwilowy środek obrotu

W ruchu płaskim, jeżeli prędkość kątowa nie jest równa zeru, można zwykle wskazać punkt \(I\), którego prędkość w danej chwili jest równa zeru:

\[ \vec v_I=0. \]

Punkt ten nazywamy chwilowym środkiem obrotu. W rozpatrywanej chwili ruch ciała można interpretować jako czysty obrót wokół punktu \(I\).

Dla dowolnego punktu \(A\):

\[ \vec v_A = \vec\omega\times\vec r_{A/I}. \]

Wartość prędkości:

\[ v_A = \omega r_{AI}. \]

Wektor prędkości punktu \(A\) jest prostopadły do odcinka \(IA\):

\[ \vec v_A \perp \vec r_{A/I}. \]

Analogicznie:

\[ v_B=\omega r_{BI}, \qquad \vec v_B\perp\vec r_{B/I}. \]

Jak wyznaczyć chwilowy środek obrotu?

Jeżeli znamy kierunki prędkości dwóch punktów ciała:

przez pierwszy punkt prowadzimy prostą prostopadłą do jego prędkości;
przez drugi punkt prowadzimy prostą prostopadłą do jego prędkości;
punkt przecięcia tych prostych jest chwilowym środkiem obrotu.

Chwilowy środek obrotu może:

leżeć wewnątrz ciała;
leżeć na jego brzegu;
znajdować się poza ciałem;
zmieniać położenie wraz z czasem.

Chwilowy środek obrotu ma zerową prędkość, ale nie musi mieć zerowego przyspieszenia. Metoda chwilowego środka jest szczególnie wygodna przy wyznaczaniu prędkości, lecz nie zawsze upraszcza analizę przyspieszeń.

Koło z zaznaczonym chwilowym środkiem obrotu w punkcie styku z podłożem — W danej chwili ruch płaski można interpretować jako obrót wokół chwilowego środka \(I\). Prędkości punktów są prostopadłe do odcinków łączących je z punktem \(I\).

Toczenie koła bez poślizgu

Toczenie koła jest przykładem ruchu płaskiego. Koło jednocześnie:

przesuwa się wraz ze swoim środkiem \(C\);
obraca się wokół środka z prędkością kątową \(\omega\).

Jeżeli koło toczy się bez poślizgu po nieruchomym podłożu, punkt styku \(P\) ma chwilowo zerową prędkość:

\[ \vec v_P=0. \]

Warunek toczenia bez poślizgu ma postać:

\[ \boxed{ v_C=\omega R } \]

gdzie:

\(v_C\) — szybkość środka koła;
\(\omega\) — wartość prędkości kątowej;
\(R\) — promień koła.

Dla koła poruszającego się w prawo obrót odbywa się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Prędkości charakterystycznych punktów koła

Prędkość dowolnego punktu \(A\) koła jest sumą prędkości środka i prędkości wynikającej z obrotu:

\[ \vec v_A = \vec v_C + \vec\omega\times\vec r_{A/C}. \]

Środek koła

\[ v_C=\omega R. \]

Punkt styku z podłożem

Prędkość wynikająca z obrotu ma taką samą wartość jak prędkość środka, ale przeciwny zwrot:

\[ \vec v_P = \vec v_C + \vec v_{P/C} = 0. \]

Najwyższy punkt koła

Oba składniki prędkości mają zgodny zwrot:

\[ \vec v_G = \vec v_C+\vec v_{G/C}. \]

Ponieważ:

\[ v_{G/C} = \omega R = v_C, \]

otrzymujemy:

\[ \boxed{ v_G=2v_C } \]

Podsumowując:

\[ v_P=0, \qquad v_C=\omega R, \qquad v_G=2\omega R. \]

Koło toczące się bez poślizgu z zaznaczonymi prędkościami środka, najwyższego punktu i punktu styku — Podczas toczenia bez poślizgu \(v_C=\omega R\). Punkt styku ma chwilowo prędkość równą zeru, a najwyższy punkt koła porusza się z szybkością \(2v_C\).

Punkt styku nie pozostaje nieruchomy przez dłuższy czas. Ma zerową prędkość tylko w chwili, w której styka się z podłożem. W kolejnej chwili odrywa się od powierzchni, a nowy punkt obręczy staje się punktem styku.

Przykłady obliczeniowe

Przykład 1. Prędkości punktów obracającej się tarczy

Tarcza obraca się z prędkością kątową:

\[ \omega=4\ \mathrm{rad/s}. \]

Punkt \(A\) znajduje się w odległości:

\[ r_A=0{,}20\ \mathrm{m}, \]

a punkt \(B\) w odległości:

\[ r_B=0{,}50\ \mathrm{m}. \]

Szybkość punktu \(A\):

\[ v_A = \omega r_A = 4\cdot0{,}20 = 0{,}80\ \mathrm{m/s}. \]

Szybkość punktu \(B\):

\[ v_B = \omega r_B = 4\cdot0{,}50 = 2{,}00\ \mathrm{m/s}. \]

Oba punkty mają tę samą prędkość kątową, ale punkt \(B\), położony dalej od osi, ma większą szybkość liniową.

Przykład 2. Przyspieszenie punktu tarczy

Tarcza ma:

\[ \omega=5\ \mathrm{rad/s}, \qquad \varepsilon=3\ \mathrm{rad/s^2}. \]

Rozpatrywany punkt znajduje się w odległości:

\[ r=0{,}40\ \mathrm{m}. \]

Przyspieszenie styczne:

\[ a_t = \varepsilon r = 3\cdot0{,}40 = 1{,}20\ \mathrm{m/s^2}. \]

Przyspieszenie normalne:

\[ a_n = \omega^2r = 5^2\cdot0{,}40 = 10{,}0\ \mathrm{m/s^2}. \]

Wartość przyspieszenia całkowitego:

\[ a = \sqrt{a_t^2+a_n^2} = \sqrt{1{,}20^2+10{,}0^2} \approx 10{,}1\ \mathrm{m/s^2}. \]

Przykład 3. Prędkość drugiego punktu ciała

Prędkość punktu \(A\) wynosi:

\[ \vec v_A = \begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix} \ \mathrm{m/s}. \]

Prędkość kątowa ciała:

\[ \vec\omega = 3\vec k\ \mathrm{rad/s}. \]

Położenie punktu \(B\) względem \(A\):

\[ \vec r_{B/A} = 0{,}4\vec i+0{,}2\vec j\ \mathrm{m}. \]

Składnik wynikający z obrotu:

\[ \vec\omega\times\vec r_{B/A} = 3\vec k\times \left( 0{,}4\vec i+0{,}2\vec j \right), \] \[ \vec\omega\times\vec r_{B/A} = -0{,}6\vec i+1{,}2\vec j\ \mathrm{m/s}. \]

Prędkość punktu \(B\):

\[ \vec v_B = \vec v_A + \vec\omega\times\vec r_{B/A}, \] \[ \vec v_B = 1{,}4\vec i+1{,}2\vec j\ \mathrm{m/s}. \]

Jej wartość wynosi:

\[ v_B = \sqrt{1{,}4^2+1{,}2^2} \approx 1{,}84\ \mathrm{m/s}. \]

Przykład 4. Koło toczące się bez poślizgu

Koło o promieniu:

\[ R=0{,}30\ \mathrm{m} \]

toczy się bez poślizgu, a szybkość jego środka wynosi:

\[ v_C=1{,}80\ \mathrm{m/s}. \]

Prędkość kątowa:

\[ \omega = \frac{v_C}{R} = \frac{1{,}80}{0{,}30} = 6\ \mathrm{rad/s}. \]

Szybkość najwyższego punktu:

\[ v_G = 2v_C = 3{,}60\ \mathrm{m/s}. \]

Szybkość punktu styku:

\[ v_P=0. \]

Jednostki i kontrola wymiarów

Wielkość	Oznaczenie	Jednostka SI
Położenie i odległość	\(\vec r\), \(r\), \(R\)	\(\mathrm{m}\)
Kąt obrotu	\(\varphi\)	\(\mathrm{rad}\)
Prędkość liniowa	\(\vec v\)	\(\mathrm{m/s}\)
Przyspieszenie liniowe	\(\vec a\)	\(\mathrm{m/s^2}\)
Prędkość kątowa	\(\vec\omega\)	\(\mathrm{rad/s}\)
Przyspieszenie kątowe	\(\vec\varepsilon\)	\(\mathrm{rad/s^2}\)

Kontrola wymiarów zależności \(v=\omega r\):

\[ [v] = [\omega][r] = \frac{1}{\mathrm{s}}\cdot\mathrm{m} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}. \]

Radian jest w analizie wymiarowej traktowany jako jednostka bezwymiarowa.

Kontrola przyspieszenia stycznego:

\[ [a_t] = [\varepsilon][r] = \frac{1}{\mathrm{s^2}}\cdot\mathrm{m} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}. \]

Kontrola przyspieszenia normalnego:

\[ [a_n] = [\omega^2][r] = \frac{1}{\mathrm{s^2}}\cdot\mathrm{m} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}. \]

Najczęstsze błędy

traktowanie ciała sztywnego jak pojedynczego punktu materialnego;
pomijanie zmiany orientacji ciała;
uznawanie, że ruch postępowy zawsze musi być prostoliniowy;
przyjmowanie jednakowych prędkości liniowych wszystkich punktów obracającego się ciała;
mylenie wspólnej prędkości kątowej z prędkościami liniowymi punktów;
rysowanie wektora prędkości punktu obracającego się ciała wzdłuż promienia zamiast stycznie do toru;
pomijanie prostopadłości \(\vec v\perp\vec r\) w ruchu obrotowym;
stosowanie \(v=\omega/r\) zamiast \(v=\omega r\);
mylenie przyspieszenia stycznego z normalnym;
kierowanie przyspieszenia normalnego na zewnątrz zamiast ku osi obrotu;
dodawanie wartości prędkości punktów zamiast wykonywania dodawania wektorowego;
pomijanie składnika normalnego w równaniu przyspieszeń dwóch punktów;
uznawanie, że chwilowy środek obrotu musi znajdować się wewnątrz ciała;
uznawanie, że chwilowy środek obrotu ma zawsze zerowe przyspieszenie;
uznawanie punktu styku toczącego się koła za punkt trwale nieruchomy;
przyjmowanie \(v_P=v_C\) dla punktu styku koła toczącego się bez poślizgu;
przyjmowanie, że najwyższy punkt koła porusza się z szybkością \(v_C\) zamiast \(2v_C\);
mylenie toczenia bez poślizgu z ruchem koła ślizgającego się po podłożu;
niezgodność zwrotu obrotu koła ze zwrotem ruchu jego środka.

W ruchu płaskim najpierw należy określić kierunki wektorów. Same wzory na wartości nie wystarczają, ponieważ prędkości i przyspieszenia poszczególnych punktów są wielkościami wektorowymi.

Podsumowanie

Warunek sztywności ciała ma postać:

\[ \left| \vec r_B-\vec r_A \right| = \mathrm{const}. \]

W ruchu postępowym wszystkie punkty mają jednakowe prędkości i przyspieszenia:

\[ \vec v_A=\vec v_B, \qquad \vec a_A=\vec a_B. \]

W ruchu obrotowym wokół stałej osi:

\[ \vec v = \vec\omega\times\vec r, \qquad v=\omega r, \] \[ \vec a = \vec\varepsilon\times\vec r + \vec\omega\times \left( \vec\omega\times\vec r \right). \]

W ruchu płaskim zależność między prędkościami dwóch punktów wynosi:

\[ \vec v_B = \vec v_A + \vec\omega\times\vec r_{B/A}. \]

Dla przyspieszeń:

\[ \vec a_B = \vec a_A + \vec\varepsilon\times\vec r_{B/A} + \vec\omega\times \left( \vec\omega\times\vec r_{B/A} \right). \]

Jeżeli \(I\) jest chwilowym środkiem obrotu:

\[ \vec v_I=0, \qquad v_A=\omega r_{AI}. \]

Podczas toczenia koła bez poślizgu:

\[ v_C=\omega R, \qquad v_P=0, \qquad v_G=2v_C. \]

Kinematyka ciała sztywnego pozwala opisywać ruch kół, tarcz, dźwigni, korb, tłoków oraz całych mechanizmów. Kluczowe znaczenie ma przy tym rozróżnienie ruchu całego ciała od ruchu jego poszczególnych punktów.

Powiązane artykuły

Masz problem z tym tematem?

Wszechwiedza.pl pomaga zrozumieć matematykę, statystykę, ekonometrię, badania operacyjne, analizę danych, mechanikę, rachunkowość i wiele innych przedmiotów — spokojnie, konkretnie i krok po kroku.

Zapytaj o pomoc