Model ekonometryczny — czym jest, do czego służy i jak go zbudować?

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Wprowadzenie

Ekonometria jest dziedziną łączącą ekonomię, matematykę, statystykę oraz analizę danych. Jej podstawowym narzędziem jest model ekonometryczny, czyli matematyczny opis zależności pomiędzy badanymi zjawiskami. Za pomocą takiego modelu można próbować odpowiedzieć na pytania typu: jak zmiana jednej wielkości wpływa na inną, które czynniki są istotne dla badanego zjawiska, czy na podstawie danych historycznych można przewidzieć przyszłe wartości oraz jak silna jest zależność między zmiennymi.

Modele ekonometryczne są wykorzystywane między innymi w ekonomii, finansach, marketingu, zarządzaniu, demografii, logistyce, analizie rynku pracy, bankowości, ubezpieczeniach, a także w szeroko rozumianej analizie danych. Choć nazwa „ekonometria” sugeruje związek przede wszystkim z ekonomią, to same metody modelowania mogą być stosowane wszędzie tam, gdzie badamy zależności ilościowe między zmiennymi.

Spis treści

• Czym jest model ekonometryczny?
• Zmienna objaśniana i zmienne objaśniające
• Składnik losowy w modelu ekonometrycznym
• Przykład prostego modelu ekonometrycznego
• Rodzaje danych w ekonometrii
• Do czego można wykorzystać model ekonometryczny?
• Etapy budowy modelu ekonometrycznego
• Modelowanie a data mining
• Korelacja nie zawsze oznacza przyczynowość
• Model dobry statystycznie a model dobry merytorycznie
• Najczęstsze błędy przy budowie modeli ekonometrycznych
• Jakich programów używa się w ekonometrii?
• Podsumowanie

Czym jest model ekonometryczny?

Model ekonometryczny to równanie lub układ równań opisujących zależność między zmienną objaśnianą a jedną lub wieloma zmiennymi objaśniającymi. Mówiąc prościej, model ekonometryczny pozwala zbadać, w jaki sposób pewne wielkości wpływają na inną wielkość, którą chcemy wyjaśnić, opisać lub prognozować.

Przykładowo możemy badać, od czego zależy wysokość sprzedaży produktu. Zmienną objaśnianą będzie wtedy sprzedaż, natomiast zmiennymi objaśniającymi mogą być cena produktu, wydatki na reklamę, dochody konsumentów, liczba punktów sprzedaży, sezonowość albo działania konkurencji.

Ogólną ideę prostego modelu ekonometrycznego można zapisać następująco:

$$Y = f(X_1, X_2, \ldots, X_k) + \varepsilon$$

gdzie:

• $Y$ oznacza zmienną objaśnianą, czyli tę wielkość, którą chcemy wyjaśnić lub przewidzieć,

• $X_1, X_2, \ldots, X_k$ oznaczają zmienne objaśniające, czyli czynniki wpływające na zmienną $Y$,

• $f$ oznacza postać zależności między zmiennymi,

• $\varepsilon$ oznacza składnik losowy, czyli część zmienności, której model nie wyjaśnia w sposób deterministyczny.

W praktyce bardzo często stosuje się modele liniowe, których ogólna postać jest następująca:

$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \ldots + \beta_kX_k + \varepsilon$$

Współczynniki $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_k$ nazywamy parametrami modelu. Ich wartości są szacowane na podstawie danych empirycznych, najczęściej przy użyciu metody najmniejszych kwadratów.

Zmienna objaśniana i zmienne objaśniające

Podstawą każdego modelu ekonometrycznego jest rozróżnienie między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi. Zmienna objaśniana to ta wielkość, której zachowanie chcemy opisać. Często oznacza się ją symbolem $Y$. Może to być na przykład poziom sprzedaży, wysokość wynagrodzenia, wartość PKB, stopa bezrobocia, cena mieszkania albo zysk przedsiębiorstwa.

Zmienne objaśniające to czynniki, które potencjalnie wpływają na zmienną objaśnianą. Oznacza się je zwykle symbolami $X_1, X_2, \ldots, X_k$. W modelu ceny mieszkania zmiennymi objaśniającymi mogą być powierzchnia lokalu, liczba pokoi, lokalizacja, rok budowy, piętro, odległość od centrum miasta albo standard wykończenia.

Dobór zmiennych objaśniających jest jednym z najważniejszych etapów budowy modelu. Z jednej strony model powinien uwzględniać istotne czynniki wpływające na badane zjawisko, z drugiej jednak strony nie powinien być nadmiernie rozbudowany. Zbyt duża liczba zmiennych może prowadzić do problemów interpretacyjnych, współliniowości oraz nadmiernego dopasowania modelu do konkretnej próby danych.

Składnik losowy w modelu ekonometrycznym

W modelu ekonometrycznym zwykle pojawia się składnik losowy, oznaczany najczęściej symbolem $\varepsilon$. Jest on niezwykle ważny, ponieważ w rzeczywistości rzadko mamy do czynienia z zależnościami idealnymi. Nawet jeżeli pewna zmienna wyraźnie wpływa na drugą, to zwykle istnieją również inne czynniki, których nie uwzględniliśmy w modelu, błędy pomiaru, przypadkowe zaburzenia oraz indywidualne odchylenia obserwacji.

Przykładowo, jeżeli budujemy model wyjaśniający wynagrodzenie pracownika na podstawie stażu pracy i poziomu wykształcenia, to nadal nie uwzględniamy wszystkich możliwych czynników. Na wynagrodzenie mogą wpływać także branża, region, znajomość języków obcych, umiejętności negocjacyjne, sytuacja gospodarcza, wielkość firmy, doświadczenie praktyczne czy cechy trudne do zmierzenia. Składnik losowy reprezentuje właśnie tę część zmienności, której model nie opisuje za pomocą wybranych zmiennych objaśniających.

Obecność składnika losowego odróżnia model ekonometryczny od prostego równania matematycznego. Model ekonometryczny nie mówi zazwyczaj, że dana zależność zachodzi zawsze dokładnie, lecz że zachodzi przeciętnie, statystycznie, z pewnym błędem.

Przykład prostego modelu ekonometrycznego

Załóżmy, że chcemy zbadać zależność między miesięcznymi wydatkami na reklamę a wartością sprzedaży. Możemy zaproponować prosty model liniowy:

$$Y = \beta_0 + \beta_1X + \varepsilon$$

gdzie:

• $Y$ — wartość sprzedaży,

• $X$ — wydatki na reklamę,

• $\beta_0$ — wyraz wolny,

• $\beta_1$ — parametr informujący o przeciętnym wpływie wydatków reklamowych na sprzedaż,

• $\varepsilon$ — składnik losowy.

Jeżeli po oszacowaniu modelu otrzymamy równanie:

$$\hat{Y} = 12000 + 4{,}5X$$

to możemy interpretować je następująco: przy braku wydatków na reklamę przewidywana sprzedaż wynosi 12 000 jednostek pieniężnych, natomiast wzrost wydatków na reklamę o jedną jednostkę powoduje przeciętny wzrost sprzedaży o 4,5 jednostki. Oczywiście interpretacja taka ma sens tylko przy zachowaniu odpowiednich jednostek oraz w zakresie danych, na podstawie których model został oszacowany.

Symbol $\hat{Y}$ oznacza wartość teoretyczną, czyli wartość przewidywaną przez model. Różnica między wartością rzeczywistą a wartością przewidywaną nazywana jest resztą modelu:

$$e_i = y_i - \hat{y}_i$$

Reszty odgrywają bardzo ważną rolę przy ocenie jakości modelu, ponieważ pokazują, jak bardzo wartości rzeczywiste różnią się od wartości wynikających z modelu.

Rodzaje danych w ekonometrii

Modele ekonometryczne buduje się na podstawie danych empirycznych. W zależności od charakteru tych danych można wyróżnić trzy podstawowe typy prób: dane przekrojowe, szeregi czasowe oraz dane panelowe.

Dane przekrojowe

Dane przekrojowe opisują wiele jednostek badania w tym samym momencie lub okresie. Jednostkami mogą być osoby, gospodarstwa domowe, przedsiębiorstwa, kraje, województwa, banki albo produkty.

Przykładem danych przekrojowych może być zestawienie cen mieszkań sprzedanych w danym mieście w 2025 roku. Każda obserwacja dotyczy innego mieszkania, a zmiennymi mogą być cena, powierzchnia, liczba pokoi, piętro, lokalizacja i standard wykończenia.

Modele oparte na danych przekrojowych często służą do badania różnic między jednostkami. Można za ich pomocą analizować, dlaczego jedne osoby zarabiają więcej od innych, dlaczego jedne firmy osiągają wyższe zyski albo dlaczego ceny mieszkań różnią się między lokalizacjami.

Szeregi czasowe

Szereg czasowy to zbiór obserwacji dotyczących jednej jednostki lub zjawiska w kolejnych momentach czasu. Dane takie są uporządkowane chronologicznie. Mogą dotyczyć na przykład miesięcznej sprzedaży przedsiębiorstwa, kwartalnego PKB, rocznej inflacji, kursu walutowego, liczby bezrobotnych albo dziennych cen akcji.

W przypadku szeregów czasowych szczególnie ważna jest kolejność obserwacji. Wartość z danego okresu może zależeć od wartości z okresów wcześniejszych. Dlatego w modelach szeregów czasowych pojawiają się takie zagadnienia jak trend, sezonowość, cykliczność, opóźnienia czasowe, autokorelacja oraz stacjonarność.

Przykładowo, analizując miesięczną sprzedaż lodów, należy uwzględnić nie tylko cenę czy wydatki reklamowe, ale również sezonowość. Sprzedaż będzie zwykle wyższa latem niż zimą, nawet przy podobnym poziomie innych czynników.

Dane panelowe

Dane panelowe łączą cechy danych przekrojowych i szeregów czasowych. Oznacza to, że obserwujemy wiele jednostek w wielu okresach. Przykładowo możemy analizować wyniki finansowe kilkunastu banków w kolejnych latach albo poziom bezrobocia w poszczególnych województwach w okresie kilkunastu lat.

Dane panelowe są bardzo cenne, ponieważ pozwalają badać zarówno różnice między jednostkami, jak i zmiany zachodzące w czasie. Modele panelowe są jednak bardziej zaawansowane niż proste modele przekrojowe, ponieważ trzeba uwzględnić dodatkową strukturę danych oraz możliwość występowania efektów indywidualnych charakterystycznych dla poszczególnych jednostek.

Do czego można wykorzystać model ekonometryczny?

Model ekonometryczny może pełnić kilka różnych funkcji. Najczęściej wykorzystuje się go do opisu zależności, wyjaśniania zjawisk, prognozowania, symulacji oraz wspomagania decyzji.

Opis zależności między zmiennymi

Najprostszym zastosowaniem modelu jest opis zależności między zmiennymi. Możemy na przykład zbadać, czy istnieje zależność między ceną produktu a wielkością sprzedaży, między dochodem a konsumpcją, między stopą procentową a poziomem inwestycji albo między doświadczeniem zawodowym a wynagrodzeniem.

Model pozwala nie tylko stwierdzić, że pewna zależność występuje, ale także oszacować jej siłę i kierunek. Dzięki temu możemy powiedzieć, czy wzrost danej zmiennej wiąże się przeciętnie ze wzrostem czy spadkiem innej zmiennej.

Wyjaśnianie zjawisk ekonomicznych

Modele ekonometryczne pomagają wyjaśniać, dlaczego pewne zjawiska przyjmują określone wartości. Przykładowo można analizować, jakie czynniki wpływają na bezrobocie w regionach, które zmienne wyjaśniają poziom inflacji, od czego zależy rentowność przedsiębiorstw albo jakie czynniki wpływają na poziom zadłużenia gospodarstw domowych.

W takim zastosowaniu szczególnie ważna jest interpretacja parametrów modelu oraz ich istotność statystyczna. Nie wystarczy bowiem otrzymać równania. Trzeba jeszcze ocenić, czy uzyskane zależności są zgodne z teorią, logiczne i statystycznie wiarygodne.

Prognozowanie

Bardzo ważnym zastosowaniem modeli ekonometrycznych jest prognozowanie. Jeżeli znamy zależność między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi, możemy próbować przewidywać przyszłe wartości badanej wielkości.

Przykładowo przedsiębiorstwo może wykorzystać model do prognozowania sprzedaży w kolejnych miesiącach. Bank może prognozować ryzyko kredytowe klientów, a instytucja publiczna może przewidywać poziom bezrobocia lub wpływy podatkowe.

Należy jednak pamiętać, że prognoza jest zawsze obarczona niepewnością. Model oparty na danych historycznych zakłada, że przynajmniej w pewnym stopniu zależności zaobserwowane w przeszłości będą utrzymywać się w przyszłości. Jeżeli warunki gospodarcze gwałtownie się zmienią, trafność prognoz może znacząco spaść.

Symulacje i analiza wariantowa

Model ekonometryczny można wykorzystać także do symulacji. Jeżeli znamy postać zależności między zmiennymi, możemy sprawdzić, jak zmieni się przewidywana wartość zmiennej objaśnianej przy różnych założeniach dotyczących zmiennych objaśniających.

Przykładowo firma może zapytać: co stanie się ze sprzedażą, jeśli zwiększymy wydatki reklamowe o 20%? Jak zmieni się popyt, jeśli cena produktu wzrośnie o 5%? Jaki będzie wpływ wzrostu wynagrodzeń na koszty przedsiębiorstwa? Tego typu pytania są typowe dla analizy wariantowej.

Wspomaganie decyzji

Modele ekonometryczne mogą wspierać podejmowanie decyzji. Nie zastępują zdrowego rozsądku ani wiedzy eksperckiej, ale dostarczają uporządkowanej informacji o zależnościach w danych. Dzięki nim decyzje mogą być bardziej oparte na faktach, a mniej na intuicji.

W praktyce model może pomóc w ustaleniu ceny, zaplanowaniu budżetu reklamowego, ocenie ryzyka kredytowego, wyborze inwestycji, określeniu czynników wpływających na rentowność albo przygotowaniu prognozy finansowej.

Etapy budowy modelu ekonometrycznego

Budowa modelu ekonometrycznego nie polega jedynie na wpisaniu danych do programu statystycznego i odczytaniu wyniku. Jest to proces, który wymaga zarówno wiedzy merytorycznej, jak i umiejętności statystycznych. Można wyróżnić kilka podstawowych etapów budowy modelu.

1. Sformułowanie problemu badawczego

Pierwszym etapem jest określenie, co właściwie chcemy zbadać. Należy jasno wskazać zmienną objaśnianą oraz pytanie badawcze. Przykładowo: od czego zależy cena mieszkania? Jakie czynniki wpływają na poziom sprzedaży? Czy wydatki na reklamę istotnie wpływają na przychody? Jak stopa bezrobocia zależy od tempa wzrostu gospodarczego?

Na tym etapie ważna jest również wiedza dziedzinowa. Model powinien mieć sens ekonomiczny, a nie być jedynie mechanicznym dopasowaniem równania do danych.

2. Dobór zmiennych

Następnie wybiera się zmienne, które mogą wyjaśniać badane zjawisko. Dobór zmiennych powinien wynikać z teorii, doświadczenia, wcześniejszych badań lub logicznego rozumowania. W praktyce często łączy się podejście merytoryczne z analizą empiryczną.

Nie każda dostępna zmienna powinna znaleźć się w modelu. Zmienna może być nieistotna, źle zmierzona, nadmiernie skorelowana z inną zmienną albo pozornie powiązana z badanym zjawiskiem. Dlatego dobór zmiennych jest jednym z najtrudniejszych i najbardziej odpowiedzialnych etapów modelowania.

3. Zebranie i przygotowanie danych

Kolejnym krokiem jest zebranie danych. Mogą one pochodzić z baz statystycznych, sprawozdań finansowych, ankiet, systemów informatycznych, danych transakcyjnych, banków danych, raportów branżowych albo obserwacji własnych.

Dane często wymagają oczyszczenia i przygotowania. Trzeba sprawdzić braki danych, wartości odstające, jednostki miary, zgodność okresów, sposób kodowania zmiennych jakościowych oraz ewentualną potrzebę przekształceń, takich jak logarytmowanie, standaryzacja lub przeliczenie wartości nominalnych na realne.

4. Wybór postaci modelu

Następnie należy określić postać modelu. Najczęściej punktem wyjścia jest model liniowy, ale w praktyce stosuje się również modele logarytmiczne, potęgowe, wykładnicze, wielomianowe, modele z opóźnieniami, modele trendu, modele sezonowe, modele jakościowe oraz wiele bardziej zaawansowanych konstrukcji.

Wybór postaci modelu powinien wynikać z charakteru badanego zjawiska. Nie każdą zależność da się dobrze opisać prostą linią. Czasami wzrost jednej zmiennej powoduje coraz słabszy przyrost drugiej zmiennej, czasami zależność jest nieliniowa, a czasami wpływ danej zmiennej ujawnia się dopiero po pewnym czasie.

5. Estymacja parametrów

Po ustaleniu postaci modelu należy oszacować jego parametry. W modelach liniowych najczęściej stosuje się metodę najmniejszych kwadratów. Polega ona na takim dobraniu parametrów równania, aby suma kwadratów różnic między wartościami rzeczywistymi a wartościami przewidywanymi przez model była jak najmniejsza.

Estymacja parametrów pozwala przejść od ogólnego równania teoretycznego do konkretnego modelu liczbowego. Zamiast symboli $\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_k$ otrzymujemy konkretne wartości współczynników, które można interpretować i wykorzystywać do obliczeń.

6. Weryfikacja modelu

Oszacowanie modelu nie oznacza jeszcze końca pracy. Model trzeba zweryfikować. Sprawdza się między innymi dopasowanie modelu do danych, istotność parametrów, zgodność znaków parametrów z oczekiwaniami, własności reszt oraz spełnienie założeń metody estymacji.

W przypadku klasycznego modelu liniowego szczególną uwagę zwraca się na takie problemy jak autokorelacja składnika losowego, heteroskedastyczność, współliniowość zmiennych objaśniających, nietypowe obserwacje oraz poprawność specyfikacji modelu.

7. Interpretacja wyników

Nawet najlepszy formalnie model nie ma dużej wartości, jeśli nie potrafimy poprawnie zinterpretować jego wyników. Interpretacja parametrów powinna być zgodna z jednostkami miary zmiennych oraz postacią modelu.

W modelu liniowym parametr przy zmiennej objaśniającej informuje, o ile przeciętnie zmieni się zmienna objaśniana, gdy dana zmienna objaśniająca wzrośnie o jedną jednostkę, przy założeniu niezmienności pozostałych zmiennych. W modelach logarytmicznych interpretacja może dotyczyć zmian procentowych lub elastyczności.

8. Zastosowanie modelu

Ostatnim etapem jest wykorzystanie modelu do celu, dla którego został zbudowany. Może to być prognoza, symulacja, analiza wariantowa, ocena wpływu zmiennych, przygotowanie raportu albo wsparcie decyzji biznesowej.

Warto pamiętać, że model ekonometryczny jest uproszczeniem rzeczywistości. Nie powinien być traktowany jako nieomylna maszyna do produkowania odpowiedzi. Jest narzędziem analitycznym, którego wyniki należy oceniać krytycznie i zestawiać z wiedzą merytoryczną.

Modelowanie a data mining

W klasycznej ekonometrii często zaczyna się od teorii lub hipotezy badawczej. Najpierw zastanawiamy się, jakie czynniki powinny wpływać na badane zjawisko, a następnie sprawdzamy tę zależność na danych. W praktyce analizy danych spotyka się jednak również podejście bardziej eksploracyjne, określane często jako data mining.

Data mining polega na poszukiwaniu wzorców, zależności i regularności w dużych zbiorach danych. Czasami badacz lub analityk nie ma z góry jednej konkretnej hipotezy, lecz przeszukuje dane w celu znalezienia interesujących relacji. Można powiedzieć, że jest to częściowo badanie „po omacku”, choć oczywiście powinno być prowadzone z zachowaniem odpowiedniej ostrożności metodologicznej.

Takie podejście może być bardzo użyteczne, zwłaszcza gdy dysponujemy dużą liczbą zmiennych i nie wiemy jeszcze, które z nich mogą mieć znaczenie. Przykładowo firma analizująca zachowania klientów może szukać czynników wpływających na rezygnację z usługi, skłonność do zakupu, reakcję na reklamę albo ryzyko opóźnienia płatności.

Należy jednak uważać na pułapkę przypadkowych zależności. Jeżeli badamy bardzo wiele zmiennych, zawsze istnieje ryzyko znalezienia korelacji, która powstała przypadkowo i nie ma sensownej interpretacji. Dlatego wyniki eksploracyjnej analizy danych powinny być później weryfikowane na nowych danych, testowane statystycznie i oceniane merytorycznie.

Korelacja nie zawsze oznacza przyczynowość

Jednym z najważniejszych ostrzeżeń przy interpretacji modeli ekonometrycznych jest zasada, że korelacja nie oznacza automatycznie przyczynowości. To, że dwie zmienne są ze sobą statystycznie powiązane, nie musi jeszcze oznaczać, że jedna z nich jest przyczyną drugiej.

Przykładowo możemy zaobserwować zależność między sprzedażą lodów a liczbą osób korzystających z kąpielisk. Nie oznacza to jednak, że jedzenie lodów powoduje wizyty na kąpielisku albo odwrotnie. Obie zmienne mogą być zależne od trzeciego czynnika, którym jest temperatura lub pora roku.

W modelach ekonometrycznych szczególnie ważne jest więc rozróżnienie między zależnością statystyczną a zależnością przyczynową. Aby mówić o przyczynowości, potrzebne są dodatkowe argumenty: teoria, konstrukcja badania, odpowiednia specyfikacja modelu, kontrola zmiennych zakłócających, a czasami także metody eksperymentalne lub quasi-eksperymentalne.

Model dobry statystycznie a model dobry merytorycznie

W praktyce można spotkać modele, które bardzo dobrze dopasowują się do danych, ale nie mają sensownej interpretacji. Wysoki współczynnik determinacji albo istotne statystycznie parametry nie wystarczają, aby uznać model za dobry. Model powinien być również logiczny, zgodny z wiedzą merytoryczną i użyteczny dla celu badania.

Przykładowo, jeżeli model wskazuje, że wzrost ceny produktu powoduje wzrost popytu, to taki wynik może być podejrzany, chyba że mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem, takim jak dobra luksusowe, efekt prestiżu albo błędna specyfikacja modelu. Sam wynik obliczeń nie zwalnia z obowiązku krytycznego myślenia.

Dobry model ekonometryczny powinien łączyć trzy cechy: poprawność statystyczną, sensowność merytoryczną oraz przydatność praktyczną. Brak którejkolwiek z tych cech może ograniczać wartość modelu.

Najczęstsze błędy przy budowie modeli ekonometrycznych

Początkujący użytkownicy ekonometrii często popełniają kilka typowych błędów. Jednym z nich jest automatyczne wrzucanie do modelu wszystkich dostępnych zmiennych bez zastanowienia, czy mają one sens merytoryczny. Innym błędem jest ocenianie modelu wyłącznie na podstawie współczynnika determinacji $R^2$.

Częstym problemem jest także nieuwzględnianie specyfiki danych. Inaczej pracuje się z danymi przekrojowymi, inaczej z szeregami czasowymi, a jeszcze inaczej z danymi panelowymi. W przypadku szeregów czasowych nie można ignorować trendu, sezonowości czy autokorelacji. W przypadku danych przekrojowych trzeba zwracać uwagę na obserwacje nietypowe i heteroskedastyczność.

Innym błędem jest interpretowanie zależności statystycznych jako dowodu przyczynowości bez dodatkowego uzasadnienia. Model może pokazywać związek między zmiennymi, ale nie zawsze pozwala jednoznacznie stwierdzić, że jedna zmienna jest przyczyną drugiej.

Wreszcie, dużym problemem bywa budowanie modelu wyłącznie pod konkretny wynik. Jeżeli analityk wielokrotnie zmienia zestaw zmiennych, postać modelu i zakres danych tylko po to, aby uzyskać oczekiwane parametry, to model traci wartość poznawczą. Wyniki powinny wynikać z danych i poprawnej metody, a nie z dopasowywania obliczeń do z góry założonej tezy.

Jakich programów używa się w ekonometrii?

Modele ekonometryczne można budować w wielu programach. Do prostych zastosowań wystarczy arkusz kalkulacyjny, na przykład Excel lub LibreOffice Calc. Bardziej zaawansowane analizy wykonuje się często w programach statystycznych i ekonometrycznych, takich jak Gretl, R, Python, Stata, EViews, SPSS, SAS czy Matlab.

W dydaktyce ekonometrii popularny jest Gretl, ponieważ jest darmowy, stosunkowo prosty w obsłudze i dobrze dostosowany do klasycznych modeli ekonometrycznych. R i Python dają natomiast bardzo duże możliwości, szczególnie gdy ekonometria łączy się z analizą danych, machine learningiem, automatyzacją raportów albo przetwarzaniem dużych zbiorów danych.

Wybór programu ma znaczenie praktyczne, ale nie zastępuje zrozumienia metody. Ten sam model można zwykle oszacować w różnych narzędziach, a wyniki powinny być takie same lub bardzo podobne. Najważniejsze jest rozumienie, co program liczy, jakie założenia stoją za metodą oraz jak poprawnie interpretować otrzymane rezultaty.

Podsumowanie

Model ekonometryczny jest narzędziem służącym do ilościowego opisu zależności między zmiennymi. Pozwala badać wpływ jednych wielkości na inne, wyjaśniać zjawiska ekonomiczne, budować prognozy, wykonywać symulacje oraz wspierać podejmowanie decyzji. Podstawowymi elementami modelu są zmienna objaśniana, zmienne objaśniające, parametry oraz składnik losowy.

Modele ekonometryczne mogą być budowane na podstawie danych przekrojowych, szeregów czasowych lub danych panelowych. Każdy z tych typów danych ma swoją specyfikę i wymaga odpowiedniego podejścia. Proces budowy modelu obejmuje sformułowanie problemu badawczego, dobór zmiennych, zebranie i przygotowanie danych, wybór postaci modelu, estymację parametrów, weryfikację, interpretację oraz praktyczne zastosowanie wyników.

Ekonometria nie polega na mechanicznym dopasowaniu równania do danych. Dobry model powinien być poprawny statystycznie, sensowny merytorycznie i użyteczny praktycznie. Dlatego obok znajomości metod obliczeniowych potrzebne jest również krytyczne myślenie, znajomość badanego zjawiska oraz ostrożność przy interpretacji wyników.

W kolejnym artykule omówimy jedną z najważniejszych metod estymacji parametrów modelu liniowego, czyli metodę najmniejszych kwadratów. Wyjaśnimy, na czym polega jej idea, dlaczego minimalizuje się sumę kwadratów reszt oraz jak interpretować otrzymane równanie regresji.

Utworzono: 16.05.2026 | Zmodyfikowano: 18.05.2026

Wielomiany

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Wprowadzenie

Wielomiany należą do najważniejszych i najczęściej spotykanych funkcji w matematyce. Pojawiają się już w szkole podstawowej przy prostych wyrażeniach algebraicznych, później w szkole średniej przy funkcji kwadratowej, równaniach wielomianowych i schemacie Hornera, a następnie w matematyce wyższej: w analizie matematycznej, algebrze liniowej, metodach numerycznych, interpolacji, aproksymacji oraz w rachunku różniczkowym i całkowym.

W tym artykule omówimy wielomiany przede wszystkim jako funkcje zmiennej rzeczywistej, czyli funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych. Warto jednak pamiętać, że wielomiany można również rozpatrywać nad zbiorem liczb zespolonych. Wtedy pojawiają się dodatkowe własności, między innymi związane z zasadniczym twierdzeniem algebry. Temu zagadnieniu warto poświęcić osobny artykuł.

Wielomiany są funkcjami elementarnymi, a więc należą do podstawowego „arsenału” funkcji używanych w matematyce. Ich przewagą jest prostota: można je dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić z resztą, różniczkować i całkować według bardzo przejrzystych reguł. Jednocześnie potrafią opisywać bardzo różnorodne kształty wykresów.

Spis treści

• Definicja wielomianu
• Stopień wielomianu
• Dziedzina i wykres wielomianu
• Zachowanie wielomianu w nieskończoności
• Miejsca zerowe wielomianu
• Krotność miejsca zerowego
• Działania na wielomianach
• Dzielenie wielomianu przez wielomian
• Schemat Hornera
• Twierdzenie Bézouta
• Rozkładanie wielomianów na czynniki
• Jak szukać kandydatów na pierwiastki wymierne?
• Co zrobić, gdy nie widać miejsca zerowego?
• Rozkład nad liczbami rzeczywistymi i zespolonymi
• Wielomiany w matematyce wyższej
• Najczęstsze błędy przy pracy z wielomianami
• Podsumowanie

Definicja wielomianu

Wielomianem zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcję postaci

$$ W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0, $$

gdzie:

• $x$ jest zmienną,
• $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ są współczynnikami wielomianu,
• $n$ jest liczbą naturalną,
• $a_n\neq 0$, jeżeli mówimy o wielomianie stopnia $n$.

Liczby $a_0,a_1,\ldots,a_n$ mogą być rzeczywiste, zespolone albo pochodzić z jeszcze innego zbioru, zależnie od tego, nad jakim zbiorem rozpatrujemy wielomian. W tym artykule przyjmujemy najczęściej, że są to liczby rzeczywiste.

Przykładowe wielomiany to:

$$ W(x)=3x^4-2x^3+7x-5, $$

$$ P(x)=x^2-4x+4, $$

$$ Q(x)=-5x+1. $$

Także funkcja stała, na przykład

$$ F(x)=7, $$

jest wielomianem. Jest to wielomian stopnia zerowego, o ile stała jest różna od zera.

Stopień wielomianu

Stopniem wielomianu nazywamy największy wykładnik potęgi zmiennej $x$, przy której współczynnik jest różny od zera.

Na przykład wielomian

$$ W(x)=4x^5-3x^2+x-8 $$

jest wielomianem stopnia piątego, ponieważ najwyższa potęga zmiennej $x$, która rzeczywiście występuje w tym wielomianie, to $x^5$.

Szczególnym przypadkiem jest wielomian zerowy, czyli

$$ W(x)=0. $$

Dla wielomianu zerowego stopień nie jest określony w standardowy sposób. W zastosowaniach algebraicznych czasem przyjmuje się umownie, że ma stopień $-\infty$, ale w szkolnym rachunku algebraicznym najbezpieczniej powiedzieć po prostu, że stopień wielomianu zerowego nie jest określony.

Dziedzina i wykres wielomianu

Jeżeli wielomian rozpatrujemy jako funkcję zmiennej rzeczywistej, to jego dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych:

$$ D_W=\mathbb{R}. $$

Nie pojawiają się tutaj ograniczenia typowe dla niektórych innych funkcji. Nie trzeba wykluczać miejsc zerowych mianownika, jak przy funkcjach wymiernych, ani pilnować nieujemności wyrażenia pod pierwiastkiem parzystego stopnia, jak przy wielu funkcjach niewymiernych.

Wykres wielomianu jest krzywą ciągłą i gładką. Oznacza to, że nie ma przerw, dziur, skoków ani pionowych asymptot. Wykres można narysować „jednym pociągnięciem ołówka”, choć oczywiście dla wielomianów wysokich stopni jego kształt może być dość złożony.

Zachowanie wielomianu w nieskończoności

O tym, jak wielomian zachowuje się dla bardzo dużych dodatnich i bardzo małych, czyli bardzo dużych co do wartości bezwzględnej ujemnych argumentów, decyduje przede wszystkim wyraz najwyższego stopnia.

Dla wielomianu

$$ W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0 $$

najważniejszy dla dużych wartości $|x|$ jest składnik $a_nx^n$.

Wielomian stopnia nieparzystego

Jeżeli stopień wielomianu jest nieparzysty, to ramiona wykresu idą w przeciwne strony. Dla dodatniego współczynnika wiodącego wykres po lewej stronie spada w dół, a po prawej rośnie w górę. Symbolicznie można to zapisać tak:

$$ \lim_{x\to -\infty}W(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty}W(x)=+\infty. $$

Dla ujemnego współczynnika wiodącego sytuacja jest odwrotna:

$$ \lim_{x\to -\infty}W(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty}W(x)=-\infty. $$

Właśnie dlatego każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jedno rzeczywiste miejsce zerowe. Skoro wykres z jednej strony znajduje się bardzo wysoko, a z drugiej bardzo nisko, to ze względu na ciągłość musi gdzieś przeciąć oś $OX$.

Wielomian stopnia parzystego

Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty, to oba ramiona wykresu są skierowane w tę samą stronę. Dla dodatniego współczynnika wiodącego oba ramiona idą do góry, a dla ujemnego oba ramiona idą w dół.

Na przykład wielomian

$$ W(x)=x^2+1 $$

nie ma żadnego rzeczywistego miejsca zerowego, ponieważ

$$ x^2+1>0 $$

dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wykres tej funkcji leży w całości nad osią $OX$.

Natomiast wielomian

$$ P(x)=x^2-1 $$

ma dwa miejsca zerowe:

$$ x=-1 \quad \text{oraz} \quad x=1. $$

Wielomian stopnia parzystego może więc mieć miejsca zerowe rzeczywiste, ale nie musi ich mieć.

Miejsca zerowe wielomianu

Miejscem zerowym wielomianu $W(x)$ nazywamy taką liczbę $x_0$, dla której

$$ W(x_0)=0. $$

Geometrycznie miejsce zerowe oznacza punkt przecięcia wykresu wielomianu z osią $OX$ albo punkt styczności z tą osią.

Na przykład dla wielomianu

$$ W(x)=x^2-5x+6 $$

mamy rozkład

$$ W(x)=(x-2)(x-3), $$

a więc miejscami zerowymi są liczby

$$ x=2 \quad \text{oraz} \quad x=3. $$

Krotność miejsca zerowego

Jeżeli wielomian można zapisać w postaci

$$ W(x)=(x-x_0)^k\cdot Q(x), $$

gdzie $Q(x_0)\neq 0$, to liczbę $x_0$ nazywamy miejscem zerowym krotności $k$.

Przykład:

$$ W(x)=(x-1)^2(x+3). $$

Wielomian ten ma dwa miejsca zerowe:

• $x=1$ — miejsce zerowe dwukrotne,
• $x=-3$ — miejsce zerowe jednokrotne.

Krotność miejsca zerowego ma istotne znaczenie dla wyglądu wykresu. Jeżeli miejsce zerowe ma krotność nieparzystą, wykres zwykle przechodzi przez oś $OX$. Jeżeli miejsce zerowe ma krotność parzystą, wykres zwykle dotyka osi $OX$ i zawraca.

Działania na wielomianach

Na wielomianach możemy wykonywać podstawowe działania algebraiczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie z resztą.

Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Przy dodawaniu i odejmowaniu wielomianów redukujemy wyrazy podobne, czyli wyrazy z takimi samymi potęgami zmiennej.

Przykład:

$$ (3x^3-2x^2+5x-1)+(x^3+4x^2-7x+6) $$

$$ =4x^3+2x^2-2x+5. $$

Mnożenie wielomianów

Przy mnożeniu wielomianów każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a następnie redukujemy wyrazy podobne.

Przykład:

$$ (x+2)(x^2-3x+4) $$

$$ =x(x^2-3x+4)+2(x^2-3x+4) $$

$$ =x^3-3x^2+4x+2x^2-6x+8 $$

$$ =x^3-x^2-2x+8. $$

Dzielenie wielomianu przez wielomian

Dzielenie wielomianów jest analogiczne do dzielenia pisemnego liczb. Jeżeli mamy wielomiany $W(x)$ i $P(x)$, przy czym $P(x)\neq 0$, to możemy zapisać

$$ W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x), $$

gdzie:

• $Q(x)$ jest ilorazem,
• $R(x)$ jest resztą z dzielenia,
• stopień reszty $R(x)$ jest mniejszy od stopnia dzielnika $P(x)$ albo reszta jest wielomianem zerowym.

Przykład. Podzielmy wielomian

$$ W(x)=x^3-2x^2-5x+6 $$

przez dwumian

$$ P(x)=x-3. $$

Wykonując dzielenie, otrzymujemy

$$ x^3-2x^2-5x+6=(x-3)(x^2+x-2)+0. $$

Oznacza to, że wielomian $x^3-2x^2-5x+6$ dzieli się przez $x-3$ bez reszty.

Schemat Hornera

Schemat Hornera jest wygodnym sposobem obliczania wartości wielomianu oraz dzielenia wielomianu przez dwumian postaci $x-a$.

Załóżmy, że chcemy podzielić wielomian

$$ W(x)=2x^3-3x^2-11x+6 $$

przez dwumian

$$ x-3. $$

W schemacie Hornera zapisujemy współczynniki wielomianu:

$$ 2,\quad -3,\quad -11,\quad 6. $$

Ponieważ dzielimy przez $x-3$, używamy liczby $3$.

Wynik schematu Hornera daje współczynniki ilorazu oraz resztę. Otrzymujemy:

$$ 2,\quad 3,\quad -2,\quad 0. $$

Stąd

$$ 2x^3-3x^2-11x+6=(x-3)(2x^2+3x-2). $$

Ostatnia liczba w schemacie Hornera jest resztą z dzielenia. Ponieważ tutaj reszta wynosi $0$, dzielenie jest dokładne.

Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta mówi, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x-a$ jest równa wartości tego wielomianu w punkcie $a$, czyli

$$ R=W(a). $$

Z twierdzenia tego wynika bardzo ważny wniosek:

Liczba $a$ jest miejscem zerowym wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x-a$.

Inaczej mówiąc:

$$ W(a)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-a)\mid W(x). $$

To twierdzenie jest jednym z podstawowych narzędzi przy rozkładaniu wielomianów na czynniki.

Rozkładanie wielomianów na czynniki

Rozłożyć wielomian na czynniki znaczy zapisać go w postaci iloczynu prostszych wielomianów. Najczęściej dążymy do tego, aby czynniki miały jak najniższe stopnie: liniowe albo kwadratowe.

Na przykład

$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). $$

Rozkład na czynniki pozwala łatwo znaleźć miejsca zerowe, uprościć ułamki algebraiczne, rozwiązywać nierówności wielomianowe oraz rozkładać funkcje wymierne na ułamki proste.

Przykład 1. Odgadywanie pierwiastka i dzielenie przez dwumian

Rozłóżmy na czynniki wielomian

$$ W(x)=x^3-6x^2+11x-6. $$

Sprawdzamy proste kandydatury na miejsca zerowe. Dla $x=1$ mamy

$$ W(1)=1-6+11-6=0. $$

Z twierdzenia Bézouta wynika, że wielomian jest podzielny przez $x-1$. Po podzieleniu otrzymujemy

$$ W(x)=(x-1)(x^2-5x+6). $$

Trójmian kwadratowy rozkładamy dalej:

$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). $$

Ostatecznie

$$ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3). $$

Przykład 2. Miejsce zerowe wielokrotne

Rozważmy wielomian

$$ P(x)=x^3-3x^2+3x-1. $$

Jest to wzór skróconego mnożenia:

$$ P(x)=(x-1)^3. $$

Wielomian ma jedno miejsce zerowe rzeczywiste:

$$ x=1, $$

ale jest ono miejscem zerowym trzykrotnym.

Przykład 3. Wielomian parzystego stopnia bez miejsc zerowych rzeczywistych

Weźmy wielomian

$$ W(x)=x^4+2x^2+1. $$

Możemy go zapisać jako

$$ W(x)=(x^2+1)^2. $$

Ponieważ $x^2+1>0$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$, wielomian ten nie ma miejsc zerowych rzeczywistych. Nad zbiorem liczb zespolonych rozkłada się jednak dalej, ponieważ $x^2+1=(x-i)(x+i)$.

Jak szukać kandydatów na pierwiastki wymierne?

Jeżeli wielomian ma współczynniki całkowite, to kandydatów na pierwiastki wymierne można często ograniczyć do skończonej listy. Dla wielomianu

$$ W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0 $$

potencjalne pierwiastki wymierne mają postać

$$ \frac{p}{q}, $$

gdzie $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$, a $q$ jest dzielnikiem współczynnika wiodącego $a_n$.

W szczególnym przypadku, gdy współczynnik wiodący jest równy $1$, sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego.

Przykład:

$$ W(x)=x^3+2x^2-5x-6. $$

Wyraz wolny to $-6$, więc kandydatami na pierwiastki całkowite są:

$$ \pm 1,\quad \pm 2,\quad \pm 3,\quad \pm 6. $$

Sprawdzamy:

$$ W(2)=8+8-10-6=0. $$

Zatem $x=2$ jest miejscem zerowym i możemy podzielić wielomian przez $x-2$.

Otrzymujemy

$$ W(x)=(x-2)(x^2+4x+3). $$

Drugi czynnik rozkłada się dalej:

$$ x^2+4x+3=(x+1)(x+3). $$

Ostatecznie

$$ W(x)=(x-2)(x+1)(x+3). $$

Co zrobić, gdy nie widać miejsca zerowego?

Nie każdy wielomian da się łatwo rozłożyć przez odgadnięcie pierwiastka. Czasami wielomian nie ma pierwiastków wymiernych, ale mimo to rozkłada się na czynniki kwadratowe. W takiej sytuacji można zastosować metodę współczynników nieoznaczonych.

Załóżmy, że chcemy rozłożyć wielomian czwartego stopnia

$$ W(x)=x^4-x^3+4x^2+3x+5. $$

Jeżeli nie znajdujemy pierwiastków rzeczywistych lub wymiernych, możemy podejrzewać rozkład na dwa trójmiany kwadratowe:

$$ W(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d). $$

Po wymnożeniu prawej strony dostajemy

$$ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) $$

$$ =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd. $$

Porównujemy współczynniki z wielomianem

$$ x^4-x^3+4x^2+3x+5. $$

Otrzymujemy układ równań:

$$ \begin{cases} a+c=-1,\\ ac+b+d=4,\\ ad+bc=3,\\ bd=5. \end{cases} $$

W tym przykładzie pasuje rozkład

$$ W(x)=(x^2+x+1)(x^2-2x+5). $$

Rzeczywiście:

$$ (x^2+x+1)(x^2-2x+5) $$

$$ =x^4-x^3+4x^2+3x+5. $$

Oba czynniki kwadratowe mają ujemne delty:

$$ \Delta_1=1-4=-3, $$

$$ \Delta_2=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16. $$

Dlatego wielomian nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, mimo że da się rozłożyć nad liczbami rzeczywistymi na czynniki kwadratowe.

Rozkład nad liczbami rzeczywistymi i zespolonymi

Wielomian o współczynnikach rzeczywistych może rozkładać się nad liczbami rzeczywistymi na czynniki liniowe i kwadratowe. Nad zbiorem liczb rzeczywistych nierozkładalne są takie trójmiany kwadratowe, które mają ujemną deltę.

Na przykład

$$ x^2+1 $$

nie rozkłada się na czynniki liniowe nad zbiorem liczb rzeczywistych. Natomiast nad zbiorem liczb zespolonych mamy

$$ x^2+1=(x-i)(x+i). $$

Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego o współczynnikach zespolonych ma przynajmniej jeden pierwiastek zespolony. W konsekwencji każdy wielomian stopnia $n$ nad liczbami zespolonymi można rozłożyć na $n$ czynników liniowych, licząc z krotnościami.

Dla wielomianów o współczynnikach rzeczywistych pierwiastki zespolone nierzeczywiste występują parami sprzężonymi. Jeżeli więc pierwiastkiem jest $2+3i$, to pierwiastkiem będzie także $2-3i$.

Wielomiany w matematyce wyższej

W szkole średniej wielomiany kojarzą się głównie z równaniami, nierównościami, rozkładem na czynniki i schematem Hornera. W matematyce wyższej ich rola jest znacznie szersza.

Wielomiany pojawiają się między innymi w:

• analizie matematycznej — przy rozwinięciach Taylora i Maclaurina,
• algebrze liniowej — przy wielomianach charakterystycznych macierzy,
• metodach numerycznych — przy interpolacji i aproksymacji funkcji,
• równaniach różniczkowych — przy metodach poszukiwania rozwiązań,
• statystyce i ekonometrii — przy modelach trendu wielomianowego.

Szczególnie ważna jest idea przybliżania funkcji wielomianami. W wielu sytuacjach funkcję bardziej skomplikowaną można lokalnie zastąpić odpowiednio dobranym wielomianem, co znacznie ułatwia obliczenia.

Najczęstsze błędy przy pracy z wielomianami

• Mylenie stopnia wielomianu z liczbą jego wyrazów.
• Pomijanie zerowych współczynników w schemacie Hornera, na przykład przy wielomianie $x^4-3x+1$ trzeba pamiętać o współczynnikach przy $x^3$ i $x^2$ równych zero.
• Zakładanie, że każdy wielomian parzystego stopnia ma miejsca zerowe rzeczywiste.
• Zakładanie, że brak pierwiastków wymiernych oznacza brak rozkładu na czynniki nad liczbami rzeczywistymi.
• Nieodróżnianie rozkładu nad liczbami rzeczywistymi od rozkładu nad liczbami zespolonymi.
• Błędne znaki przy korzystaniu z twierdzenia Bézouta: jeżeli pierwiastkiem jest $a$, to czynnikiem jest $x-a$, a nie $x+a$.

Podsumowanie

Wielomiany są jednymi z najważniejszych funkcji elementarnych. Mają prostą definicję, ale bardzo bogate własności. Ich dziedziną, przy rozpatrywaniu zmiennej rzeczywistej, jest cały zbiór liczb rzeczywistych, a wykres jest krzywą ciągłą i gładką.

Stopień wielomianu decyduje o wielu jego własnościach, między innymi o zachowaniu wykresu w nieskończoności. Wielomian stopnia nieparzystego musi mieć co najmniej jedno rzeczywiste miejsce zerowe, natomiast wielomian stopnia parzystego może nie mieć żadnych miejsc zerowych rzeczywistych.

Rozkładanie wielomianów na czynniki jest podstawowym narzędziem w algebrze. Wykorzystujemy do tego wzory skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów, twierdzenie Bézouta, schemat Hornera, dzielenie wielomianów oraz metodę współczynników nieoznaczonych. W bardziej zaawansowanych zagadnieniach ważne staje się również rozróżnienie między rozkładem nad liczbami rzeczywistymi i zespolonymi.

Zrozumienie wielomianów jest dobrym fundamentem do dalszej nauki matematyki: funkcji wymiernych, granic, pochodnych, całek, algebry liniowej, metod numerycznych i wielu innych działów.

Utworzono: 16.05.2026 | Zmodyfikowano: 18.05.2026

Macierze – część 2.

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Wprowadzenie

W pierwszej części artykułu o macierzach omówiliśmy podstawowe pojęcia: czym jest macierz, jakie są jej wymiary, kiedy można dodawać macierze, jak mnoży się macierz przez liczbę oraz jak wygląda mnożenie macierzy. Były to działania, które można wykonywać bez odwoływania się do wyznacznika.

W tej części przechodzimy krok dalej. Zajmiemy się operacjami, przy których pojawia się wyznacznik macierzy, a także takimi pojęciami jak macierz odwrotna i rząd macierzy. W praktyce są to zagadnienia, które bardzo często pojawiają się na kolokwiach z algebry liniowej, matematyki dla ekonomistów, metod ilościowych, ekonometrii czy statystyki matematycznej.

Od razu warto zaznaczyć jedną rzecz. Macierze nie są tylko abstrakcyjnym zapisem złożonym z nawiasów i liczb. Są one narzędziem do opisywania układów równań, przekształceń liniowych, zależności między zmiennymi, modeli ekonomicznych i wielu innych problemów. Dlatego warto rozumieć nie tylko „jak liczyć”, ale również „po co to liczymy”.

Spis treści

• Wyznacznik macierzy — przypomnienie idei
• Macierz odwrotna — co to właściwie znaczy?
• Obliczanie macierzy odwrotnej za pomocą dopełnień algebraicznych
• Przykład obliczania macierzy odwrotnej metodą dopełnień
• Macierz odwrotna metodą przekształceń elementarnych
• Która metoda obliczania macierzy odwrotnej jest lepsza?
• Rząd macierzy — podstawowa idea
• Rząd macierzy a układy równań
• Obliczanie rzędu macierzy metodą zerowania
• Przykład obliczania rzędu macierzy
• „Element, który zabija” — praktyczna obserwacja przy zerowaniu
• Rząd macierzy przez minory
• Rząd macierzy a macierz uzupełniona
• Macierz osobliwa i nieosobliwa
• Związek rzędu, wyznacznika i macierzy odwrotnej
• Najczęstsze błędy studentów
• Jak praktycznie uczyć się macierzy?
• Podsumowanie

Wyznacznik macierzy — przypomnienie idei

Wyznacznik jest liczbą przypisaną macierzy kwadratowej. To bardzo ważne: wyznacznik można obliczać tylko dla macierzy, która ma tyle samo wierszy co kolumn, czyli dla macierzy kwadratowej.

Jeżeli mamy macierz kwadratową stopnia drugiego:

\[ A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \]

to jej wyznacznik obliczamy według wzoru:

\[ \det A = ad-bc. \]

Dla macierzy stopnia trzeciego można używać reguły Sarrusa, natomiast dla większych macierzy stosujemy najczęściej rozwinięcie Laplace’a, przekształcenia elementarne albo metody oparte na sprowadzaniu macierzy do postaci trójkątnej.

W tym artykule nie będziemy szczegółowo powtarzać wszystkich metod obliczania wyznaczników, ale warto pamiętać o jednym: wyznacznik mówi nam między innymi, czy macierz kwadratowa jest odwracalna. Jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera, to macierz odwrotna istnieje. Jeżeli wyznacznik jest równy zero, macierz odwrotna nie istnieje.

Symbolicznie zapisujemy to tak:

\[ \det A \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad A^{-1} \text{ istnieje}. \]

Natomiast:

\[ \det A = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad A^{-1} \text{ nie istnieje}. \]

Macierz odwrotna — co to właściwie znaczy?

Macierz odwrotna jest odpowiednikiem odwrotności liczby. Dla zwykłej liczby, na przykład \(5\), odwrotnością jest \(\frac{1}{5}\), ponieważ:

\[ 5 \cdot \frac{1}{5}=1. \]

W przypadku macierzy sytuacja wygląda podobnie, tylko zamiast liczby \(1\) pojawia się macierz jednostkowa.

Macierz odwrotna do macierzy \(A\) to taka macierz \(A^{-1}\), że:

\[ A \cdot A^{-1}=I \]

oraz:

\[ A^{-1} \cdot A=I, \]

gdzie \(I\) oznacza macierz jednostkową, czyli macierz mającą jedynki na głównej przekątnej i zera poza nią.

Dla macierzy stopnia trzeciego macierz jednostkowa wygląda tak:

\[ I= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

W praktyce macierz odwrotna jest szczególnie ważna przy rozwiązywaniu układów równań liniowych. Jeżeli układ można zapisać w postaci:

\[ AX=B, \]

to po pomnożeniu obu stron przez macierz odwrotną otrzymujemy:

\[ X=A^{-1}B. \]

Oczywiście taki zapis ma sens tylko wtedy, gdy macierz \(A\) jest odwracalna, czyli gdy \(\det A \neq 0\).

Obliczanie macierzy odwrotnej za pomocą dopełnień algebraicznych

Klasyczna metoda obliczania macierzy odwrotnej wykorzystuje wyznacznik oraz dopełnienia algebraiczne. Jest to metoda bardzo plastyczna i dobrze pokazuje strukturę obliczeń, choć przy większych macierzach bywa pracochłonna.

Jeżeli macierz \(A\) jest macierzą kwadratową i \(\det A \neq 0\), to:

\[ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A), \]

gdzie \(\operatorname{adj}(A)\) oznacza macierz dołączoną, czyli transponowaną macierz dopełnień algebraicznych.

Procedura wygląda następująco:

1. Obliczamy wyznacznik macierzy \(A\).
2. Sprawdzamy, czy wyznacznik jest różny od zera.
3. Dla każdego elementu macierzy obliczamy jego dopełnienie algebraiczne.
4. Tworzymy macierz dopełnień algebraicznych.
5. Transponujemy tę macierz, otrzymując macierz dołączoną.
6. Mnożymy całość przez \(\frac{1}{\det A}\).

Dopełnienie algebraiczne elementu \(a_{ij}\) oznaczamy symbolem \(A_{ij}\) i obliczamy według wzoru:

\[ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, \]

gdzie \(M_{ij}\) jest minorem, czyli wyznacznikiem macierzy powstałej przez skreślenie \(i\)-tego wiersza i \(j\)-tej kolumny.

Znak \((-1)^{i+j}\) powoduje, że znaki dopełnień układają się według schematu:

\[ \begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}. \]

Ten szachownicowy układ znaków jest bardzo pomocny. Na korepetycjach często powtarzam, że przy macierzach stopnia trzeciego warto sobie ten schemat znaków zapamiętać, bo dzięki temu unikamy wielu drobnych, ale kosztownych błędów rachunkowych.

Przykład obliczania macierzy odwrotnej metodą dopełnień

Rozważmy macierz:

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}. \]

Najpierw obliczamy wyznacznik:

\[ \det A = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6=-2. \]

Ponieważ \(\det A=-2\neq 0\), macierz odwrotna istnieje.

Dla macierzy stopnia drugiego można skorzystać z gotowego wzoru:

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}. \]

W naszym przypadku:

\[ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}. \]

Czyli:

\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}. \]

Warto zauważyć, że w przypadku macierzy \(2 \times 2\) cały proces jest bardzo szybki. Dla macierzy \(3 \times 3\) metoda dopełnień algebraicznych nadal jest możliwa, ale robi się już dość długa. Dla macierzy większych zazwyczaj wygodniejsze są przekształcenia elementarne.

Macierz odwrotna metodą przekształceń elementarnych

Istnieje również bardzo praktyczna metoda obliczania macierzy odwrotnej, która nie wymaga bezpośredniego obliczania dopełnień algebraicznych. Polega ona na wykorzystaniu przekształceń elementarnych, podobnie jak przy eliminacji Gaussa.

Tworzymy rozszerzoną macierz postaci:

\[ [A \mid I], \]

czyli po lewej stronie wpisujemy macierz \(A\), a po prawej macierz jednostkową tego samego stopnia.

Następnie wykonujemy operacje elementarne na wierszach tak, aby po lewej stronie otrzymać macierz jednostkową. Jeżeli się to uda, to po prawej stronie pojawi się macierz odwrotna.

Symbolicznie wygląda to tak:

\[ [A \mid I] \longrightarrow [I \mid A^{-1}]. \]

Przykładowo dla macierzy:

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]

zaczynamy od macierzy:

\[ \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array} \right]. \]

Wykonujemy operację:

\[ W_2 \leftarrow W_2-3W_1. \]

Otrzymujemy:

\[ \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array} \right]. \]

Następnie dzielimy drugi wiersz przez \(-2\):

\[ W_2 \leftarrow -\frac{1}{2}W_2. \]

Dostajemy:

\[ \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right]. \]

Teraz zerujemy element nad jedynką w drugiej kolumnie:

\[ W_1 \leftarrow W_1-2W_2. \]

Ostatecznie:

\[ \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right]. \]

Po lewej stronie mamy macierz jednostkową, więc po prawej stronie znajduje się macierz odwrotna:

\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}. \]

Wynik jest oczywiście taki sam jak w metodzie z dopełnieniami algebraicznymi.

Która metoda obliczania macierzy odwrotnej jest lepsza?

To zależy od sytuacji. Dla macierzy \(2 \times 2\) najwygodniejszy jest gotowy wzór. Dla macierzy \(3 \times 3\) metoda dopełnień algebraicznych jest jeszcze dość przejrzysta, zwłaszcza gdy chcemy pokazać związek macierzy odwrotnej z wyznacznikiem. Natomiast dla większych macierzy metoda przekształceń elementarnych jest zwykle bardziej praktyczna.

W praktyce akademickiej spotkałem się z tym, że prowadzący wymagają konkretnej metody. Jeden prowadzący chce koniecznie dopełnienia algebraiczne, bo sprawdza znajomość teorii wyznaczników. Inny pozwala używać eliminacji Gaussa, bo interesuje go sprawność rachunkowa. Dlatego przed kolokwium warto sprawdzić, jakiej metody oczekuje prowadzący.

Rząd macierzy — podstawowa idea

Kolejnym bardzo ważnym pojęciem jest rząd macierzy. Intuicyjnie rząd macierzy informuje nas, ile wierszy lub kolumn jest od siebie naprawdę niezależnych.

Mówiąc bardziej formalnie, rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy lub kolumn. Można go również interpretować jako największy stopień niezerowego minora danej macierzy.

Rząd macierzy oznaczamy najczęściej symbolem:

\[ r(A) \]

albo:

\[ \operatorname{rank}(A). \]

Jeżeli macierz ma wymiary \(m \times n\), to jej rząd nie może być większy niż mniejsza z tych dwóch liczb:

\[ r(A)\leq \min(m,n). \]

Na przykład macierz \(5 \times 7\) może mieć rząd najwyżej \(5\), ponieważ ma tylko pięć wierszy. Macierz \(3 \times 10\) może mieć rząd najwyżej \(3\). Z kolei macierz \(6 \times 4\) może mieć rząd najwyżej \(4\).

Rząd macierzy a układy równań

Rząd macierzy ma ogromne znaczenie przy analizie układów równań liniowych. To właśnie na podstawie rang macierzy możemy stwierdzić, czy układ ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań, czy nie ma rozwiązań wcale.

Jeżeli układ zapisujemy w postaci:

\[ AX=B, \]

to interesują nas dwie macierze:

• macierz główna układu, czyli macierz współczynników \(A\),
• macierz uzupełniona, czyli macierz \([A \mid B]\).

Twierdzenie Kroneckera-Capellego mówi, że układ równań liniowych jest zgodny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej:

\[ r(A)=r([A \mid B]). \]

Jeżeli:

\[ r(A)\neq r([A \mid B]), \]

to układ jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania.

Jeżeli układ jest zgodny i rząd jest równy liczbie niewiadomych, to układ ma jedno rozwiązanie. Jeżeli rząd jest mniejszy od liczby niewiadomych, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od parametrów.

Obliczanie rzędu macierzy metodą zerowania

Jedną z najwygodniejszych metod obliczania rzędu macierzy jest metoda przekształceń elementarnych, potocznie nazywana często metodą zerowania. Polega ona na takim przekształcaniu macierzy, aby uzyskać jak najwięcej zer, a następnie łatwo odczytać liczbę niezerowych wierszy.

Dozwolone są następujące operacje elementarne na wierszach:

• zamiana dwóch wierszy miejscami,
• pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera,
• dodanie do jednego wiersza wielokrotności innego wiersza.

Analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach, jeżeli badamy samą macierz i interesuje nas wyłącznie jej rząd. Trzeba jednak zachować ostrożność przy macierzach uzupełnionych, o czym będzie mowa dalej.

Najczęściej dążymy do postaci schodkowej, czyli takiej, w której kolejne niezerowe wiersze zaczynają się coraz bardziej na prawo. Liczba niezerowych wierszy w tej postaci jest rzędem macierzy.

Przykład obliczania rzędu macierzy

Rozważmy macierz:

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \]

Widzimy od razu, że drugi wiersz jest dwukrotnością pierwszego:

\[ W_2=2W_1. \]

Możemy więc wykonać operację:

\[ W_2 \leftarrow W_2-2W_1. \]

Otrzymujemy:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \]

Następnie możemy wyzerować pierwszy element trzeciego wiersza:

\[ W_3 \leftarrow W_3-W_1. \]

Dostajemy:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}. \]

Po ewentualnej zamianie wierszy:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

Mamy dwa niezerowe wiersze, więc:

\[ r(A)=2. \]

W praktyce właśnie do tego najczęściej sprowadza się obliczanie rzędu: robimy zera, porządkujemy macierz i liczymy, ile zostało niezerowych wierszy.

„Element, który zabija” — praktyczna obserwacja przy zerowaniu

W obliczeniach macierzowych bardzo przydatna jest pewna praktyczna obserwacja. Jeżeli w jakimś wierszu albo kolumnie pojawi się tylko jeden element niezerowy, to często pozwala on bardzo uprościć rachunki.

Przy obliczaniu wyznacznika taki element jest szczególnie wygodny, ponieważ rozwinięcie Laplace’a względem tego wiersza lub tej kolumny zawiera wtedy tylko jeden niezerowy składnik. Potocznie można powiedzieć, że taki element „zabija” pozostałe składniki rozwinięcia, bo wszystkie pozostałe są mnożone przez zero.

Na przykład jeżeli w pewnej kolumnie mamy:

\[ \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}, \]

to rozwinięcie wyznacznika względem tej kolumny będzie zawierało tylko składnik związany z liczbą \(5\). To ogromnie skraca obliczenia.

Podobna intuicja przydaje się przy obliczaniu rzędu macierzy. Jeżeli uda nam się przez przekształcenia elementarne doprowadzić macierz do postaci, w której pewne wiersze lub kolumny mają bardzo dużo zer, łatwiej zauważyć, które fragmenty macierzy są jeszcze istotne, a które już nie wpływają na rząd.

Trzeba jednak uważać, żeby nie zamienić tej intuicji w niepoprawną regułę. Sam fakt, że w jakimś wierszu jest jeden element niezerowy, nie oznacza jeszcze automatycznie, że „rząd jest taki a taki”. Oznacza natomiast, że mamy bardzo dobry punkt zaczepienia do dalszych przekształceń albo do rozwinięcia wyznacznika.

Rząd macierzy przez minory

Rząd macierzy można też wyznaczać za pomocą minorów. Minor stopnia \(k\) to wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia \(k\), otrzymanej przez wybranie \(k\) wierszy i \(k\) kolumn z danej macierzy.

Rząd macierzy jest równy największemu stopniowi niezerowego minora.

Innymi słowy:

• jeżeli istnieje niezerowy minor stopnia \(3\), to rząd macierzy jest co najmniej \(3\),
• jeżeli wszystkie minory stopnia \(4\) są równe zero, to rząd macierzy jest mniejszy niż \(4\),
• największy niezerowy minor wskazuje rząd macierzy.

Metoda minorów jest dobra teoretycznie, ale w praktyce rachunkowej bywa uciążliwa, zwłaszcza przy większych macierzach. Jeżeli mamy macierz \(5 \times 7\), to sprawdzanie wielu minorów może być bardzo czasochłonne. Dlatego na ćwiczeniach i kolokwiach najczęściej wygodniejsza jest metoda zerowania.

Rząd macierzy a macierz uzupełniona

Osobnej uwagi wymaga sytuacja, w której badamy układ równań i pracujemy na macierzy uzupełnionej. Przykładowo układ:

\[ \begin{cases} x+2y=3,\\ 2x+4y=6 \end{cases} \]

ma macierz główną:

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \]

oraz macierz uzupełnioną:

\[ [A \mid B]= \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} \right]. \]

Przy przekształceniach wierszowych musimy wykonywać operacje na całych wierszach, razem z ostatnią kolumną. To jest bezpieczne, ponieważ odpowiada przekształcaniu równań układu.

Natomiast przy operacjach kolumnowych trzeba być ostrożnym. Jeżeli badamy samą macierz liczbową, to operacje na kolumnach zachowują rząd. Ale jeżeli macierz ma interpretację jako macierz uzupełniona układu równań, ostatnia kolumna ma szczególne znaczenie: jest kolumną wyrazów wolnych.

Dlatego w praktyce, przy analizie układów równań, najbezpieczniej jest wykonywać operacje na wierszach. Jeśli już wykonujemy operacje na kolumnach, to trzeba bardzo jasno rozumieć, co robimy. Szczególnie nie należy bezmyślnie „mieszać” kolumny wyrazów wolnych z kolumnami współczynników, bo można stracić interpretację pierwotnego układu.

Można to zapamiętać praktycznie tak: w macierzy uzupełnionej ostatnia kolumna nie jest zwykłą kolumną współczynników. Ona pełni rolę prawej strony układu. Dlatego nie używamy jej swobodnie do przekształcania kolumn współczynników, jeśli chcemy zachować sens układu równań.

Macierz osobliwa i nieosobliwa

Przy okazji macierzy odwrotnej warto wprowadzić dwa pojęcia: macierz osobliwa i macierz nieosobliwa.

Macierz kwadratowa jest nieosobliwa, jeżeli jej wyznacznik jest różny od zera:

\[ \det A \neq 0. \]

Wtedy macierz odwrotna istnieje.

Macierz kwadratowa jest osobliwa, jeżeli jej wyznacznik jest równy zero:

\[ \det A = 0. \]

Wtedy macierz odwrotna nie istnieje.

W języku praktycznym można powiedzieć, że macierz osobliwa zawiera pewną zależność między wierszami lub kolumnami. Na przykład jeden wiersz może być wielokrotnością innego albo kombinacją liniową innych wierszy. Wtedy macierz nie ma pełnej „niezależności” i nie da się jej odwrócić.

Związek rzędu, wyznacznika i macierzy odwrotnej

Dla macierzy kwadratowej stopnia \(n\) zachodzą bardzo ważne zależności:

• \(\det A \neq 0\),
• \(r(A)=n\),
• macierz \(A\) jest odwracalna,
• wiersze macierzy są liniowo niezależne,
• kolumny macierzy są liniowo niezależne.

Te warunki są równoważne. Oznacza to, że jeżeli jeden z nich jest spełniony, to pozostałe również są spełnione.

Dla przykładu, jeżeli mamy macierz \(3 \times 3\) i jej wyznacznik jest różny od zera, to od razu wiemy, że jej rząd wynosi \(3\) i że macierz odwrotna istnieje.

Jeżeli natomiast wyznacznik tej macierzy jest równy zero, to rząd jest mniejszy niż \(3\), a macierz odwrotna nie istnieje.

Najczęstsze błędy studentów

Przy macierzach bardzo często pojawiają się błędy rachunkowe i interpretacyjne. Najczęstsze z nich to:

• próba obliczania wyznacznika macierzy, która nie jest kwadratowa,
• zapominanie, że macierz odwrotna istnieje tylko wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera,
• mylenie macierzy odwrotnej z macierzą transponowaną,
• błędy znaków przy dopełnieniach algebraicznych,
• niepoprawne wykonywanie operacji elementarnych,
• liczenie rzędu przed doprowadzeniem macierzy do odpowiednio uproszczonej postaci,
• mieszanie kolumny wyrazów wolnych z kolumnami współczynników w macierzy uzupełnionej,
• traktowanie macierzy uzupełnionej jak zwykłej macierzy bez uwzględnienia jej znaczenia w układzie równań.

Z doświadczenia korepetytorskiego mogę powiedzieć, że najwięcej problemów nie wynika z samej trudności pojęcia macierzy, ale z niedokładności rachunkowej. Jeden źle przepisany minus, jedna pomylona kolumna albo jedna operacja wykonana tylko po jednej stronie macierzy rozszerzonej potrafi zepsuć całe zadanie.

Jak praktycznie uczyć się macierzy?

Najlepszym sposobem nauki macierzy jest rozwiązywanie zadań krok po kroku. Nie warto zaczynać od bardzo dużych macierzy. Lepiej najpierw dobrze opanować macierze \(2 \times 2\) i \(3 \times 3\), a dopiero potem przechodzić do większych przykładów.

Dobrze jest ćwiczyć osobno:

• obliczanie wyznaczników,
• obliczanie macierzy odwrotnej,
• sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej,
• obliczanie rzędu macierzy,
• analizę układów równań za pomocą macierzy głównej i uzupełnionej.

Warto też po każdym zadaniu sprawdzać wynik. Przy macierzy odwrotnej sprawdzenie jest bardzo proste: wystarczy pomnożyć macierz wyjściową przez otrzymaną macierz odwrotną. Jeżeli wynik daje macierz jednostkową, to najprawdopodobniej obliczenia są poprawne.

Przy rzędzie macierzy warto z kolei kontrolować, czy wykonywane operacje elementarne rzeczywiście zachowują rząd. Nie wolno na przykład pomnożyć wiersza przez zero, bo taka operacja niszczy informację zawartą w macierzy.

Podsumowanie

W drugiej części artykułu o macierzach omówiliśmy pojęcia i operacje związane z wyznacznikiem. Zobaczyliśmy, że wyznacznik pozwala stwierdzić, czy macierz kwadratowa jest odwracalna. Poznaliśmy klasyczną metodę obliczania macierzy odwrotnej za pomocą dopełnień algebraicznych oraz praktyczną metodę opartą na przekształceniach elementarnych.

Omówiliśmy również rząd macierzy, który informuje o liczbie niezależnych wierszy lub kolumn. Pokazaliśmy, jak obliczać rząd metodą zerowania, czyli przez sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej. Zwróciliśmy też uwagę na szczególne znaczenie macierzy uzupełnionej w układach równań liniowych.

Najważniejsze zależności, które warto zapamiętać, są następujące:

• wyznacznik obliczamy tylko dla macierzy kwadratowych,
• macierz odwrotna istnieje tylko wtedy, gdy \(\det A \neq 0\),
• rząd macierzy można obliczać przez sprowadzenie jej do postaci schodkowej,
• dla macierzy kwadratowej pełny rząd oznacza niezerowy wyznacznik i istnienie macierzy odwrotnej,
• przy macierzy uzupełnionej należy szczególnie uważać na kolumnę wyrazów wolnych.

Macierze są jednym z tych działów matematyki, które na początku mogą wydawać się mechaniczne, ale po pewnym czasie okazują się bardzo logiczne. Jeżeli pilnujemy zasad przekształceń, uważamy na znaki i rozumiemy sens wykonywanych operacji, większość zadań staje się po prostu uporządkowanym rachunkiem.

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Utworzono: 15.05.2026 | Zmodyfikowano: 18.05.2026

Całkowanie funkcji wymiernych

Wprowadzenie

W poprzedniej części poznaliśmy najważniejsze metody całkowania. Nadszedł czas na omówienie całkowania szczególnych typów funkcji. Jednym z rodzajów funkcji, z całkowaniem których studenci muszą się zmierzyć, są funkcje wymierne. Funkcje te omówione zostały w innym artykule. Tutaj zajmiemy się obliczaniem całek nieoznaczonych z tych funkcji.

Spis treści

• Całkowanie funkcji wymiernych
• Całkowanie ułamków prostych
• Podsumowanie

Całkowanie funkcji wymiernych

Dobra wiadomość związana z funkcjami wymiernymi jest taka, że każdą, bez wyjątku, funkcję wymierną da się scałkować za pomocą funkcji elementarnych. Nie zawsze jednak jest to proste. Kluczem do scałkowania funkcji wymiernych jest przede wszystkim ich rozkład. Funkcje wymierne niewłaściwe należy w pierwszej kolejności rozłożyć na sumę wielomianu, którego całka jest bardzo prosta do obliczenia — wystarczy bowiem tylko korzystać ze wzoru na całkę funkcji potęgowej, oraz funkcji wymiernej właściwej. Otrzymaną funkcję wymierną właściwą rozkładamy na ułamki proste i konkretną procedurę całkowania dopasowujemy do typu otrzymanego ułamka prostego.

Całkowanie ułamków prostych

Najprostsze do scałkowania są ułamki proste typu:

$$\frac A {(x - a)^p} \tag 1 \label {eq:1}$$

Dla $p=1$ całkę obliczamy jako logarytm naturalny:

$$ \int {\frac A {x - a}} \mathrm {dx} = A \cdot \ln |x - a| + C \tag 2 \label {eq:2} $$

Dla wyższych $p>1$ korzystamy ze wzoru na całkę funkcji potęgowej, pamiętając, że wykładnik jest liczbą ujemną:

$$ \int {\frac A {(x - a)^p}} \mathrm {dx} = A \cdot \int {(x - a)^{-p}} \,\mathrm {dx} = \frac {A}{1-p} \cdot (x-a)^{1-p} = - \frac A {(p-1)(x-a)^{p-1}} + C \tag 3 \label {eq:3} $$

Przykład 1

Obliczmy całkę z następującego ułamka prostego:

$$\int {\frac 5 {(x + 2)^4}} \,\mathrm{dx} = 5 \int (x+2)^{-4} \,\mathrm{dx} = - \frac {5} {3(x+2)^3} + C $$

Przykład 2

Obliczmy całkę z ułamka prostego:

$$\int {\frac 1 {(3x - 5)^2}} \,\mathrm{dx} = ...$$

Całkę obliczamy analogicznie jak w przykładzie 1, pamiętając, że mianownik jest wyrażeniem liniowym i dzielimy całkę przez stosowny współczynnik. Wspominaliśmy o tym w poprzednim artykule poświęconym całkom nieoznaczonym:

$$\int {\frac 1 {(3x - 5)^2}} \,\mathrm{dx} = - \frac 1 {3x - 5} \cdot \frac 1 3 = - \frac 1 {3(3x-5)} + C $$

Z formalnego punktu widzenia jest to po prostu całkowanie przez podstawienie:

$$\int {\frac 1 {(3x - 5)^2}} \,\mathrm{dx} = ... $$

$$\left | \begin{array}{l} t = 3x - 5 \\ \mathrm{dt}=3 \mathrm{dx} \\ \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 3 \end{array} \right. $$

$$... = \int \frac 1 {t^2} \cdot {\frac {\mathrm{dt}} 3} = \frac 1 3 \cdot \int t^{-2} \mathrm{dt} = - \frac 1 3 \cdot t^{-1} = - \frac 1 {3t} = - \frac 1 {3(3x-5)} + C $$

Zazwyczaj jednak tego rodzaju podstawienie wykonuje się „w pamięci”, w sposób analogiczny do obliczania pochodnej. Podkreślić jednak należy, że takie uproszczenie stosowane może być tylko do wyrażeń liniowych.

Nieco trudniej, ale nadal według schematu, oblicza się całki z ułamków prostych typu:

$$\frac {Ax + B} {ax^2 + bx + c} \tag 4 \label {eq:4} $$

gdzie wyrażenie $ax^2 + bx + c$ nie posiada miejsc zerowych. Gdyby wyrażenie (4) posiadało miejsca zerowe, wówczas nie byłoby ono ułamkiem prostym, gdyż dałoby się je — i należałoby! — rozłożyć na ułamki proste typu (1).

Jeśli jednak mianownik jest nierozkładalny, tj. $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ oraz $a>0$, wówczas ułamek prosty (4) należy rozłożyć na sumę wyrażeń:

$$\frac {Ax + B} {ax^2 + bx + c} = \alpha \cdot \frac {2ax + b} {ax^2 + bx + c} + \frac D {ax^2 + bx + c} \tag 5 \label {eq:5} $$

gdzie stałe $\alpha$ oraz $D$ dobieramy tak, aby zachodziła równość:

$$Ax+B=\alpha(2ax+b)+D$$

W pierwszym wyrażeniu licznik jest pochodną mianownika i wówczas:

$$\int \frac {2ax + b} {ax^2 + bx + c} \mathrm{dx} = \ln (ax^2 + bx + c) + C \tag 6 \label {eq:6}$$

co wynika bezpośrednio z metody całkowania przez podstawienie. Zauważmy, że w całce (6) argument logarytmu naturalnego nie jest ujęty w znak wartości bezwzględnej, gdyż wyrażenie $ax^2 + bx + c$ dla $a > 0$ i $\Delta<0$ jest zawsze dodatnie. W przypadku $a<0$ zawsze można skrócić/rozszerzyć ułamek przez $-1$.

Najciekawsze jednak jest całkowanie drugiego z wyrażeń sumy (5). Aby tego dokonać, należy przedstawić trójmian $ax^2 + bx + c$ w postaci kanonicznej. Najwygodniej zapisać ją w postaci:

$$ax^2+bx+c=a\left[(x-p)^2+q\right]$$

gdzie:

$$p=-\frac b {2a}, \qquad q=-\frac {\Delta}{4a^2}$$

Po takim przekształceniu współczynnik $a$ z mianownika, podobnie jak ewentualny współczynnik $D$ z licznika, wynosimy przed całkę. Otrzymujemy w rezultacie całkę typu:

$$\int \frac {\mathrm {dx}} {(x-p)^2 + q} \tag 7 \label {eq:7} $$

która, za pomocą „sprytnego” podstawienia, sprowadza się z łatwością do całki zawierającej $\arctg x$:

$$\int \frac {\mathrm {dx}} {(x-p)^2 + q} = ... $$

$$\left | \begin{array}{l} x - p = \sqrt q t \\ \mathrm{dx}= \sqrt q \mathrm{dt} \\ t = \frac {x-p} {\sqrt q} \end{array} \right. $$

$$... = \int \frac {{\sqrt q} \mathrm{dt}}{q t^2 + q} = \frac {\sqrt q} q \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{t^2+1} = \frac 1 {\sqrt q} \cdot \arctg t = \frac 1 {\sqrt q} \cdot \arctg {\frac {x-p}{\sqrt q}} + C \tag 8 \label {eq:8} $$

Takich „sztuczek” w całkowaniu jest więcej. Trudno na nie wpaść samemu — jeśli ktoś sam to wymyśli, śmiało może uważać się za następcę Eulera. My, zwykli śmiertelnicy, musimy się po prostu tego nauczyć.

Przykład 3

Obliczmy całkę:

$$\int \frac {x^2 -2x + 6} {x^2 + 4x + 5} \mathrm{dx} = ...$$

W pierwszej kolejności zauważyć należy, że funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną niewłaściwą — stopień wielomianu w liczniku jest równy stopniowi wielomianu w mianowniku. Aby ją scałkować, musimy najpierw rozłożyć ją na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Można zrobić to stosunkowo łatwo. Wystarczy tylko „sztucznie” rozpisać licznik:

$$\frac {x^2 -2x + 6} {x^2 + 4x + 5} = \frac {x^2 + 4x + 5 - 6x +1}{x^2 + 4x + 5} = \frac {x^2 + 4x + 5} {x^2 + 4x + 5} - \frac {6x-1}{x^2 + 4x + 5} = $$

$$= 1 - \frac {6x-1}{x^2 + 4x + 5} $$

Całka z $1$ to oczywiście $x+C$, zatem skupiamy się na całce:

$$\int \frac {6x-1}{x^2 + 4x + 5} \mathrm{dx} $$

Zauważmy, że gdyby licznik był postaci $2x+4$, wówczas całkę obliczylibyśmy błyskawicznie, według schematu wyrażonego wzorem (6). Licznik jest innej postaci, ale… dla chcącego nic trudnego. Najpierw sprawdźmy, czy mianownik posiada miejsce zerowe — gdyby tak było, otrzymana funkcja wymierna właściwa nie byłaby ułamkiem prostym i można byłoby ją rozłożyć na ułamki proste typu (1). U nas jednak:

$$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16-20=-4 < 0$$

Mianownik nie posiada zatem miejsc zerowych i nasza funkcja wymierna właściwa jest ułamkiem prostym. Co do pochodnej mianownika, zauważmy, że można zrobić tak:

$$\frac {6x-1}{x^2 + 4x + 5} = \frac {6x + 12 - 13}{x^2 + 4x + 5} = \frac {3 \cdot (2x + 4) - 13}{x^2 + 4x + 5} =$$

$$= 3 \cdot \frac {2x + 4}{x^2 + 4x + 5} - \frac {13} {x^2 + 4x + 5} $$

Bierzemy się więc za całkę:

$$\int \frac {\mathrm {dx}} {x^2 + 4x + 5} $$

Wyznaczamy postać kanoniczną. Ponieważ:

$$x^2+4x+5=(x+2)^2+1$$

otrzymujemy:

$$\int \frac {\mathrm {dx}} {x^2 + 4x + 5} = \int \frac {\mathrm {dx}} {(x+2)^2 + 1} = ... $$

Stosujemy podstawienie (8):

$$\left | \begin{array}{l} x + 2 = t \\ \mathrm{dx}= \mathrm{dt} \\ t = x+2 \end{array} \right. $$

$$... = \int \frac {\mathrm{dt} } {t^2+1} = \arctg t = \arctg {(x+2)} + C$$

Ostatecznie więc:

$$\int \frac {x^2 -2x + 6} {x^2 + 4x + 5} \mathrm{dx} = \int \left( 1 - 3 \cdot \frac {2x + 4}{x^2 + 4x + 5} + \frac {13} {x^2 + 4x + 5} \right) \mathrm{dx} = $$

$$= \int \mathrm{dx} -3 \cdot \int \frac {2x + 4}{x^2 + 4x + 5} \mathrm{dx} + 13 \cdot \int \frac {\mathrm{dx}}{x^2 + 4x + 5} = $$

$$ = x - 3 \cdot \ln (x^2 + 4x + 5) + 13 \cdot \arctg (x+2) + C $$

Najtrudniejszym do scałkowania typem ułamków prostych są ułamki proste:

$$\frac {Ax + B} {(ax^2 + bx + c)^p} \tag 9 \label {eq:9} $$

w których oczywiście $a>0$ oraz $\Delta=b^2-4ac<0$. Zauważmy jednak, że za pomocą podstawienia (8) można zawsze ułamek taki sprowadzić do postaci:

$$\frac {Ct + D} {(t^2 + 1)^p} \tag {10a} \label {eq:10a} $$

a finalnie, po „wyodrębnieniu” z licznika pochodnej mianownika, co sprowadzi całkę do wyliczenia całki z funkcji potęgowej, i wyłączeniu stałej przed całkę — do postaci:

$$\frac 1 {(t^2 + 1)^p} \tag {10b} \label {eq:10b} $$

I wówczas, do obliczenia całki nieoznaczonej z takiego ułamka, można zastosować wzór rekurencyjny.

Niech:

$$I_n = \int \frac {\mathrm {dx}}{(x^2+1)^n} \tag {11} \label {eq:11}$$

wówczas zachodzi¹:

$$I_n = \frac 1 {2n-2} \cdot \frac x {(x^2+ 1)^{n-1}} + \frac {2n-3}{2n-2} \cdot I_{n-1} \tag {12} \label {eq:12}$$

Wzór (12) umożliwia więc sekwencyjne obniżanie kłopotliwej potęgi w mianowniku, aż do otrzymania w wyrażeniu (9) $p=1$, co sprowadza całkę do arcusa tangensa.

Przykład 4

Obliczmy całkę:

$$\int \frac {x + 5}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm {dx}$$

Obliczamy wyróżnik wyrażenia w mianowniku: $\Delta = (-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2 = 4-8=-4<0$. Trójmian ten jest zatem nierozkładalny i wyrażenie podcałkowe jest ułamkiem prostym. Przekształćmy wyrażenie podcałkowe, aby wyłączyć z licznika pochodną mianownika, która ma postać $2x - 2$:

$$\frac {x + 5}{(x^2 - 2x + 2)^3} = \frac {x - 1 + 6}{(x^2 - 2x + 2)^3} = \frac 1 2 \cdot \frac {2x-2}{(x^2 - 2x + 2)^3} + \frac 6 {(x^2 - 2x + 2)^3}$$

Nasza całka zatem:

$$\int \frac {x + 5}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm {dx} = \frac 1 2 \cdot \int \frac {2x-2}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm{dx} + 6 \cdot \int \frac {\mathrm{dx}}{(x^2 - 2x + 2)^3}$$

Pierwszą z całek obliczamy przez proste podstawienie:

$$\int \frac {2x-2}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = x^2 - 2x + 2 \\ \mathrm{dt}= (2x - 2) \mathrm{dx} \end{array} \right. $$

$$... = \int \frac {\mathrm{dt}}{t^3} = \int t^{-3} \mathrm{dt} = \frac {t^{-2}}{-2} = - \frac 1 {2t^2} = -\frac 1 {2(x^2-2x+2)^2} + C$$

Drugą całkę musimy odpowiednio przekształcić. Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:

$$x^2-2x+2=(x-1)^2+1$$

Całka przyjmuje postać:

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{(x^2 - 2x + 2)^3} = \int \frac {\mathrm{dx}}{[(x-1)^2+1]^3} = ...$$

Stosujemy podstawienie (8) i do przekształconej całki stosujemy wzór rekurencyjny (12):

$$\left | \begin{array}{l} x - 1 = t \\ \mathrm{dx}= \mathrm{dt} \end{array} \right. $$

$$... = \int \frac {\mathrm{dt}}{(t^2+1)^3} = \frac 1 {2 \cdot 3 -2} \cdot \frac t {(t^2+1)^2} + \frac {2 \cdot 3 -3}{2 \cdot 3 - 2} \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{(t^2+1)^2} = $$

$$= \frac 1 4 \cdot \frac t {(t^2+1)^2} + \frac 3 4 \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{(t^2+1)^2} =... $$

Do uzyskanej całki ponownie stosujemy wzór rekurencyjny (12):

$$= \frac t {4(t^2+1)^2} + \frac 3 4 \cdot \left[ \frac 1 {2 \cdot 2 - 2} \cdot \frac t {t^2 + 1} + \frac {2 \cdot 2 - 3}{2 \cdot 2 - 2} \int \frac {\mathrm{dt}}{t^2+1} \right] = $$

$$= \frac t {4(t^2+1)^2} + \frac 3 4 \cdot \left[ \frac 1 2 \cdot \frac t {t^2 + 1} + \frac 1 2 \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{t^2+1} \right] = $$

$$= \frac t {4(t^2+1)^2} + \frac 3 8 \cdot \frac t {t^2 + 1} + \frac 3 8 \cdot \int \frac {\mathrm{dt}}{t^2+1} = $$

$$= \frac t {4(t^2+1)^2} + \frac {3t} {8(t^2 + 1)} + \frac 3 8 \cdot \arctg t = $$

$$= \frac {x-1} {4[(x-1)^2+1]^2} + \frac {3(x-1)} {8[(x-1)^2 + 1]} + \frac 3 8 \cdot \arctg (x-1) = $$

$$= \frac {x-1} {4(x^2-2x+2)^2} + \frac {3(x-1)} {8(x^2-2x+2)} + \frac 3 8 \cdot \arctg (x-1) + C $$

Ostatecznie zatem wyjściowa całka:

$$\int \frac {x + 5}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm {dx} = \frac 1 2 \cdot \int \frac {2x-2}{(x^2 - 2x + 2)^3} \mathrm{dx} + 6 \cdot \int \frac {\mathrm{dx}}{(x^2 - 2x + 2)^3} = $$

$$-\frac 1 {4(x^2-2x+2)^2} + \frac {3(x-1)} {2(x^2-2x+2)^2} + \frac {9(x-1)} {4(x^2-2x+2)} + \frac 9 4 \cdot \arctg (x-1) = $$

$$ = \frac {-1 + 6x - 6 + 9(x-1)(x^2-2x+2)} {4(x^2-2x+2)^2} + \frac 9 4 \cdot \arctg (x-1) = $$

$$ = \frac {-1 + 6x - 6 + 9(x^3-3x^2+4x-2)} {4(x^2-2x+2)^2} + \frac 9 4 \cdot \arctg (x-1) = $$

$$ = \frac {9x^3 - 27x^2 + 42x - 25} {4(x^2-2x+2)^2} + \frac 9 4 \cdot \arctg (x-1) + C $$

Całkowanie złożonych funkcji wymiernych

Całka nieoznaczona z funkcji wymiernej zawsze jest pewną kombinacją liniową funkcji wymiernej, logarytmu naturalnego funkcji liniowej, logarytmu naturalnego funkcji kwadratowej o wyróżniku ujemnym oraz arcusa tangensa funkcji liniowej.

W praktyce najtrudniejszą rzeczą przy całkowaniu funkcji wymiernej okazuje się rozłożenie mianownika na czynniki, niezbędne do rozłożenia funkcji podcałkowej na ułamki proste.

Przykład 5

Obliczmy całkę:

$$\int \frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5} \mathrm {dx}$$

Niewątpliwie jest to funkcja wymierna właściwa, gdyż stopień licznika wynosi 5, a stopień mianownika 6. Jednak funkcja ta nie nadaje się jeszcze do bezpośredniego scałkowania, gdyż trzeba najpierw rozłożyć ją na ułamki proste. Spróbujmy rozłożyć mianownik na czynniki. Mianownik jest wielomianem szóstego stopnia:

$$Q(x) = x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5$$

Zgodnie z własnościami wielomianów zmiennej rzeczywistej, wielomian ten może mieć od zera do sześciu miejsc zerowych. Jest to wielomian o współczynnikach całkowitych, a zatem jeśli ma on pierwiastki wymierne, to są one postaci $\frac p q$, gdzie $p \mid a_0$ oraz $q \mid a_n$. Symbole $a_0$ oraz $a_n$ oznaczają odpowiednio wyraz wolny wielomianu oraz współczynnik przy najwyższej potędze.

W naszym przypadku $a_n = a_6 = 1$, co oznacza, że wymiernymi pierwiastkami wielomianu $Q(x)$ mogą być tylko liczby całkowite, będące podzielnikami wyrazu wolnego $a_0 = 5$. W grę wchodzą zatem liczby $-5$, $-1$, $1$ oraz $5$. Sprawdzamy tych kandydatów, zaczynając od najprostszego, $x=1$:

$$Q(1) = 1^6 + 1^5 + 3 \cdot 1^4 + 10 \cdot 1^3 + 15 \cdot 1^2 + 13 \cdot 1 + 5 = 1 +1 + 3 + 10 + 15 + 13 + 5 = 48 \neq 0$$

Próba ta była z góry skazana na niepowodzenie wobec wyłącznie dodatnich współczynników wielomianu. Z tego powodu nie ma także sensu sprawdzać dla $x=5$. Sprawdźmy dla $x=-1$:

$$Q(-1) = (-1)^6 + (-1)^5 + 3 \cdot (-1)^4 + 10 \cdot (-1)^3 + 15 \cdot (-1)^2 + 13 \cdot (-1) + 5 = $$

$$ = 1 -1 + 3 - 10 + 15 - 13 + 5 = 0$$

A zatem — sukces. Na mocy twierdzenia Bezouta, jeśli liczba $p$ jest miejscem zerowym wielomianu, to dzieli się on bez reszty przez dwumian $x-p$. Nasz wielomian zatem dzieli się bez reszty przez dwumian $x+1$. Podzielmy go zatem:

Wiemy już, że nasz mianownik można przedstawić w postaci:

$$Q(x) = (x+1)(x^5 + 3x^3 + 7x^2 + 8x + 5)$$

Wciąż jednak kolejny czynnik jest czynnikiem stopnia piątego i wymaga rozkładu. Wielomian stopnia nieparzystego musi mieć co najmniej jedno miejsce zerowe. Nadal jedynymi wymiernymi kandydatami są $-5$, $-1$, $1$ oraz $5$, przy czym z pewnością nie jest nim $1$, gdyż po pierwsze, gdyby $x=1$ było miejscem zerowym wielomianu $S(x) = x^5 + 3x^3 + 7x^2 + 8x + 5$, to byłoby ono również miejscem zerowym „całego” wielomianu $Q(x)$, a poza tym, jak widać, żadna liczba dodatnia nie może być miejscem zerowym wielomianu o wszystkich współczynnikach dodatnich. Sprawdźmy więc $-1$. Wprawdzie już tę liczbę z sukcesem sprawdzaliśmy, ale może być ona podwójnym miejscem zerowym wielomianu $Q(x)$, w wyniku czego otrzymany czynnik $S(x)$ nadal będzie zerował się dla $x=-1$.

$$S(-1) = (-1)^5 + 3 \cdot (-1)^3 + 7 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) + 5 = -1 -3 + 7 -8 + 5 = 0$$

Bingo. Dzielimy zatem wielomian $S(x)$ przez dwumian $x+1$:

Można zatem przedstawić mianownik w postaci:

$$Q(x) = (x+1)^2(x^4 - x^3 + 4x^2 + 3x + 5)$$

Następnie próbujemy znaleźć miejsca zerowe wielomianu czwartego stopnia $T(x) = x^4 - x^3 + 4x^2 + 3x + 5$. Jedynymi „perspektywicznymi” kandydatami pozostają $x=-5$ oraz $x=-1$. Sprawdzamy zatem:

$$T(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 5 = 1 + 1 + 4 -3 + 5 = 8 \neq 0$$

Tym razem „sztuczka” z $-1$ się już nie udała. Próbujemy dalej:

$$T(-5) = (-5)^4 - (-5)^3 + 4 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) + 5 = 625 + 125 + 100 - 15 + 5 = 840 \neq 0$$

Niestety. Skoro żadna z liczb ze zbioru $\{ -5, -1, 1, 5 \} $ nie jest miejscem zerowym wielomianu $T(x)$, to możliwości są tylko dwie: albo wielomian ten posiada miejsca zerowe, ale są one liczbami niewymiernymi, albo też nie posiada on w ogóle miejsc zerowych. Jest to wielomian stopnia parzystego, a zatem możliwość taka również istnieje.

Jednak w dziedzinie rzeczywistej każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Spróbujmy zatem wielomian $T(x)$ rozłożyć następująco:

$$ x^4 - x^3 + 4x^2 + 3x + 5 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$$

Wymnażając prawą stronę, dostajemy:

$$ x^4 - x^3 + 4x^2 + 3x + 5 = x^4 + (a+c)x^3 + (b + ac + d)x^2 + (ad+bc)x + bd $$

Porównujemy współczynniki po obu stronach równania. Zakładając optymistycznie, że współczynniki $a$, $b$, $c$, $d$ są liczbami całkowitymi, wobec równości $bd = 5$ otrzymujemy tylko cztery możliwości: $b= -1 \wedge d= -5$; $b=1 \wedge d=5$; $b= -5 \wedge d= -1$; $b=5 \wedge d=1$. Dwie ostatnie możliwości są tożsame z dwiema pierwszymi, gdyż nie jest jeszcze wiadome, który z dwu czynników stopnia drugiego jest którym.

Weźmy $b= -1 \wedge d= -5$. Porównując współczynniki przy $x$ oraz przy $x^3$, dostajemy:

$$\left | \begin{array}{l} a + c = -1 \\ -5a - c = 3 \end{array} \right. $$

Stąd $-4a = 2$, a zatem $a = - \frac 1 2$ oraz $c = -\frac 1 2$. Przeczy to założeniu o całkowitości współczynników, ale jeszcze nie przesądza błędu w rozkładzie. Sprawdźmy współczynnik przy $x^2$:

$$b + ac + d = -1 + \left(-\frac 1 2\right) \cdot \left(-\frac 1 2\right) - 5 = -1 + \frac 1 4 - 5 = - \frac {23} 4 \neq 4$$

Para $b= -1 \wedge d= -5$ nie może zatem generować właściwych współczynników rozkładu wielomianu $T(x)$ na czynniki. Próbujemy z parą $b= 1 \wedge d= 5$.

Analogicznie porównujemy współczynniki przy $x^3$ oraz $x$:

$$\left | \begin{array}{l} a + c = -1 \\ 5a + c = 3 \end{array} \right. $$

Stąd $4a = 4$, zatem $a = 1$ oraz $c = -2$. Sprawdzamy współczynnik przy $x^2$ i dostajemy:

$$b + ac + d = 1 + 1 \cdot (-2) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$$

Udało się, dostaliśmy $T(x) = (x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5)$. Wobec czego mianownik wyjściowej funkcji wymiernej:

$$Q(x) = (x+1)^2(x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5)$$

Dla porządku należy obliczyć wyróżniki obu trójmianów kwadratowych, by sprawdzić, czy nie mają one niewymiernych miejsc zerowych, których nie mogliśmy znaleźć, gdyż poszukiwaliśmy wyłącznie miejsc zerowych wymiernych.

Wyróżnik pierwszego trójmianu: $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$

Wyróżnik drugiego trójmianu: $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16 < 0$

Oba trójmiany kwadratowe nie mają miejsc zerowych. Rozkład wielomianu $Q(x)$ jest zatem w dziedzinie rzeczywistej kompletny.

W celu scałkowania funkcji dokonujemy jej rozkładu na ułamki proste.

$$\frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5} = \frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{(x+1)^2(x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5)} = $$

$$ = \frac A {(x+1)^2} + \frac B {x+1} + \frac {Cx + D}{x^2 + x + 1} + \frac {Ex+F}{x^2 -2x + 5}$$

Mnożymy obie strony przez wspólny mianownik:

$$ x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3 \equiv A \cdot (x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5) + $$

$$+ B \cdot (x+1)(x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5) + (Cx + D) \cdot (x+1)^2(x^2 -2x + 5) + (Ex + F) \cdot (x+1)^2(x^2 + x + 1)$$

Współczynniki $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ znajdujemy albo wymnażając prawą stronę i porównując współczynniki przy potęgach, albo podstawiając w miejsce $x$ sześć dowolnych wartości. Najłatwiej podstawić $x=-1$:

$$(-1)^5 - 2 \cdot (-1)^4 + 3 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 + 3 \cdot (-1)+ 3 = A \cdot \left[ (-1)^2 + (-1) + 1 \right] \left[ (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 5 \right] $$

$$-7 = 8A $$ 

stąd $A = - \frac 7 8$.

Powtarzamy czynność dla $x=0$.

$$3 = 5A + 5B + 5D + F$$

skąd dostajemy:

$$5B + 5D + F = \frac {59} 8$$

Analogicznie podstawiając $x=1$, dostajemy:

$$7 = 12A + 24B + 16C + 16D + 12E + 12F$$

czyli, uwzględniając $A = - \frac 7 8$, dostajemy:

$$24B + 16C + 16D + 12E + 12F = \frac {35} 2$$

Podstawiając $x=2$, dostajemy:

$$29 = 35A + 105B + 90C + 45D + 126E + 63F$$

czyli:

$$105B + 90C + 45D + 126E + 63F = \frac {477} 8$$

Podstawiając $x = -2$, dostajemy:

$$-95 = 39A - 39B - 26C + 13D - 6E + 3F$$

skąd:

$$-39B - 26C + 13D - 6E + 3F = - \frac {487} 8$$

I wreszcie dla $x = 3$:

$$165 = 104A + 416B + 384C + 128D + 624E + 208F$$

skąd:

$$416B + 384C + 128D + 624E + 208F = 256$$

W celu wyznaczenia współczynników $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ rozwiązać musimy układ równań:

$$ \left \lbrace \begin{array}{l} 5B + 5D + F = \frac {59} 8 \\ 24B + 16C + 16D + 12E + 12F = \frac {35} 2 \\ 105B + 90C + 45D + 126E + 63F = \frac {477} 8 \\ -39B - 26C + 13D - 6E + 3F = - \frac {487} 8 \\ 416B + 384C + 128D + 624E + 208F = 256 \end{array} \right. $$

Rozwiązaniem tego układu jest:

$$B = \frac {33}{16}, \qquad C = - \frac {39}{37}, \qquad D = - \frac {17}{37}, \qquad E = - \frac {5}{592}, \qquad F = - \frac {379}{592}$$

Ostatecznie otrzymujemy więc rozkład:

$$\frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{(x+1)^2(x^2 + x + 1)(x^2 -2x + 5)} = - \frac {7}{8(x+1)^2} + \frac {33}{16(x+1)} - \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)} - \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)}$$

Możemy zatem wrócić do wyjściowej całki. Po rozkładzie na ułamki proste mamy:

$$\int \frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5} \mathrm {dx} = $$

$$= \int \left[- \frac {7}{8(x+1)^2} + \frac {33}{16(x+1)} - \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)} - \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)} \right] \mathrm {dx}$$

Pierwsze dwa składniki całkujemy natychmiast:

$$\int - \frac {7}{8(x+1)^2} \mathrm {dx} = - \frac 7 8 \int (x+1)^{-2} \mathrm {dx} = \frac {7}{8(x+1)}$$

oraz:

$$\int \frac {33}{16(x+1)} \mathrm {dx} = \frac {33}{16} \ln |x+1|$$

Pozostają nam dwa składniki z nierozkładalnymi trójmianami kwadratowymi w mianownikach. Zaczynamy od składnika:

$$- \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)}$$

Pochodna mianownika $x^2+x+1$ wynosi $2x+1$. Rozpisujemy zatem licznik tak, aby pojawiła się w nim ta pochodna:

$$39x+17 = \frac {39}{2}(2x+1) - \frac 5 2$$

Wobec tego:

$$- \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)} = - \frac {39}{74} \cdot \frac {2x+1}{x^2+x+1} + \frac {5}{74} \cdot \frac 1 {x^2+x+1}$$

Całka z pierwszego składnika jest logarytmem:

$$\int - \frac {39}{74} \cdot \frac {2x+1}{x^2+x+1} \mathrm {dx} = - \frac {39}{74} \ln (x^2+x+1)$$

Do obliczenia drugiej całki sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej:

$$x^2+x+1 = \left(x+\frac 1 2\right)^2 + \frac 3 4$$

Stąd:

$$\int \frac {\mathrm {dx}} {x^2+x+1} = \frac {2}{\sqrt 3} \arctg \frac {2x+1}{\sqrt 3}$$

Zatem:

$$\int - \frac {39x + 17}{37(x^2 + x + 1)} \mathrm {dx} = - \frac {39}{74} \ln (x^2+x+1) + \frac {5}{37\sqrt 3} \arctg \frac {2x+1}{\sqrt 3}$$

Analogicznie postępujemy z ostatnim składnikiem:

$$- \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)}$$

Pochodna mianownika $x^2-2x+5$ wynosi $2x-2$. Rozpisujemy licznik:

$$5x+379 = \frac 5 2 (2x-2) + 384$$

Wobec tego:

$$- \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)} = - \frac {5}{1184} \cdot \frac {2x-2}{x^2-2x+5} - \frac {384}{592} \cdot \frac 1 {x^2-2x+5}$$

Po skróceniu drugiego współczynnika:

$$- \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)} = - \frac {5}{1184} \cdot \frac {2x-2}{x^2-2x+5} - \frac {24}{37} \cdot \frac 1 {x^2-2x+5}$$

Całka z pierwszego składnika wynosi:

$$\int - \frac {5}{1184} \cdot \frac {2x-2}{x^2-2x+5} \mathrm {dx} = - \frac {5}{1184} \ln (x^2-2x+5)$$

Drugi składnik sprowadzamy do arcusa tangensa. Mamy bowiem:

$$x^2-2x+5 = (x-1)^2+4$$

zatem:

$$\int \frac {\mathrm {dx}} {x^2-2x+5} = \int \frac {\mathrm {dx}} {(x-1)^2+4} = \frac 1 2 \arctg \frac {x-1}{2}$$

Wobec tego:

$$\int - \frac {5x + 379}{592(x^2 -2x + 5)} \mathrm {dx} = - \frac {5}{1184} \ln (x^2-2x+5) - \frac {12}{37} \arctg \frac {x-1}{2}$$

Łącząc wszystkie otrzymane składniki, dostajemy ostatecznie:

$$\int \frac {x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 3}{x^6 + x^5 + 3x^4 + 10x^3 + 15x^2 + 13x + 5} \mathrm {dx} = $$

$$= \frac {7}{8(x+1)} + \frac {33}{16} \ln |x+1| - \frac {39}{74} \ln (x^2+x+1) + \frac {5}{37\sqrt 3} \arctg \frac {2x+1}{\sqrt 3} - $$

$$- \frac {5}{1184} \ln (x^2-2x+5) - \frac {12}{37} \arctg \frac {x-1}{2} + C$$

I to jest wynik końcowy. Jak widać, całka z dość groźnie wyglądającej funkcji wymiernej sprowadziła się ostatecznie do sumy funkcji wymiernej, logarytmów oraz arcusów tangensów.

Przykład 6

Po niewątpliwej „kobyle”, jaką okazała się nasza funkcja wymierna, dla rozluźnienia zrobimy dużo, dużo prostszą całkę — i to dwiema metodami.

$$\int \frac {2x + 7}{x^2 + 7x + 12} \mathrm{dx}$$

Sprawdźmy mianownik, obliczając wyróżnik:

$$\Delta=7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49-48=1$$

Posiada on miejsca zerowe. Wyznaczmy je. $\sqrt \Delta = 1$ i wobec tego: $x_1 = \frac {-7-1} 2 = -4$ oraz $x_2 = \frac {-7+1} 2 = -3$. Funkcję podcałkową można więc przedstawić jako:

$$\frac {2x + 7}{x^2 + 7x + 12} = \frac {2x + 7}{(x+4)(x+3)}$$

Oznacza to, że możemy rozłożyć ją na ułamki proste:

$$ \frac {2x + 7}{(x+4)(x+3)} = \frac A {x+4} + \frac B {x+3}$$

Po wymnożeniu obu stron przez wspólny mianownik dostajemy:

$$2x + 7 = A \cdot (x+3) + B \cdot (x+4)$$

Gdy każdy czynnik posiada miejsce zerowe, wyznaczenie współczynników jest „lekkie, łatwe i przyjemne”. Podstawiamy $x=-4$:

$$-1 = -A$$

skąd $A = 1$, a podstawiając $x=-3$:

$$1 = B$$

czyli $B = 1$.

Rozkład funkcji na ułamki proste wygląda następująco:

$$ \frac {2x + 7}{(x+4)(x+3)} = \frac 1 {x+4} + \frac 1 {x+3}$$

Całkę liczymy błyskawicznie:

$$\int \frac {2x + 7}{x^2 + 7x + 12} \mathrm{dx} = \int \left( \frac 1 {x+4} + \frac 1 {x+3} \right) \mathrm{dx} = $$

$$ = \int \frac {\mathrm{dx}}{x+4} + \int \frac {\mathrm{dx}}{x+3} = \ln {|x + 4|} + \ln {|x+3|} + C $$

Czy da się tę całkę zrobić inaczej? Zauważmy, że w naszej funkcji podcałkowej licznik jest pochodną mianownika, gdyż $(x^2 + 7x + 12)' = 2x + 7$. Korzystanie z tej zależności jest obowiązkowe, gdy mianownik jest nierozkładalny. Nie ma jednak ograniczenia wyłącznie do tej sytuacji — należy tylko pamiętać o jednej rzeczy:

$$\int \frac {2x + 7}{x^2 + 7x + 12} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin {array}{l} t = x^2 + 7x + 12 \\ \mathrm{dt} = (2x + 7) \mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = \int \frac {\mathrm{dt}} t = \ln |t| = \ln {|x^2 + 7x + 12|} + C$$

Zapis taki będzie poprawny pod warunkiem, że nie zapomnimy o ujęciu argumentu logarytmu w znak wartości bezwzględnej. Nasz trójmian kwadratowy posiada bowiem miejsca zerowe, a to oznacza, że przyjmuje też wartości ujemne, czego nie ma w przypadku braku miejsc zerowych, czyli ujemnej delty. Wtedy można, a nawet wypada (!), zastąpić znak wartości bezwzględnej zwykłym nawiasem. Poza tym uzyskany wynik jest zgodny z otrzymanym poprzednio, bo przecież:

$$\ln {|x^2 + 7x + 12|} = \ln {|(x+4)(x+3)|} = \ln {|x+4|} + \ln {|x+3|}$$

Postać z rozłożeniem na czynniki jest bardziej „elegancka” matematycznie, choć i bez tego powinien być komplet punktów na kolokwium, pod warunkiem, że nie zapomnimy o wartości bezwzględnej. Generalnie jednak nie należy w przypadku mianownika posiadającego rozkład na czynniki liniowe na siłę dopasowywać licznika do zgodności z pochodną mianownika, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach z trójmianem nierozkładalnym. Zostaniemy bowiem z całką typu:

$$\int \frac A {ax^2 + bx + c} \mathrm{dx}$$

którą i tak będziemy musieli rozłożyć na ułamki proste — a przecież tyle samo pracy wymaga rozłożenie wyjściowego wyrażenia.

Podsumowanie

Całkowanie funkcji wymiernych może na pierwszy rzut oka wyglądać groźnie, zwłaszcza wtedy, gdy w liczniku i mianowniku pojawiają się wielomiany wysokich stopni. W rzeczywistości jednak cała procedura jest dość schematyczna. Najpierw sprawdzamy, czy funkcja wymierna jest właściwa. Jeśli nie jest, wykonujemy dzielenie wielomianów. Następnie rozkładamy mianownik na czynniki i przedstawiamy funkcję jako sumę ułamków prostych.

Po wykonaniu tego rozkładu najtrudniejsza część zadania jest już zazwyczaj za nami. Każdy z otrzymanych ułamków prostych całkujemy według jednego z kilku poznanych schematów. Czynniki liniowe prowadzą najczęściej do logarytmów albo prostych potęg wyrażeń liniowych. Czynniki kwadratowe nierozkładalne prowadzą natomiast do logarytmów oraz funkcji arcus tangens.

Warto zauważyć, że w całkowaniu funkcji wymiernych nie ma właściwie żadnej magii. Jest za to sporo rachunków, w których łatwo o pomyłkę. Dlatego dobrze jest pilnować kolejności działań: najpierw rozkład mianownika, potem rozkład na ułamki proste, następnie wyznaczenie współczynników, a dopiero na końcu samo całkowanie. Próba skracania drogi bywa kusząca, ale często kończy się tym, że zamiast zaoszczędzić czas, trzeba szukać błędu w kilku linijkach obliczeń.

Najważniejszy wniosek jest jednak optymistyczny: każdą funkcję wymierną da się scałkować za pomocą funkcji elementarnych. Wynikiem może być kombinacja funkcji wymiernych, logarytmów naturalnych oraz arcusów tangensów. Nie zawsze będzie to wynik krótki i elegancki, ale zawsze można do niego dojść konsekwentnym stosowaniem opisanej procedury.

Na tym polega siła metod algebraicznych w analizie matematycznej. Z pozoru trudne zadanie z całkowania sprowadzamy do rachunkowego, choć czasem dość pracochłonnego, problemu rozkładu wielomianów i ułamków prostych. A gdy ten etap zostanie wykonany poprawnie, sama całka staje się już tylko sumą kilku dobrze znanych, elementarnych całek.

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Utworzono: 15.05.2026 | Zmodyfikowano: 18.05.2026

Struktury algebraiczne – grupy, pierścienie i ciała

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Struktury algebraiczne pozwalają opisywać zbiory wraz z wykonywanymi na ich elementach działaniami. Półgrupy, monoidy, grupy, pierścienie i ciała różnią się tym, jakie własności spełniają te działania: czy są łączne i przemienne, czy istnieje element neutralny oraz czy elementy mają swoje odwrotności.

Pojęcia te stanowią wspólny język wielu działów matematyki. Pojawiają się między innymi przy badaniu liczb, wielomianów, przekształceń, symetrii oraz macierzy i wyznaczników. W artykule przejdziemy od najprostszych struktur z jednym działaniem do pierścieni i ciał, w których rozpatruje się dwa działania.

Spis treści

• Czym jest struktura algebraiczna?
• Działanie wewnętrzne i domknięcie
• Najważniejsze własności działań
• Półgrupa
• Monoid
• Grupa
• Grupa abelowa
• Pierścień
• Pierścień przemienny
• Dziedzina całkowitości
• Ciało
• Algebra nad ciałem
• Tabela działania
• Przykłady i kontrprzykłady
• Jak rozpoznać strukturę algebraiczną?
• Uwagi terminologiczne
• Znaczenie i zastosowania
• Podsumowanie

Czym jest struktura algebraiczna?

Sama znajomość zbioru nie wystarcza jeszcze do określenia struktury algebraicznej. Potrzebna jest również informacja o działaniu lub działaniach, które można wykonywać na jego elementach.

Przykładowo zapis

\[(\mathbb{Z},+)\]

oznacza zbiór liczb całkowitych rozpatrywany wraz z dodawaniem. Ten sam zbiór z innym działaniem może tworzyć inną strukturę. Dlatego struktury \((\mathbb{Z},+)\) i \((\mathbb{Z},\cdot)\) należy rozpatrywać oddzielnie.

W zapisie ogólnym strukturę z jednym działaniem można przedstawić jako

\[(A,\circ),\]

gdzie \(A\) jest zbiorem, a symbol \(\circ\) oznacza działanie określone na jego elementach. Struktura z dwoma działaniami może być zapisana w postaci

\[(A,+,\cdot).\]

Na diagramie przedstawiono dwa powiązane, lecz różne ciągi pojęć. Półgrupa, monoid i grupa są strukturami z jednym działaniem. Pierścień oraz ciało mają natomiast dwa działania, które zwyczajowo nazywa się dodawaniem i mnożeniem.

Działanie wewnętrzne i domknięcie

Dwuargumentowym działaniem wewnętrznym w zbiorze \(A\) nazywamy przyporządkowanie każdej uporządkowanej parze elementów \(a,b\in A\) dokładnie jednego elementu należącego do tego samego zbioru:

\[\circ\colon A\times A\longrightarrow A.\]

Wynik działania zapisujemy jako \(a\circ b\). Warunek, że wynik ponownie należy do zbioru \(A\), nazywa się domknięciem zbioru względem działania.

Dodawanie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze liczb całkowitych, ponieważ dla dowolnych \(a,b\in\mathbb{Z}\) zachodzi

\[a+b\in\mathbb{Z}.\]

Dzielenie nie jest natomiast działaniem wewnętrznym w \(\mathbb{Z}\). Przykładowo

\[3:2=\frac{3}{2}\notin\mathbb{Z}.\]

Domknięcie zawsze należy sprawdzać względem konkretnego zbioru. To samo działanie może być wewnętrzne w jednym zbiorze i nie być wewnętrzne w innym.

Można również określać działania zewnętrzne. Przykładem jest mnożenie wektora przez skalar:

\[\mathbb{R}\times V\longrightarrow V.\]

Jeden argument pochodzi wtedy z ciała skalarów, a drugi z przestrzeni wektorowej.

Najważniejsze własności działań

O rodzaju struktury algebraicznej decydują własności jej działań. Najważniejsze z nich to łączność, przemienność, istnienie elementu neutralnego i odwrotnego oraz rozdzielność.

Łączność

Działanie \(\circ\) jest łączne, jeżeli dla dowolnych \(a,b,c\in A\) zachodzi

\[(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c).\]

Łączność oznacza, że sposób rozmieszczenia nawiasów nie zmienia wyniku. Dodawanie i mnożenie liczb są łączne. Odejmowanie nie jest łączne, ponieważ na przykład

\[(5-3)-1=1,\qquad 5-(3-1)=3.\]

Przemienność

Działanie jest przemienne, jeżeli

\[a\circ b=b\circ a\]

dla wszystkich \(a,b\in A\). Dodawanie liczb jest przemienne, natomiast odejmowanie nie jest. Mnożenie macierzy również na ogół nie jest przemienne:

\[AB\neq BA.\]

Element neutralny

Element \(e\in A\) jest elementem neutralnym działania \(\circ\), jeżeli dla każdego \(a\in A\)

\[a\circ e=e\circ a=a.\]

Dla dodawania liczb elementem neutralnym jest \(0\), ponieważ

\[a+0=0+a=a.\]

Dla mnożenia elementem neutralnym jest \(1\):

\[a\cdot1=1\cdot a=a.\]

Jeżeli dwustronny element neutralny istnieje, jest jednoznacznie wyznaczony.

Element odwrotny

Jeżeli \(e\) jest elementem neutralnym, to element \(b\) nazywamy odwrotnym do \(a\), gdy

\[a\circ b=b\circ a=e.\]

Element odwrotny do \(a\) oznacza się zazwyczaj symbolem \(a^{-1}\). W grupie addytywnej zamiast określenia „element odwrotny” często używa się nazwy element przeciwny i zapisuje go jako \(-a\):

\[a+(-a)=0.\]

W grupie multiplikatywnej odwrotnością liczby \(a\neq0\) jest

\[a^{-1}=\frac{1}{a}.\]

Rozdzielność

Rozdzielność dotyczy dwóch działań. Mnożenie jest lewostronnie rozdzielne względem dodawania, jeżeli

\[a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\]

a prawostronnie rozdzielne, jeżeli

\[(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c.\]

Jeżeli mnożenie nie jest przemienne, lewostronną i prawostronną rozdzielność trzeba rozpatrywać oddzielnie.

Półgrupa

Półgrupą nazywamy zbiór \(S\) z określonym działaniem wewnętrznym \(\circ\), które jest łączne:

\[(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\]

dla wszystkich \(a,b,c\in S\).

Półgrupa nie musi mieć elementu neutralnego. Jej działanie nie musi być również przemienne.

Przykładem półgrupy jest zbiór dodatnich liczb całkowitych z dodawaniem:

\[(\mathbb{Z}_{>0},+).\]

Dodawanie jest łączne, ale w zbiorze dodatnich liczb całkowitych nie występuje element neutralny \(0\).

Monoid

Monoid jest półgrupą mającą element neutralny. Struktura \((M,\circ)\) jest więc monoidem, jeżeli:

1. działanie \(\circ\) jest wewnętrzne,
2. działanie jest łączne,
3. istnieje element neutralny \(e\).

Przy konwencji, zgodnie z którą \(0\in\mathbb{N}\), struktura

\[(\mathbb{N},+)\]

jest monoidem. Elementem neutralnym jest \(0\). Nie jest to jednak grupa, ponieważ dodatnie liczby naturalne nie mają w \(\mathbb{N}\) elementów przeciwnych.

Monoidem jest również zbiór słów nad ustalonym alfabetem wraz z operacją ich łączenia. Elementem neutralnym jest słowo puste.

Grupa

Grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Struktura \((G,\circ)\) jest grupą, jeżeli spełnia następujące warunki:

1. dla każdych \(a,b\in G\) wynik \(a\circ b\) należy do \(G\),
2. działanie jest łączne,
3. istnieje element neutralny \(e\),
4. dla każdego \(a\in G\) istnieje \(a^{-1}\in G\), dla którego \(a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e\).

Podstawowym przykładem jest grupa liczb całkowitych z dodawaniem:

\[(\mathbb{Z},+).\]

Elementem neutralnym jest \(0\), a elementem przeciwnym do liczby \(a\) jest \(-a\).

Innym ważnym przykładem jest zbiór odwracalnych macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad ciałem \(K\):

\[\operatorname{GL}_n(K).\]

Działaniem grupowym jest mnożenie macierzy, elementem neutralnym jest macierz jednostkowa \(I\), a elementem odwrotnym do \(A\) jest macierz \(A^{-1}\). Macierz jest odwracalna dokładnie wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera.

Grupa abelowa

Grupa abelowa, nazywana również grupą przemienną, jest grupą, której działanie spełnia dodatkowy warunek

\[a\circ b=b\circ a.\]

Nazwa pochodzi od nazwiska norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela.

Grupami abelowymi są między innymi:

• \((\mathbb{Z},+)\),
• \((\mathbb{Q},+)\),
• \((\mathbb{R},+)\),
• \((\mathbb{C},+)\),
• dowolna przestrzeń wektorowa z dodawaniem wektorów.

Grupa macierzy odwracalnych \(\operatorname{GL}_n(K)\) dla \(n\geq2\) na ogół nie jest abelowa, ponieważ mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Pierścień

Pierścień jest strukturą z dwoma działaniami, zwyczajowo oznaczanymi przez \(+\) i \(\cdot\). Strukturę zapisujemy jako

\[(R,+,\cdot).\]

W przyjętej w tym artykule konwencji pierścień spełnia następujące warunki:

1. \((R,+)\) jest grupą abelową,
2. mnożenie jest łączne,
3. istnieje element neutralny mnożenia oznaczany przez \(1\),
4. mnożenie jest rozdzielne względem dodawania z lewej i prawej strony.

W pierścieniu każdy element ma zatem element przeciwny względem dodawania, ale nie każdy element musi mieć odwrotność względem mnożenia.

Klasycznym przykładem jest pierścień liczb całkowitych:

\[(\mathbb{Z},+,\cdot).\]

Każda liczba całkowita ma element przeciwny, ale na przykład liczba \(2\) nie ma w \(\mathbb{Z}\) odwrotności multiplikatywnej. Liczba \(\frac12\) nie należy bowiem do zbioru liczb całkowitych.

Ważnym przykładem jest również pierścień macierzy kwadratowych

\[M_n(K).\]

Dla \(n\geq2\) jest to na ogół pierścień nieprzemienny, ponieważ mogą istnieć macierze \(A\) i \(B\), dla których \(AB\neq BA\).

Pierścień przemienny

Pierścień przemienny jest pierścieniem, w którym mnożenie jest przemienne:

\[a\cdot b=b\cdot a.\]

Pierścieniami przemiennymi są między innymi:

• pierścień liczb całkowitych \(\mathbb{Z}\),
• pierścienie reszt \(\mathbb{Z}_n\),
• pierścień wielomianów \(K[x]\),
• pierścień funkcji rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem punktowym.

Pierścień wielomianów nad ciałem \(K\) jest przemienny, ale nie jest ciałem. Wielomian \(x\) nie ma bowiem odwrotności należącej do \(K[x]\).

Dzielniki zera

Niezerowy element \(a\) pierścienia nazywamy dzielnikiem zera, jeżeli istnieje niezerowy element \(b\), dla którego

\[a\cdot b=0\]

lub, w pierścieniu nieprzemiennym, \(b\cdot a=0\).

W pierścieniu \(\mathbb{Z}_6\) mamy

\[[2]\cdot[3]=[6]=[0].\]

Klasy reszt \([2]\) i \([3]\) są niezerowe, ale ich iloczyn jest równy zeru. Są więc dzielnikami zera.

Dziedzina całkowitości

Dziedziną całkowitości nazywamy pierścień przemienny z jedynką, w którym \(1\neq0\) i nie występują dzielniki zera.

Jeżeli \(a\neq0\), \(b\neq0\) i \(R\) jest dziedziną całkowitości, to

\[a\cdot b\neq0.\]

Dziedzinami całkowitości są:

• \(\mathbb{Z}\),
• pierścień wielomianów \(K[x]\) nad ciałem \(K\),
• każde ciało.

Pierścień \(\mathbb{Z}_n\) jest dziedziną całkowitości dokładnie wtedy, gdy \(n\) jest liczbą pierwszą.

Ciało

Ciało jest pierścieniem przemiennym, w którym każdy element niezerowy ma odwrotność względem mnożenia.

Dla ciała \(F\):

• \((F,+)\) jest grupą abelową,
• \((F\setminus\{0\},\cdot)\) jest grupą abelową,
• mnożenie jest rozdzielne względem dodawania,
• \(0\neq1\).

Najważniejsze przykłady ciał to:

• ciało liczb wymiernych \(\mathbb{Q}\),
• ciało liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\),
• ciało liczb zespolonych \(\mathbb{C}\),
• ciało reszt \(\mathbb{Z}_p\), gdy \(p\) jest liczbą pierwszą.

Liczby całkowite nie tworzą ciała, ponieważ nie każdy niezerowy element ma odwrotność należącą do \(\mathbb{Z}\). Liczby wymierne tworzą ciało, ponieważ dla każdego

\[a=\frac{p}{q}\neq0\]

istnieje odwrotność

\[a^{-1}=\frac{q}{p}\in\mathbb{Q}.\]

Algebra nad ciałem

Pojęcie algebry nad ciałem łączy własności pierścienia i przestrzeni wektorowej. Algebra \(A\) nad ciałem \(K\) jest przestrzenią wektorową nad \(K\), w której określono dodatkowo mnożenie elementów

\[A\times A\longrightarrow A.\]

Mnożenie powinno być zgodne z działaniami przestrzeni wektorowej. W szczególności dla \(\alpha\in K\) oraz \(a,b\in A\) zachodzi

\[(\alpha a)b=\alpha(ab)=a(\alpha b).\]

Przykładami algebr nad ciałem \(K\) są:

• algebra macierzy \(M_n(K)\),
• algebra wielomianów \(K[x]\),
• ciało liczb zespolonych \(\mathbb{C}\), rozpatrywane jako algebra nad \(\mathbb{R}\).

Algebra nie musi być przemienna. Algebra macierzy kwadratowych stopnia co najmniej drugiego jest podstawowym przykładem algebry nieprzemiennej.

Tabela działania

Działanie w skończonym zbiorze można przedstawić za pomocą tabeli działania, nazywanej również tabelą Cayleya. W komórce znajdującej się na przecięciu wiersza \(a\) i kolumny \(b\) umieszcza się wynik \(a\circ b\).

Poniższa tabela przedstawia dodawanie modulo \(4\) w zbiorze

\[\mathbb{Z}_4=\{0,1,2,3\}.\]

Z tabeli można odczytać, że:

• wyniki zawsze należą do \(\mathbb{Z}_4\), więc zbiór jest domknięty,
• elementem neutralnym jest \(0\),
• elementami przeciwnymi są pary \(1\) i \(3\), natomiast \(0\) i \(2\) są przeciwne same do siebie,
• tabela jest symetryczna względem głównej przekątnej, co wskazuje na przemienność.

Sama symetria tabeli nie dowodzi łączności. Łączność trzeba sprawdzić osobno albo wyprowadzić z własności znanego działania, którym w tym przypadku jest dodawanie klas reszt.

Przykłady i kontrprzykłady

Przy rozpoznawaniu struktur równie ważne jak przykłady są kontrprzykłady. Pozwalają one wskazać konkretny warunek, który nie jest spełniony.

Brak łączności

Aby wykazać, że działanie nie jest łączne, wystarczy znaleźć jeden kontrprzykład. Dla odejmowania:

\[(5-3)-1\neq5-(3-1).\]

Brak domknięcia

Zbiór liczb nieparzystych nie jest domknięty względem dodawania, ponieważ

\[3+5=8,\]

a liczba \(8\) nie jest nieparzysta.

Brak przemienności

Rozważmy macierze

\[ A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}. \]

Wówczas

\[ AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad BA=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}, \]

a zatem \(AB\neq BA\).

Jak rozpoznać strukturę algebraiczną?

Sprawdzanie, jaką strukturę tworzy dany zbiór, najlepiej prowadzić etapami.

1. Określ zbiór i działania. Sam zapis zbioru bez wskazania działania jest niewystarczający.
2. Sprawdź domknięcie. Wynik działania musi pozostawać w rozpatrywanym zbiorze.
3. Sprawdź łączność. Jest ona wymagana już w definicji półgrupy.
4. Znajdź element neutralny. Jego istnienie pozwala przejść od półgrupy do monoidu.
5. Sprawdź elementy odwrotne. Jeżeli ma je każdy element, monoid jest grupą.
6. Sprawdź przemienność. Grupa przemienna jest grupą abelową.
7. Przy dwóch działaniach zbadaj strukturę addytywną. Dodawanie w pierścieniu musi tworzyć grupę abelową.
8. Sprawdź mnożenie i rozdzielność. Mnożenie musi być łączne i rozdzielne względem dodawania.
9. Zbadaj dzielniki zera. Ich brak jest konieczny w dziedzinie całkowitości.
10. Sprawdź odwrotności elementów niezerowych. Jeżeli istnieją dla wszystkich takich elementów, otrzymujemy ciało.

Aby udowodnić, że własność zachodzi, trzeba przeprowadzić rozumowanie dla wszystkich dopuszczalnych elementów. Aby wykazać, że własność nie zachodzi, wystarczy jeden poprawny kontrprzykład.

Uwagi terminologiczne

Czy zero należy do liczb naturalnych?

W matematyce spotyka się dwie konwencje:

\[\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}\]

albo

\[\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}.\]

W tym artykule przyjmujemy pierwszą z nich. Dzięki temu \((\mathbb{N},+)\) ma element neutralny \(0\) i jest monoidem. Przy drugiej konwencji zbiór dodatnich liczb naturalnych z dodawaniem byłby jedynie półgrupą.

Czy pierścień musi mieć jedynkę?

W różnych podręcznikach można spotkać odmienne definicje pierścienia. Część autorów wymaga istnienia elementu neutralnego mnożenia, a część dopuszcza pierścienie bez jedynki.

W tym artykule przyjmujemy, że pierścień ma jedynkę. Pozwala to przedstawić przejrzysty ciąg:

\[\text{pierścień przemienny}\longrightarrow \text{dziedzina całkowitości}\longrightarrow \text{ciało}.\]

Znaczenie i zastosowania struktur algebraicznych

Struktury algebraiczne pozwalają dostrzec, że pozornie różne obiekty matematyczne mogą podlegać tym samym regułom. Twierdzenie udowodnione dla wszystkich grup można później zastosować zarówno do liczb, macierzy, permutacji, jak i symetrii figur.

Grupy wykorzystuje się między innymi do opisywania:

• symetrii figur i brył,
• permutacji elementów,
• przekształceń geometrycznych,
• macierzy odwracalnych,
• operacji stosowanych w kryptografii.

Pierścienie pojawiają się przy badaniu liczb całkowitych, wielomianów i macierzy. Ciała stanowią natomiast podstawę algebry liniowej, ponieważ współrzędne wektorów oraz elementy macierzy są zazwyczaj liczbami należącymi do ustalonego ciała.

Szczególnie ważnym przykładem jest ciało liczb zespolonych \(\mathbb{C}\). Liczby zespolone rozszerzają zbiór liczb rzeczywistych i umożliwiają między innymi rozwiązywanie wszystkich równań wielomianowych zgodnie z zasadniczym twierdzeniem algebry.

Podsumowanie

Struktury algebraiczne klasyfikuje się na podstawie działań i spełnianych przez nie własności. Półgrupa wymaga działania łącznego. Monoid ma dodatkowo element neutralny, a w grupie każdy element ma element odwrotny. Jeżeli działanie grupowe jest przemienne, otrzymujemy grupę abelową.

Pierścień ma dwa działania. Dodawanie tworzy grupę abelową, mnożenie jest łączne, a oba działania wiąże rozdzielność. Pierścień przemienny bez dzielników zera jest dziedziną całkowitości, natomiast w ciele każdy element niezerowy ma odwrotność względem mnożenia.

Znajomość tych pojęć ułatwia dalszą naukę algebry liniowej, teorii liczb, wielomianów oraz liczb zespolonych. Pozwala również rozpoznawać wspólne własności obiektów, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się zupełnie różne.

Najważniejsze zależności:

\[ \text{półgrupa} \longrightarrow \text{monoid} \longrightarrow \text{grupa} \longrightarrow \text{grupa abelowa} \]

\[ \text{pierścień} \longrightarrow \text{pierścień przemienny} \longrightarrow \text{dziedzina całkowitości} \longrightarrow \text{ciało}. \]

Utworzono: 04.05.2026 | Zmodyfikowano: 19.07.2026

Całki nieoznaczone – metody podstawowe

Wprowadzenie

Całkowanie to jeden ze wzbudzających najsilniejsze lęki działów analizy matematycznej na studiach wyższych. Całka to dość rozległe i wieloznaczne pojęcie i na studiach niematematycznych (np. na studiach politechnicznych) studenci zapoznają się tylko z niewielkim wycinkiem teorii związanej z całkami. Niniejszy artykuł jest pierwszym z serii artykułów dotyczących całek nieoznaczonych, czyli tych całek, od których studenci zaczynają swą całkową edukację i które wydają się najpowszechniej kojarzonym rodzajem całek.

Spis treści

• Co to jest całka nieoznaczona
• Wzory rachunku całkowego
• Całkowanie bezpośrednie
• Całkowanie przez podstawienie
• Całkowanie przez części
• Do zobaczenia w kolejnej części

Co to jest całka nieoznaczona

W skrócie, gdybyśmy ideę całki mieli przedstawić np. licealiście, całkę nieoznaczoną można potraktować jako pewien operator działający na funkcjach. Jest to takie „pudełko”, na wejściu którego podajemy jedną funkcję, a na wyjściu otrzymujemy rodzinę funkcji pierwotnych, różniących się między sobą o stałą. Funkcja w tym ujęciu to też pudełko, tyle że na wejściu mamy liczbę, a na wyjściu mamy inną liczbę. Zilustrowane to zostało na rysunkach 1 oraz 2.

Zrozumienie istoty całki nieoznaczonej wymaga poznania pojęcia pochodnej i różniczkowania funkcji jednej zmiennej. Jeśli znamy pojęcie pochodnej funkcji, całkę nieoznaczoną zdefiniować można jako operację odwrotną do obliczania pochodnej funkcji, czyli różniczkowania. Pochodna funkcji to po prostu takie samo „pudełko”, jak to przedstawione na rysunku 2, tyle że działające „w drugą stronę”.

Funkcja $F(x)$ nazywana jest funkcją pierwotną funkcji $f(x)$ lub całką nieoznaczoną z funkcji $f(x)$ w danym przedziale, jeśli w całym tym przedziale funkcja $f(x)$ jest pochodną funkcji $F(x)$, lub też – co jest równoznaczne – wyrażenie $f(x) \mathrm{dx}$ jest różniczką funkcji $F(x)$, tj.:

$$F'(x) = f(x) \tag {1a} \label {eq:{1a}}$$

oraz:

$$dF(x) = f(x) \mathrm{dx} \tag {1b} \label {eq:{1b}}$$

To, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania, nie oznacza, że jest ono podobnej skali trudności do różniczkowania. Jest, niestety, znacznie trudniejsze. Moim Klientom zawsze powtarzam, że różniczkowanie, czyli obliczanie pochodnych, porównać można do „rozkręcania” tradycyjnego, mechanicznego zegarka i zmienienia go w kupkę śrubek i trybików. Może to zrobić nawet małe dziecko – kto wie, może nawet Tobie, Drogi Czytelniku, się to przytrafiło. Ba, nawet niejeden, co sprytniejszy, przedstawiciel małp człowiekowatych tego bez problemu dokona, po krótkim szkoleniu.

Całkowanie tymczasem jest jak montowanie sprawnego zegarka z kupki śrubek i trybików. Prawda, że dużo trudniejsze? Mało tego. Każdy mechaniczny zegarek da się zamienić w kupkę śrubek i trybików, ale nie z każdej kupki śrubek i trybików da się zmontować sprawny zegarek. Dokładnie tak samo jest z różniczkowaniem i całkowaniem. By nauczyć się pochodnych, wystarczy poznać trochę wzorów, zrobić dosłownie kilka przykładów na różniczkowanie funkcji złożonej, by bez większego problemu zróżniczkować każdą funkcję elementarną.

Z całkowaniem jest inaczej. Tylko najprostsze przykłady mogą być wykonane w prosty sposób, zbliżony do różniczkowania. Ogromna większość funkcji wymaga poznania określonych „chwytów”. Nie wystarczy się nauczyć zasady, trzeba „kombinować”. To tak, jak z dowcipami typu „wisi na ścianie i śmierdzi” – mało kto wpadnie od razu na to, że chodzi o „zegar ze zdechłą kukułką”, ale jeśli raz już ktoś nam taką, lub podobną, zagadkę na jakiejś imprezie poda wraz z rozwiązaniem, przy kolejnej okazji będziemy już wiedzieć.

Nie ma więc innej drogi do nauczenia się całkowania, jak przerobienie wielu przykładów i zapamiętywanie, jakie to chwyty, tricki i sztuczki się tam pojawiały. Wówczas, gdy na egzaminie zobaczymy podobny przykład, otwieramy w głowie stosowną szufladkę i kojarzymy, że trzeba to zrobić tak czy tak.

Ale to nie wszystko. Okazuje się, że pewnych funkcji – i to całkiem banalnych, których pochodne obliczymy „z zamkniętymi oczami” – nie da się scałkować za pomocą funkcji elementarnych. Ściślej mówiąc, one posiadają swoje całki nieoznaczone, ale nie są to funkcje elementarne. Czyli nie da się ich zapisać w postaci znanych elementarnych symboli i funkcji matematycznych¹.

Przykładem takiej funkcji, której całki nie da się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych, jest np. całkiem niegroźnie wyglądająca funkcja:

$$f(x) = \mathrm e^{x^2}$$

albo też funkcje:

$\frac {\sin x} x $, $\frac {\cos x} x$, $\sin{x^2}$ czy $\cos{x^2}$

Do zapisywania całek nieoznaczonych z tych i podobnych funkcji opisano i wprowadzono do matematyki wyższej wiele nowych funkcji, jak funkcja błędu, funkcje Fresnela, sinus całkowy czy logarytm całkowy, ale nie są to funkcje elementarne.

Wzory rachunku całkowego

Wzory rachunku całkowego są w zasadzie odwróceniem wzorów rachunku różniczkowego. Są to dokładnie te same wzory, ale czytane „od drugiej strony”. Pomiędzy operacją różniczkowania a całkowania nieoznaczonego jest też jedna istotna różnica. Różniczkowanie jest jednoznaczne. Każda funkcja różniczkowalna posiada tylko jedną pochodną. Ale weźmy np. funkcję $f(x)=x^2$. Jak wiemy – np. po lekturze naszego artykułu o obliczaniu pochodnych – pochodną tej funkcji jest $f'(x)=2x$. Ale przecież jest to także pochodna innej funkcji – np. takiej: $g(x) = x^2 + 5$. Ona również ma pochodną $g'(x) = 2x$.

Funkcją pierwotną (całką nieoznaczoną) funkcji $f(x)=2x$ mogą być zatem zarówno funkcje $F(x)=x^2$, jak też $F(x)=x^2+5$, ba – nawet $F(x)=x^2 + \sin^2 x + \cos^2 x$ (bo przecież $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$).

Zatem całkowanie nieoznaczone nie jest jednoznaczne w zwykłym sensie, ale jest jednoznaczne z dokładnością do stałej. Dlatego też wzory rachunku całkowego zawsze podaje się z dodaniem stałej (zwyczajowo oznaczanej $C$) do funkcji po prawej stronie.

Inną rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest operator całkowania. Operatorem całkowania nie jest sam symbol $\int$, ale dopiero zestaw symboli: $\int\,\,\mathrm{dx}$, gdzie całkowana funkcja znajduje się w środku, pomiędzy znakiem $\int$ a wyrażeniem $\mathrm{dx}$, gdzie litera $x$ jest taka sama jak zmienna, po której całkujemy.

Wyrażenie $\mathrm{dx}$ nie tylko wskazuje na zmienną, po której aktualnie całkujemy (możemy całkować funkcję kilku zmiennych), ale jest ono elementarnym przyrostem tej zmiennej i gdy, korzystając z metody całkowania przez podstawienie, zamienimy zmienną $x$ na funkcję innej zmiennej, na zasadzie $x=g(t)$, to miejsce $\mathrm{dx}$ zajmie elementarny przyrost tej nowej zmiennej, czyli różniczka $g'(t)\mathrm{dt}$. To szalenie ważne – i należy sobie po prostu zakodować, że całka nieoznaczona to $\int\,\,\mathrm{dx}$.

Innymi słowy, gdyby potraktować sam tylko symbol $\int$ jako operator całkowania nieoznaczonego, to jego argumentem nie jest funkcja będąca pochodną wyznaczanej funkcji pierwotnej, ale różniczka funkcji pierwotnej. Całka nieoznaczona więc to jakby „przepis” na obliczenie sumy z różniczki funkcji. Ale skąd dokąd ta suma ma być liczona, to już jest przedmiotem innego działania matematycznego – całki oznaczonej, która nie jest funkcją, a właśnie sumą. Całki oznaczone jednak będą przedmiotem zupełnie innego artykułu.

Wzory wyrażające własności całki nieoznaczonej

W przeciwieństwie do wzorów rachunku różniczkowego, wzory rachunku całkowego podamy tylko w dwu zestawach: wzory określające własności całki nieoznaczonej oraz wzory na całki nieoznaczone konkretnych funkcji. Nie będziemy tu wyróżniać wzorów ważniejszych i mniej ważnych, bo aby się sprawnie poruszać w rachunku całkowym, musimy znać wszystkie te wzory.

W przypadku pochodnych bowiem procedura jest taka: patrzymy, jaką funkcję mamy zróżniczkować i dopasowujemy stosowny wzór. Jeśli „zapomniał” się nam on, to go sobie pomocniczo, „na boku”, wyprowadzamy. Obliczanie całek nieoznaczonych to jednak zupełnie inna bajka. Tutaj musimy, patrząc na funkcję podcałkową, od razu rozpoznać któryś ze znanych wzorów. Jeśli jakiegoś wzoru zapomnimy, to go tam po prostu nie zauważymy i nawet nie będziemy wiedzieli, co mamy wyprowadzić.

$$\int {a \cdot f(x)} \mathrm{dx} = a \cdot \int f(x) \mathrm{dx} \tag 2 \label {eq:2}$$

$$\int \left[ f(x) \pm g(x) \right] \mathrm{dx} = \int f(x) \mathrm{dx} \pm \int g(x) \mathrm{dx} \tag 3 \label {eq:3}$$

Wzór (2) to tzw. „wyłączanie stałej przed całkę”, a wzór (3) pozwala na obliczenie sumy bądź różnicy całek różnych funkcji. Wzory te określają liniowość całki nieoznaczonej i mogą być zastąpione jednym wzorem o bardziej ogólnym charakterze, tak samo jak miało to miejsce w przypadku wzorów rachunku różniczkowego:

$$\int \left[a \cdot f(x) + b \cdot g(x) \right] \mathrm{dx} = a \cdot \int f(x) \mathrm{dx} + b \cdot \int g(x) \mathrm{dx} \tag {3a} \label {eq:{3a}}$$

Wśród arsenału wzorów wyrażających własności całki nieoznaczonej nie znajdziemy, niestety, wzorów na całkę ilorazu bądź iloczynu funkcji. Sprawa nie jest taka prosta, że aby scałkować wyrażenie będące iloczynem bądź ilorazem, wystarczy użyć dedykowanego wzoru.

Istnieją jednak dwa „specjalne” wzory, będące swego rodzaju odwróceniem wzorów na pochodną iloczynu oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej, które to wzory są fundamentem dwu najważniejszych metod całkowania – metody całkowania przez podstawienie (zamianę zmiennej) oraz metody całkowania przez części.

Wzór na całkowanie przez podstawienie ma postać:

$$\int f \left[g(x) \right]g'(x) \mathrm{dx} = \int f(u) \mathrm {du} \tag 4 \label {eq:4}$$

gdzie: $u=g(x)$ jest funkcją mającą ciągłą pochodną, a $f(u)$ jest ciągła – przynajmniej w interesującym nas przedziale.² Choć tego na pierwszy rzut oka może nie być widać, wzór ten jest odwróceniem wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Wzór na całkowanie przez części, będący odwróceniem wzoru na pochodną iloczynu, ma następujące dwie najczęściej stosowane postaci:

$$\int f(x)g'(x) \mathrm {dx} = f(x) g(x) - \int f'(x)g(x) \mathrm{dx} \tag {5a} \label {eq:{5a}}$$

$$\int u \mathrm {dv} = uv - \int v \mathrm{du} \tag {5b} \label {eq:{5b}}$$

Osobiście jestem gorącym zwolennikiem drugiej z powyższych postaci (5b) i z takiej też postaci będziemy korzystali w niniejszym artykule. Oczywiście obie funkcje, tj. $f$ oraz $g$ (czyli odpowiednio $u$ oraz $v$), są funkcjami zmiennej $x$, posiadającymi ciągłe pochodne.

W literaturze podawany bywa także wzór:

$$\int \frac {f'(x)} {f(x)} \mathrm{dx} = \ln \left| f(x) \right| + C \tag 6 \label {eq:6}$$

ale nie jest to wzór, który można by określić mianem wzoru podstawowego. Jak się później okaże, wynika on ze wzorów (4) oraz (9) i stanowi niejako część metody całkowania przez podstawienie.

Wzory na całki konkretnych funkcji

Poniżej zestaw wzorów rachunku całkowego.

$$\int 0 \,\mathrm{dx}= C \tag 7 \label {eq:7}$$

$$\int x^a \mathrm{dx} = \frac {x^{a+1}}{a+1} + C, \,\,\text{dla}\,a \neq -1 \tag 8 \label {eq:8}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}} x = \ln |x| + C \tag 9 \label {eq:9}$$

$$\int \mathrm e^x \mathrm{dx} = \mathrm e^x + C \tag {10} \label {eq:{10}}$$

$$\int a^x \mathrm{dx} = \frac {a^x}{\ln a} + C, \quad a>0,\ a\neq 1 \tag {11} \label {eq:{11}}$$

$$\int \sin x \mathrm{dx} = -\cos x + C \tag {12} \label {eq:{12}}$$

$$\int \cos x \mathrm{dx} = \sin x + C \tag {13} \label {eq:{13}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\cos^2 x} = \tg x + C \tag {14} \label {eq:{14}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sin^2 x} = -\ctg x + C \tag {15} \label {eq:{15}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = -\arccos x + C \tag {16} \label {eq:{16}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{x^2+1} = \arctg x + C = -\arcctg x + C \tag {17} \label {eq:{17}}$$

$$\int \sinh x \mathrm{dx} = \cosh x + C \tag {18} \label {eq:{18}}$$

$$\int \cosh x \mathrm{dx} = \sinh x + C \tag {19} \label {eq:{19}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\cosh^2 x} = \tgh x + C \tag {20} \label {eq:{20}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sinh^2 x} = -\ctgh x + C \tag {21} \label {eq:{21}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sqrt{1+x^2}} = \arsinh x + C = \ln \left(x + \sqrt{x^2+1} \right) + C \tag {22} \label {eq:{22}}$$

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sqrt{x^2-1}} = \arcosh x + C = \ln \left| x + \sqrt{x^2-1} \right| + C \tag {23} \label {eq:{23}}$$

We wzorze (7) można zapisać czynnik $\mathrm{dx}$, choć funkcją podcałkową jest zero, więc nie ma on praktycznego znaczenia. Zauważmy, że wzór (8) to odwrócenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej. To bodaj najważniejszy wzór rachunku całkowego. Często zdarza się, że np. w kursie statystyki matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa (probabilistyki) w pewnym momencie studenci dostają zadania, gdzie występuje całka. W zasadzie zawsze w takim wypadku będzie jakaś funkcja potęgowa, ewentualnie funkcja wykładnicza.

Zauważmy, że w przeciwieństwie do wzoru na pochodną funkcji potęgowej: $\left(x^a \right)' = ax^{a-1}$, który bierze pod uwagę absolutnie wszystkie potęgi: dodatnie, ujemne, ułamkowe – nawet z potęgą zerową sobie poradzi – wzór (8) nie poradzi sobie z potęgą $-1$, tj. nie da się za jego pomocą policzyć całki nieoznaczonej z funkcji $f(x) = \frac 1 x$. Całka ta wymaga odrębnego wzoru, niejako „dedykowanego” dla potęgi $-1$, czyli wzoru (9). Zwróćmy przy tym uwagę na wartość bezwzględną występującą po prawej stronie. Jest to odwrócenie „rozszerzonego” wariantu wzoru na pochodną z logarytmu naturalnego, wg którego $\left( \ln|x| \right)' = \frac 1 x$.

Warto też przyzwyczaić się do stosowanej w zapisie wzorów (9), (14), (15) i podobnych konwencji pisania $\mathrm{dx}$ w liczniku ułamka. We wzorach, w których występują mianowniki bądź pierwiastki, należy poczynić stosowne zastrzeżenia co do dziedziny, które na ogół korespondują z zastrzeżeniami co do dziedziny funkcji po prawej stronie wzoru. Przykładowo we wzorze (16) musi być spełniony warunek $-1 < x < 1$, który gwarantuje zarówno istnienie w zbiorze liczb rzeczywistych wartości występującego w tym wzorze pierwiastka w mianowniku, jak też funkcji $\arcsin$ bądź $\arccos$, choć dla nich warunek mógłby być nieco mniej restrykcyjny ($-1 \leq x \leq 1$).

Zresztą godne zwrócenia uwagi jest też alternatywne wyrażenie całek ze wzorów (16) oraz (17) poprzez, odpowiednio, $\arcsin x$ bądź $\arccos x$ oraz $\arctg x$ bądź $\arcctg x$. W praktyce niemal zawsze wykorzystuje się wariant bez „arkus kofunkcji”, czyli odpowiednio $\arcsin x$ i $\arctg x$, jako że są one bardziej „eleganckie” od swoich „kofunkcyjnych braci”, choćby ze względu na symetryczny zbiór wartości oraz rosnącą monotoniczność.

We wzorze (23) należy pamiętać, że zapis z $\arcosh x$ odnosi się do rzeczywistej funkcji odwrotnej określonej standardowo dla $x \geq 1$, natomiast zapis logarytmiczny z wartością bezwzględną pozwala wygodnie opisywać odpowiednie przedziały rzeczywiste, na których wyrażenie podcałkowe ma sens.

Całkowanie bezpośrednie

Odnosząc się do naszej analogii ze składaniem zegarka, zadania na całkowanie bezpośrednie porównać można do składania zestawu, gdzie mamy złożony cały werk, a należy np. przykręcić cyferblat i wskazówki. Najprostszy wariant takiego zadania to po prostu funkcja żywcem wyjęta ze wzorów (7)–(23), ewentualnie ich suma bądź różnica z jakimiś współczynnikami. Spróbujmy zrobić kilka takich przykładów:

Przykład 1

Wyznaczyć całkę nieoznaczoną funkcji $f(x) = 2x^2 - 5\mathrm e^x + 4 \sin x$.

Oczywiście tutaj korzystamy z wyłączania stałej przed całkę (wzór 2), całki sumy/różnicy (wzór 3), a także ze wzorów (8), (10) oraz (12):

$$\int \left( 2x^2 - 5\mathrm e^x + 4\sin x \right) \mathrm{dx} = 2\int x^2 \mathrm{dx} - 5 \int \mathrm e^x \mathrm{dx} + 4 \int \sin x \mathrm{dx} = $$

$$= 2 \cdot \frac {x^3} 3 - 5 \mathrm e^x + 4 \cdot (-\cos x) = \frac 2 3 \cdot x^3 - 5 \mathrm e^x - 4 \cos x + C$$

Zwyczajowo stałą całkowania $C$ dopisuje się dopiero na samym końcu, choć formalnie należałoby ją pisać, gdy tylko zniknie ostatni znak całki w sumie całek. Często też całkę taką robi się bez rozpisywania explicite sumy całek, po prostu robiąc to w pamięci i zapis wygląda wówczas tak:

$$\int \left( 2x^2 - 5\mathrm e^x + 4\sin x \right) \mathrm{dx} = 2 \cdot \frac {x^3} 3 - 5 \mathrm e^x + 4 \cdot (-\cos x)= $$

$$= \frac 2 3 x^3 - 5 \mathrm e^x - 4 \cos x + C$$

Przykład 2

Czasem może się zdarzyć, że bezpośrednia całka będzie nieco bardziej „zakamuflowana”. Obliczmy całkę z takiej funkcji $f(x) = \frac {x^2 + 2} {x^2 +1}$. Funkcja ta jest funkcją wymierną i dla takich funkcji dedykowany jest dość złożony algorytm, który będzie przedmiotem innego artykułu. W tym jednak przypadku można to rozwiązać stosunkowo prosto. Zauważmy bowiem, że:

$$ \frac {x^2 + 2} {x^2 +1} = \frac {x^2 + 1 + 1} {x^2 +1} = \frac {x^2 + 1} {x^2 +1} + \frac 1 {x^2 +1}= 1 + \frac {1} {x^2 +1}$$

Ten bardzo prosty przykład to już wprowadzenie w „klimaty” całkowania, czyli przykład typowego dla obliczania całek „kombinowania na wszelkie sposoby”. Czyli obliczamy naszą całkę tak:

$$\int \frac {x^2 + 2} {x^2 +1} \mathrm{dx} = \int \frac {x^2 + 1 + 1} {x^2 +1} \mathrm{dx} = \int \left( 1 + \frac 1 {x^2 +1} \right) \mathrm{dx} =$$

$$ = \int \mathrm{dx} + \int \frac {\mathrm{dx}}{x^2 + 1} = x + \arctg x + C $$

Przykład 3

Czasem, aby obliczyć całkę bezpośrednio, należy się „pobawić” w tożsamości trygonometryczne. Spróbujmy obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji $f(x) = \tg^2(x)$. W pierwszej chwili konsternacja. Jak to, to jest całka obliczana bezpośrednio? Przecież nie ma wzoru na całkę z tangensa? Nie ma. A nawet gdyby był, mógłby się niewiele przydać, gdyż funkcją podcałkową jest kwadrat tangensa. Ale wystarczy zrobić tak:

$$\int \tg^2 x \mathrm{dx} = \int \frac {\sin^2 x}{\cos^2 x} \mathrm{dx} =\int \frac {1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} \mathrm{dx} =$$

$$=\int \left( \frac 1 {\cos^2 x} - \frac {\cos^2 x}{\cos^2 x} \right) \mathrm{dx} =\int \left( \frac 1 {\cos^2 x} - 1 \right) \mathrm{dx} =$$

$$ =\int \frac {\mathrm{dx}} {\cos^2 x} - \int \mathrm{dx} = \tg x - x + C$$

A zatem obliczenie całki wymagało skorzystania z zależności pomiędzy tangensem a sinusem i cosinusem oraz z „jedynki trygonometrycznej”, dzięki której możliwe stało się przekształcenie licznika: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Przykład 4

Obliczmy całkę nieoznaczoną z funkcji $f(x) = \frac {\cos 2x}{\cos x - \sin x}$. Pomocny będzie tutaj wzór na cosinus podwojonego kąta: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$$\int \frac {\cos 2x}{\cos x - \sin x} {\mathrm{dx}} = \int \frac {\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x} {\mathrm{dx}} = $$

$$ = \int \frac {\cancel {(\cos x - \sin x)}(\cos x + \sin x)}{\cancel{\cos x - \sin x}} {\mathrm{dx}} = $$

$$ = \int \left(\cos x + \sin x \right)\mathrm{dx}= \sin x - \cos x + C$$

Przykład 5

A teraz „klasyka” całkowania bezpośredniego. Czyli „funkcja pseudowymierna”, tj. wyrażenie zawierające pierwiastki z $x$ oraz potęgi $x$. Ważne, by rozróżniać podobne zadania. Otóż jeśli pierwiastki są tylko z $x$, a nie z wyrażeń zawierających $x$, oraz jeśli w mianowniku jest tylko jedno wyrażenie (jakiś pierwiastek z $x$, jakaś jego potęga czy ich iloczyn), ale nie ma tam sumy takich wyrażeń, to jest to niewątpliwie zadanie na całkowanie bezpośrednie i to przy wykorzystaniu wyłącznie „osławionego” wzoru (8) lub (9) w przypadku wystąpienia wykładnika $-1$.

W naszym przypadku niech będzie to taka funkcja:

$$f(x) = \frac {\sqrt x - 2 x \sqrt[3] {x^2} + 3 \sqrt[4] {5x^3}}{6 x \sqrt[3] x}$$

Z pozoru wygląda koszmarnie, ale wszystkie sumowane wyrażenia w liczniku są de facto potęgami $x$, a w mianowniku jest jedna tylko taka potęga. Oznacza to, że podstawowe wzory rachunku całkowego wystarczą nam w zupełności. Gdyby w mianowniku również pojawiła się jakaś suma (różnica), to poza trywialnymi przypadkami, gdzie dałoby się w liczniku wyłączyć taką samą sumę i skrócić, oznaczałoby to, że mamy do czynienia z zadaniem na całkowanie przez podstawienie, takim jak w przykładzie 12.

Gdyby pierwiastki nie były z $x$, ale z jakichś wyrażeń, to byłaby już raczej wyższa – dużo wyższa – szkoła jazdy (całkowanie funkcji niewymiernych). A u nas sprawa jest prosta. Należy rozbić wyrażenie podcałkowe na sumę pierwiastków o wspólnym mianowniku i dokonać uproszczeń, wykorzystując właściwości potęg.

$$ \int \frac {\sqrt x - 2 x \sqrt[3] {x^2} + 3 \sqrt[4] {5x^3}}{6 x \sqrt[3] x} \mathrm{dx} = $$

$$ \int \left( \frac {\sqrt x}{6 x \sqrt[3] x} - \frac {2 x \sqrt[3] {x^2}}{6 x \sqrt[3] x} + \frac {3 \sqrt[4] {5x^3}}{6 x \sqrt[3] x} \right) \mathrm{dx} = $$

$$ \int \left( \frac {x^{\frac 1 2}}{6 x \cdot x^{\frac 1 3}} - \frac {2 x \cdot x^{\frac 2 3}}{6 x \cdot x^{\frac 1 3}} + \frac {3 \sqrt[4] 5 \cdot x^{\frac 3 4}}{6 x \cdot x^{\frac 1 3}} \right) \mathrm{dx} = $$

$$ \int \left( \frac {x^{\frac 1 2}}{6 x^{\frac 4 3}} - \frac {2 x^{\frac 5 3}}{6 x^{\frac 4 3}} + \frac {3 \sqrt[4] 5 \cdot x^{\frac 3 4}}{6 x^{\frac 4 3}} \right) \mathrm{dx} = $$

$$ = \frac 1 6 \int x^{\frac 1 2 - \frac 4 3} \mathrm{dx} - \frac 1 3 \int x^{\frac 5 3 - \frac 4 3} \mathrm{dx} + \frac {3 \sqrt[4] 5 } 6 \int x^{\frac 3 4 - \frac 4 3}\mathrm{dx} = $$

$$ = \frac 1 6 \int x^{-\frac 5 6} \mathrm{dx} - \frac 1 3 \int x^{\frac 1 3} \mathrm{dx} + \frac {3 \sqrt[4] 5 } 6 \int x^{-\frac 7 {12}}\mathrm{dx} = $$

$$ = \frac 1 6 \frac {x^{\frac 1 6}}{\frac 1 6} - \frac 1 3 \frac {x^{\frac 4 3}} {\frac 4 3} + \frac {3 \sqrt[4] 5 } 6 \frac {x^{\frac 5 {12}}}{\frac 5 {12}}= $$

$$ = x^{\frac 1 6}- \frac 1 {\cancel 3} \cdot \frac {\cancel 3} 4 x^{\frac 4 3} + \frac {3 \sqrt[4] 5 } 6 \cdot \frac {12} 5 x^{\frac 5 {12}}= $$

$$ = \sqrt[6] x - \frac 1 4 x \sqrt[3] x + \frac {6 \sqrt[4] 5 } 5 \sqrt[12] {x^5} + C $$

Przykład nieco długi, ale jeśli chodzi o wzory rachunku całkowego, rzeczywiście nie było potrzeby zastosowania innego wzoru niż (8). Powrót z potęg ułamkowych do pierwiastków nie jest bezwzględnie konieczny, choć matematyczny savoir vivre nakazuje, że jeśli dostajemy do scałkowania funkcję w postaci pierwiastków z potęg, to wypada dokonać pod koniec stosownej zamiany. Pamiętajmy, że gdyby wyszła potęga o wykładniku będącym ułamkiem niewłaściwym, to zrobilibyśmy tak: $x^{\frac 8 3} = x^2 \cdot \sqrt[3]{x^2}$.

Przykład 6

A teraz przykład, który według wcześniejszych wskazówek już nie wygląda na całkowanie bezpośrednie, ale jednak da się tam wykonać pewną prostą operację. Obliczmy całkę nieoznaczoną funkcji $f(x)=\frac {1-x}{1-\sqrt[3] x}$.

$$\int \frac {1-x}{1-\sqrt[3] x} \mathrm{dx} = \int \frac {\cancel{\left(1-\sqrt[3] x \right)}\left(1+\sqrt[3] {x} + \sqrt[3] {x^2}\right) }{\cancel{1-\sqrt[3] x}} \mathrm{dx} =$$

$$=\int \left( 1 + x^{\frac 1 3} + x^{\frac 2 3} \right) \mathrm{dx}= x + \frac {x^{\frac 4 3}}{\frac 4 3}+ \frac {x^{\frac 5 3}}{\frac 5 3} = $$

$$ = x + \frac 3 4 x \sqrt[3] x + \frac 3 5 x \sqrt[3] {x^2} + C$$

A zatem sytuację uratował tutaj wzór skróconego mnożenia. Po prostu „sztucznie” rozłożono licznik ze wzoru na różnicę sześcianów, co pozwoliło na skrócenie licznika z mianownikiem.

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie wykonuje się, w zależności od potrzeb, w dwu wersjach. Pierwsza wersja polega na tym, że obieramy pomocniczą zmienną $t$ jako pewną funkcję zmiennej $x$, tj. podstawiamy $t=g(x)$. Należy pamiętać o dwóch żelaznych zasadach. Podstawić musimy tak, aby po podstawieniu nigdzie nie został x (ani $\mathrm{dx}$). Oprócz tego koniecznie musimy mieć co podstawić za $\mathrm {dt}=g'(x) \mathrm{dx}$ i musi ono być w pierwszej potędze w liczniku.

Całkowanie przez podstawienie w tej wersji stosujemy wówczas, gdy jesteśmy w stanie w funkcji podcałkowej dopatrzyć się jakiejś funkcji zmiennej $x$ oraz pochodnej tej samej funkcji.

Przykład 7a

Z najbardziej banalnym przykładem zastosowania metody całkowania przez podstawienie mamy do czynienia wówczas, gdy całkujemy prostą funkcję, korzystając z podstawowych wzorów, ale argumentem nie jest $x$, tylko pewne wyrażenie liniowe. Obliczmy całkę funkcji $f(x)=\sin {5x}$.

$$\int \sin {5x} \mathrm{dx} = ...$$

Dokonujemy następujących podstawień:

$$\left | \begin{array}{l} t = 5x \\ \mathrm{dt}=5 \mathrm{dx} \\ \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 5 \end{array} \right. $$

Zobaczmy, że nie wystarczy podstawić $t=5x$, ale trzeba mieć jeszcze co podstawić za $\mathrm{dt}$. Jako że pochodna z $5x$ to po prostu 5, czyli różniczka $\mathrm{dt}=5\mathrm{dx}$, sprawa jest prosta. Możemy zamiast $\mathrm{dx}$ podstawić najzwyczajniej w świecie $\mathrm{dt}$, ale trzeba jeszcze podzielić wszystko przez 5 – w praktyce wyciągnąć $\frac 1 5$ przed całkę:

$$ ... = \frac 1 5 \int \sin t \mathrm{dt} = -\frac 1 5 \cos t = -\frac 1 5 \cos{5x} + C$$

Przykład 7b

Wyrażenie liniowe może zawierać również stałą – i tak nie wystąpi ona w różniczce $\mathrm{dt}$, gdyż pochodna ze stałej wynosi zero. Policzmy całkę nieoznaczoną z takiej funkcji: $f(x) = \cos (2x - 5)$:

$$\int \cos (2x - 5) \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = 2x - 5 \\ \mathrm{dt}=2 \mathrm{dx} \\ \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 2 \end{array} \right. $$

$$ … = \frac 1 2 \int \cos t \mathrm{dt} = \frac 1 2 \sin t = \frac 1 2 \sin (2x - 5) + C$$

Bystry Czytelnik zauważy analogię z pochodną funkcji złożonej. Przykładowo $\left[\sin 3x \right]'= 3 \cos 3x$. Przy wyliczaniu pochodnej się po prostu mnożyło przez pochodną funkcji wewnętrznej, a tutaj się dzieli. Spostrzeżenie trafne, ale słuszne tylko dla argumentów będących wyrażeniami liniowymi. Rzeczywiście w przypadku, gdy argumentem funkcji nie jest $x$, ale wyrażenie typu $ax+b$, wystarczy policzyć całkę dla tego samego argumentu i podzielić ją przez $a$. Jest to tak dalece powszechne, że na pewnym etapie nauki całkowania wykonuje się to w pamięci, bez formalnego rozpisywania podstawień.

Niestety, ten prosty schemat nie działa, gdy argumentem jest coś bardziej skomplikowanego aniżeli wyrażenie liniowe. Na przykład całki $\int \sin {x^2} \mathrm{dx}$ nie da się wyliczyć jako $-\cos {x^2}$ i podzielić przez $2x$. Nawiasem mówiąc, jak wspomniano na początku artykułu, na całkę $\int \sin {x^2} \mathrm{dx}$ nie działa żadna podstawowa metoda rachunku całkowego. Nie da się jej wyrazić za pomocą funkcji elementarnych.

Przykład 8

Co innego jednak, jeśli funkcja podcałkowa będzie taka, że „na talerzu” dostaniemy coś, w czym będziemy w stanie „upchnąć” nasze $\mathrm {dt}$. Weźmy funkcję bardzo podobną do wspomnianej wyżej funkcji mającej całkę nieoznaczoną niedającą się wyrazić poprzez funkcje elementarne. Obliczymy bowiem teraz całkę nieoznaczoną z funkcji $f(x) = x \sin {x^2}$. Mały szczegół, a zmienia wszystko:

$$\int x \sin x^2 \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = x^2 \\ \mathrm{dt}=2x \mathrm{dx} \\ x \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 2 \end{array} \right. $$

Widzimy, co się stało. Niepozorny $x$ uratował nam… skórę. Oto bowiem mamy co podstawić za $\mathrm{dt}$. I teraz będzie już prosto:

$$ … = \frac 1 2 \int \sin t \mathrm{dt} = -\frac 1 2 \cos t = -\frac 1 2 \cos {x^2} + C$$

Przykład 9

Czasem trzeba spojrzeć nieco szerzej i, jak to z całkami bywa, nieco „przycwaniakować”. Obliczmy całkę z takiej funkcji: $f(x) = \frac x {x^4 + 1}$. Pierwsze, co byśmy chcieli zrobić, to podstawić za $t=x^4$ albo nawet cały mianownik: $t=x^4 + 1$. Jednak to nie wypali, gdyż w obu przypadkach różniczka: $\mathrm{dt}=4x^3 \mathrm{dx}$. Nie mamy co za to $\mathrm{dt}$ podstawić. Tutaj trzeba chytrzej:

$$\int \frac x {x^4+1} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = x^2 \\ \mathrm{dt}=2x \mathrm{dx} \\ x \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 2 \end{array} \right. $$

i wówczas:

$$ ... = \frac 1 2 \int \frac {\mathrm{dt}} {t^2 +1} = \frac 1 2 \arctg t = \frac 1 2 \arctg {x^2} + C$$

Czasem więc funkcji podstawianej pod $t$ nie widać od razu. Trzeba ją sobie starannie „wyłuskać” z wyrażenia podcałkowego. Można też tu było pomyśleć od drugiej strony: mam $x$ w liczniku, a on jest pochodną (ok, połową pochodnej) z $x^2$, a zatem może z $x^2$ coś się da zawalczyć? I dokładnie tak trzeba myśleć. Wielomiany często pojawiają się w zadaniach na całki i trzeba pamiętać, że pochodną wielomianu stopnia $n$ jest wielomian stopnia $n-1$.

Przykład 10

To też szalenie prosty przykład i zastanawiałem się, czy nie nadać mu numeru 9b. Policzmy całkę nieoznaczoną funkcji: $f(x) = \frac {x^3} {x^4 + 1}$.

$$\int \frac {x^3} {x^4+1} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = x^4 + 1 \\ \mathrm{dt}=4x^3 \mathrm{dx} \\ x^3 \mathrm{dx} = \frac {\mathrm{dt}} 4 \end{array} \right. $$

$$... = \frac 1 4 \int \frac {\mathrm{dt}} t = \frac 1 4 \ln |t| = \frac 1 4 \ln \left| x^4 + 1 \right| = \frac 1 4 \ln \left(x^4 + 1 \right) + C $$

Zapamiętania warte jest tutaj zastąpienie pod koniec obliczeń znaku wartości bezwzględnej zwyczajnym nawiasem. Uczyniono tak dlatego, że wyrażenie $x^4+1$ jest zawsze dodatnie, toteż nie ma potrzeby ujmowania go w znak modułu. Gdybyśmy tego nie zrobili, rozwiązanie również byłoby poprawne, ale nieeleganckie. Akademiccy nauczyciele matematyki zwracają uwagę na elegancję. Zastąpienie modułu nawiasem to takie „postawienie kropki nad i”, ostateczny szlif. A także dowód na to, że rozwiązujący zadanie student wie, co robi.

Przykład 11

Teraz policzmy całkę nieoznaczoną takiej funkcji: $f(x) = \frac {x^3}{x+1}$.

$$\int \frac {x^3}{x+1} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = x + 1 \\ \mathrm{dt}= \mathrm{dx} \\ x = t - 1 \end{array} \right. $$

Zaczęło się zatem tak samo, ale tym razem w oparciu o podstawienie dla $t$ przeliczono wartość zmiennej $x$. Co to dało? Bardzo dużo! Otóż podstawienie takie pozwala wyeliminować z mianownika kłopotliwą sumę:

$$... = \int \frac {(t-1)^3}t \mathrm{dt} = \int \frac {t^3 - 3t^2 + 3t -1} t \mathrm{dt} = $$

$$= \int \left( t^2 - 3t + 3 -\frac 1 t \right) \mathrm{dt} = \frac {t^3} 3 - 3 \frac {t^2} 2 + 3t - \ln |t| =$$

$$= \frac 1 3 (x+1)^3 -\frac 3 2 (x+1)^2 + 3(x+1) - \ln|x+1| = $$

$$= \frac 1 3 \left(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \right) -\frac 3 2 \left(x^2 + 2x + 1 \right) + 3x + 3 - \ln|x+1| = $$

$$= \frac 1 3 x^3 - \frac 1 2 x^2 + x + \frac {11} 6 - \ln|x+1| = $$

$$= \frac 1 3 x^3 - \frac 1 2 x^2 + x - \ln|x+1| +C $$

Uważny Czytelnik może zadać w tym momencie pytanie, co się stało z liczbą $\frac {11} 6$, która jest widoczna w przedostatnim przekształceniu, a nie widać jej w końcowym wyniku. Otóż wartość $\frac {11} 6$, jako stała, została pochłonięta przez stałą całkowania $C$. Skoro $C$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, to zamiast pisać $\frac {11} 6 + C$, wystarczy zapisać³ $C$. Pochłanianie stałej liczbowej przez stałą całkowania to normalna praktyka rachunku całkowego.

Przykład 11 pozwolił nam „gładko” przejść do drugiego typu całkowania przez podstawienie, a mianowicie do podstawień postaci $x = g(t)$, $\mathrm{dx}=g'(t) \mathrm{dt}$.

Przykład 12

Obliczmy całkę nieoznaczoną funkcji $f(x) = \frac 1{\sqrt x + \sqrt[3] x}$. Nie da się tutaj wykorzystać metod podstawowych, z uwagi na to, że pierwiastki są w mianowniku.

$$\int \frac {\mathrm{dx}}{\sqrt x + \sqrt[3] x} = \int \frac {\mathrm{dx}}{x^{\frac 1 2} + x^{\frac 1 3}} = ...$$

„Chwyt”, jaki w takim wypadku się stosuje, polega na podstawieniu za zmienną $x$ nowej zmiennej $t$ w potędze będącej najmniejszą wspólną wielokrotnością (czyli takim jakby wspólnym mianownikiem) występujących w wyrażeniu mianowników wykładników. U nas pojawiają się wykładniki $\frac 1 2$ oraz $\frac 1 3$, toteż wspólnym mianownikiem jest $6$.

$$\left | \begin{array}{l} x = t^6 \\ \mathrm{dx}= 6t^5 \mathrm{dt} \\ t = x^{\frac 1 6} = \sqrt[6] x \end{array} \right. $$

Zauważmy, że na ostatniej pozycji napisaliśmy „podstawienie zwrotne”, czyli ile równa się $t$ w funkcji $x$, po to, by pod koniec obliczania całki powrócić do oryginalnej zmiennej $x$. Zatem:

$$... = \int \frac {6t^5 \mathrm{dt}}{t^3 +t^2} = \int \frac {6t^5 \mathrm{dt}}{t^2 \left(t +1 \right)} = 6\int \frac {t^3 \mathrm{dt}}{t +1} = ... $$

Jest to funkcja wymierna. Całkowaniem funkcji tego typu, „na poważnie”, zajmiemy się w osobnym artykule. Tutaj spróbujemy tę funkcję scałkować troszkę po partyzancku, ale skutecznie.

Spróbujmy po raz kolejny zastosować podstawienie, w stylu podobnym do przykładu 11.

$$\left | \begin{array}{l} u = t + 1 \\ \mathrm{du}= \mathrm{dt} \\ t = u - 1 \end{array} \right. $$

$$... = 6 \int \frac{\left(u-1 \right)^3\,\mathrm{du}} u = 6 \int \frac{\left(u^3 - 3u^2 + 3u -1 \right)\,\mathrm{du}} u = $$

$$= 6 \int \left(u^2 - 3u + 3 - \frac 1 u \right)\,\mathrm{du} = 6 \left( \frac {u^3} 3 - 3 \frac {u^2} 2 + 3u - \ln |u| \right) = $$

$$= 2u^3 - 9u^2 + 18u - 6\ln |u| = $$

$$= 2(t+1)^3 - 9(t+1)^2 + 18(t+1) - 6\ln |t+1| = $$

$$ = 2\left(t^3 + 3t^2 + 3t + 1 \right) - 9(t^2 + 2t+1) + 18t+18 - 6\ln |t+1| =$$

$$=2t^3 + 6t^2 + 6t + 2 - 9t^2 - 18t - 9 + 18t+18 - 6\ln |t+1| =$$

$$=2t^3 - 3t^2 + 6t + 11 - 6\ln |t+1| =$$

$$=2\sqrt x - 3\sqrt[3]x + 6\sqrt[6] x - 6\ln \left(\sqrt[6] x+1 \right) + C$$

Tutaj również stała $11$ została pochłonięta przez stałą całkowania. Wyrażenie $\sqrt[6]x + 1$ jest zawsze dodatnie w dziedzinie wyjściowej całki, czyli dla $x>0$, więc można było zamienić znak modułu przy logarytmie naturalnym na zwykły nawias.

Jak widać, do rozwiązania doprowadziło nas aż dwukrotne zastosowanie całkowania przez podstawienie, przy czym pierwsze z tych podstawień było w stylu $x = g(t)$, a drugie w stylu $t=g(x)$ (w naszym przypadku $u=g(t)$).

Przedstawione przykłady nie wyczerpują wszystkich sztuczek, chwytów i pomysłów na podstawienia. W kolejnych artykułach, poświęconych całkowaniu szczególnych funkcji (wymiernych, niewymiernych, trygonometrycznych itd.), poznamy różne podstawienia niejako „dedykowane” do całkowania konkretnych funkcji. Niektóre z nich są owocem pracy najtęższych matematycznych umysłów drugiego tysiąclecia naszej ery, takich jak Euler czy Bernoulli.

Całkowanie analityczne to wciąż dziedzina, gdzie być może i Ty, drogi Czytelniku, pozostawisz swój wkład i swoje nazwisko. Dziś analityczne całkowanie nie jest może już tak ważne jak choćby sto lat temu – sporo całek można wyliczyć, i to również analitycznie, programami komputerowymi, jak np. Wolfram Mathematica, ale ciekawe podstawienie do scałkowania „ręcznego” jakiejś skomplikowanej funkcji być może czeka jeszcze na odkrycie. To tak jak z szachami. Niby wszystko o tej grze już napisano i opracowano, a wciąż odkrywane są nowe ruchy czy otwarcia.

Całkowanie przez części

O ile wskazaniem do zastosowania metody całkowania przez podstawienie jest „dopatrzenie się” w funkcji podcałkowej pewnej funkcji oraz jej pochodnej, o tyle metodę całkowania przez części można próbować zastosować, gdy w funkcji podcałkowej dopatrzymy się iloczynu dwu różnych funkcji.

Wzór (5b) mówi tu sam za siebie:

$$\int u \mathrm {dv} = uv - \int v \mathrm{du}$$

Gdy już dopatrzymy się iloczynu tych funkcji, we wzorze oznaczonych literami $u$ i $\mathrm{dv}$, zauważamy, że z pierwszej z nich, czyli z $u$, w dalszym toku obliczeń obliczać będziemy pochodną (różniczkę), natomiast z drugiej, $\mathrm{dv}$, samej będącej różniczką, obliczać będziemy (zazwyczaj w pamięci) funkcję pierwotną (czyli całkę nieoznaczoną).

Po prawej stronie wzoru występuje całka $\int v \mathrm{du}$. Chodzi o to, by całka ta była prostsza do obliczenia aniżeli całka wyjściowa. Zazwyczaj dzieje się tak w wyniku tego, że po obliczeniu całki bądź pochodnej funkcje są prostsze, bądź też nastąpi jakieś uproszczenie wyrażenia. Czasem też sytuacja rozwinie się jeszcze inaczej, co prześledzimy na przykładach.

Mnożenie jest przemienne, więc to od nas zależy, którą z funkcji obierzemy jako $u$, a którą jako $\mathrm{dv}$. Jednak pomóc tutaj mogą pewne spostrzeżenia. Otóż niektóre funkcje, jak np. wielomiany, upraszczają się w wyniku różniczkowania oraz komplikują w wyniku całkowania. Zazwyczaj będą one idealnymi kandydatami na $u$, bowiem w całce po prawej stronie wystąpią już jako $\mathrm{du}$. Są też funkcje, które przeciwnie – komplikują się przy różniczkowaniu, a upraszczają przy całkowaniu. Np. funkcja $\frac 1 x$. Tego typu funkcje mogą być ewentualnie rozważane jako kandydatki na $\mathrm{dv}$.

Są wreszcie funkcje, którym niestraszne ani całkowanie, ani różniczkowanie i mogą one być w ten sposób przekształcane nawet setki razy. Te funkcje to $\mathrm e^x$, $\sin x$ oraz $\cos x$. One z powodzeniem mogą „robić” z jednakowym skutkiem zarówno za $u$, jak i za $\mathrm{dv}$.

Przykład 13

Obliczmy całkę nieoznaczoną funkcji $f(x) = x \cdot \sin x$. Tutaj nie powinniśmy mieć wątpliwości, co jest naszym $u$, a co $\mathrm{dv}$. Sinusowi jest wszystko jedno, ale metoda całkowania przez części dobrze spełni swoją rolę, gdy $x$ podstawimy za $u$.

$$\int x \sin x \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = x & \mathrm{du}=\mathrm{dx} \\ v = -\cos x & \mathrm{dv} = \sin x \, \mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = -x \cos x - \int \left(-\cos x \right) \mathrm{dx} = $$

$$ = -x \cos x + \int \cos x \, \mathrm{dx} =- x \cos x + \sin x + C$$

Widzimy, o co chodzi? Dzięki metodzie całkowania przez części nasz $x$ zniknął sprzed funkcji trygonometrycznej.

Czasem trzeba wykazać się cierpliwością i „zbijać” kolejno potęgi niechcianego „iksa”, stosując metodę całkowania przez części kilkakrotnie.

Przykład 14

Policzmy całkę funkcji $f(x) = x^3 \mathrm e^{2x}$. Oczywiście znów funkcji $\mathrm e^x$ jest wszystko jedno, jaką rolę obierze, ale $x^3$ upraszczać się będzie pod warunkiem, że podstawimy je za $u$. Tutaj należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną rzecz. Naszym $\mathrm{dv}$ będzie $\mathrm e^{2x}$, a więc funkcja złożona. Wyliczając z niej $v$, całkujemy ją niejako w pamięci. Formalnie należałoby zrobić to „na boku”, wykorzystując całkowanie przez podstawienie, ale wspomnieliśmy w przykładzie 7b, że w przypadku, gdy funkcją wewnętrzną jest funkcja liniowa, to można scałkować w pamięci, dzieląc całkę przez współczynnik przy zmiennej.

$$\int x^3 \mathrm e^{2x} \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = x^3 & \mathrm{du}=3x^2\mathrm{dx} \\ v = \frac 1 2 \mathrm e^{2x} & \mathrm{dv} = \mathrm e^{2x} \, \mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = \frac 1 2 x^3 \mathrm e^{2x} - \frac 3 2 \int x^2 \mathrm e^{2x} \mathrm{dx} = ...$$

i to właśnie jest całkowanie przez części „w akcji” i w pełnej swej krasie. Stosujemy metodę ponownie:

$$\left|\left| \begin{array}{ll} u = x^2 & \mathrm{du}=2x \, \mathrm{dx} \\ v = \frac 1 2 \mathrm e^{2x} & \mathrm{dv} = \mathrm e^{2x} \, \mathrm{dx} \end{array} \right. \right.$$

$$... = \frac 1 2 x^3 \mathrm e^{2x} - \frac 3 2 \left(\frac 1 2 x^2 \mathrm e^{2x} - \int x \mathrm e^{2x} \mathrm{dx} \right) =$$

$$ = \frac 1 2 x^3 \mathrm e^{2x} - \frac 3 4 x^2 \mathrm e^{2x} + \frac 3 2 \int x \mathrm e^{2x} \mathrm{dx} = ...$$

i ponownie:

$$\left|\left|\left| \begin{array}{ll} u = x & \mathrm{du}=\mathrm{dx} \\ v = \frac 1 2 \mathrm e^{2x} & \mathrm{dv} = \mathrm e^{2x} \, \mathrm{dx} \end{array} \right. \right.\right.$$

$$ = \frac 1 2 x^3 \mathrm e^{2x} - \frac 3 4 x^2 \mathrm e^{2x} + \frac 3 2 \left(\frac 1 2 x \mathrm e^{2x} - \frac 1 2 \int \mathrm e^{2x}\mathrm{dx} \right) = $$

$$ = \frac 1 2 x^3 \mathrm e^{2x} - \frac 3 4 x^2 \mathrm e^{2x} + \frac 3 4 x \mathrm e^{2x} - \frac 3 4 \int \mathrm e^{2x} \mathrm{dx} = $$

$$ = \frac 1 2 x^3 \mathrm e^{2x} - \frac 3 4 x^2 \mathrm e^{2x} + \frac 3 4 x \mathrm e^{2x} - \frac 3 8 \mathrm e^{2x} = $$

$$ = \frac 1 8 \mathrm e^{2x} \left( 4x^3 - 6 x^2 + 6 x - 3 \right) +C $$

Prawda, że piękne?

Teraz pokażemy dwa przykłady z absolutnego kanonu całkowania przez części. Nie da się nauczyć kogoś tej metody, nie pokazując mu tych dwu nietypowych przypadków. Jeden lekko nietypowy, drugi bardziej.

Przykład 15

Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji $f(x) = \ln x$. Uważny Czytelnik pewnie zauważył, że nie ma całki z tej funkcji wśród wzorów rachunku całkowego. Ten sam Czytelnik pewnie też zdziwi się, dlaczego obliczanie tej całki ma być wykonane metodą całkowania przez części, skoro na wstępie napisaliśmy, że stosujemy je, gdy w funkcji podcałkowej dopatrzymy się dwu funkcji, a tutaj jest tylko jedna. Czy aby na pewno jedna? Wyrażenie za znakiem $\int$ jest różniczką, a zatem iloczynem pochodnej funkcji pierwotnej oraz $\mathrm{dx}$.

I to jest właśnie punkt wyjścia do obliczenia całki z logarytmu naturalnego. Traktujemy funkcję podcałkową jako iloczyn $\ln x$ oraz $\mathrm{dx}$. Jeśli chodzi o wybór $u$ oraz $\mathrm{dv}$, to nie może być inaczej. Logarytm musi zostać $u$, gdyż jego pochodną jest zwyczajne $\frac 1 x$. Gdyby został $\mathrm{dv}$, mielibyśmy klasyczne „masło maślane” – aby wyznaczyć $v$, trzeba byłoby wszak scałkować ten logarytm, a przecież właśnie po to całkujemy przez części. Ale do rzeczy:

$$\int \ln x \,\mathrm {dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = \ln x & \mathrm{du}=\frac {\mathrm{dx}} x \\ v = x & \mathrm{dv} = \mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$ ... = x \ln x - \int {\cancel x} \cdot \frac {\mathrm {dx}} {\cancel x} = x \ln x - \int {\mathrm {dx}} =$$

$$ = x \ln x - x = x \left( \ln x - 1 \right) + C$$

Kto by pomyślał, że w taki sposób można scałkować logarytm naturalny? W analogiczny sposób całkuje się takie funkcje, jak $\arctg x$ czy $\arcsin x$.

Przykład 16

Obliczyć całkę funkcji $f(x) = \mathrm e^x \sin x$. Tutaj spotyka się dwoje „najtwardszych zawodników” rachunku różniczkowego i całkowego. Obie funkcje mogą w obie strony być przekształcane nieskończenie wiele razy. $\mathrm e^x$ pozostanie w swojej postaci, a $\sin x$ będzie zamieniał się cyklicznie w $\cos x$ i jeszcze dojdą zmiany znaku. Obie funkcje są doskonałymi kandydatami zarówno na $u$, jak i na $\mathrm{dv}$. Przyjmijmy, że jako $u$ obierzemy funkcję $\mathrm e^x$, a jako $\mathrm{dv}$ obierzemy $\sin x \mathrm{dx}$.

$$\int \mathrm e^x \sin x \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = \mathrm e^x & \mathrm{du}=\mathrm e^x {\mathrm{dx}} \\ v = -\cos x & \mathrm{dv} = \sin x \,\mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = -\mathrm e^x \cos x -\int \left(-\mathrm e^x \cos x \right) \mathrm{dx} = -\mathrm e^x \cos x +\int \mathrm e^x \cos x \mathrm{dx} =...$$

Po raz kolejny stosujemy więc całkowanie przez części. Tutaj drobna podpowiedź: aby wyszedł nam sensowny wynik, musimy być konsekwentni. Skoro jako $u$ obraliśmy funkcję wykładniczą, to musimy tak zrobić i teraz:

$$\left|\left| \begin{array}{ll} u = \mathrm e^x & \mathrm{du}=\mathrm e^x {\mathrm{dx}} \\ v = \sin x & \mathrm{dv} = \cos x \,\mathrm{dx} \end{array} \right.\right.$$

$$... = -\mathrm e^x \cos x +\mathrm e^x \sin x - \int \mathrm e^x \sin x \mathrm{dx} $$

Początkujący może w tym momencie się załamać. Zapytać, ile jeszcze razy trzeba powtórzyć operację i czy są szanse na koniec w tym stuleciu. Otóż to już jest (prawie) koniec. Zazwyczaj, gdy całkując kilkakrotnie przez części, otrzymamy ponownie wyjściową całkę, świadczy to o tym, że coś poszło nie tak. Ale nie tutaj. W tym przypadku „ratuje nas” znak minus.

Zreasumujmy, co właściwie otrzymaliśmy. Otrzymaliśmy mianowicie:

$$\int \mathrm e^x \sin x \mathrm{dx} = -\mathrm e^x \cos x +\mathrm e^x \sin x - \int \mathrm e^x \sin x \mathrm{dx}$$

Teraz tylko wystarczy przenieść całkę z prawej strony na lewą, podzielić stronami przez 2 i uprościć:

$$2\int \mathrm e^x \sin x \mathrm{dx} = \mathrm e^x \sin x -\mathrm e^x \cos x \quad /:2 $$

$$\int \mathrm e^x \sin x \mathrm{dx} = \frac 1 2 \mathrm e^x \left(\sin x - \cos x \right) + C $$

Tak więc nie zawsze całkowanie przez części (i ogólnie całkowanie) musi wyglądać tak, że po iluś tam przekształceniach otrzymujemy wynik. Czasem wynik dostajemy, tak jak tutaj, w niestandardowy sposób.

Przykład 17

A teraz troszkę „zabawy”. Policzmy różnymi metodami całkę nieoznaczoną z funkcji $f(x) = \sin x \cos x$.

Na wstępie zauważmy, że cosinus jest pochodną sinusa i vice versa (pomijając kwestię minusa). Wobec tego już samą metodą całkowania przez podstawienie można zadanie wykonać na dwa sposoby.

Sposób 1

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = \sin x \\ \mathrm{dt}= \cos x \, \mathrm{dx} \end{array} \right. $$

$$... = \int t \, \mathrm{dt} = \frac {t^2} 2 = \frac 1 2 \sin^2 x + C$$

Sposób 2

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left | \begin{array}{l} t = \cos x \\ \mathrm{dt}= -\sin x \, \mathrm{dx} \\ \sin x \, \mathrm{dx} = -\mathrm{dt}\end{array} \right. $$

$$... = -\int t \, \mathrm{dt} = -\frac {t^2} 2 = -\frac 1 2 \cos^2 x + C$$

Ciekawe, że innym sposobem wyszedł inny wynik. Czy jednak na pewno jest on inny? Zajmiemy się tym później. Teraz policzymy całkę tę dwukrotnie za pomocą całkowania przez części.

Sposób 3

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = \sin x & \mathrm{du}=\cos x {\mathrm{dx}} \\ v = \sin x & \mathrm{dv} = \cos x \,\mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = \sin x \cdot \sin x -\int \sin x \cos x \mathrm{dx} = \sin^2 x -\int \sin x \cos x \mathrm{dx}$$

Otrzymaliśmy więc, na podobnej zasadzie jak w przykładzie 16:

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = \sin^2 x -\int \sin x \cos x \mathrm{dx}$$

skąd:

$$2 \int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = \sin^2 x \quad /:2$$

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} =\frac 1 2 \sin^2 x + C$$

Sposób 4

Teraz $u$ oraz $\mathrm{dv}$ obierzemy na odwrót.

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = ...$$

$$\left| \begin{array}{ll} u = \cos x & \mathrm{du}= -\sin x {\mathrm{dx}} \\ v = -\cos x & \mathrm{dv} = \sin x \,\mathrm{dx} \end{array} \right.$$

$$... = -\cos x \cdot \cos x -\int \sin x \cos x \mathrm{dx} = -\cos^2 x -\int \sin x \cos x \mathrm{dx}$$

Czyli:

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = -\cos^2 x -\int \sin x \cos x \mathrm{dx}$$

skąd:

$$2\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = -\cos^2 x \quad /:2$$

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = -\frac 1 2 \cos^2 x +C $$

Sposób 5

Tutaj skorzystamy z całkowania bezpośredniego. Użyjemy bowiem wzoru na sinus podwojonego kąta: $\sin {2 \alpha} = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha$. Ze wzoru tego wynika, że: $\sin x \cos x = \frac 1 2 \sin {2x}$.

Stąd:

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = \frac 1 2 \int \sin {2x} \mathrm{dx} = -\frac 1 4 \cos {2x} = $$

$$= -\frac 1 4 \left( \cos^2 x - \sin^2 x \right) = \frac 1 4 \sin^2 x - \frac 1 4 \cos^2 x + C $$

Licząc pięcioma sposobami, otrzymaliśmy w sumie trzy różne wyniki:

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} =\frac 1 2 \sin^2 x + C$$

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = -\frac 1 2 \cos^2 x +C $$

$$\int \sin x \cos x \, \mathrm{dx} = \frac 1 4 \sin^2 x - \frac 1 4 \cos^2 x + C $$

O co tutaj chodzi?

Policzmy różnicę pomiędzy pierwszym a drugim z otrzymanych wyników (pomijając stałą $C$):

$$\frac 1 2 \sin^2 x - \left(-\frac 1 2 \cos^2 x \right) = \frac 1 2 \sin^2 x + \frac 1 2 \cos^2 x = $$

$$\frac 1 2 \left(\sin^2 x + \cos^2 x \right) = \frac 1 2 \cdot 1 = \frac 1 2 $$

A zatem wynik otrzymany sposobami (1) oraz (3) różni się od wyniku otrzymanego sposobami (2) oraz (4) o stałą (w tym wypadku o $\frac 1 2$). Całki nieoznaczone różniące się o stałą wyrażają tę samą całkę! Policzmy jeszcze różnicę pomiędzy całką otrzymaną sposobami (1) oraz (3) a całką otrzymaną sposobem (5):

$$\frac 1 2 \sin^2 x -\left( \frac 1 4 \sin^2 x - \frac 1 4 \cos^2 x \right) =$$

$$\frac 1 2 \sin^2 x - \frac 1 4 \sin^2 x + \frac 1 4 \cos^2 x $$

$$= \frac 1 4 \sin^2 x + \frac 1 4 \cos^2 x =\frac 1 4 \left(\sin^2 x + \cos^2 x \right) = \frac 1 4 \cdot 1 = \frac 1 4$$

A zatem otrzymane trzy wyniki tylko pozornie, na pierwszy rzut oka, są inne. W rzeczywistości, jako że różnią się o stałą, wyrażają one tę samą funkcję pierwotną, a zatem tę samą całkę nieoznaczoną.

Warto podkreślić, że tylko w przypadku nielicznych całek, takich jak ta, będąca przedmiotem przykładu 17, można wybierać i przebierać w metodach całkowania. Na ogół do danej całki „pasuje” tylko jedna metoda i to my sami musimy wpaść na to, jaką metodę zastosować.

Do zobaczenia w kolejnej części

To pierwszy z artykułów o całkowaniu. Przedstawione zostały w nim podstawowe narzędzia, jakimi są wzory rachunku całkowego oraz dwie kluczowe metody całkowania: całkowanie przez podstawienie, zwane też całkowaniem przez zamianę zmiennej, oraz całkowanie przez części. W praktyce kursów podstawowych niemal wszystkie stosowane metody sprowadzają się do tych dwóch technik oraz do algorytmów zbudowanych na ich podstawie, mówiących, jak użyć tych metod, aby wyznaczyć funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną).

Od studenta kierunków niematematycznych, czyli np. studiów politechnicznych, wymaga się najczęściej znajomości procedury całkowania funkcji wymiernych, niektórych funkcji niewymiernych (np. zawierających pierwiastek z trójmianu kwadratowego), całkowania niektórych funkcji przestępnych – np. całek funkcji będących złożeniami wielomianów bądź funkcji wymiernych z funkcjami trygonometrycznymi.

Aspirujący do samodzielnego zaliczenia na ocenę dostateczną kursu matematyki wyższej student powinien przynajmniej znać omówione w tym artykule metody i potrafić ich używać, a także potrafić całkować funkcje wymierne, co będzie tematem kolejnego artykułu z dziedziny rachunku całkowego.

Utworzono: 08.11.2025 | Zmodyfikowano: 18.05.2026

1. O ile funkcję podcałkową można wyrazić za pomocą szeregu potęgowego, to szereg taki można scałkować stosunkowo łatwo (jak wielomian), ale efekt całkowania musiał będzie pozostać w takiej formie, czyli w formie nieskończonej sumy, więc w kontekście analitycznego (tj. przeprowadzanego na symbolach) całkowania funkcji się to „nie liczy”. ↩︎
2. To definicja książkowa. W praktyce, ciągłość w stosownym przedziale wymagana jest dla całki oznaczonej, natomiast dla całki nieoznaczonej najlepiej by było, gdyby funkcje te były ciągłe w swoich dziedzinach, ewentualnie w jakiejś dziedzinie danej stosownym założeniem (np. przez autora zadania). ↩︎
3. Niektórzy w takiej sytuacji, zamiast $C$ napisaliby $C_1$, definiując: $C_1 = \frac {11} 6 + C$. To oczywiście też poprawne i eleganckie. Moim zdaniem zbyt eleganckie. ↩︎

Pochodna funkcji

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Wprowadzenie

Pochodna funkcji to bodaj najważniejsze pojęcie analizy matematycznej, nie licząc oczywiście samego pojęcia funkcji. Umiejętność obliczania pochodnych jest bardzo ważna i stosunkowo prosta do opanowania. Wprawne posługiwanie się rachunkiem różniczkowym, bo taką nazwę nosi obliczanie pochodnych, jest niezbędne, by opanować innego rodzaju działanie, jakim jest całkowanie nieoznaczone, czemu poświęcony zostanie inny artykuł.

Spis treści

• Formalna definicja pochodnej
• Pochodna jako funkcja
• Obliczanie pochodnej ze wzoru
• Wykorzystanie wzorów na pochodną
• Różniczka funkcji
• Co dalej?

Formalna definicja pochodnej

Pochodną definiuje się jako granicę ilorazu różnicowego przy przyroście argumentu funkcji dążącym do zera. Można to sformułować jeszcze prościej: jest to po prostu stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost tego argumentu jest nieskończenie mały.

Pochodną funkcji w punkcie $x_0$ obliczamy jako:

$$f '\left(x_0 \right) = \lim_{h \to 0} \frac { f(x_0 + h) - f(x_0)} h \tag 1 \label {eq:1}$$

Pod warunkiem, że granica ta istnieje (w szczególności ewentualne granice: lewostronna i prawostronna są jednakowe) i jest skończona. Jeśli tak jest, to funkcję $f(x)$ nazywamy funkcją różniczkowalną w punkcie $x_0$. Wyrażenie, z którego obliczana jest granica (1), to właśnie iloraz różnicowy funkcji $f(x)$.

Wartość pochodnej funkcji $f(x)$ w punkcie $x_0$, co oznaczamy jako $f'(x_0)$, jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w punkcie $x_0$. Tj. styczna ta jest prostą o równaniu: $y = ax + b$; wówczas $a = f'(x_0)$.

Na rysunku 1 widzimy sieczne do wykresu pewnej funkcji (jest to przykładowa funkcja rosnąca i wypukła). Jedna z siecznych przechodzi przez punkty o odciętych $x_0-h$ oraz $x_0$, a druga przez punkty o odciętych $x_0$ oraz $x_0 + h$. Sieczne te odpowiadają wartości ilorazu różnicowego funkcji w punkcie $x_0$ dla przyrostu argumentu wynoszącego $h$.

Gdy $h$ dąży do zera, wówczas sieczne „schodzą” się, tworząc styczną do wykresu funkcji w punkcie o odciętej $x_0$. Punkt styczności ma współrzędne $\left(x_0, f(x_0)\right)$, natomiast współczynnik kierunkowy tej stycznej jest równy tangensowi kąta jej nachylenia do osi $Ox$ i właśnie on jest równy pochodnej:

$$\tg \alpha = f'(x_0) $$

Innym sposobem oznaczania pochodnej jest operator różniczkowania: $\frac {df} {dx}$. W przypadku, gdy zmienną funkcji jest czas ($t$), zwłaszcza w fizyce, zamiast oznaczać pochodną znakiem „prim” $'$, zaznacza się ją symbolem kropki: $\dot x(t)$. Jeśli funkcja jest funkcją wielu zmiennych, to obliczana pochodna po wybranej zmiennej zwana jest pochodną cząstkową i wówczas operator różniczkowania wygląda w taki sposób: $\frac {\partial f} {\partial x}$.

Przykład 1

Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie, obliczyć wartość pochodnej funkcji $f(x) = x^2 + 2x - 5$ w punkcie $x_0 = 1$.

Zadanie rozwiążemy na dwa sposoby. W pierwszej kolejności skupimy się tylko na treści polecenia i obliczymy wartość pochodnej we wskazanym punkcie, natomiast drugi sposób polegał będzie na tym, że wyznaczymy postać pochodnej $f'(x)$ jako funkcję i obliczymy wartość tej funkcji w punkcie $x=1$.

Wyliczamy wartości:

$$f\left(x_0 + h \right) = f\left(1 + h \right) = (1 + h)^2 + 2 \cdot (1 + h) - 5 = 1 + 2h + h^2 + 2 + 2h - 5 = h^2 + 4h - 2$$

$$f\left(x_0 \right) = f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 5 = 1 + 2 - 5 = -2$$

Podstawiamy to do wzoru (1):

$$f '\left(x_0 \right) = \lim_{h \to 0} \frac {h^2 + 4h -2 - (-2)} h = \lim_{h \to 0} \frac {h^2 + 4h -2 + 2} h = $$

$$= \lim_{h \to 0} \frac {\cancel h \cdot (h + 4)} {\cancel h} = \lim_{h \to 0} \left( h + 4 \right) = 0 + 4 = 4$$

Skrócenie $h$ w mianowniku z licznikiem jest kluczowym momentem i w tego typu zadaniach powinno się zawsze pojawić. Dzięki temu możliwe staje się podstawienie w miejsce $h$ wartości zero, co było niemożliwe wówczas, gdy $h$ znajdowało się w mianowniku.

Pochodna jako funkcja

Zamiast wyznaczać wartość pochodnej funkcji w punkcie z wykorzystaniem wzoru (1), można za jego pomocą wyliczyć ogólną postać funkcji. Pochodna bowiem może być traktowana jako operator, czyli odwzorowanie, które jednej funkcji przyporządkowuje inną funkcję.

Mówiąc prostym językiem, pochodna to taka operacja, która z jednej funkcji „robi” inną funkcję.

Wzór (1) można przedstawić w postaci:

$$f '\left(x \right) = \lim_{h \to 0} \frac { f(x + h) - f(x)} h \tag 2 \label {eq:2}$$

Przykład 1 – ciąg dalszy

Obliczamy za pomocą wzoru (2) pochodną funkcji $f(x) = x^2 + 2x - 5$ w postaci funkcji.

$$f '\left(x \right) = \lim_{h \to 0} \frac { f(x + h) - f(x)} h = $$

$$= \lim_{h \to 0} \frac { (x + h)^2 + 2 \cdot (x+h) - 5 - \left(x^2 + 2x - 5 \right)} h = $$

$$= \lim_{h \to 0} \frac { \cancel{x^2} + 2xh + h^2 + \cancel{2x} + 2h - \cancel{5}- \cancel{x^2} - \cancel{2x} + \cancel{5}} h = $$

$$= \lim_{h \to 0} \frac { 2xh + h^2 + 2h} h = $$

„Zniknięcie” wszystkich wyrazów niezawierających $h$ to bardzo ważny moment; teraz możemy wyłączyć $h$ przed nawias:

$$= \lim_{h \to 0} \frac { \cancel {h} \cdot \left( 2x + h + 2 \right)} {\cancel {h}} = 2x + 0 + 2$$

Wyłączenie $h$ przed nawias spowodowało, że możliwe stało się skrócenie $h$ w liczniku i mianowniku, co pozwoliło podstawić za $h$ zero. Otrzymaliśmy więc:

$$f'(x) = 2x + 2$$

Do kanonu „klasyki” zadań polegających na wyznaczaniu pochodnej z definicji, czyli według wzoru (2), należy jeszcze wyznaczanie pochodnej z pierwiastka kwadratowego oraz prostej funkcji wymiernej.

Przykład 2

Wyznaczyć pochodną funkcji $f(x) = \sqrt x$ z definicji.

$$f '\left(x \right) = \lim_{h \to 0} \frac { f(x + h) - f(x)} h = \lim_{h \to 0} \frac { \sqrt {x+h} - \sqrt x} h = $$

W przypadku zadania z pierwiastkiem wykorzystujemy „sztuczkę” polegającą na rozszerzeniu ułamka przez wyrażenie sprzężone, czyli wyrażenie zawierające sumę pierwiastków zamiast ich różnicy, dzięki czemu możliwe staje się skorzystanie ze wzoru skróconego mnożenia.

$$= \lim_{h \to 0} \frac { \left( \sqrt {x+h} - \sqrt x \right) \cdot \left(\sqrt {x+h} + \sqrt x \right)} {h \cdot \left(\sqrt {x+h} + \sqrt x \right)} = $$

$$= \lim_{h \to 0} \frac { x + h - x} {h \cdot \left(\sqrt {x+h} + \sqrt x \right)} = \lim_{h \to 0} \frac {\cancel h} {\cancel{h} \cdot \left(\sqrt {x+h} + \sqrt x \right)} = $$

$$= \frac 1 {\sqrt {x+0} + \sqrt x } = \frac 1 {2 \sqrt x}$$

Stąd otrzymaliśmy:

$$f'(x) = \frac 1 {2 \sqrt x}$$

Przykład 3

Wyznaczyć z definicji pochodną funkcji $f(x) = \frac 1 x$.

Tutaj kluczem do sukcesu okaże się zwyczajne sprowadzenie do wspólnego mianownika:

$$f '\left(x \right) = \lim_{h \to 0} \frac { f(x + h) - f(x)} h = \lim_{h \to 0} \frac { \frac 1 {x+h} - \frac 1 x} h = $$

$$= \lim_{h \to 0} \frac { \frac x {x(x+h)} - \frac {x+h} {x(x+h)}} h = \lim_{h \to 0} \frac { \frac {x - (x+h)} {x(x+h)}} h = $$

$$= \lim_{h \to 0} \frac { \frac {\cancel x - \cancel x - h} {x(x+h)}} h = \lim_{h \to 0} \frac {-\cancel h} {x(x+h)} \cdot \frac 1 {\cancel h} = $$

$$= - \frac 1 {x \cdot (x + 0)} = - \frac 1 {x^2}$$

Czyli ostatecznie:

$$f'(x) = -\frac 1 {x^2}$$

Nie każda funkcja posiada pochodną w całej swojej dziedzinie. Najbardziej typowym przykładem jest wartość bezwzględna.

Przykład 4

Wyznaczmy, korzystając z definicji pochodnej, pochodną funkcji $f(x) = |x|$.

$$f '\left(x \right) = \lim_{h \to 0} \frac { f(x + h) - f(x)} h = \lim_{h \to 0} \frac { |x + h| - |x|} h = ...$$

Tym razem sprawa nie jest taka prosta. Nie jest możliwe wykonanie odejmowania w liczniku bez poczynienia pewnych założeń. Znak modułu $| |$ działa jak nawias, skutecznie „separując” oba wyrażenia. Musimy się go „pozbyć”. Wartość bezwzględna, jak wiadomo, to funkcja określona następująco:

$$f(x) = \left\{ \begin{array} {lcr} \ x & \text{dla} & x \geq 0 \\ -x & \text{dla} & x < 0 \end{array} \right.$$

Chcąc opuścić znak modułu, należy rozpatrzyć kilka przypadków. A dokładniej – trzy przypadki.

Przypadek nr 1

$x < 0$

Gdy $x$ jest liczbą ujemną, wówczas dla dostatecznie małych wartości $h$ również $x+h$ jest liczbą ujemną, gdyż $h$ dąży do zera. Zatem można, opuszczając wartość bezwzględną, zmienić znak wyrażenia na przeciwny. Czyli potraktować wartość bezwzględną jak zwyczajny nawias, ale zmieniając przed nim znak:

$$... = \lim_{h \to 0} \frac { -(x + h) + x} h = \lim_{h \to 0} \frac { \cancel{-x} - h + \cancel{x}} h = $$

$$ = \lim_{h \to 0} \frac {-\cancel h} {\cancel h} = \frac {-1} 1 = -1$$

Zatem dla $x < 0$ mamy $f'(x) = -1$, co możemy też zapisać jako $\left( |x| \right)' = -1$.

Przypadek nr 2

$x > 0$

W zasadzie, trzymając się kolejności, przypadek 2 powinien zakładać $x=0$, jednak ten najciekawszy przypadek zostawimy na koniec. Gdy $x$ jest dodatnie, wówczas dla dostatecznie małych wartości $h$ wyrażenie $x+h$ jest także dodatnie i opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:

$$... = \lim_{h \to 0} \frac { \cancel x + h - \cancel x} h = \lim_{h \to 0} \frac { \cancel h}{\cancel h} = 1$$

Dla $x > 0$ otrzymaliśmy $\left( |x| \right)' = 1$.

Przypadek nr 3

$x = 0$

W tym wypadku mamy problem. O ile z wyrażenia $|x|$ możemy śmiało „zdjąć” wartość bezwzględną, przy czym nie ma znaczenia, czy zmienimy znak na przeciwny, czy nie (wszak $-0 = 0$), to z wyrażeniem $x+h$ mamy problem. Liczymy granicę dla $h \to 0$, ale $h$ może do zera dążyć z obu stron. Jeśli $x$ jest dokładnie zerem, to nawet dla „mikroskopijnie” małego, ujemnego $h$ wyrażenie $x+h$ też będzie ujemne.

Nie mamy wyjścia, musimy osobno policzyć granice jednostronne! Ponieważ założyliśmy, że $x=0$, to możemy od razu za $x$ tę wartość po prostu podstawić.

Zacznijmy od lewostronnej:

$$\lim_{h \to 0^{-}} \frac {|x + h| - |x|} h = \lim_{h \to 0^{-}} \frac {|0 + h| - |0|} h = $$

$$= \lim_{h \to 0^{-}} \frac { |h| } h = \lim_{h \to 0^{-}} \frac {-\cancel h} {\cancel h} = \frac {-1} 1 = -1$$

Teraz policzymy granicę prawostronną:

$$\lim_{h \to 0^{+}} \frac {|x + h| - |x|} h = \lim_{h \to 0^{+}} \frac {|0 + h| - |0|} h = $$

$$= \lim_{h \to 0^{+}} \frac { |h| } h = \lim_{h \to 0^{+}} \frac {\cancel h} {\cancel h} = \frac {1} 1 = 1$$

Skoro:

$$ \lim_{h \to 0^{-}} \frac {|0 + h| - |0|} h \neq \lim_{h \to 0^{+}} \frac {|0 + h| - |0|} h$$

to oznacza to ni mniej, ni więcej, jak to, że granica:

$$ \lim_{h \to 0} \frac {|0 + h| - |0|} h$$

nie istnieje!

Tym samym nie istnieje pochodna funkcji $f(x) = |x|$ w punkcie $x=0$. Wartość bezwzględna nie jest różniczkowalna w zerze!

Możemy zapisać zbiorczo:

$$\left( |x| \right)' = \left\{ \begin{array} {ccr} -1 & \text{dla} & x < 0 \\ \text{nie istnieje} & \text{dla} & x = 0 \\ 1 & \text{dla} & x> 0 \end{array} \right.$$

Spójrzmy na wykres funkcji $f(x)=|x|$.

Teraz już widać, dlaczego tak się dzieje. W punkcie o odciętej $x=0$ nie da się przyłożyć jednej stycznej do wykresu funkcji. Na lewo i na prawo od zera styczna pokrywa się z wykresem. Na lewo od zera kąt nachylenia stycznej wynosi $-45^{\circ}$, czyli $\alpha = -\frac \pi 4$, zatem $\tg \alpha = -1$, a na prawo oczywiście $\alpha = 45^{\circ} = \frac \pi 4$, zatem $\tg \alpha = 1$, ale w zerze jednej, dobrze określonej stycznej brak!

Czasem pochodna nie istnieje z troszkę innego powodu. W przykładzie 2 wyznaczyliśmy pochodną z pierwiastka kwadratowego. Uzyskaliśmy tam wynik: $\left( \sqrt x \right)' = \frac 1 {2 \sqrt x}$. Zauważmy, że $x=0$ należy do dziedziny naszej funkcji i mamy $\sqrt 0 = 0$, ale $f'(0)$ nie istnieje. Rzut oka na wykres funkcji pozwala stwierdzić, dlaczego tak się dzieje.

Tym razem, pomijając kwestię „urwania” się wykresu spowodowanego ograniczoną dziedziną funkcji $\sqrt x$, styczna do wykresu funkcji dla $x=0$ jest prostą pionową, czyli $\alpha = \pm 90^{\circ} = \pm \frac \pi 2$, a wtedy $\tg \alpha$ nie istnieje.

Obliczanie pochodnej ze wzoru

W rzeczywistości obliczanie pochodnej z definicji traktuje się jako „sztukę dla sztuki”. Poza zadaniami na kolokwium czy egzaminie w zasadzie się z tego nie korzysta. W praktyce korzysta się z „gotowców”, czyli ze wzorów rachunku różniczkowego. Wzory te podzielić można na dwie grupy: wzory wyrażające ogólne, „rachunkowe” własności¹ pochodnych oraz wzory na pochodne konkretnych funkcji.

Wzory wyrażające własności pochodnej

Pierwsze wzory dotyczą tzw. liniowości pochodnej:

$$\left[a \cdot f(x) \right]' = a \cdot f'(x) \tag 3 \label {eq:3}$$

$$\left[f(x) \pm g(x)\right]' = f'(x) \pm g'(x) \tag 4 \label {eq:4}$$

Wzór (3) oznacza, że stałą można „wyłączyć” przed pochodną, czyli tak, jak była ona „domnożona” do funkcji, tak też pozostanie „domnożona” do jej pochodnej. Wzór (4) natomiast określa, że pochodna sumy bądź różnicy dwu funkcji równa jest odpowiednio sumie bądź różnicy ich pochodnych. Można też spotkać się z zapisem:

$$\left[a \cdot f(x) + b \cdot g(x) \right]' = a \cdot f'(x) + b \cdot g'(x) \tag {4a} \label {eq:{4a}}$$

który wyraża te dwie własności niejako „naraz” (zamiast $\pm$ użyto $+$, gdyż współczynniki $a$, $b$ mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne).

Kolejne dwa, bardzo ważne wzory, pozwalają wyliczyć pochodną iloczynu oraz ilorazu dwu funkcji:

$$\left[ f(x) \cdot g(x) \right]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \tag 5 \label {eq:5}$$

$$\left[ \frac {f(x)} {g(x)} \right]' = \frac {f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)} {\left[ g(x) \right]^2} \tag 6 \label {eq:6}$$

We wzorze (6) dodaje się, oczywiście, zastrzeżenie: $g(x) \neq 0$.

Wzór (5) często mnemotechnicznie określa się formułką: pochodna pierwszego razy drugie plus pierwsze razy pochodna drugiego. Ważne, by nauczyć się go w takiej właśnie kolejności, bo mnożenie jest przemienne i formułę można byłoby zapisać także w taki sposób: $f(x) \cdot g'(x) + f'(x) \cdot g(x)$, ale wówczas nie nauczylibyśmy się prawidłowo wzoru (6), w którym licznik jest niemalże taki sam jak wyrażenie ze wzoru (5), ale pomiędzy iloczynami pojawia się znak minus.

Wzór (6) można też zapisać w nieco prostszy sposób:

$$\left[ \frac {f(x)} {g(x)} \right]' = \frac {f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)} {g^2(x)} \tag {6a} \label {eq:{6a}}$$

wykorzystując skrócony sposób zapisu kwadratu funkcji.

I jako ostatni wzór, którego wykorzystanie sprawia najwięcej trudności i który stanowi niejako „sól i pieprz” rachunku różniczkowego:

$$\left\{ f \left[ g(x) \right] \right \}' = f'\left[g(x) \right] \cdot g'(x) \tag 7 \label {eq:7}$$

Słownie opisuje się go zazwyczaj w następujący sposób: pochodna funkcji złożonej równa jest pochodnej funkcji zewnętrznej, obliczonej dla funkcji wewnętrznej, razy pochodna funkcji wewnętrznej. Sposób korzystania z tego wzoru wyjaśnimy później.

Wzory na pochodne konkretnych funkcji

Absolutne must know

Wzory na pochodne konkretnych funkcji podzieliłem na dwie grupy – absolutne minimum, które trzeba umieć, oraz uzupełniający zestaw, który w razie „zapomnienia” któregoś z jego wzorów można sobie łatwiej lub trudniej wyprowadzić ze wzorów must know.

$$ (a)' = 0 \tag 8 \label {eq:8}$$

$$ (x^a)' = a \cdot x^{a-1} \tag 9 \label {eq:9}$$

$$ (\mathrm e^x)' = \mathrm e^x \tag {10} \label {eq:{10}}$$

$$(\ln x)' = \frac 1 x \tag {11} \label {eq:{11}}$$

$$(\sin x)' = \cos x \tag {12} \label {eq:{12}}$$

$$(\arcsin x)' = \frac 1 {\sqrt {1 - x^2}} \tag {13} \label {eq:{13}}$$

$$(\arctg x)' = \frac 1 {x^2+1} \tag {14} \label {eq:{14}}$$

Wzór (11) występuje też w nieco „lepszej”, można powiedzieć „mocniejszej” postaci:

$$(\ln |x|)' = \frac 1 x \tag {11a} \label {eq:{11a}}$$

Oczywiście do niektórych wzorów należałoby poczynić pewne zastrzeżenia: we wzorze (11) mamy $x>0$, we wzorze (11a) mamy $x \neq 0$, natomiast we wzorze (13) pochodna istnieje dla $-1 < x < 1$.

Szczególnie ważny jest wzór (9). Jest to bodajże najczęściej stosowany wzór spośród wszystkich wzorów rachunku różniczkowego. Często spotyka się go w postaci $\left( x^n \right)' = nx^{n-1}$. Nie jest to jednak najbardziej elegancka jego postać, gdyż sugeruje, że wykładnik $n$ musi być liczbą naturalną, a tymczasem wzór ten, przy odpowiednim rozumieniu dziedziny, działa także dla innych wykładników. Znacznie lepiej używać więc innej litery – np. właśnie $a$.

Przy dowolnym wykładniku rzeczywistym $a$ najbezpieczniej rozumieć wzór (9) na przedziale $x>0$. Dla szczególnych wykładników, np. całkowitych albo niektórych wymiernych, dziedzina może być szersza.

Równie ważny i wyjątkowo prosty jest wzór (10), określający pochodną funkcji wykładniczej o podstawie $\mathrm e$. Funkcja taka ma wyjątkową własność, polegającą na tym, że równa jest swojej pochodnej. Ściślej mówiąc, własność tę mają wszystkie funkcje postaci $f(x)=C\mathrm e^x$, gdzie $C$ jest stałą. W szczególności należy do nich także funkcja zerowa $f(x)=0$.

Odnośnie funkcji stałej $f(x)=a$ należy w tym momencie zwrócić uwagę, że zgodnie ze wzorem (3), jeśli stała jest pomnożona przez jakąś funkcję posiadającą pochodną, to stała ta „zostaje” po policzeniu pochodnej, ale pochodna „samotnej” stałej równa jest zero.

Wzory dodatkowe

Poniżej wykaz wzorów dodatkowych, które również wypada znać, ale zapomniawszy je, można się „poratować” stosownym wyprowadzeniem, choć w niektórych przypadkach trzeba mieć podstawową orientację w zależnościach między funkcjami trygonometrycznymi oraz wiedzieć, czym są funkcje hiperboliczne.

$$\left( x \right)' = 1 \tag {15} \label {eq:{15}}$$

$$\left( \frac 1 x \right)' = - \frac 1 {x^2} \tag {16} \label {eq:{16}}$$

$$\left( \sqrt x \right)' = \frac 1 {2 \sqrt x} \tag {17} \label {eq:{17}}$$

$$\left( a^x \right)' = a^x \cdot \ln a \tag {18} \label {eq:{18}}$$

$$\left( \log_a x \right)' = \frac 1 {x \cdot \ln a} \tag {19} \label {eq:{19}}$$

$$\left( \cos x \right)' = -\sin x \tag {20} \label {eq:{20}}$$

$$\left( \tg x \right)' = \frac 1 {\cos^2 x} \tag {21} \label {eq:{21}}$$

$$\left( \ctg x \right)' = -\frac 1 {\sin^2 x} \tag {22} \label {eq:{22}}$$

$$\left( \arccos x \right)' = -\frac 1 {\sqrt {1-x^2}} \tag {23} \label {eq:{23}}$$

$$\left( \arcctg x \right)' = -\frac 1 {x^2+1} \tag {24} \label {eq:{24}}$$

$$\left( \sinh x \right)' = \cosh x \tag {25} \label {eq:{25}}$$

$$\left( \cosh x \right)' = \sinh x \tag {26} \label {eq:{26}}$$

$$\left( \tgh x \right)' = \frac 1 {\cosh^2 x} \tag {27} \label {eq:{27}}$$

$$\left( \ctgh x \right)' = -\frac 1 {\sinh^2 x} \tag {28} \label {eq:{28}}$$

$$\left( \arsinh x \right)' = \frac 1 {\sqrt {x^2 + 1}} \tag {29} \label {eq:{29}}$$

$$\left( \arcosh x \right)' = \frac 1 {\sqrt {x^2 - 1}} \tag {30} \label {eq:{30}}$$

$$\left( \artgh x \right)' = \frac 1 {1-x^2} \tag {31} \label {eq:{31}}$$

$$\left( \arctgh x \right)' = \frac 1 {1-x^2} = -\frac 1 {x^2-1} \tag {32} \label {eq:{32}}$$

Oczywiście tam, gdzie to konieczne, należy uwzględnić stosowne zastrzeżenia dotyczące wartości $x$, natomiast we wzorach (18) oraz (19) dodatkowo musi być $a>0$, a we wzorze (19) ponadto $a \neq 1$.

Wzorów jest oczywiście dużo. Zauważmy, że wzory (15), (16), (17) są szczególnymi przypadkami wzoru (9). Pokażemy to w dalszej części artykułu. Warto zwrócić uwagę na wzór (18) i porównać go ze wzorem (9), gdyż stawiający swe pierwsze kroki z rachunkiem różniczkowym studenci często te dwa wzory mylą.

Wzór (9) to wzór na pochodną funkcji potęgowej, czyli funkcji, w której zmienną jest podstawa potęgi, a wykładnik potęgi jest stały. Natomiast wzór (18) określa pochodną funkcji wykładniczej, czyli funkcji, w której podstawa jest stała (musi być liczbą dodatnią), a zmienna jest w wykładniku.

Uważny Czytelnik zapyta, co z funkcją typu $x^x$, gdzie i podstawa, i wykładnik są zmienne? Otóż wzór na pochodną takiej funkcji, zwanej czasem funkcją potęgowo-wykładniczą, nie zalicza się do „kanonu” podstawowych wzorów rachunku różniczkowego, tylko pochodną tę wylicza się za pomocą sprytnej sztuczki, o której wspomnimy w dalszej części.

Wykorzystanie wzorów na pochodną

W pierwszej kolejności pokażemy, w jaki sposób ze wzorów, które określone zostały jako must know, wyprowadzić pozostałe wzory – przynajmniej niektóre, resztę Czytelnik sprawdzi we własnym zakresie.

Przykład 5

Wyprowadźmy wzór (15), czyli wzór na pochodną funkcji tożsamościowej, albo bardziej swojsko, na pochodną z iksa:

$$(x)' = \left( x^1 \right)' = 1 \cdot x^0 = 1$$

To, że pochodna z $x$ równa się 1, to bardzo cenna i przydatna informacja.

Przykład 6

Wyprowadźmy wzór (16) i to na dwa sposoby! Korzystając ze wzoru (9), a także inaczej, korzystając ze wzoru (6). Pamiętajmy, że w przykładzie 3 obliczyliśmy już tę pochodną, korzystając z definicji.

Jak wiadomo, $\frac 1 x = x^{-1}$, a zatem:

$$\left( \frac 1 x \right)' = \left( x^{-1} \right)' = -1 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2} = -\frac 1 {x^2}$$

Prawda, że proste? A teraz skorzystajmy ze wzoru (6), traktując wyrażenie $\frac 1 x$ jako iloraz dwu funkcji. Ponadto wykorzystamy wzór (15), poparty przykładem 5:

$$\left( \frac 1 x \right)' = \frac {(1)' \cdot x - 1 \cdot (x)'} {x^2} = \frac {0 \cdot x - 1 \cdot 1} {x^2} = \frac {0 - 1} {x^2} = -\frac 1 {x^2} $$

Wszystko się zgadza.

Przykład 7

Korzystając ze wzoru (9), obliczymy pochodną z pierwiastka kwadratowego. Pochodną tę obliczaliśmy już z definicji w ramach przykładu 2. Zobaczymy, jak wzór (9) sprawdza się „w akcji” dla wykładnika niebędącego liczbą całkowitą – wszak $\sqrt x = x^{\frac 1 2}$.

$$\left( \sqrt x \right)' = \left( x^{\frac 1 2} \right)' = \frac 1 2 \cdot x^{\frac 1 2 - 1} = \frac 1 2 \cdot x^{-\frac 1 2} = \frac 1 2 \cdot \frac 1 {\sqrt x} = \frac 1 {2 \sqrt x} $$

Oczywiście pod koniec skorzystaliśmy z tego, że potęga ujemna to odwrotność potęgi dodatniej, a więc $x^{-\frac 1 2} = \frac 1 {x^{\frac 1 2}} = \frac 1 {\sqrt x}$. Przykład ten pokazuje prawdziwą potęgę wzoru na pochodną funkcji potęgowej! Za pomocą wzoru (9) obliczymy pochodną z każdego pierwiastka!

Pochodna funkcji złożonej

Aby sprawdzić kolejne wzory, należy oswoić się ze wzorem (7), gdyż pełni on bardzo ważną rolę i bez niego bylibyśmy w stanie policzyć tylko pochodne najprostszych funkcji. Wzór (7), jak wspomnieliśmy, służy do obliczenia pochodnej funkcji złożonej. A co to jest funkcja złożona? Mówiąc najprościej, jest to funkcja z innej funkcji. Czyli funkcja, w której argumentem nie jest po prostu $x$, ale pewne wyrażenie zawierające $x$, które samo może być traktowane jako funkcja posiadająca pochodną.

Przykład 8

Policzmy pochodną funkcji $f(x) = (x + 5)^3$. Jest to funkcja złożona, albowiem jest to jakby funkcja $x^3$, w której w miejscu $x$ występuje wyrażenie $x+5$, które samo może być traktowane jako funkcja. W takim kontekście funkcję $x^3$ nazywamy funkcją zewnętrzną, a funkcję $x + 5$ nazywamy funkcją wewnętrzną.

Jeśli wprowadzimy oznaczenia $g(x) = x^3$ oraz $h(x) = x+5$, to naszą funkcję $f(x) = (x+5)^3$ można zapisać „fachowo” jako złożenie $\left( g \circ h \right) (x)$, bądź mniej „fachowo” jako $g\left[ h(x) \right]$. Zauważmy przy tym, że składanie funkcji nie jest operacją przemienną, bo te same funkcje złożyć można także „w drugą stronę”, otrzymując: $\left( h \circ g\right)(x) = h\left[ g(x) \right] = x^3 + 5$, a zatem zupełnie inną funkcję.

Zaraz, zaraz, ale czy musimy traktować to jako funkcję złożoną? Przecież możemy użyć wzoru skróconego mnożenia: $(x+5)^3 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$. W porządku, można i tak. Policzmy zatem najpierw pochodną w ten sposób:

$$f'(x) = \left[ (x+5)^3 \right]' = \left(x^3 + 15x^2 + 75x + 125 \right)' = 3x^2 + 30x + 75 = ...$$

można jeszcze wykazać się spostrzegawczością i troszkę uprościć:

$$... = 3 \cdot (x^2 + 10x + 25) = 3 (x+5)^2$$

No tak, ale co by było, gdyby zamiast $(x+5)^3$ było np. $(x+5)^{20}$? Sama „rozpiska” z trójkąta Pascala albo z wykorzystaniem symbolu Newtona $\left( \begin{array}{c}n\\k \end{array} \right)$ byłaby nie lada wyzwaniem.

Przyjrzyjmy się wzorowi (7): $\left\{ f \left[ g(x) \right] \right \}' = f'\left[g(x) \right] \cdot g'(x) $. Ogólna jego filozofia jest taka. Mamy dwie funkcje. Zewnętrzna to $x^3$, jej pochodna to, zgodnie ze wzorem (9), $3x^2$. Tutaj mamy do potęgi trzeciej podniesione coś innego. Mamy jakby $\square^3$.

Wzór (7) „mówi” tak: dokładnie tak samo, jak $\left( x^3 \right)' = 3x^2$, to $\left( {\square}^3 \right)' = 3\cdot{\square}^2$, ale musisz jeszcze pomnożyć to przez $\square'$, czyli przez pochodną tego $\square$.

A zatem:

$$f'(x) = \left[ (x+5)^3 \right]' = 3(x+5)^2 \cdot (x+5)' = $$

$$3(x+5)^2 \cdot (1+0) = 3(x+5)^2 \cdot 1 = 3(x+5)^2 $$

Zobaczmy, że praktycznie w każdym ze wzorów (8)–(32) moglibyśmy zastąpić $x$ „kwadracikiem” $\square$ i pomnożyć przez pochodną tego kwadracika! W naszych wzorach po prostu „kwadracikiem” jest $x$, a że $(x)' = 1$, toteż wszystko się zgadza!

Przykład 9

Obliczmy więc pochodną funkcji $f(x) = \left( 4x^2 + 3x -9 \right)^{10}$. Tutaj już pochodna funkcji złożonej jest prawie niezastąpiona:

$$f'(x) = \left[ \left( 4x^2 + 3x -9 \right)^{10} \right]' = 10 \left( 4x^2 + 3x -9 \right)^9 \cdot \left( 4x^2 + 3x -9 \right)' = $$

$$ = 10 \left( 4x^2 + 3x -9 \right)^9 \cdot \left( 8x+3-0 \right) = 10 \left( 4x^2 + 3x -9 \right)^9 \cdot \left( 8x+3 \right) $$

Przykład 10

Teraz obliczmy pochodną funkcji $f(x) = \sqrt {x^2 + x + 5}$. Tutaj już żadne inne metody nie wchodzą w rachubę. Schemat obliczania pochodnej funkcji złożonej jest koniecznością.

$$f'(x) = \left( \sqrt {x^2 + x + 5}\right)' = \frac 1 {2 \sqrt {x^2 + x + 5}} \cdot (x^2 + x + 5)' = $$

$$ = \frac 1 {2 \sqrt {x^2 + x + 5}} \cdot (2x + 1 + 0) = \frac {2x+1} {2 \sqrt {x^2 + x + 5}}$$

Przykład 11

Wyznaczmy teraz pochodną wartości bezwzględnej. W przykładzie 4 dokonaliśmy tego, wykorzystując bezpośrednio definicję pochodnej, natomiast teraz wykorzystamy tożsamość: $|x| = \sqrt {x^2}$. Zatem niech $f(x)=|x|$.

$$f'(x) = \left( |x| \right)' = \left( \sqrt {x^2} \right)' = \frac 1 {2\sqrt {x^2}} \cdot \left( x^2 \right)' = \frac {\cancel{2}x} {\cancel{2} \sqrt {x^2}} = \frac x {|x|}$$

Zauważamy, że wyrażenie to nie istnieje dla $x=0$. Teraz wystarczy tylko opuścić wartość bezwzględną, co wymaga rozpatrzenia dwóch przypadków.

Przypadek $1^{\circ}$: $x < 0$:

$$\frac x {|x|} = \frac {\cancel x} {-\cancel x} = -1$$

Przypadek $2^{\circ}$: $x > 0$:

$$\frac x {|x|} = \frac {\cancel x} {\cancel x} = 1$$

Otrzymaliśmy wynik tożsamy z otrzymanym w przykładzie 4:

$$\left( |x| \right)' = \left\{ \begin{array} {ccr} -1 & \text{dla} & x < 0 \\ \text{nie istnieje} & \text{dla} & x = 0 \\ 1 & \text{dla} & x> 0 \end{array} \right.$$

Przykład 12

A teraz czas na istną „rosyjską babuszkę”. Obliczmy pochodną funkcji $f(x)=\mathrm e^{\sqrt{x^2+7}}$. Czemu „rosyjską babuszkę”? Rosyjskie babuszki to takie drewniane figurki przedstawiające kobietę w stroju ludowym, gdzie wewnątrz większej figurki jest mniejsza, wewnątrz tej mniejszej – jeszcze mniejsza i tak dalej. Tutaj też. Mamy funkcję wykładniczą $\mathrm e^x$, która tutaj jest tą największą „babuszką”, wewnątrz niej, zamiast $x$, mamy schowaną kolejną „babuszkę” w postaci pierwiastka $\sqrt x$ i najmniejszą „babuszką” jest wielomian $x^2+7$.

Co robimy z taką „babuszką”? Po kolei, systematycznie, „oskubujemy” ją. Dla przypomnienia: $\left( \mathrm e^{\square} \right)' = \mathrm e^{\square} \cdot \square'$ (wzór 10), $\left( \sqrt \square \right)' = \frac {\square'} {2 \sqrt \square} $ (wzór 17) oraz $\left( x^2 + 7 \right)' = 2x$.

No to do dzieła:

$$f'(x) = \left( \mathrm e^{\sqrt{x^2+7}}\right)' = \mathrm e^{\sqrt{x^2+7}} \cdot \frac {\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{x^2+7}} = \mathrm e^{\sqrt{x^2+7}} \cdot \frac x{\sqrt{x^2+7}} $$

Pozwoliliśmy sobie tutaj już, jak na średniozaawansowanych przystało, na nieco skrótu w zapisie.

Przykład 13

Spróbujmy wyprowadzić wzór na pochodną funkcji wykładniczej $f(x) = a^x$, czyli wzór (18), wykorzystując wzór „must know” (10). Skorzystamy z tego, że $a = \mathrm e^{\ln a}$, w takim razie nasza funkcja:

$$f(x) = a^x = \left( \mathrm e^{\ln a} \right)^x = \mathrm e^{x \ln a}$$

i wówczas:

$$f'(x) = \left( \mathrm e^{x \ln a} \right)' = \mathrm e^{x \ln a} \cdot \left(x \ln a \right)' = \mathrm e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a$$

Przykład 14

W zestawie „must know” mamy tylko wzór (12) na pochodną funkcji sinus. Wyznaczmy wzory na pochodne pozostałych trzech² funkcji trygonometrycznych.

Cosinus wyrazić można za pomocą sinusa. Pierwsze, co przychodzi do głowy, to jedynka trygonometryczna, z której mamy: $\cos x = \sqrt {1 - \sin^2 x}$. Nie jest to dobry trop, gdyż takie przekształcenie jest prawidłowe tylko dla kątów, dla których $\cos x \geq 0$. Lepiej użyć znacznie prostszego i zawsze działającego wzoru: $\cos x = \sin \left( \frac \pi 2 - x \right)$.

Wówczas:

$$\left( \cos x \right)' = \left[ \sin \left( \frac \pi 2 - x \right) \right]' = \cos \left( \frac \pi 2 - x \right) \cdot (0 - 1) = $$

$$= - \cos \left( \frac \pi 2 - x \right) = -\sin x$$

Warto w tym momencie zwrócić uwagę na pewne podobieństwo do pochodnej funkcji wykładniczej $\mathrm e^x$. Jak wiemy, $\left( \mathrm e^x \right)' = \mathrm e^x$. Jeśli funkcję wykładniczą $\mathrm e^x$ różniczkowali będziemy wielokrotnie – czyli z pochodnej liczyli znów pochodną (czyli wyznaczali pochodne wyższych rzędów), to oczywiście cały czas otrzymywać będziemy $\mathrm e^x$.

Nic w tym odkrywczego. Jednak bardzo podobnie zachowywać się będą funkcje sinus i cosinus. Bowiem $\left( \sin x \right)' = \cos x$, następnie $\left( \cos x \right)' = -\sin x$, później $\left( -\sin x \right)' = -\cos x$ i w końcu: $\left( -\cos x \right)' = \sin x$ i cykl się zamyka. Kolejne pochodne to po prostu naprzemian sinus z cosinusem i zmieniające się znaki.

Tak więc sinus i cosinus to funkcje bardzo przypominające pod tym względem $\mathrm e^x$. I nie jest to przypadek, ale omówienie tego wymaga poruszenia tematu liczb zespolonych i wykracza poza ramy tego artykułu. Ta ciekawa własność funkcji $\mathrm e^x$ oraz sinusa i cosinusa wykorzystywana jest w równaniach różniczkowych.

Otrzymaliśmy zatem wzór (20). Z kolei oczywiście $\tg x = \frac {\sin x} {\cos x}$ i wówczas, wykorzystując dopiero co wyprowadzony wzór, wzór (6) na pochodną ilorazu oraz (tym razem się przyda) jedynkę trygonometryczną, dostajemy:

$$\left( \tg x \right)' =\left( \frac {\sin x}{\cos x} \right)' = \frac {(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} =$$

$$ = \frac {\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac {\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac 1 {\cos^2 x}$$

Dostaliśmy więc wzór (21). Wyprowadzenie wzoru (22) pozostawiam Czytelnikom.

Przykład 15

W zestawie „must know” zamieściliśmy pochodne tylko dwu funkcji cyklometrycznych: arcusa sinusa i arcusa tangensa. Gdy jednak przypomnimy sobie, czym są funkcje cyklometryczne, bardzo łatwo wyznaczymy pozostałe. Otóż wykres funkcji arcus cosinus otrzymamy z wykresu funkcji arcus sinus poprzez odbicie symetryczne względem osi $Ox$ oraz przesunięcie w górę o $\frac \pi 2$, stąd: $\arccos x = \frac \pi 2 - \arcsin x$. W takiej sytuacji, wykorzystując wzór (13), wzór (23) wyprowadzimy z łatwością:

$$\left( \arccos x\right)' =\left( \frac \pi 2 - \arcsin x \right)' = 0 - \frac 1 {\sqrt {1 - x^2}} = - \frac 1 {\sqrt {1 - x^2}}$$

Dokładnie taką samą zależnością związane są arcus tangens i arcus cotangens:

$$\left( \arcctg x\right)' =\left( \frac \pi 2 - \arctg x \right)' = 0 - \frac 1 {x^2+1} = - \frac 1 {x^2+1}$$

Przykład 16

Wyprowadźmy wzory dla funkcji hiperbolicznych $\sinh x$, $\cosh x$, $\tgh x$, $\ctgh x$. W ogóle nie zamieściliśmy ich wśród wzorów „must know”. Stało się tak dlatego, że funkcje te wylicza się z prostych wzorów, opartych o funkcję wykładniczą $\mathrm e^x$.

Wzory te mają postać:

$$\sinh x = \frac {\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}} 2 \tag {33} \label {eq:{33}}$$

$$\cosh x = \frac {\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}} 2 \tag {34} \label {eq:{34}}$$

$$\tgh x = \frac {\sinh x}{\cosh x} = \frac {\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}} {\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}} \tag {35} \label {eq:{35}}$$

$$\ctgh x = \frac {\cosh x}{\sinh x} = \frac {\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}} {\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}} \tag {36} \label {eq:{36}}$$

Obliczamy pochodne:

$$\left( \sinh x \right)' = \left( \frac {\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}} 2 \right)' =\frac {\mathrm e^x - \mathrm e^{-x} \cdot (-1)} 2 = \frac {\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}} 2 = \cosh x$$

Otrzymaliśmy wzór (25). Zwróćmy uwagę, że nie wykorzystywaliśmy wzoru (6) na pochodną ilorazu, gdyż wyrażenie (33) nie musi być traktowane jak iloraz dwu funkcji. Mianownik jest bowiem stałą i można wyrażenie (33) potraktować jako iloczyn licznika i stałej $\frac 1 2$.

I analogicznie cosinus hiperboliczny:

$$\left( \cosh x \right)' = \left( \frac {\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}} 2 \right)' =\frac {\mathrm e^x + \mathrm e^{-x} \cdot (-1)} 2 = \frac {\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}} 2 = \sinh x$$

„Wyszedł” wzór (26). Teraz tangens. Tutaj już konieczne będzie wykorzystanie wzoru (6) na pochodną ilorazu.

$$\left( \tgh x \right)' = \left( \frac {\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}} {\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}} \right)' = \frac { \left(\mathrm e^x - \mathrm e^{-x} \right)' \cdot \left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right) - \left(\mathrm e^x - \mathrm e^{-x} \right) \cdot \left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right)' } {\left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right)^2} = $$

$$= \frac { \left(\mathrm e^x + \mathrm e^{-x} \right) \cdot \left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right) - \left(\mathrm e^x - \mathrm e^{-x} \right) \cdot \left( \mathrm e^x - \mathrm e^{-x}\right) } {\left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right)^2} = $$

$$= \frac { \left(\mathrm e^x + \mathrm e^{-x} \right)^2 - \left(\mathrm e^x - \mathrm e^{-x} \right)^2 } {\left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right)^2} = \frac { \left(\mathrm e^{2x} + 2 + \mathrm e^{-2x} \right) - \left(\mathrm e^{2x} - 2 + \mathrm e^{-2x} \right) } {\left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right)^2} = $$

$$= \frac { \cancel {\mathrm e^{2x}} + 2 + \cancel{\mathrm e^{-2x}} - \cancel{\mathrm e^{2x}} + 2 - \cancel{\mathrm e^{-2x}} } {\left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right)^2} = \frac { 4 } {\left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right)^2} = $$

$$= \frac 1 {\frac { \left( \mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right)^2} {4}} =\frac 1 {\left( \frac { \mathrm e^x + \mathrm e^{-x} } {2} \right)^2} = \frac 1 {\cosh^2 x} $$

Otrzymaliśmy wzór (27). Wyprowadzenie wzoru na cotangens hiperboliczny to zadanie dla Czytelników.

Przykład 17

Teraz wyprowadzimy wzory na pochodne funkcji odwrotnych do funkcji hiperbolicznych. Należy w tym momencie zwrócić uwagę, że nagminne jest błędne nazywanie tych funkcji przez studentów. Otóż nie ma czegoś takiego jak „arcus sinus hiperboliczny”, jest – tylko i wyłącznie – area sinus hiperboliczny, area cosinus hiperboliczny itd. I „wymawia się, jak się pisze” – area, nie żadne „erja”, to nie jest słowo angielskie, lecz łacińskie!

Podobnie w symbolach area sinusa hiperbolicznego oraz area tangensa hiperbolicznego nie uświadczymy litery „c”: ma być $\arsinh x$ oraz $\artgh x$. W area cosinusie i area cotangensie hiperbolicznym oczywiście „c” jest, ale tylko jedno! $\arcosh x$ oraz $\arctgh x$.

Wzory na funkcje area można otrzymać, wyliczając $x$ ze wzorów na funkcje hiperboliczne. Jest to temat na inny artykuł, dlatego tutaj od razu zamieścimy te wzory:

$$\arsinh x = \ln \left(x + \sqrt{x^2 +1 } \right) \tag {37} \label {eq:{37}}$$

$$\arcosh x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1 } \right) \tag {38} \label {eq:{38}}$$

$$\artgh x = \frac 1 2 \ln {\frac {1+x}{1-x}} \tag {39} \label {eq:{39}}$$

$$\arctgh x = \frac 1 2 \ln {\frac {x+1}{x-1}} \tag {40} \label {eq:{40}}$$

Wyznaczmy zatem pochodne z tych funkcji, co będzie doskonałym ćwiczeniem umiejętności obliczania pochodnych z funkcji złożonych.

Zacznijmy od funkcji area sinus hiperboliczny.

$$\left( \arsinh x \right)' = \left[ \ln \left(x + \sqrt{x^2 +1 } \right) \right]' = \frac 1 {x + \sqrt{x^2 +1 }} \cdot \left(1 + \frac {\cancel 2x} {\cancel 2 \sqrt{x^2 +1 }} \right) =$$

$$ = \frac 1 {\cancel{x + \sqrt{x^2 +1 }}} \cdot \frac {\cancel{\sqrt{x^2 +1 } + x}} {\sqrt{x^2 +1 }} = \frac 1 {\sqrt {x^2 + 1}} $$

Otrzymano wzór (29). Obliczenie pochodnej funkcji $\arcosh$, danej wzorem (38), zostawmy Czytelnikom. Teraz policzymy pochodną funkcji (39), czyli area tangensa hiperbolicznego:

$$\left( \artgh x \right)' = \left( \frac 1 2 \ln {\frac {1+x}{1-x}} \right)' = \frac 1 2 \cdot \frac 1{\frac {1+x}{1-x}} \cdot \left( \frac {1+x}{1-x} \right)' =$$

$$ = \frac 1 2 \cdot {\frac {1-x}{1+x}} \cdot \frac {1 \cdot (1-x) - (1 + x) \cdot (-1)}{(1-x)^2} =$$

$$ = \frac 1 2 \cdot {\frac {\cancel {1-x}}{1+x}} \cdot \frac {1 -\cancel x + 1 + \cancel x}{(1-x)^{\cancel 2}} =$$

$$=\frac 1 {\cancel 2} \cdot \frac {\cancel 2} {(1-x) \cdot (1+x)}= \frac 1 {1 - x^2} $$

Otrzymano wzór (31). Obliczenie pochodnej area cotangensa hiperbolicznego pozostawiam Czytelnikom.

Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Funkcją potęgowo-wykładniczą, jak już wspomniano, nazywa się funkcję $f(x) = x^x$. Jest to dość ciekawa funkcja o dziedzinie $x \in \mathbb R^+$. Jej pochodną oblicza się w specyficzny sposób, gdyż nie można zastosować bezpośrednio ani wzoru (9), gdyż wykładnik jest zmienny, ani wzoru (18), gdyż podstawa jest zmienna.

Przykład 18

Aby wyliczyć pochodną funkcji $f(x) = x^x$, wykorzystujemy to samo przekształcenie, które wykorzystaliśmy do wyliczenia wzoru (18) ze wzoru (10). Czyli przekształcenie $a^b = \mathrm e^{b \cdot \ln a}$. Po dokonaniu takiego przekształcenia korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji wykładniczej $\mathrm e^x$, czyli wzoru (10), oraz wzorów (5) oraz (7) na obliczenie pochodnej iloczynu oraz pochodnej funkcji złożonej:

$$\left( x^x \right)' = \left( \mathrm e^{x \cdot \ln x} \right)' = \mathrm e^{x \cdot \ln x} \cdot \left(x \cdot \ln x \right)' = $$

$$ = x^x \cdot \left( 1 \cdot \ln x + \cancel x \cdot \frac 1 {\cancel x} \right) = x^x \cdot \left( \ln x + 1 \right) $$

Z tego schematu możemy skorzystać zawsze, gdy trzeba będzie obliczyć pochodną $\left[ f (x)^{g(x)} \right]'$.

Różniczka funkcji

Jak już wielokrotnie wspomnieliśmy, obliczanie pochodnej funkcji nosi nazwę jej różniczkowania. Skoro obliczanie całek to całkowanie, to czy różniczkowanie nie powinno być obliczaniem różniczek? Co to w ogóle jest różniczka? Czy to synonim pochodnej?

Otóż odpowiedź brzmi – niezupełnie. Najkrócej mówiąc, różniczką funkcji nazywamy iloczyn jej pochodnej przez elementarny (tj. nieskończenie mały, dążący do zera) przyrost zmiennej tej funkcji. W zasadzie ten elementarny przyrost to jest to nasze $h$, występujące we wzorach (1) oraz (2), tyle tylko, że utarł się zwyczaj oznaczania go nie literą $h$, a jako $\mathrm{dx}$.

Różniczką funkcji $f(x)$ nazywamy więc wyrażenie:

$$\mathrm df = f'(x) \cdot \mathrm{dx} \tag {41} \label {eq:{41}}$$

Wartość różniczki opisuje liniową, styczną część przyrostu wartości funkcji w danym punkcie dla bardzo małego przyrostu argumentu. W praktyce można ją traktować jako przybliżenie rzeczywistego przyrostu funkcji. Po prostu traktujemy nieskończenie mały kawałek wykresu funkcji jako odcinek prostej stycznej do wykresu funkcji.

Tworzy się jakby trójkąt prostokątny, który ma szerokość $\mathrm{dx}$, wysokość $\mathrm d f$, a jego przeciwprostokątną jest odcinek stycznej do wykresu funkcji. Z różniczkami będziemy mieli bardzo często do czynienia podczas obliczania całki nieoznaczonej.

Co dalej?

Nasz artykuł przedstawia podstawy rachunku różniczkowego. Ma za zadanie pokazać, w jaki sposób należy liczyć pochodne – zarówno z definicji, jak i ze wzoru. Obliczanie pochodnych, w przeciwieństwie do całkowania, wyznaczania granic czy badania zbieżności szeregów, to takie zagadnienie, którego nauczyć się stosunkowo łatwo. Jedynie wyznaczanie pochodnej z definicji wymaga nauczenia się pewnych „sztuczek” i „chwytów”, natomiast korzystanie ze wzorów można porównać do jazdy na rowerze. Jeśli raz utrzymamy równowagę, dalej pójdzie łatwo na każdej trasie.

Rachunek różniczkowy to wszechstronne narzędzie, wykorzystywane przede wszystkim w analizie przebiegu zmienności funkcji, w zagadnieniach z zakresu mechaniki, ekonomii i wielu innych dziedzinach nauki. Nie da się samodzielnie zaliczyć nawet pierwszego semestru na studiach politechnicznych bez opanowania rachunku różniczkowego. Opanowanie rachunku różniczkowego to z kolei warunek konieczny opanowania, przynajmniej w podstawowym zakresie, rachunku całkowego – niezbędnego do samodzielnego zaliczenia kolejnego semestru.

Powiązane artykuły

• Funkcje elementarne
• Wielomiany
• Całki nieoznaczone – metody podstawowe
• Aproksymacja i interpolacja

Utworzono: 03.11.2025 | Zmodyfikowano: 16.05.2026

1. Jeden z moich wykładowców na Politechnice Częstochowskiej, prof. dr hab. inż. Józef Koszkul, miał „alergię” na używanie słowa „własności” odnośnie cech szczególnych czegoś. Koniecznie domagał się używania słowa „właściwości”, argumentując, że „własność” to słowo określające stosunek posiadania (np. „ten samochód jest moją własnością”). Nie zgadzam się z Panem profesorem. Obydwa słowa „własność” i „właściwość” mogą być używane zamiennie w kontekście cech szczególnych jakiegoś obiektu. Wszak słowo „właściwość” również posiada swe drugie znaczenie, określające „poprawność”, „prawidłowość” (np. „właściwość sądu”). Taki już jest urok, taka własność, taka właściwość języka, że słowa posiadają kilka znaczeń. ↩︎
2. Ostatnio daje się zaobserwować wycofywanie funkcji cotangens z programu nauczania szkół średnich. Matematyka wyższa raczej nie zamierza z niej rezygnować, choć pamiętajmy, że są jeszcze dwie funkcje trygonometryczne, z których dawno już zrezygnowała: secans i cosecans. ↩︎

Średnia niejedno ma imię

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Wprowadzenie

Średnia arytmetyczna to najpowszechniej znana miara statystyki opisowej. Znana i w miarę dobrze rozumiana także przez osoby najbardziej odżegnujące się od matematycznych sympatii. Stosowana jest bardzo szeroko zarówno jako miara zbiorowości, jak i estymator wartości oczekiwanej w populacji generalnej. Jednak statystyka zna nie tylko średnią arytmetyczną. Znane i używane są również inne rodzaje średniej, jak średnia harmoniczna czy średnia geometryczna. Wybór konkretnej średniej zależy od specyfiki zbiorowości i cechy, dla której średnia jest obliczana, natomiast sposób obliczania tej miary zależy od rodzaju szeregu statystycznego.

Spis treści

• Co to w ogóle jest średnia
• Średnia arytmetyczna
• Średnia harmoniczna
• Średnia geometryczna
• Średnia kwadratowa
• Średnia potęgowa
• Podsumowanie

Co to w ogóle jest średnia

Najkrócej mówiąc, średnia to pewna charakterystyka danych. Jest to każda funkcja określona na zbiorze danych $x_1, x_2, ..., x_n$, spełniająca warunek:

$$\min\{x_1, x_2, ..., x_n \} \leq \mu(x_1, x_2, ..., x_n) \leq \max\{x_1, x_2, ..., x_n \} \tag 1 \label {eq:1}$$

Oprócz tego względem każdej ze zmiennych $x_i$ średnia musi być funkcją niemalejącą. Jak więc widać, wiele nie potrzeba, aby dany parametr mógł być nazywany średnią. W tym kontekście średnią jest zarówno wartość najmniejsza, jak i największa spośród danych, gdyż spełniają one warunek (1). Średnią jest także dominanta, mediana, a nawet każdy kwantyl¹.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna jako klasyczna miara tendencji centralnej

Średnia arytmetyczna jest najbardziej znanym przykładem klasycznej miary tendencji centralnej. Miary klasyczne to takie miary statystyczne, na wartość których wpływają wszystkie dane w szeregu. Zmiana pojedynczej danej zawsze wpływa na wartość miary.

Miara tendencji centralnej oznacza, że wskazuje na przeciętność. Oprócz określenia miara tendencji centralnej stosuje się także często określenie miara położenia, co jest również trafnym określeniem w stosunku do średniej i nieco szerszym, gdyż w zakres miar położenia wchodzą także kwartyle i kwantyle innych rzędów. W najszerszym ujęciu można powiedzieć, że praktycznie każda miara położenia jest średnią w rozumieniu warunku (1).

Obliczanie średniej w szczegółowym szeregu statystycznym

Średnia arytmetyczna w szczegółowym szeregu statystycznym to właśnie ta średnia, najszerzej i najlepiej rozumiana w języku potocznym. Sposób jej obliczania można najkrócej streścić jako dodaj wszystkie wartości i podziel przez ich liczbę. Sposób ten zapisuje się najczęściej za pomocą formuły:

$$\bar x = {{x_1 + x_2 + ... + x_n} \over n} \tag {2a} \label {eq:{2a}}$$

Korzystając z operatora sumowania, wzór ten zapisuje się w postaci najczęściej spotykanej w podręcznikach statystyki opisowej:

$$\bar x = {{1 \over n} \cdot \sum_{i = 1}^n x_i} \tag {2b} \label {eq:{2b}}$$

Operator sumowania oznacza, że podstawiamy za indeks przy zmiennej $x$ kolejne wartości $i$ od 1 aż do $n$ i wszystkie kolejno otrzymywane wartości $x_1$, $x_2$, …, $x_n$ sumujemy. Z kolei oznaczenie $\bar x$ to powszechnie przyjęte w statystyce opisowej oznaczenie średniej arytmetycznej, za pomocą poziomej kreski nad nazwą zmiennej.

Przykład 1

Akwizytor w kolejnych miesiącach, od stycznia do grudnia, zarobił następujące kwoty prowizji: 2480; 6731; 1128; 5355; 7846; 972; 1571; 18903; 7525; 5644; 2781; 6702. Obliczyć średnią wysokość prowizji akwizytora w miesiącu.

$$\bar x = {{2480 + 6731 + 1128 + 5355 + 7846 + 972 + 1571 + 18903 + 7525 + 5644 + 2781 + 6702} \over 12}$$

$$\bar x = {{67638} \over 12} = 5636,50$$

Tak więc średnia miesięczna kwota uzyskiwanej przez akwizytora prowizji wyniosła 5636,50 zł.

Co to oznacza w praktyce? Gdyby nasz akwizytor osiągał regularne miesięczne prowizje, to gdyby w każdym miesiącu jego prowizja wyniosła 5636,50 zł, można by powiedzieć, że „wyszłoby na to samo”. Taka jest właśnie idea średniej arytmetycznej.

Niektórzy nauczyciele akademiccy tłumaczą studentom, że średnia nie nadaje się dobrze do wielkości silnie zróżnicowanych. Tam, gdzie pojawiają się wartości odstające – tak jak u nas w jednym miesiącu prowizja wyniosła aż 18903 zł. Nie jest to jednak do końca prawda. Bez względu na to, jak zróżnicowane są wartości i jak bardzo niektóre z nich odstają od reszty, średnia jest zawsze właściwą miarą dla wielkości, które podlegają sumowaniu, czyli wielkości (zmiennych statystycznych), których suma ma sens praktyczny.

W naszym przypadku, niezależnie od tego, czy nasz akwizytor w danym miesiącu zarobi sto, czy milion złotych, to wszystko wpada do jego kieszeni i wpływa na średni roczny dochód. Tak więc średnia w tym przypadku zawsze będzie odpowiednią miarą przeciętności.

Przykład 2

Jeśli jednak np. będziemy chcieli ustalić przeciętną cenę zagranicznej wycieczki spośród następujących ofert (ceny za uczestnika, dane uszeregowano od najmniejszej do największej ceny za osobę): 2500; 2850; 2900; 3200; 3350; 3600; 3700; 3800; 25700; 31000, to wówczas średnia wyniesie:

$$\bar x = {{2500 + 2850 + 2900 + 3200 + 3350 + 3600 + 3700 + 3800 + 25700 + 31000} \over 10}$$

$$\bar x = {{82600} \over 10} = 8260$$

Otrzymamy przeciętną cenę wycieczki 8260 zł. Czy jednak w takim wypadku będzie to dobra ocena przeciętności? Otóż – zależy. Jeśli będą to np. kwoty wycieczek sprzedanych przez biuro podróży w danym tygodniu, to można powiedzieć, że średnio biuro uzyskało 8260 zł za jedną wycieczkę. Jeśli jednak jest to 10 ofert i chcemy podać przeciętną cenę – np. dla zorientowania się w sytuacji rynkowej – to średnia nie będzie dobrą miarą.

Wynikająca z niej przeciętna cena wycieczki da całkowicie fałszywy obraz sytuacji. Dla przeciętnego konsumenta wycieczka za ponad 8 tys. zł od osoby jest zbyt droga. I w rzeczywistości wśród przedstawionych dziesięciu ofert nawet nie ma ani jednej wycieczki z takiej półki cenowej. Dla bogatego miłośnika luksusu z kolei taka cena może sugerować, że oferowane wycieczki są poniżej jego subiektywnej granicy ekskluzywności.

W tej sytuacji istotnie pojawienie się odstających danych sprawia, że lepszą miarą przeciętności od średniej okazuje się mediana. W tym wypadku mediana wyniesie 3475 zł i wartość ta dość trafnie obrazuje sytuację. Dzieje się tak dlatego, że dane nie podlegają tutaj sumowaniu. To, że ktoś kupił sobie wycieczkę za ponad 30 tys. zł, w żaden sposób nie wpływa na cenę wycieczki dla innych konsumentów. To bardzo istotna kwestia, często poruszana na zajęciach ze statystyki.

Obliczanie średniej arytmetycznej w szeregu rozdzielczym punktowym

Szereg rozdzielczy punktowy to efekt „kompresji bezstratnej” szeregu szczegółowego. Jeśli dane się powtarzają, zamiast enumeratywnie wypisywać wszystkie takie dane wielokrotnie, można zamiast tego zapisać wartość oraz liczbę powtórzeń. Zamiast wielokrotnie dodawać tę samą wartość, można mnożyć wartość przez liczebność.

Schemat szeregu rozdzielczego punktowego jest następujący:

$x_i$ to wartości cechy (zmiennej), $n_i$ to liczebności (częstości) wystąpienia poszczególnej wartości, natomiast $w_i$ to częstości względne: $w_i = {n_i \over N}$.

Wzór na obliczenie średniej arytmetycznej w takim szeregu to:

$$\bar x = {{1 \over N} \cdot \sum_{i=1}^k {x_i \cdot n_i}} \tag {3a} \label {eq:{3a}}$$

Średnią można też policzyć, wykorzystując częstości względne:

$$\bar x = { \sum_{i=1}^k {x_i \cdot w_i}} \tag {3b} \label {eq:{3b}}$$

Należy zwrócić uwagę, że w przeciwieństwie do wzoru (2b), we wzorach (3a) oraz (3b) sumowanie odbywa się do $k$, a nie do $n$. $k$ jest tutaj oczywiście liczbą różnych wartości występujących w szeregu.

Średnia arytmetyczna obliczana dla szeregu rozdzielczego punktowego to szczególny przypadek średniej arytmetycznej ważonej, o której mowa będzie w dalszej części artykułu.

Przykład 3

Poniżej zebrano dane o liczbie wypadków, jakie wydarzyły się w pewnej miejscowości w 100 kolejnych dniach.

Średnia arytmetyczna, obliczona według wzoru (3a), wynosi:

$$\bar x = {{0 \cdot 45 + 1 \cdot 22 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 6} \over 100}$$

$$\bar x = {128 \over 100} = 1,28$$

Według wzoru (3b):

$$\bar x = 0 \cdot 0,45 + 1 \cdot 0,22 + 2 \cdot 0,12 + 3 \cdot 0,08 + 4 \cdot 0,07 + 5 \cdot 0,06 = 1,28$$

Jak widać, wzór (3b) pozwala na wyliczenie średniej arytmetycznej niejako „bezpośrednio”. Od razu uzyskujemy wynik. Obliczona wartość średniej arytmetycznej oznacza, że w objętej analizą miejscowości w badanym okresie wydarzyło się średnio 1,28 wypadku dziennie.

Obliczenie średniej arytmetycznej w szeregu rozdzielczym przedziałowym

W odróżnieniu od szeregu rozdzielczego punktowego, szereg rozdzielczy przedziałowy (zwany czasem także szeregiem rozdzielczym z przedziałami klasowymi) stanowi „kompresję stratną” danych. Szereg zawiera informację o krańcach przedziałów oraz liczbie danych, które należą do poszczególnych przedziałów. Nie wiemy natomiast, jakie dokładnie liczby do tego przedziału trafiły.

Przy obliczaniu miar statystycznych na podstawie szeregów rozdzielczych przedziałowych przyjęto następujące zasady:

• dla potrzeb obliczania miar pozycyjnych (np. mediany) przyjmuje się, że poszczególne elementy zbioru danych w każdym z przedziałów rozłożone są równomiernie;
• dla potrzeb obliczenia miar klasycznych przyjmuje się, że w każdym przedziale wszystkie elementy do niego należące mają jednakowe wartości, równe wartości środkowej, tj. średniej arytmetycznej początku i końca przedziału.

Wartość środkową przedziału (klasy) oznacza się zazwyczaj symbolem: $\dot x$. Wzory do obliczenia średniej arytmetycznej są w zasadzie identyczne ze wzorami (3a), (3b), tyle że zamiast wartości zmiennej są środki przedziałów. Wzór wykorzystujący liczebności absolutne:

$$\bar x = {{1 \over N} \cdot \sum_{i=1}^k {\dot x_i \cdot n_i}} \tag {4a} \label {eq:{4a}}$$

Wzór wykorzystujący liczebności (częstości) względne, zwane także wskaźnikami struktury:

$$\bar x = { \sum_{i=1}^k {\dot x_i \cdot w_i}} \tag {4b} \label {eq:{4b}}$$

Przykład 4

Zebrano dane o wysokości kontraktów (w tys. zł) zawartych przez przedstawicieli handlowych pewnej firmy.

Dane statystyczne zawarte są w pierwszych dwu kolumnach. Pozostałe kolumny zawierają obliczenia pomocnicze – oznaczone kolorem niebieskim.

Średnia arytmetyczna, obliczona ze wzoru (4a):

$$\bar x = {{5 \cdot 2 + 15 \cdot 22 + 25 \cdot 10 + 35 \cdot 4 + 45 \cdot 2 } \over 40}$$

$$\bar x = {820 \over 40} = 20,50$$

Obliczenie za pomocą wzoru (4b) jest bardzo podobne:

$$\bar x = {5 \cdot 0,05 + 15 \cdot 0,55 + 25 \cdot 0,25 + 35 \cdot 0,10 + 45 \cdot 0,05 } = 20,50 $$

Średnia wartość zawartych kontraktów wyniosła 20,5 tys. zł.

Średnia arytmetyczna ważona

Ze średnią ważoną mamy do czynienia wówczas, gdy obliczamy średnią w sytuacji, gdy wszystkie dane w szeregu statystycznym są dla nas niejednakowo ważne. Z tym mieliśmy do czynienia właśnie w szeregach rozdzielczych, gdzie średnia nie była obliczana przez zwykłe dodanie wartości zmiennej, ale wartości te były mnożone przez liczebności. Liczebności te pełniły rolę wag. We wzorach (3a) oraz (4a) wagami były liczebności (częstości) absolutne, natomiast we wzorach (3b) oraz (4b) były to częstości względne (wskaźniki struktury).

W ogólności bowiem formuła na średnią arytmetyczną ważoną w szeregu szczegółowym, złożonym z $n$ wartości $x_i$, z których każda posiada swoją wagę $w_i$, wyraża się wzorem:

$${\bar x}_w = {{\sum_{i=1}^n x_i \cdot w_i} \over {\sum_{i=1}^n w_i}} \tag 5 \label {eq:5}$$

Jeśli wagi są unormowane, czyli sumują się do jedności (np. są to wagi określone procentowo), to wówczas $\sum_{i=1}^n w_i = 1$ i we wzorze (5) „znika” mianownik (jest równy jedności).

Wagi mogą być określone arbitralnie. Np. wysokość stypendium naukowego może być określona jako średnia ważona z odpowiednich przedmiotów.

Przykład 5

Załóżmy, że na pewnej uczelni określono minimalną średnią do ubiegania się o stypendium naukowe w wysokości 4,2. Określono, że do średniej tej wliczają się uzyskane w poprzednim semestrze oceny z analizy matematycznej oraz statystyki opisowej. Wagi przypisane poszczególnym ocenom oraz uzyskane przez pewnego studenta oceny przedstawia poniższa tabela:

Czy student uzyska stypendium?

Obliczamy średnią ważoną. Wagi są unormowane. Średnia wynosi:

$${\bar x}_w = 4,5 \cdot 0,1 + 4,0 \cdot 0,3 + 4,0 \cdot 0,2 + 3,5 \cdot 0,15 + 5,0 \cdot 0,25 = 4,225$$

A zatem nasz student załapał się na stypendium naukowe przysłowiowym „rzutem na taśmę”.

Co jeszcze powinniśmy wiedzieć o średniej arytmetycznej?

Średnia arytmetyczna jest podstawowym i najczęściej stosowanym estymatorem wartości oczekiwanej w populacji generalnej. Jeśli mamy populację i chcemy oszacować wartość oczekiwaną jakiejś zmiennej w tej populacji, czyli właśnie taką średnią dla całej populacji, dysponując losową próbką danych, wówczas naturalnym i najczęściej wykorzystywanym oszacowaniem jest średnia arytmetyczna z próby. Przy typowych założeniach, zwłaszcza przy losowej próbie i skończonej wariancji, ma ona bardzo dobre własności statystyczne. Będzie to poruszone w artykule o estymatorach.

Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna jako średnia do zadań specjalnych

Skoro średnia arytmetyczna jest taka dobra, to po co korzystać z jakichś innych średnich? Otóż są sytuacje, gdzie średnia arytmetyczna nie spełnia dobrze swojej roli miary przeciętności. Wcale nie chodzi tutaj o pojawianie się danych odstających itp., ale o specyfikę zmiennej, dla której liczymy średnią.

Średnią harmoniczną dla szeregu szczegółowego scharakteryzować można najkrócej w taki sposób, że odwrotność średniej harmonicznej jest średnią arytmetyczną z odwrotności danych. Literalnie zatem, wykorzystując tę niby-definicję, mamy:

$${1 \over {\bar x_h}} = {{{1 \over {x_1}} + {1 \over {x_2}} + ... + {1 \over {x_n}}} \over n } $$

po obustronnym odwróceniu:

$$\bar x_h = {n \over {{1 \over {x_1}} + {1 \over {x_2}} + ... + {1 \over {x_n}}} } $$

Dostajemy formalny wzór:

$$\bar x_h = {n \over {\sum_{i=1}^n {1 \over {x_i}}} } \tag 6 \label {eq:6} $$

Pierwsze, co powinno się „rzucić w oczy”, to to, że nie można średniej tej policzyć, gdy wśród danych znajduje się zero. W ogóle najlepiej przyjąć, że średnią harmoniczną liczymy dla danych dodatnich. Oprócz tego, że wśród danych nie może być zera, specyfika wzoru (6) jest taka, że w szczególny sposób traktuje ona liczby. W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, która wszystkie liczby traktuje po równo, średnia harmoniczna faworyzuje wartości niskie, co skutkuje następującą relacją pomiędzy średnią arytmetyczną a harmoniczną:

$$\bar x_h \leq \bar x \tag 7 \label {eq:7}$$

Czyli średnia harmoniczna zawsze jest nie większa od średniej arytmetycznej, a równość zachodzi tylko wówczas, gdy wszystkie dane w zbiorze są jednakowe.

Kiedy średnia harmoniczna jest lepszą miarą przeciętności od średniej arytmetycznej? Weźmy następujący przykład.

Przykład 6

Adam jechał do swojej babci na rowerze. Do babci jechał trochę pod górkę, średnio z prędkością $10 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Natomiast z powrotem jechał z górki (i cieszył się z prezentu od babci), jechał zatem z prędkością $20 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Z jaką średnią prędkością jechał Adam?

Sprawa wydaje się prosta: $\frac {10 + 20} 2 = 15$. Czy jednak $15 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ to prawidłowa odpowiedź? Okazuje się, że nie.

Załóżmy, że od Adama do babci jest 10 $\mathrm{km}$. Odległość, jak się zaraz okaże, może być dowolna. Przy prędkości $10 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ droga do babci zajęła Adamowi równą godzinę. Droga powrotna, gdzie ostro pocisnął $20 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, wymagała tylko pół godziny. W sumie więc Adam przejechał 20 $\mathrm{km}$, co zajęło mu 1,5 $\mathrm{h}$. Ile zatem wynosiła średnia prędkość? Trzeba podzielić drogę przez czas:

$$\bar v = \frac {20} {1,5} = \frac {40} 3 = 13,33 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

Ciekawe, prawda? Zgodnie z ideą średniej harmonicznej, wynik rzeczywiście znajduje się bliżej niższej wartości. Jeśli do kogoś taki przykład słabo przemawia, to weźmy jaskrawszy przykład. Załóżmy, że w drodze powrotnej Adam został teleportowany z prędkością światła:

$$ c = 299792458 \,\frac{\mathrm m}{\mathrm s} = 1079252848,8\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$$

Przebycie dystansu 10 $\mathrm{km}$ z taką prędkością zajmuje niewiele ponad 33 $\mathrm{\mu s}$ (mikrosekundy), zatem śmiało można przyjąć, że czas ten jest praktycznie zerowy. W takiej sytuacji podróż w obie strony zajęła mu prawie tyle samo, co w jedną stronę, czyli 1 $\mathrm{h}$, a pokonał w sumie 20 $\mathrm{km}$. Średnia prędkość wyniosła więc około $20 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Gdybyśmy liczyli według średniej arytmetycznej, wówczas otrzymalibyśmy ponad $539626000 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Przecież z taką prędkością zarówno podróż tam, jak i z powrotem zająć powinna mikrosekundy, a zajęła godzinę, prawda?

Przykład 7

Rozważmy problem ogólniej. Jeśli dystans $s$ pokonujemy w jedną stronę z prędkością $v_1$, w drugą zaś – z prędkością $v_2$, ile wynosi prędkość średnia?

Prędkość średnią wyliczamy jako stosunek (iloraz) łącznego dystansu ($2s$) do łącznego czasu. Ile wynosi łączny czas? Czas jazdy w jedną stronę wynosi: $t_1 = \frac s {v_1}$, a w drugą $t_2 = \frac s {v_2}$. A zatem:

$$\bar v = \frac {2s} {\frac s {v_1} + \frac s {v_2}} = \frac {2s} {s \cdot \left( \frac 1 {v_1} + \frac 1 {v_2} \right)} = \frac 2 {\frac 1 {v_1} + \frac 1 {v_2} } $$

Co otrzymaliśmy? Otrzymaliśmy ni mniej, ni więcej, tylko wzór (6) dla $n=2$. Mamy więc pełne uzasadnienie dla stosowania średniej harmonicznej przy obliczaniu średniej prędkości, gdy mamy do czynienia z jednakowymi drogami pokonywanymi z różnymi prędkościami.

Czy jednak zawsze średnią prędkość obliczamy za pomocą średniej harmonicznej?

Przykład 8

Bartek lubi jeździć wyczynowo na rowerze. Pewnego dnia wybrał się w dłuższą, dwugodzinną podróż. Przez pierwszą godzinę jechał w trudnym terenie, pod górkę, z prędkością $10 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Później jednak droga stała się prostsza, było z górki. Drugą godzinę jechał z prędkością $20 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Jaka była jego średnia prędkość?

Policzmy najpierw, jaki dystans przejechał. Przez pierwszą godzinę jechał z prędkością $10\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, przejechał zatem równe 10 $\mathrm{km}$. Drugą godzinę jechał z prędkością $20\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, przejechał zatem 20 $\mathrm{km}$. Łącznie przebył więc dystans 30 $\mathrm{km}$ w ciągu dwóch godzin. Średnia prędkość wyniosła więc $15 \,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Tyle, ile wynosi średnia arytmetyczna tych dwu wartości. Zatem:

$$\bar v = \frac {v_1 + v_2} 2$$

O co tutaj chodzi? Dlaczego tym razem to średnia arytmetyczna jest tą właściwą? Zauważmy, że potraktowaliśmy dane jako dwuelementowy szereg szczegółowy. Elementy szeregu szczegółowego traktujemy jako jednorodne. W przeciwnym razie należałoby użyć szeregu rozdzielczego lub nadać zmiennym jakieś wagi.

Zmienna, dla której w przykładach nr 7 oraz nr 8 obliczaliśmy średnią, jest wyrażona w jednostce względnej (ilorazowej), $\left[ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} \right]$. W przykładzie nr 7, gdzie obliczaliśmy średnią prędkość z dwu prędkości „tam” i „z powrotem”, obydwie wartości są jednorodne ze względu na pokonywaną odległość, czyli są jednorodne ze względu na jednostkę z licznika. W takim przypadku właściwą średnią jest średnia harmoniczna.

Z kolei w przykładzie nr 8, gdzie obliczaliśmy średnią prędkość z dwu prędkości w ciągu dwu różnych godzin, obydwie wartości są jednorodne ze względu na jednostkę z mianownika. W takim przypadku właściwą średnią jest „poczciwa” średnia arytmetyczna.

Chcąc zrozumieć logikę tej reguły, pojąć ją „na chłopski rozum”, można sobie to wytłumaczyć tak: średnia arytmetyczna ma sens, gdy dane podlegają sumowaniu (patrz przykład 2). Sumować można natomiast liczby o wspólnym mianowniku. Dlatego też jednorodność pod względem mianownika uzasadnia użycie średniej arytmetycznej. Wspólny licznik nie jest wystarczającym uzasadnieniem dla sumowania, więc używamy średniej harmonicznej, w której wylicza się odwrotności, a wtedy licznik staje się mianownikiem.

W swej już prawie trzydziestoletniej (włączając czasy sprzed założenia Wszechwiedzy) praktyce korepetytorskiej spotkałem się z jeszcze jednym bardzo ciekawym wykorzystaniem średniej harmonicznej. Czy słusznym? Wymaga to głębszej analizy. Jednak innego rodzaju średniej klasycznej w przykładzie, który za chwilę przedstawię, wyliczyć się nie da.

Przykład 9

Składający się z dziesięciu żołnierzy oddział poszedł na wojnę. Trzech żołnierzy zginęło po pięciu dniach, dwóch po dziesięciu dniach, dwóch po dwudziestu dniach. Pozostali trzej żołnierze przeżyli całą wojnę. Jaki był średni czas życia żołnierza z tego oddziału (licząc od momentu rozpoczęcia wojny)?

Gdybyśmy chcieli tutaj policzyć średnią arytmetyczną, która na pierwszy rzut oka wydaje się właściwą miarą, to nie jest to możliwe, gdyż nie mamy informacji, ile trwała wojna. Z treści zadania wynika, że na pewno nie była to wojna siedmiodniowa, ale nie wiadomo też, czy była to II wojna światowa, czy może jednak wojna trzydziestoletnia. Nie da się więc policzyć średniej arytmetycznej. W zasadzie wydawałoby się, że nie da się policzyć żadnej miary klasycznej – wszak w wyliczeniu takiej miary udział muszą wziąć wszystkie wartości cechy.

Medianę (jako miarę pozycyjną) można policzyć bez problemu – szereg jest dziesięcioelementowy, medianą jest więc średnia arytmetyczna elementu piątego i szóstego. Czasy życia żołnierzy na wojnie, uporządkowane od najkrótszego do najdłuższego, wynoszą:

$$5;\,5;\,5;\,10;\,10;\,20;\,20;\,?;\,?;\,?$$

Trzy nieznane czasy życia żołnierzy, którzy dotrwali do końca wojny, oznaczone są znakami zapytania. Są one z pewnością dłuższe od 20 dni, toteż kolejność elementów nie budzi wątpliwości. Czyli mediana życia żołnierzy wynosi: $Me = \frac {10+20} 2 = 15$ dni. Jest to już coś, ale czy da się policzyć coś jeszcze?

Tak, choć trzeba od razu zaznaczyć, że dalsze rozumowanie ma charakter dyskusyjnej ciekawostki dydaktycznej, a nie standardowej procedury analizy przeżycia. Rozważając sensowność obliczania średniej harmonicznej w przykładzie nr 6, zastanawialiśmy się, co by było, gdyby Adam w drodze powrotnej podróżował z prędkością światła. Przyjęliśmy, że czas trwania takiej podróży byłby praktycznie zerowy. We wzorze (6) mamy odwrotności zmiennej, dla której liczymy średnią harmoniczną. Zakładając, że wojna trwała znacznie dłużej aniżeli czas przeżycia na niej najpóźniej poległego żołnierza, możemy przyjąć, że czas życia tych, którzy dotrwali do końca wojny, jest bardzo duży, czyli w przybliżeniu $x_i \rightarrow \infty$, a wówczas odwrotność takiego czasu dąży do zera: $\frac 1 {x_i} \rightarrow 0$. Zatem możemy policzyć średnią harmoniczną w następujący sposób:

$$\bar x_h = \frac {10} {\frac 1 {5} + \frac 1 {5} + \frac 1 {5} + \frac 1 {10} + \frac 1 {10} + \frac 1 {20} + \frac 1 {20} + 0 + 0 + 0}$$

$$\bar x_h = \frac {10} {0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,05 + 0,05 + 0 + 0 + 0 } = \frac {10} {0,9} = \frac {100} 9$$

$$\bar x_h = 11,11$$

A zatem przy takim, bardzo szczególnym założeniu, średni czas przeżycia żołnierza ze wspomnianego oddziału wyniósłby 11,11 dnia. Z ciekawości możemy zobaczyć, jaki wyszedłby ten średni czas liczony średnią harmoniczną, gdyby przyjąć konkretny czas trwania wojny. Załóżmy, że chodzi o II wojnę światową w Europie: od 1.09.1939 do 8.05.1945, czyli 2076 dni.

Dla tej wartości średnia wyniesie:

$$\bar x_h = \frac {10} {\frac 1 {5} + \frac 1 {5} + \frac 1 {5} + \frac 1 {10} + \frac 1 {10} + \frac 1 {20} + \frac 1 {20} + \frac 1 {2076} + \frac 1 {2076} + \frac 1 {2076}}$$

$$\bar x_h = \frac {10} {0,901445087}$$

$$\bar x_h = 11,09$$

Różnica niewielka. Dla porównania, średnia arytmetyczna wyniesie:

$$\bar x = \frac {5 \cdot 3 + 10 \cdot 2 + 20 \cdot 2 + 2076 \cdot 3}{10} = 630,3$$

Według średniej arytmetycznej średni czas przeżycia żołnierza na wojnie – zakładając, że chodzi o II wojnę światową w Europie – wyniesie 630,3 dnia. Wcale nie jest trywialnym pytanie, która z tych średnich daje lepszy obraz sytuacji i bardziej realistycznie ocenia szanse przeżycia. W klasycznej analizie przeżycia stosuje się oczywiście specjalne metody uwzględniające obserwacje ucięte, czyli takie przypadki, w których wiemy tylko, że dana osoba przeżyła co najmniej do końca obserwowanego okresu.

„Filozofię” użycia średniej harmonicznej do wyliczenia średniego czasu przeżycia wojny najprościej zrozumieć i wyczuć, biorąc pod uwagę tylko dwóch żołnierzy. Jeden przeżył 10 dni, a drugi doczekał końca wojny. Ich średni czas przeżycia na wojnie, liczony średnią harmoniczną przy założeniu, że czas drugiego żołnierza jest bardzo duży, wynosi:

$$\bar x_h = \frac 2 {\frac 1 {10} + 0} = \frac 2 {0,1} = 20$$

Zatem w takim przypadku, gdy jeden zginął po 10 dniach, a drugi dożył końca bardzo długiej wojny, średni czas przeżycia liczony tym sposobem wynosi 20 dni.

Tak czy inaczej, użycie średniej harmonicznej w tym wypadku, choć ciekawe i dające do myślenia, uważam za wielce dyskusyjne i nie przytoczyłbym tego przykładu, gdyby nie to, że zetknąłem się z nim w mojej praktyce korepetytorskiej jako z autentycznym przykładem z zajęć na uczelni mojej Klientki.

Czy braki w danych (brak informacji o czasie trwania wojny) bądź też ich skrajna asymetria – w przykładzie nakładają się oba te czynniki – są wystarczającym usprawiedliwieniem dla liczenia średniej harmonicznej dla zmiennej niewyrażonej jednostką względną? Może jednak lepiej zostać przy medianie, która też w tym przypadku jest niezła i w większości przypadków da się ją policzyć? To dobre pytania, które warto zostawić Czytelnikowi do przemyślenia.

Średnia harmoniczna dla szeregu rozdzielczego

W przypadku szeregu rozdzielczego, gdzie badana zmienna mianowana jest w jednostce będącej ilorazem innych jednostek, właściwy wybór średniej zależy od tego, w jakiej jednostce wyrażone są liczebności. W przypadku, gdy liczebności wyrażone są w jednostce:

• z licznika jednostki analizowanej zmiennej, właściwą średnią jest średnia harmoniczna;
• z mianownika jednostki analizowanej zmiennej, właściwą średnią jest średnia arytmetyczna.

Średnią harmoniczną z danych przedstawionych w postaci szeregu rozdzielczego punktowego oblicza się według wzoru:

$$\bar x_h = \frac {\sum_{i=1}^k n_i}{\sum_{i=1}^k \frac{n_i}{x_i}} \tag 8 \label {eq:8}$$

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego będzie podobnie – w roli pojedynczych wartości $x_i$ wystąpią środki $\dot x_i$ przedziałów klasowych, choć jest nieco dyskusyjne, czy w sytuacji konieczności użycia średniej harmonicznej właściwym jest użycie szeregu rozdzielczego przedziałowego, który – jak wspomnieliśmy – na potrzeby liczenia miar klasycznych zakłada, że wszystkie wartości w przedziale są równe środkowi przedziału, a zatem średniej arytmetycznej jego krańców. Występuje tu swego rodzaju pomieszanie obu rodzajów średnich.

Przykład 10

Powiat radomszczański składa się z 14 gmin. Poniższa tabela przedstawia dane o gęstości zaludnienia (zmienna $x_i$) oraz ludności tych gmin (liczebność-waga $n_i$) według stanu na 31.12.2024. Należy policzyć średnią gęstość zaludnienia w powiecie radomszczańskim.

Należy bardzo dokładnie podkreślić, że gdyby polecenie brzmiało obliczyć średnią gęstość zaludnienia gminy w powiecie radomszczańskim, wówczas można by było policzyć zwyczajną nieważoną średnią arytmetyczną, traktując gminy powiatu radomszczańskiego jako zbiorowość, a gęstość zaludnienia jako cechę. Skoro jednak chodzi o średnią gęstość zaludnienia w powiecie radomszczańskim, czyli niejako średnią gęstość zaludnienia na całej połaci ziemi zajmowanej przez ten powiat, konieczne jest uwzględnienie liczebności.

Gęstość zaludnienia mierzona jest w jednostce względnej $\left[\frac{\mathrm{os}}{\mathrm{km}^2} \right]$, a liczebności podane są w osobach, tj. w jednostce z licznika. Konieczne jest więc użycie średniej harmonicznej, czyli użyjemy wzoru (8). Wartości ilorazów $\frac {n_i} {x_i}$ z mianownika tegoż wzoru wyliczone zostały w tabeli (zaznaczone na niebiesko).

Średnia harmoniczna gęstości zaludnienia, równa średniej gęstości w powiecie radomszczańskim, wynosi zatem:

$$\bar x_h = \frac {\sum_{i=1}^k n_i}{\sum_{i=1}^k \frac{n_i}{x_i}} = \frac {105623}{1443,00}$$

$$\bar x_h = 73,20$$

Średnia gęstość zaludnienia w powiecie radomszczańskim wynosi zatem 73,20 $\frac{\mathrm{os}}{\mathrm{km}^2}$.

Zastanówmy się teraz, co tak naprawdę liczyliśmy w naszej tabeli. Czym są obliczone w ostatniej kolumnie wartości ilorazów $\frac {n_i} {x_i}$? Otóż dzieląc ludność mierzoną w osobach przez gęstość zaludnienia wyrażoną w osobach na kilometr kwadratowy, otrzymujemy:

$$\frac {\mathrm{os}}{\frac{\mathrm{os}}{\mathrm{km}^2}} = \cancel{\mathrm{os}} \cdot \frac{\mathrm{km}^2}{\cancel{\mathrm{os}}} = {\mathrm{km}^2}$$

Czyli ostatnia kolumna tabeli, zawierająca wyliczone ilorazy, zawiera de facto powierzchnię każdej z gmin, których suma składa się na całkowitą powierzchnię powiatu radomszczańskiego. Teraz już logiczne jest, że dzieląc ludność powiatu (suma ludności poszczególnych gmin, czyli wartości z przedostatniej kolumny) przez łączną powierzchnię, otrzymujemy ni mniej, ni więcej, tylko średnią gęstość zaludnienia powiatu radomszczańskiego.

Teraz pomyślmy, co by było, gdybyśmy chcieli obliczyć średnią gęstość zaludnienia w powiecie radomszczańskim, mając daną nie ludność każdej gminy, ale jej powierzchnię. Wówczas to niebieskie liczby pełniłyby rolę liczności $n_i$. Jest to jednostka z mianownika, zatem należałoby użyć średniej arytmetycznej i obliczyć ją ze wzoru (3a).

Wzór ten wymaga wyliczenia iloczynów wartości cechy (czyli gęstości zaludnienia $x_i$) przez liczność. Gdyby licznościami były niebieskie liczby, iloczyny równe byłyby ludności gmin (obecnym liczebnościom). W takim układzie średnią (ale teraz – arytmetyczną) byłby iloraz tych samych liczb: $\frac {105623}{1443,00}$. Oba sposoby są zatem w 100% ze sobą „kompatybilne”.

Średnia geometryczna

Obliczanie średniej geometrycznej z szeregu szczegółowego

Średnią geometryczną obliczamy analogicznie do średniej harmonicznej, ale zamiast dodawania mamy mnożenie, a zamiast dzielenia – pierwiastkowanie. Wzór na średnią geometryczną w szeregu szczegółowym to:

$$\bar x_g = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n} \tag {9a} \label {eq:{9a}}$$

lub w bardziej „zwarty” sposób, z wykorzystaniem operatora iloczynu:

$$\bar x_g = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \tag {9b} \label {eq:{9b}}$$

Podobnie jak średnia harmoniczna, tak i średnia geometryczna może być obliczana przede wszystkim dla liczb dodatnich. W ostateczności można dopuścić liczby nieujemne, choć jest oczywiste, że jeśli wśród danych pojawi się choćby jedno zero, to średnia wyliczona ze wzorów (9a) oraz (9b) wyniesie zero.

Warto tutaj poruszyć kwestię nazewnictwa. Jest kilka powodów, dla których nosi ona taką nazwę. Jednym z nich jest to, że może być ona użyta do wyliczenia tzw. kwadratury prostokąta. Jeśli mamy prostokąt o bokach $a = x_1$ oraz $b = x_2$, to średnią geometryczną tych dwu liczb:

$$\bar x_g = \sqrt{x_1 \cdot x_2} = \sqrt {a \cdot b}$$

można zinterpretować jako długość boku kwadratu o polu równym polu wspomnianego prostokąta.

Nie tylko to jednak. Jest też sposób na geometryczną konstrukcję odcinka o długości równej średniej geometrycznej długości dwóch danych odcinków – czyli konstrukcyjna kwadratura prostokąta.

Zasada konstrukcji jest prosta. Odcinki $AB$ oraz $BC$ odkładamy na jednej prostej, tak aby razem tworzyły odcinek $AC$. Następnie na odcinku $AC$ budujemy półokrąg o średnicy $AC$. Z punktu $B$ prowadzimy prostą prostopadłą do $AC$, przecinającą półokrąg w punkcie $D$. Wtedy odcinek $BD$ ma długość równą średniej geometrycznej długości odcinków $AB$ oraz $BC$.

Dlaczego tak jest? Trójkąt $\triangle ACD$ jest prostokątny, ponieważ jest oparty na średnicy półokręgu. Odcinek $BD$ jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną $AC$. Z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym wynika, że kwadrat długości tej wysokości jest równy iloczynowi długości odcinków, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną:

$$|BD|^2 = |AB| \cdot |BC|$$

i stąd:

$$|BD| =\sqrt{ |AB| \cdot |BC|}$$

Mamy to. Długość odcinka $BD$ jest średnią geometryczną odcinków $AB$ oraz $BC$. Oczywiście na rysunku widać także średnią arytmetyczną długości tych odcinków. Jest nią promień półokręgu, czyli jednakowa długość odcinków $AO$ oraz $OC$, bo przecież:

$$|AO| = |OC| = \frac {|AB| + |BC|} 2$$

Kolejnym i chyba najważniejszym powodem, dla którego średnia obliczana wzorem (9a), (9b), nazywa się średnią geometryczną, jest jej związek z ciągiem geometrycznym. Dwa najważniejsze typy ciągów, poznane w szkole średniej, to ciąg:

• arytmetyczny, w którym różnica kolejnych wyrazów jest stała (np. 2; 4; 6; 8; …);
• geometryczny, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały (np. 2; 4; 8; 16; …).

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz (oprócz pierwszego i ostatniego) jest średnią arytmetyczną swoich „sąsiadów” z lewej i prawej strony:

$$a_k = \frac {a_{k-1} + a_{k+1}} 2$$

W ciągu geometrycznym dla każdego z wyrazów (oprócz pierwszego i ostatniego) spełniony jest warunek:

$$a_k^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1}$$

co dla ciągu o dodatnich wyrazach można utożsamić z zasadą, że każdy wyraz (oprócz pierwszego i ostatniego) jest średnią geometryczną swoich obydwu „sąsiadów”:

$$a_k = \sqrt {a_{k-1} \cdot a_{k+1}}$$

Tyle a propos nazewnictwa.

Średnie tempo zmian

Podręcznikowym, modelowym przykładem sytuacji wymagającej użycia średniej geometrycznej jest wyliczanie średniego tempa zmian. Otóż jeżeli w kolejnych okresach tempo zmian wartości zmiennej $y$, wyrażone indeksami łańcuchowymi, tj. stosunkami wartości w okresie bieżącym do wartości w okresie poprzednim:

$$i_t = \frac {y_t}{y_{t-1}} \tag {10} \label {eq:{10}}$$

wynosi $i_1$, $i_2$, …, $i_n$, to średnie tempo zmian wyraża się średnią geometryczną tych indeksów łańcuchowych:

$$\bar i_g = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n i_k} \tag {11} \label {eq:{11}}$$

Przykład 11

Jacek co roku dostaje podwyżkę. Od 2020 roku dostał następujące podwyżki: o 20% (w stosunku do 2019) i potem kolejno o 5%, o 25%, 10%, 3%, 5%. Podwyżki te są nieregularne. Jaka jest średnia roczna procentowa wysokość podwyżki, jaką daje Jackowi szef? Innymi słowy, jaką regularną podwyżkę co roku musiałby dawać Jackowi szef, aby w 2025 „wyszło na to samo”?

Najpierw wyznaczmy wartości tempa zmian (czyli indeksów łańcuchowych) wysokości wynagrodzenia w kolejnych latach. Obliczamy to tempo, dodając podane wielkości procentowe do 100%, czyli do jedności. Zatem indeksy te wynoszą: 1,2; 1,05; 1,25; 1,1; 1,03; 1,05. Wartości te posiadają czytelną, praktyczną interpretację: pensja w 2020 roku stanowiła 120% pensji z 2019 roku, pensja w roku 2021 stanowiła 105% pensji z roku 2020 i tak dalej. Innymi słowy, wysokość pensji z roku 2020 otrzymamy mnożąc wysokość pensji z roku 2019 przez 1,2 i kolejne lata analogicznie.

Mnożąc poszczególne wartości tych indeksów, obliczamy łączną podwyżkę aż do 2025 roku:

$$1,2 \cdot 1,05 \cdot 1,25 \cdot 1,1 \cdot 1,03 \cdot 1,05 = 1,8737 \tag {12a} \label {eq:{12a}}$$

Łącznie pensja Jacka w roku 2025 jest wyższa od pensji z roku 2019 o 87,37%. Średnie tempo zmian to taki „procent” podwyżki, który wykonany sześciokrotnie da taką samą finalną podwyżkę. Jeśli tempo to oznaczymy przez $\bar i_g$, to powyższy warunek oznacza, że musi zachodzić:

$${\bar i_g} \cdot {\bar i_g} \cdot {\bar i_g} \cdot {\bar i_g} \cdot {\bar i_g} \cdot {\bar i_g} = {\bar i_g}^6 = 1,8737 \tag {12b} \label {eq:{12b}}$$

stąd:

$$\bar i_g = \sqrt[6]{1,8737} = 1,1103 \tag {12c} \label {eq:{12c}}$$

Zatem średnie tempo zmian wynosi 1,1103, co oznacza, że gdyby zamiast stóp podwyżek jak w treści zadania, od 2020 roku szef podnosił Jackowi wypłatę o 11,03% w stosunku do roku poprzedniego, to finalnie w roku 2025 Jacek zarabiałby tyle samo, co teraz.

Jak wynika z obliczeń (12a), (12b), (12c), średnie tempo zmian jest średnią geometryczną indeksów łańcuchowych. Warto tutaj podkreślić, że średnie tempo zmian z indeksów łańcuchowych liczymy tylko wówczas, gdy dysponujemy tylko takimi indeksami. Tak, jak w przykładzie 11. Nie wiemy, ile Jacek zarabiał, znamy tylko stopy procentowe podwyżek.

Kiedy dysponujemy oryginalnymi wielkościami w poszczególnych okresach, nie musimy obliczać indeksów.

Przykład 12

Poniższa tabela przedstawia wartość sprzedaży pewnego przedsiębiorstwa w latach 2019-2024. Obliczyć średnie tempo zmian wartości sprzedaży. Zakładając utrzymanie się takiego tempa, obliczyć prognozę sprzedaży w roku 2025.

Jak wspomniano, średnie tempo zmian należałoby obliczyć jako średnią geometryczną indeksów łańcuchowych. Ponieważ mamy dane od 2019 do 2024 roku, mamy sześć wartości, ale pięć okresów zmian:

$$\bar i_g = \sqrt[5]{i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 \cdot i_4 \cdot i_5}$$

Indeksy obliczamy jako stosunek wartości zmiennej (czyli wartości sprzedaży) w roku bieżącym do wartości w roku poprzednim. Zatem:

$$\bar i_g = \sqrt[5]{\frac {\cancel {y_{2020}}}{y_{2019}} \cdot \frac {\cancel {y_{2021}}}{\cancel {y_{2020}}} \cdot \frac {\cancel {y_{2022}}}{\cancel {y_{2021}}} \cdot \frac {\cancel {y_{2023}}}{\cancel {y_{2022}}} \cdot \frac {y_{2024}}{\cancel {y_{2023}}}} = \sqrt[5]{\frac {y_{2024}}{y_{2019}}}$$

Jak widać, „środkowe” lata się skracają i średnie tempo zmian jest pierwiastkiem odpowiedniego stopnia ze stosunku wartości zmiennej dla ostatniego roku do wartości tej zmiennej dla pierwszego roku, tj.:

$$\bar i_g = \sqrt[n-1]{\frac{y_n}{y_1}} \tag {13} \label{eq:{13}}$$

Warto zwrócić uwagę, że stopień pierwiastka jest o 1 mniejszy aniżeli liczba lat. Bierze się to stąd, że indeksów łańcuchowych jest zawsze o jeden mniej aniżeli danych, gdyż wyliczenie ewentualnego indeksu łańcuchowego dla roku 2019 wymagałoby znajomości wartości sprzedaży dla roku 2018, a danych takich nie posiadamy.

W naszym przypadku średnie tempo zmian wynosi:

$$\bar i_g =\sqrt[5]{ \frac {310}{275}} = 1,0244$$

W latach 2019-2024, z roku na rok, sprzedaż wzrastała średnio o 2,44%. Chcąc wyznaczyć prognozę na rok 2025, zakładamy, że tempo to się utrzyma, a zatem sprzedaż będzie wyższa także o 2,44%. Wobec tego:

$$y_{2025}^* = y_{2024} \cdot {\bar i_g} = 310 \cdot 1,0244 = 317,56$$

W przykładzie 12 średnie tempo zmian zostało wykorzystane, jak widać, do prostego prognozowania. Jako metoda prognozowania metoda ta nie jest raczej stosowana – lepsze od niej są metody oparte na trendzie – ale często zadania na średnie tempo zmian są rozszerzone o takie właśnie polecenie.

Oczywiście średnie tempo zmian, obliczone jako średnia geometryczna, może przyjąć wartość mniejszą od jedności. Wówczas interpretuje się ją jako spadek wartości. Przykładowo $\bar i_g = 0,9745$ oznacza spadek z roku na rok średnio o 2,55%. Aby wyliczyć wartość spadku, wystarczy bowiem odjąć takie tempo zmian od jedności: $1 - 0,9745 = 0,0255$.

Uwaga praktyczna. Wprawdzie na studiach wypadałoby mieć kalkulator naukowy, jednak wielu studentów takowego sprzętu nie posiada. Barierą jest tu przede wszystkim stosunkowo skomplikowana, zdaniem studentów, obsługa takiego sprzętu. O ile w zamierzchłych, „słusznie minionych” czasach barierą była cena – markowy zachodni sprzęt nie był dostępny, polskie kalkulatory naukowe były rzadkością (choć istniały), a sprzęt zza Buga kupić można było jedynie „tam” – o tyle dziś w „chińskich” marketach działający i funkcjonalny kalkulator naukowy kupić można już za 40 zł. Sprzęt porządnej firmy dostać można też za dwucyfrową kwotę.

Dostępne są także aplikacje na smartfony emulujące kalkulator naukowy, ale takie rozwiązanie może nie być akceptowane na kolokwium czy egzaminie, z uwagi na podejrzenia o korzystanie ze zdalnej pomocy. Do czego jednak zmierzam? Gros studentów posiada tylko podstawowe kalkulatory, ja używam dla nich określenia „sklepowe”. Na kalkulatorach takich nie policzymy pierwiastków dowolnego stopnia i prowadzący zajęcia o tym wiedzą.

Zwyczajny „sklepowy” kalkulator oblicza tylko pierwiastek kwadratowy, zrealizowany jako funkcja jednoargumentowa – wciśnięcie przycisku z symbolem √ powoduje natychmiastowe obliczenie pierwiastka kwadratowego z liczby widocznej na wyświetlaczu. Ponowne wciśnięcie przycisku √ spowoduje obliczenie pierwiastka z tego pierwiastka, czyli pierwiastka czwartego stopnia. Kolejne, trzecie wciśnięcie wyliczy pierwiastek ósmego stopnia i tak dalej.

Zazwyczaj więc na kolokwiach i egzaminach studenci dostają do wyliczenia takie dane, średnie tempo z tylu lat, że stopień pierwiastka potrzebnego do wyliczenia średniego tempa zmian ze średniej geometrycznej wynosi 2, 4 (najczęściej) lub 8.

Chcąc kwestię różnic pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną ogarnąć „na chłopski rozum”, najlepiej przypomnieć sobie zasadę, że średnią arytmetyczną liczymy wówczas, gdy dane podlegają sumowaniu, gdy suma wartości ma sens. No to średnią geometryczną liczymy wówczas, gdy średnia arytmetyczna nie ma sensu, natomiast sens ma iloczyn. I tak właśnie jest w przypadku tempa zmian. Gdy w grę wchodzą zmiany procentowe, sens ma mnożenie, a nie dodawanie. Stąd właśnie celowość użycia średniej geometrycznej.

Średnia geometryczna na straży uczciwego handlu

Bardzo ciekawe zastosowanie średniej geometrycznej opublikowano w popularnonaukowej książce przeznaczonej dla dzieci: Kowal S. Przez rozrywkę do wiedzy. Rozmaitości matematyczne. WNT, Warszawa 1985. Dotyczy ono pewnego problemu z ważeniem na wadze szalkowej.

Dziś mamy wagi elektroniczne, jednak w pewnych obszarach zastosowań wciąż stosowane są wagi szalkowe. Wagi szalkowe i inne służą do mierzenia masy różnych obiektów, ale robią to poprzez porównanie ciężarów, czyli sił, z jakimi Ziemia przyciąga ważony obiekt i odważniki. Pomiar samej masy w warunkach nieważkości również jest możliwy, ale wymaga specjalistycznych przyrządów, stosowanych np. na Międzynarodowej Stacji Kosmicznej, gdzie zwykłe ważenie przez ciężar nie działa tak jak na Ziemi.

Otóż waga szalkowa działa na zasadzie porównywania momentów sił działających na oba ramiona wagi. Prawidłowa waga szalkowa jest symetryczna – oba ramiona mają jednakową długość. Wagę taką przedstawiono na rysunku 2.

Waga działa w taki sposób, że umieszczone na szalkach: ważony przedmiot oraz odważnik, chcą obrócić ramię wagi poprzez działanie momentów sił. Moment siły jest iloczynem ciężaru oraz ramienia, czyli odległości punktu zawieszenia szalki od osi obrotu wagi. Waga jest w równowadze, gdy momenty po obu stronach są jednakowe.

Niech $m$ oznacza masę ważonego przedmiotu, $w$ wskazanie wagi (tj. masę odważników), $l$ długość ramienia, a $g$ przyspieszenie ziemskie. Gdy waga o równych ramionach jest w równowadze, mamy:

$$m \cdot g \cdot l = w \cdot g \cdot l \,\,/:gl$$

stąd:

$$m = w$$

Waga „pokazuje” wówczas prawdziwą masę ważonego przedmiotu. Jednak w pewnych sytuacjach, np. dla nieuczciwego sprzedawcy, taka rzetelność wagi może nie być korzystna. Jednym ze sposobów „oszukania” wagi szalkowej jest zastosowanie nierównych ramion wagi. Wagę taką pokazano na rysunku 3.

Nierówne ramiona w wadze powodują, że pozostawanie wagi w równowadze nie świadczy o tym, że masa ważonego obiektu jest równa masie położonych na drugiej szalce odważników. Jeśli ważony produkt położony zostanie na szalce połączonej z krótszym ramieniem, to zostanie on zrównoważony przez lżejszy odważnik. Waga produktu zostanie zaniżona. Taka sytuacja oczywiście jest niekorzystna dla sprzedającego, gdyż wówczas sprzeda on np. 1,5 kg towaru, licząc kupującemu według wskazań wagi za mniejszą masę.

Dla sprzedającego korzystna jest sytuacja odwrotna, gdy towar kładziony będzie na szalce połączonej z dłuższym ramieniem, a odważniki na szalce połączonej z ramieniem krótszym. Wówczas do zrównoważenia wagi potrzebny będzie odważnik o masie wyższej aniżeli masa ważonego towaru. Masa towaru zostanie więc zawyżona. I o to nieuczciwemu sprzedającemu chodzi.

Jeśli kupujący będzie chciał wykryć taką sytuację, ma kilka możliwości. Może zmierzyć ramiona wagi. Może nakazać sprzedawcy położyć na obu szalkach jednakowe odważniki. Jeśli waga będzie w równowadze – znaczy to, że ma równe ramiona.

Innym sposobem jest dokonanie dwu ważeń: jedno – umieszczając towar na jednej z szalek, odważniki na drugiej, a drugie – po zamianie miejscami towaru i odważników. Jeśli oba wskazania będą się różnić, oznacza to, że ramiona wagi nie są równe. Ustalone masy towaru w jednym i drugim ważeniu różnić się będą od siebie i ani jedna z nich nie będzie prawdziwa. Niższy wynik będzie zaniżony, a wyższy – zawyżony. Ile więc towar waży naprawdę?

Niech $m$ oznacza nieznaną masę towaru, $w_1$ oznacza masę odważników w jednym z ważeń (czyli „pierwszy odczyt wagi”), $w_2$ masę odważników w drugim ważeniu, a długości ramion wagi oznaczmy przez $a$ oraz $b$.

Podczas pierwszego ważenia (towar po lewej, odważniki po prawej), warunek równowagi momentów obracających ramiona wagi ma postać:

$$m \cdot g \cdot a = w_1 \cdot g \cdot b\, /:g $$

$$m \cdot a = w_1 \cdot b $$

stąd:

$$m = w_1 \cdot \frac b a \tag {14a} \label {eq:{14a}}$$

podczas drugiego ważenia (odważniki po lewej, towar po prawej):

$$m \cdot g \cdot b = w_2 \cdot g \cdot a\, /:g $$

$$m \cdot b = w_2 \cdot a $$

stąd:

$$m = w_2 \cdot \frac a b \tag {14b} \label {eq:{14b}}$$

Obliczamy wartość $m^2 = m \cdot m$, korzystając ze wzorów (14a) oraz (14b):

$$m^2 = w_1 \cdot \frac {\cancel b} {\cancel a} \cdot w_2 \cdot \frac {\cancel a} {\cancel b}$$

$$m^2 = w_1 \cdot w_2$$

skąd:

$$m = \sqrt{w_1 \cdot w_2}$$

A zatem prawdziwa masa przedmiotu ważonego na wadze o nierównych ramionach jest średnią geometryczną wyników obu ważeń: przed i po zamianie towaru i odważników miejscami! To ciekawe, a jednocześnie bardzo praktyczne i „życiowe” zastosowanie średniej geometrycznej.

Średnia geometryczna dla szeregu rozdzielczego

Rzadkością jest obliczanie średniej geometrycznej dla danych uszeregowanych w postaci szeregu rozdzielczego, a zwłaszcza szeregu rozdzielczego przedziałowego – choćby z uwagi na wspomniane wcześniej „pomieszanie średnich” – środki przedziałów klasowych wylicza się jako średnie arytmetyczne ich krańców, toteż średnia geometryczna tutaj raczej nie pasuje.

Częściej, choć i tak sporadycznie, może się zdarzyć, że danych (np. indeksów łańcuchowych) będzie na tyle dużo, że zostaną one pogrupowane w szereg rozdzielczy punktowy. Wówczas, poprzez analogię do średniej arytmetycznej z takiego szeregu, stosowny wzór na wyliczenie tej miary zapiszemy w postaci:

$$\bar x_g = \sqrt[N]{\prod_{i=1}^k x_i^{n_i}} \tag {15} \label {eq:{15}}$$

gdzie $N=\sum_{i=1}^k n_i$.

Kończąc omawiać średnią geometryczną, należy jeszcze rozszerzyć zasadę opisaną nierównością (7) o wzajemne relacje pomiędzy średnią geometryczną a obiema omówionymi wcześniej średnimi. Otóż prawdziwa jest nierówność:

$$\bar x_h \leq \bar x_g \leq \bar x \tag {16} \label {eq:{16}}$$

Zatem średnia geometryczna plasuje się pomiędzy średnią harmoniczną, która jest spośród omawianych średnich najniższa, a średnią arytmetyczną, która jest najwyższa. Równość pomiędzy wszystkimi tymi średnimi możliwa jest tylko wówczas, gdy są one obliczane dla zestawu tych samych wartości. Wówczas wszystkie średnie równe są tej wartości (np. dla danych złożonych z samych dwójek: 2; 2; 2; …) wszystkie średnie wynoszą 2.

Średnia kwadratowa

Czym jest średnia kwadratowa?

Średnia kwadratowa to średnia, która dla danych podanych w postaci szeregu szczegółowego wyliczana jest według wzoru:

$$\mu_{2x} = \sqrt {\frac 1 n \cdot \sum _{i=1}^n x_i^2} \tag {17} \label {eq:{17}}$$

Średnia ta jest pierwiastkiem ze średniej arytmetycznej kwadratów wartości danych.

Gdzie pojawia się średnia kwadratowa

Średnia ta w swojej czystej postaci jest dość rzadko używana w statystyce. Sam schemat obliczania pierwiastka ze średniej obliczonej dla kwadratów jest jednak w statystyce bardzo dobrze znany, gdyż np. odchylenie standardowe jest właśnie obliczane jako średnia kwadratowa odchyłek danych od średniej:

$$s = \sqrt {\frac 1 n \cdot \sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar x \right)^2} \tag {18} \label {eq:{18}}$$

Widać tutaj najważniejszą cechę średniej kwadratowej – dzięki podnoszeniu uśrednianych wartości do kwadratu traktuje ona w jednakowy sposób wartości dodatnie i ujemne – co pozwala na obliczenie średniej odchyłki od ustalonej wartości (w przypadku odchylenia standardowego jest to odchylenie od średniej arytmetycznej), bez względu na kierunek tego odchylenia.

Taki sam jest schemat obliczania średniokwadratowego błędu prognozy ex-post. W tym przypadku obliczane są odchyłki nie od średniej, a od empirycznych wartości zmiennej prognozowanej. Na podobnej zasadzie powyższy schemat obliczenia stosowany jest w rachunku błędów.

Oprócz tego w literaturze spotkać można kilka innych zastosowań średniej kwadratowej, które mają charakter „ciekawostek”:

• średnia kwadratowa długości podstaw trapezu wyznacza długość linii równoległej do podstaw trapezu, która dzieli trapez na dwa trapezy o jednakowych polach powierzchni;
• w termodynamice średnią kwadratową stosuje się do policzenia tzw. średniej kwadratowej prędkości cząsteczek gazu;
• w elektrotechnice i teorii sygnałów schemat obliczania średniej kwadratowej stosuje się do obliczania wartości skutecznej impulsów prądowych (zazwyczaj stosuje się tam całkę zamiast sumy).

Średnia potęgowa

Uogólnienie omówionych średnich

Średnią potęgową dla danych w postaci szeregu szczegółowego nazywamy parametr statystyczny obliczany według wzoru, z zastrzeżeniem $p\neq0$:

$$\mu_p = \left(\frac 1 n \sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac 1 p} = \sqrt[p]{\frac 1 n \sum_{i=1}^n x_i^p} \tag {19} \label {eq:{19}}$$

Średnia ta jest uogólnieniem dotychczas omówionych średnich:

• dla $\boldsymbol p \textbf {=1}$ średnia potęgowa staje się średnią arytmetyczną;
• dla $\boldsymbol p \textbf{= -1}$ średnia potęgowa staje się średnią harmoniczną;
• dla $\boldsymbol p \textbf{= 2}$ średnia potęgowa staje się średnią kwadratową.

Dodatkowo definicję średniej potęgowej, określonej wzorem (19), uogólnia się na trzy przypadki szczególne:

dla $\boldsymbol p \textbf{=0}$ przyjmuje się, że średnią oblicza się według wzorów (9a), (9b), czyli staje się ona średnią geometryczną;

dla $\boldsymbol p \rightarrow \boldsymbol{-\infty}$ średnia potęgowa równa jest $\min \left(x_1,x_2,...,x_n \right)$, a zatem utożsamia się ją z wartością minimalną z szeregu danych;

dla $\boldsymbol p \rightarrow \boldsymbol{+\infty}$ średnia potęgowa równa jest $\max \left(x_1,x_2,...,x_n \right)$, a zatem utożsamia się ją z wartością maksymalną z szeregu danych.

Nierówność średnich

Dzięki uogólnieniu wszystkich uprzednio omówionych średnich na średnią potęgową możliwe staje się wyrażenie relacji pomiędzy wartościami średnich, wyrażonych wzorami (7) oraz (16), za pomocą jednej, prostej reguły. Niech $-\infty \leq p < q \leq \infty$, wówczas:

$$\mu_p \left(x_1, x_2, ..., x_n \right) \leq \mu_q \left(x_1, x_2, ..., x_n \right) \tag {20} \label {eq:{20}}$$

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy $x_1 = x_2 = ... = x_n$. Aby możliwe było wyliczenie uogólnionej średniej potęgowej dla każdej wartości $p$, konieczne będzie także założenie: $x_i > 0$ dla $1 \leq i \leq n$.

Ma to sens. Przy okazji omawiania średniej harmonicznej wspominaliśmy, że „ciąży” ona ku wartościom niskim, a wartości wysokie – nawet nieskończone – nie robią na niej większego wrażenia. Średnia kwadratowa z kolei przeciwnie. Wartości wysokie mają jeszcze wyższe kwadraty, toteż wartość średniej jest ku nim bardziej przesuwana, aniżeli ma to miejsce w przypadku średniej arytmetycznej. Zasada wyrażona wzorem (20) to piękne i kompleksowe podsumowanie tych prawidłowości.

Podsumowanie

W powyższym artykule przedstawiliśmy najważniejsze charakterystyki średnich klasycznych, stosowanych w statystyce opisowej. Warto tutaj zaznaczyć, że nie ma lepszych i gorszych średnich, są tylko średnie źle i dobrze dobrane. Z omówionych średnich, na pierwszy rzut oka, najlepsza i wręcz idealna wydaje się średnia arytmetyczna. Wszak „leży ona dokładnie pośrodku”. Np. dla liczb 6 oraz 8 idealną średnią wydaje się 7. Takie jednak myślenie to pułapka!

Idealizując średnią arytmetyczną tylko dlatego, że „leży pośrodku”, myślimy właśnie kategoriami średniej arytmetycznej. A nic dziwnego, że myśląc kategoriami tej miary, to właśnie ją uznajemy za najlepszą. Jednak średnia nie musi leżeć pośrodku, aby być odpowiednią miarą. Wyobraźmy sobie dwie sytuacje:

• przeprowadziliśmy dwie transakcje – na jednej zarobiliśmy 200 zł, a na drugiej straciliśmy 200 zł; ile zarobiliśmy w sumie i średnio na transakcji? Odpowiedź brzmi, oczywiście, zero! Tak, tutaj myślenie kategoriami średniej arytmetycznej jest OK, ale:
• przeprowadziliśmy dwie transakcje – na jednej zarobiliśmy 20%, a na drugiej straciliśmy 20%; ile zarobiliśmy w sumie i średnio na transakcji? Bynajmniej nie zero! Na jednej transakcji nasz majątek pomnożył się przez 1,2, a na drugiej przez 0,8; per saldo więc przemnożył się on przez 0,96 i w sumie straciliśmy 4%! Tu myślenie kategoriami średniej arytmetycznej zawodzi. Już lepszą odpowiedzią będzie, że średnio na transakcji straciliśmy po 2%, choć najlepiej policzyć $\sqrt{0,96} = 0,9798$ i prawidłowa odpowiedź brzmi: średnio na każdej z transakcji straciliśmy po 2,02%. W przypadku zmian procentowych należy myśleć kategoriami średniej geometrycznej!

A wszystko dlatego, że … średnia niejedno ma imię.

Utworzono: 26.10.2025 | Zmodyfikowano: 21.06.2026

1. Obliczaniu mediany, kwartyli, kwantyli oraz innych miar pozycyjnych poświęcone są i będą inne artykuły w naszej Wszechnicy. Np. artykuł o kwantylach w szeregu szczegółowym ↩︎

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Wprowadzenie

W tym artykule zajmiemy się wyznacznikiem macierzy kwadratowej, który stanowi bardzo ważną charakterystykę macierzy kwadratowej. Wyznacznik jest niezbędny do badania odwracalności macierzy i wyliczania macierzy odwrotnej, pojawia się przy wyznaczaniu wartości własnych, a poprzez minory pomaga także badać rząd macierzy. Pełni również bardzo ważną rolę w rozwiązywaniu układów równań liniowych.

Ważna informacja

Niektóre przeglądarki nie renderują we właściwy sposób pionowych linii, w które ujęta jest macierz przy obliczaniu wyznacznika. W takiej sytuacji prosimy zaktualizować przeglądarkę lub zobaczyć wygląd strony w innej przeglądarce.

Spis treści

• Czym jest wyznacznik?
• Zastosowanie wyznacznika

Czym jest wyznacznik?

Najkrócej rzecz ujmując, wyznacznik jest liczbą charakteryzującą każdą macierz kwadratową. Formalna definicja wyznacznika macierzy kwadratowej jest dość skomplikowana i odwołuje się do pojęcia permutacji. Dla przypomnienia — permutację w skrócie można określić jako każde z możliwych ułożeń elementów danego zbioru. Np. dla zbioru $\{A, B, C\}$ możliwe permutacje to $ABC$, $ACB$, $BAC$, $BCA$, $CAB$, $CBA$. Liczba wszystkich permutacji $n$-elementowego zbioru to $n!$.

Formalna definicja wyznacznika

Niech $G_n = M_{n \times n}(K)$, zaś $j_1, j_2, ..., j_n$ oznacza dowolną permutację liczb $1, 2, ..., n$. Niech ponadto $s(j_1, j_2, ..., j_n) = \prod_{m < k} \sgn (j_k - j_m)$. Na $G_n$ określamy odwzorowanie: $\det: G_n \rightarrow K$, gdzie:

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{n!} s(j_1, j_2, ..., j_n) \cdot a_{1j_1} \cdot a_{2j_2} \cdot ... \cdot a_{nj_n}$$

i sumowanie rozciąga się na wszystkie $n!$ permutacji $j_1, j_2, ..., j_n$ liczb $1, 2, ..., n$. Wartość odwzorowania $\det(\mathbf{A})$, $\mathbf{A} \in G_n$, nazywamy wyznacznikiem stopnia $n$ macierzy $\mathbf{A}$, lub krótko wyznacznikiem i piszemy:¹

$$\det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} \tag 1 \label {eq:1}$$

Wyznacznik macierzy kwadratowej $\mathbf{A}$ oznacza się, jak wspomniano wyżej, przez $\det \mathbf{A}$, $|\mathbf{A}|$, bądź też w postaci (1), czyli umieszczając elementy macierzy pomiędzy pionowymi liniami, zamiast między nawiasami kwadratowymi.

Należy pamiętać, że w zapisie (1) tak naprawdę wyznacznikiem jest jedna liczba, obliczona jednym z opisanych dalej sposobów, a nie te umieszczone pomiędzy liniami liczby! Ponadto, w przypadku macierzy jednoelementowej, zapis $|a_{11}|$ może być mylący, gdyż wygląda identycznie, jak wartość bezwzględna, a jak się dalej okaże, taki wyznacznik równy jest elementowi $a_{11}$ także wówczas, gdy jest on ujemny. W takiej sytuacji, jeśli chcemy stosować zapis z liniami, najlepiej zapisywać wyznacznik w taki sposób: $\left| [a_{11}] \right|$.

Obliczanie wyznacznika w praktyce

W praktyce obliczanie wyznacznika jest znacznie prostsze. Uniwersalny algorytm obliczania wyznacznika można przedstawić w dwu krokach:

1. Dla macierzy kwadratowej $1 \times 1$, tj. dla $n=1$, wyznacznik macierzy równy jest jedynemu elementowi macierzy: $\det [a_{11}] = a_{11}$.
2. Dla macierzy kwadratowej o większym wymiarze niż 1, czyli dla $n>1$, stosujemy rozwinięcie Laplace’a.

Rozwinięcie Laplace’a (rozwinięcie wyznacznika na podwyznaczniki)

Rozwinięcie Laplace’a polega na wyborze dowolnego wiersza lub kolumny (tylko jednego/jednej!) oraz obliczeniu wyznacznika jako sumy iloczynów elementów tego wiersza albo tej kolumny przez odpowiednie podwyznaczniki, czyli wyznaczniki macierzy uzyskanych poprzez skreślenie wiersza oraz kolumny danego elementu, oraz przez wyrażenie $(-1)^{i+j}$, gdzie $i$, $j$ są odpowiednio numerami wiersza oraz kolumny tego elementu.

Można to zapisać w następujący sposób. Jeśli wybierzemy $i$-ty wiersz:

$$\det \mathbf{A} = \sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot (-1)^{i + j} \cdot M_{ij} \tag {2a} \label {eq:{2a}}$$

natomiast, jeśli wybierzemy $j$-tą kolumnę:

$$\det \mathbf{A} = \sum_{i=1}^n a_{ij}\cdot (-1)^{i + j} \cdot M_{ij} \tag {2b} \label {eq:{2b}}$$

$M_{ij}$ oznacza właśnie podwyznacznik (minor) macierzy $\mathbf{A}$, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej poprzez wyeliminowanie z macierzy $\mathbf{A}$ $i$-tego wiersza oraz $j$-tej kolumny.

Przykład 1

Obliczmy tym sposobem wyznacznik macierzy $\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} $. Wybierzmy pierwszy wiersz:

$$\det \mathbf{A} = 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det \left|[5] \right| + 2 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det \left|[2] \right| = $$

$$= 1 \cdot 1 \cdot 5 +2 \cdot (-1) \cdot 2 = 5 - 4 = 1$$

Spróbujmy teraz wybrać drugą kolumnę:

$$\det \mathbf{A} = 2 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det \left|[2] \right| + 5 \cdot (-1)^{2+2} \cdot \det \left|[1] \right| = $$

$$= 2 \cdot (-1) \cdot 2 + 5 \cdot 1 \cdot 1 = -4 + 5 = 1$$

Schemat obliczania wyznacznika 2×2

W praktyce, do obliczania wyznacznika $2 \times 2$ stosuje się skrócony schemat „mnożenia na krzyż”. Można go zapisać następująco:

$$\det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \tag 3 \label {eq:3} $$

Jak widać, obliczamy dwa iloczyny „po przekątnej”, przy czym od iloczynu elementów leżących na diagonali odejmujemy iloczyn elementów leżących na drugiej przekątnej.

Dla macierzy z przykładu 1:

$$\det \mathbf{A}=\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$$

Sposób ten omawiany jest w szkole średniej, gdzie wyznaczników używa się do badania rozwiązywalności układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. W szkole średniej pojęcie wyznacznika wprowadza się w oderwaniu od pojęcia macierzy.

Schemat Sarrusa

Do wyznaczników $3 \times 3$, jako alternatywę dla rozwinięcia Laplace’a, stosuje się specjalny, skrócony schemat obliczania wyznacznika, nieco przypominający omówiony wyżej schemat obliczania wyznacznika $2 \times 2$.

Schemat Sarrusa polega na powtórzeniu dwu pierwszych wierszy macierzy i przepisaniu ich pod trzecim wierszem, albo powtórzeniu dwu pierwszych kolumn i przepisaniu ich z prawej strony trzeciej kolumny. Dopisane wiersze (kolumny) pozwalają na utworzenie w sumie sześciu „przekątnych”.

Schemat powtórzenia dwu pierwszych kolumn przedstawia poniższy rysunek. Przekątne biegnące w tym samym kierunku, co diagonala $a_{11} a_{22} a_{33}$ traktujemy jako „dodatnie”, natomiast przekątne biegnące w drugim kierunku traktujemy jako ujemne.

Zatem:

$$\left| \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| = $$

$$=a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11} a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

Przykład 2

Obliczmy wyznacznik macierzy $\mathbf{A} =\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \end{bmatrix}$ za pomocą schematu Sarrusa oraz, dla porównania, wykonując rozwinięcie Laplace’a, a następnie do powstałych w wyniku rozwinięcia wyznaczników $2 \times 2$ stosując schemat „na krzyż”.

$$\det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix}&1 &-2 \\ &2 & 1 \\&3 & 5 \end{matrix} = $$

$$ = 1 \cdot 1 \cdot 5 + (-2) \cdot 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 \cdot 3 - 1 \cdot 4 \cdot 5 - (-2) \cdot 2 \cdot 5 =$$

$$5 - 24 + 30 - 9 - 20 - (-20) = 5 -24 + 30 - 9 - 20 + 20 = 2 $$

Teraz dokonajmy rozwinięcia wyznacznika według drugiego wiersza.

$$\det \mathbf{A} = 2 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} + 4 \cdot (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = $$

$$= 2 \cdot (-1) \cdot (-2 \cdot 5 - 3 \cdot 5) + 1 \cdot 1 \cdot (1 \cdot 5 - 3 \cdot 3) + 4 \cdot (-1) \cdot [1 \cdot 5 - (-2) \cdot 3]$$

$$= -2 \cdot (-25) + 1 \cdot (-4) + (-4) \cdot 11 = 50 - 4 - 44 = 2$$

Porównując dwa powyższe sposoby obliczania wyznaczników $3 \times 3$, może się wydawać, że schemat Sarrusa jest nieco szybszy od rozwinięcia Laplace’a. Są jednak sytuacje, że rozwinięcie Laplace’a jest bardziej efektywne. Jednym z przykładów może być tutaj obliczanie iloczynu wektorowego dwóch wektorów w $\mathbb{R}^3$. Wektorom oraz działaniom na nich poświęcony będzie osobny artykuł. Tutaj przedstawimy tylko pokrótce schemat obliczania takiego iloczynu:

$$\vec a \times \vec b =\begin{bmatrix}a_x & a_y & a_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b_x & b_y & b_z \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\a_x & a_y &a_z \\ b_x & b_y &b_z \end{vmatrix} $$

Obliczając wartość wyznacznika z rozwinięcia Laplace’a względem pierwszego wiersza, uzyskujemy od razu wyrażenie pogrupowane według współczynników przy wersorach $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$.

Przykład 3

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\1 & 2 &3 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} =$$

$$= (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \cdot {\vec i} + (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \cdot {\vec j} + (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \cdot {\vec k}=$$

$$=(2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) \cdot {\vec i} - (1 \cdot 4 - 3 \cdot 2) \cdot {\vec j} + (1 \cdot 1 -2 \cdot 2) \cdot {\vec k} =$$

$$ 5 \vec i + 2 \vec j - 3 \vec k = \begin{bmatrix} 5&2&-3 \end{bmatrix}$$

Zauważmy, że obliczanie wyznacznika za pomocą rozwinięcia Laplace’a może być znacznie łatwiejsze, jeśli w macierzy pojawią się zera. Wybór wiersza lub kolumny, zawierających zera, znacząco zmniejsza ilość składników wyrażenia (2a) lub (2b). Oczywiście można mieć szczęście i dostać do obliczenia wyznacznik macierzy zawierającej sporo zer, ale okazuje się, że szczęściu temu można znacząco pomóc, wykorzystując pewne własności wyznacznika.

Własności wyznacznika – część 1

Bardzo użytecznymi własnościami wyznacznika są przekształcenia macierzy, niezmieniające jego wartości.

1. Wyznacznik zawierający wiersz lub kolumnę składającą się z samych zer równy jest zero.
2. Wyznacznik zawierający dwa proporcjonalne wiersze (lub dwie proporcjonalne kolumny) równy jest zero. Szczególnym przypadkiem proporcjonalności jest identyczność — równy zero jest także wyznacznik zawierający dwa identyczne wiersze (lub dwie identyczne kolumny).
3. Zamiana dwóch wierszy (lub kolumn) w wyznaczniku powoduje zmianę znaku wyznacznika na przeciwny.
4. Pomnożenie dowolnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika przez tę samą liczbę $k$ skutkuje pomnożeniem wartości wyznacznika przez liczbę $k$.
5. Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeśli do dowolnego wiersza (albo kolumny) doda się elementy innego wiersza (albo odpowiednio kolumny), pomnożone przez tę samą, dowolną liczbę.

Własność nr 2 wynika z własności nr 3. Skoro bowiem zamiana miejscami dwu wierszy, bądź kolumn zmienia znak na przeciwny, to przy identycznych dwu wierszach albo kolumnach, macierz przed i po zamianie wygląda tak samo, a skoro zamiana zmienia znak wyznacznika na przeciwny, to oznacza, że wyznacznik ten musi być równy zero.

Z kolei biorąc pod uwagę własność nr 5, to przy wystąpieniu dwóch identycznych bądź proporcjonalnych wierszy, zawsze można jeden wiersz pomnożyć przez liczbę przeciwną do współczynnika owej proporcjonalności, zerując cały wiersz (kolumnę) i wtedy, na mocy własności nr 1, wyznacznik równa się zero. A skoro własność nr 5 nie zmienia wartości, to wyznacznik niejako „od początku” musiał być równy zero.

Własność nr 5 jest bardzo ważna, gdyż umożliwia ona „generowanie” zer tam, gdzie pierwotnie ich nie było. Korzystanie z tej własności należy rozumieć w sposób właściwy. Po pierwsze: do elementów wiersza możemy dodać tylko elementy innego wiersza, a do elementów kolumny — elementy innej kolumny (tj. nie wolno dodawać elementów wiersza do elementów kolumny). Po drugie, wspomniane mnożenie wykonujemy „w pamięci”. Dodawany wiersz, bądź kolumna źródłowa, nie zmieniają się; zmianie ulega tylko wiersz (kolumna) docelowy.

Bardzo często, dla oznaczenia powyższych operacji, stosuje się zapis:

• dla operacji na wierszach: $w_s \cdot a + w_d \rightarrow w_d$,
• dla operacji na kolumnach: $k_s \cdot a + k_d \rightarrow k_d$.

gdzie:
$w_s$, $k_s$ oznaczają, odpowiednio: wiersz oraz kolumnę źródłową,
$w_d$, $k_d$ — wiersz oraz kolumnę docelową,
$a$ — użytą liczbę.

Jeśli elementy jednego wiersza (bądź kolumny), pomnożone przez wybrane liczby, chcemy dodać do elementów kilku innych wierszy (kolumn), można taką operację przeprowadzić niejako „w jednym kroku”.

Przykład 4

Obliczmy wyznacznik następującej macierzy: $\mathbf{A}= \left[\begin{array}{rrrrr}2&-1&4&3&3\\2&5&3&1&-2\\3&2&4&5&4\\1&-2&-1&3&4\\-2&4&2&1&2 \end{array}\right] $.

Na pierwszy rzut oka obliczenie z wykorzystaniem rozwinięcia Laplace’a wygląda na bardzo pracochłonne. Wybierając dowolny wiersz, albo kolumnę, wyznacznik rozwinąć można na pięć wyznaczników $4 \times 4$, z których z kolei każdy musi być rozwinięty na cztery wyznaczniki $3 \times 3$, co daje aż dwadzieścia takich wyznaczników do obliczenia schematem Sarrusa. Jeśli i te wyznaczniki zechcemy rozwinąć za pomocą rozwinięcia Laplace’a, to łącznie otrzymamy aż sześćdziesiąt wyznaczników $2 \times 2$.

Obliczenia ułatwiłoby wystąpienie jakichś zer. Skoro zer tych nie ma, można je „wygenerować” za pomocą opisanego przekształcenia. Najlepszym punktem wyjścia do wykonania przekształceń jest wybór jakiegoś elementu równego 1. Jeśli takiego elementu by nie było, można go oczywiście wygenerować. Przykładowo na pozycji $(1; 3)$ znajduje się liczba 4, zaś na pozycji $(1; 4)$ jest liczba 3. Można by więc dodać do elementów trzeciej kolumny, elementy czwartej kolumny pomnożone przez -1.

W naszym jednak przypadku nie ma takiej potrzeby, gdyż mamy kilka elementów równych 1. Załóżmy, że wybierzemy element $a_{41}$. Dzięki temu elementowi można sprawić, że wszystkie pozostałe elementy w pierwszej kolumnie staną się zerami. Dokonamy tego w następujący sposób:

• do elementów pierwszego wiersza dodajemy elementy czwartego wiersza pomnożone przez -2;
• do elementów drugiego wiersza dodajemy elementy czwartego wiersza pomnożone przez -2;
• do elementów trzeciego wiersza dodajemy elementy czwartego wiersza pomnożone przez -3;
• do elementów piątego wiersza dodajemy elementy czwartego wiersza pomnożone przez 2.

Przekształcenia te można zapisać symbolicznie:

• $w_4 \cdot (-2) + w_1 \rightarrow w_1$,
• $w_4 \cdot (-2) + w_2 \rightarrow w_2$,
• $w_4 \cdot (-3) + w_3 \rightarrow w_3$,
• $w_4 \cdot 2 + w_5 \rightarrow w_5$.

Uwzględniając powyższe przekształcenia, można zapisać:

$$\det \mathbf{A}= \left|\begin{array}{rrrrr}2&-1&4&3&3\\2&5&3&1&-2\\3&2&4&5&4\\1&-2&-1&3&4\\-2&4&2&1&2 \end{array} \right| = \left|\begin{array}{rrrrr}0&3&6&-3&-5\\0&9&5&-5&-10\\0&8&7&-4&-8\\1&-2&-1&3&4\\0&0&0&7&10 \end{array} \right| = $$

Sytuacja znacząco się poprawiła. Nie dość, że — zgodnie zresztą z celem dokonanych przekształceń — w pierwszej kolumnie wszystkie elementy poza „naszą” jedynką są zerami, to jeszcze dodatkowo pojawiły się zera w ostatnim wierszu. Wyznacznik można teraz policzyć, rozwijając go względem pierwszej kolumny. Wówczas kontynuacja naszych obliczeń wygląda następująco:

$$= 1 \cdot (-1)^{4+1} \cdot \left|\begin{array}{rrrr}3&6&-3&-5\\9&5&-5&-10\\8&7&-4&-8\\0&0&7&10 \end{array} \right| = - \left|\begin{array}{rrrr}3&6&-3&-5\\9&5&-5&-10\\8&7&-4&-8\\0&0&7&10 \end{array} \right| =$$

W zasadzie już teraz można rozwinąć wyznacznik względem czwartego wiersza. Zawiera on tylko dwa elementy niezerowe, toteż można go rozwinąć tylko na dwa wyznaczniki $3 \times 3$, zamiast czterech. Jednak zauważyć można, że mnożąc elementy trzeciej kolumny przez -2 i dodając je do elementów czwartej kolumny, uzyskamy dwa zera (-5 oraz -4 wyzerują elementy -10 oraz -8), a dodatkowo na pierwszej pozycji pojawi się liczba 1.

Symbolicznie operację tę zapisać można jako: $k_3 \cdot (-2) + k_4 \rightarrow k_4$. Kontynuacja obliczeń wygląda tak:

$$= - \left|\begin{array}{rrrr}3&6&-3&1\\9&5&-5&0\\8&7&-4&0\\0&0&7&-4 \end{array} \right| =$$

Teraz można dodać elementy pierwszego wiersza, pomnożone przez 4, do elementów czwartego wiersza. Dwa zera, niestety, „popsują” się, ale w czwartej kolumnie pojawi się tylko jeden element niezerowy i będzie to jedność. Przekształcenie to można zapisać symbolicznie: $w_1 \cdot 4 + w_4 \rightarrow w_4$.

$$= - \left|\begin{array}{rrrr}3&6&-3&1\\9&5&-5&0\\8&7&-4&0\\12&24&-5&0 \end{array} \right| =$$

Teraz rozwijamy wyznacznik względem czwartej kolumny:

$$= - (-1)^{1+4} \cdot \left|\begin{array}{rrr}9&5&-5\\8&7&-4\\12&24&-5 \end{array} \right| = \left|\begin{array}{rrr}9&5&-5\\8&7&-4\\12&24&-5 \end{array} \right| =$$

W zasadzie można by już obliczać wartość wyznacznika. Jednak warto zauważyć, że wykonując przekształcenia:

$$w_1 \cdot (-1) + w_2 \rightarrow w_2$$

$$w_1 \cdot (-1) + w_3 \rightarrow w_3$$

obliczenia znacznie się uproszczą:

$$= \left|\begin{array}{rrr}9&5&-5\\-1&2&1\\3&19&0 \end{array} \right| =$$

teraz wykonamy przekształcenie: $w_2 \cdot 5 + w_1 \rightarrow w_1$:

$$= \left|\begin{array}{rrr}4&15&0\\-1&2&1\\3&19&0 \end{array} \right| =$$

Rozwijamy wyznacznik względem trzeciej kolumny i finalnie wystarczyło będzie obliczyć jeden wyznacznik $2 \times 2$:

$$= 1 \cdot (-1)^{2+3} \left|\begin{array}{rr}4&15\\3&19 \end{array} \right| = - (4 \cdot 19 - 15 \cdot 3) = -(76 - 45) = -31$$

Własności wyznacznika – część 2

Na uwagę zasługują także inne własności wyznacznika.

6. Transpozycja nie zmienia wartości wyznacznika: $\det \mathbf{A}^{\top} = \det \mathbf{A}$.
7. Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników tych macierzy: $\det \left(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right) = \det \mathbf{A} \cdot \det \mathbf{B}$.
8. Jeśli macierz $\mathbf{A}$ jest odwracalna, to wyznacznik macierzy odwrotnej równy jest odwrotności wyznacznika danej macierzy: $\det \mathbf{A}^{-1} = {1 \over {\det \mathbf{A}}}$.

Wyznacznik iloczynu macierzy

Bardzo ciekawa jest własność oznaczona na mojej liście numerem 7. Jej prawdziwość dla wybranych macierzy kwadratowych czytelnik może sprawdzić. Dla dowolnych macierzy kwadratowych co ambitniejsi czytelnicy również mogą przeprowadzić stosowny dowód. Można go znaleźć też w Internecie.

Oczywiście w standardowej algebrze liniowej wyznacznik definiuje się wyłącznie dla macierzy kwadratowych. Dla macierzy prostokątnych istnieją inne narzędzia, takie jak minory, rząd macierzy czy wzory typu Cauchy’ego-Bineta, ale nie jest to zwyczajny wyznacznik w sensie omawianym w tym artykule.

Można jednak potraktować to jako ciekawą intelektualną prowokację: czy dałoby się zbudować jakieś uogólnienie pojęcia wyznacznika, które dla macierzy prostokątnych zachowywałoby część znanych własności wyznacznika? Tego typu pytania rzeczywiście pojawiają się w matematyce, choć odpowiedź nie polega po prostu na przypisaniu każdej macierzy prostokątnej jednej „tajemniczej liczby”. W standardowym kursie algebry liniowej pozostajemy przy zasadzie: wyznacznik mają tylko macierze kwadratowe.

Warto przy tej okazji zobaczyć, co dzieje się z iloczynami macierzy prostokątnych. Weźmy dwie macierze:

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} $ $\mathbf{B}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\\ 1&3 \end{bmatrix}$

Ich iloczyn wynosi $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 8 & 13 \\ 6 & 11 \end{bmatrix}$, a wyznacznik tego iloczynu: $\det \left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right) = \begin{vmatrix} 8 & 13 \\ 6 & 11 \end{vmatrix} = 10$.

Iloczyn tych samych macierzy „w drugą stronę” wynosi natomiast: $\mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 7 \\ 4 & 5 & 8 \\ 7 & 5 & 9 \end{bmatrix} $, a wyznacznik uzyskanego iloczynu:

$$\det \left( \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \right) = \begin{vmatrix} 5 & 4 & 7 \\ 4 & 5 & 8 \\ 7 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 0$$

Widać więc, że przy macierzach prostokątnych trzeba zachować ostrożność. Nawet jeśli oba iloczyny $\mathbf{A}\mathbf{B}$ oraz $\mathbf{B}\mathbf{A}$ istnieją, to są macierzami różnych rozmiarów i mogą mieć zupełnie inne własności. Dlatego w dalszej części artykułu konsekwentnie pozostajemy przy klasycznym pojęciu wyznacznika macierzy kwadratowej.

Macierze osobliwe

W rachunku macierzy bardzo często ważne jest, czy wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy zero. Macierze, których wyznacznik równy jest zero, noszą nazwę macierzy osobliwych i najważniejszą ich cechą jest to, iż macierz osobliwa nie posiada macierzy odwrotnej. Koresponduje to z własnością nr 8 na powyższej liście. Skoro wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika danej macierzy, to macierz odwrotna do macierzy o wyznaczniku równym zero, czyli macierzy osobliwej, nie istnieje.

Zastosowanie wyznacznika

Wyznaczniki macierzy kwadratowej znajdują bardzo szerokie zastosowanie w algebrze, a także w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki. Przede wszystkim służą do wyznaczania różnego rodzaju wartości i charakterystyk związanych bezpośrednio z macierzami, takich jak macierz odwrotna, rząd macierzy czy wartości własne macierzy.

Wykorzystanie wyznacznika do obliczania macierzy odwrotnej oraz rzędu macierzy oznacza, że wyznacznik macierzy służyć może również do badania rozwiązywalności układów równań liniowych i do wyznaczania samych rozwiązań.

Z wyznaczników korzysta się w algebrze i geometrii analitycznej — do badania współliniowości wektorów, obliczania iloczynu wektorowego wektorów, jak pokazano to w przykładzie nr 3, do badania określoności form kwadratowych. W analizie matematycznej wyznaczników używa się do wyznaczania ekstremów funkcji wielu zmiennych, czy też do rozwiązywania równań różniczkowych.

Metoda Cramera

Metoda Cramera, zwana niekiedy metodą wyznacznikową, to oparta na wyznacznikach metoda rozwiązywania układu równań liniowych, w których ilość równań równa jest ilości niewiadomych. Tego typu układ równań:

$$\left\{ \begin{array} {c} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + ... + a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + ... + a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\
... \\a_{n1} \cdot x_1 + a_{n2} \cdot x_2 + ... + a_{nn} \cdot x_n = b_n \end{array} \right. \tag 4 \label {eq:4}$$

dla którego wyznacznik współczynników przy niewiadomych różny jest od zera:

$$W = \left| \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right| \neq 0 \tag 5 \label {eq:5}$$

nazywany jest układem Cramera.

Układ Cramera, czyli układ (4) przy spełnieniu warunku (5), posiada dokładnie jedno rozwiązanie.

Aby wyznaczyć to rozwiązanie, należy obliczyć wartości wyznaczników:

$$W_k = \left| \begin{array} {ccccccc} a_{11} & ... & a_{1,k-1} & b_1 & a_{1,k+1} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & ... & a_{2,k-1} & b_2 & a_{2,k+1} & ... & a_{2n} \\
... & ... &... & ... & ... & ... & ... \\a_{n1} & ... & a_{n,k-1} & b_n & a_{n,k+1} & ... & a_{nn}
\end{array} \right| \tag 6 \label {eq:6}$$

Czyli wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy współczynników układu równań (4) poprzez zastąpienie $k$-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Po obliczeniu wartości wyznaczników określonych wzorem (6), wartości niewiadomych w rozwiązaniu układu wyliczamy ze wzorów:

$$\left \{ \begin {array}{c} x_1 = {W_1 \over W} \\ x_2 = {W_2 \over W} \\ ... \\ x_n = {W_n \over W} \end{array} \right. \tag 7 \label {eq:7} $$

W sytuacji, gdy wyznacznik główny układu $W$, obliczony ze wzoru (5), równy jest zero: $W = 0$, wzory Cramera nie mogą zostać zastosowane do wyznaczenia jednoznacznego rozwiązania. W takiej sytuacji układ może być albo sprzeczny, albo nieoznaczony, czyli posiadać nieskończenie wiele rozwiązań. Rozstrzygnięcie wymaga dokładniejszego zbadania rzędów macierzy współczynników oraz macierzy rozszerzonej, czyli zastosowania twierdzenia Kroneckera-Capellego.

Warto jednak pamiętać, że jeśli dla pewnego $k$ wyznacznik $W_k$ jest różny od zera, podczas gdy $W=0$, to układ jest sprzeczny. Natomiast przypadek $W=0$ oraz $W_1=W_2=...=W_n=0$ sam w sobie nie wystarcza jeszcze, aby w ogólnym przypadku przesądzić o liczbie rozwiązań.

Metodę Cramera można potraktować jako alternatywę dla „klasycznych” metod rozwiązywania układów równań, jak np. metoda podstawiania, czy metoda przeciwnych współczynników. Jest to metoda często zapomniana i niedoceniana, gdyż bywają przypadki, że to właśnie ona jest najszybsza i najwygodniejsza.

Przykład 5

$$\left \{ \begin {array}{c} 0,796x_1 - 1,874x_2 = 1,038 \\ 1,252x_1 + 0,462x_2 = 6,406 \end{array} \right. \tag 8 \label {eq:8} $$

Jest to układ równań dość kłopotliwy, zarówno jeśli chodzi o metodę podstawiania, jak i przeciwnych współczynników. Tymczasem w metodzie wyznacznikowej (Cramera) wyliczamy wartości trzech wyznaczników. Wyznacznik główny układu jest równy:

$$W = \begin{vmatrix} 0,796 & -1,874 \\ 1,252 & 0,462 \end{vmatrix} = 0,796 \cdot 0,462 - (-1,874) \cdot 1,252 = $$

$$= 0,367752 + 2,346248 = 2,714000 $$

Wyznacznik ten jest różny od zera, zatem układ (8) posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Obliczamy wartości wyznaczników dla poszczególnych niewiadomych, zastępując poszczególne kolumny współczynników przy niewiadomych kolumną wyrazów wolnych:

$$W_1 = \begin{vmatrix} 1,038 & -1,874 \\ 6,406 & 0,462 \end{vmatrix} = 1,038 \cdot 0,462 - (-1,874) \cdot 6,406 = $$

$$= 0,479556 + 12,004844 = 12,484400 $$

oraz:

$$W_2 = \begin{vmatrix} 0,796 & 1,038 \\ 1,252 & 6,406 \end{vmatrix} = 0,796 \cdot 6,406 - 1,038 \cdot 1,252 = $$

$$= 5,099176 - 1,299576 = 3,799600$$

Obliczamy wartości niewiadomych:

$$x_1 = {W_1 \over W} = {12,4844 \over 2,714} = 4,600 = 4,6$$

$$x_2 = {W_2 \over W} = {3,7996 \over 2,714} = 1,400 = 1,4$$

Rozwiązanie układu równań (8) jest zatem następujące:

$$\left \{ \begin {array}{c} x_1 = 4,6 \\ x_2 = 1,4 \end{array} \right. $$

1. Stankiewicz W. Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I.A, PWN, Warszawa 1998, s. 71. ↩︎

Utworzono: 21.10.2025 | Zmodyfikowano: 18.05.2026

Macierze – część 1.

Mgr inż.

Sebastian Dziarmaga-Działyński

Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna – wszechwiedza.pl

Wprowadzenie

Artykuł o macierzach zdecydowałem się podzielić na dwie części. Część pierwsza obejmuje zakres materiału przed wprowadzeniem pojęcia wyznacznika, któremu poświęcony będzie osobny artykuł, a część druga — materiał po wprowadzeniu wyznacznika. Z macierzami generalnie stykamy się dopiero na studiach, choć pojęcie wyznacznika (jako tworu samoistnego) pojawia się w programie nauczania szkoły średniej (zakres rozszerzony) przy okazji dyskusji rozwiązywalności układów równań.

Spis treści

• Co to jest macierz?
• Rodzaje macierzy
• Równość macierzy
• Działania na macierzach

Co to jest macierz?

Formalna definicja macierzy może nieco przerażać. Według niej bowiem macierzą nad ciałem $K$ nazywamy następujące odwzorowanie:

$$\mathcal{F}: \{1, 2, ..., m\} \times \{1, 2, ..., n\} \rightarrow K$$

Jeśli za ciało $K$ przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych $K=\mathbb{R}$, wówczas macierz możemy potraktować jako funkcję:

$$f: \{1,2,...,m\} \times \{1,2,...,n\} \rightarrow \mathbb{R}$$

Czyli funkcję przyporządkowującą parze liczb naturalnych $(i, j)$ pewną liczbę rzeczywistą. Jeśli teraz tę parę liczb potraktujemy jako, odpowiednio: numer wiersza i numer kolumny, to dostaniemy to, z czym się macierz najczęściej kojarzy, czyli po prostu liczby uporządkowane w formie dwuwymiarowej tablicy.

Macierze oznaczamy najczęściej wielkimi literami alfabetu (używamy czcionki pogrubionej), a wspomnianą tablicę liczb ujmujemy w prostokątne nawiasy.

$$\mathbf {A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} &... &a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end {bmatrix} \tag 1 \label {eq:1}$$

Jest to macierz o $m$ wierszach oraz $n$ kolumnach. Oznaczenie $m \times n$ określamy mianem wymiaru macierzy. Ważne jest, by określając wymiar macierzy, podawać najpierw liczbę wierszy, a potem liczbę kolumn.

Rodzaje macierzy

Macierze kwadratowe oraz wektory

Ze względu na wymiar macierzy wyróżniamy pewne szczególne ich rodzaje:

• macierzami kwadratowymi nazywamy macierze, dla których $m = n$,
• wektorami nazywamy macierze, dla których $m=1$ (jednowierszowe) lub $n=1$ (jednokolumnowe).

Szczególnym rodzajem macierzy jest macierz kwadratowa $1 \times 1$, którą utożsamia się z jedynym jej elementem $a_{11}$ — tj. traktuje się ją jako skalar.

Wyróżnienie macierzy kwadratowych jest bardzo ważne, gdyż pewne operacje i charakterystyki obliczane mogą być wyłącznie dla macierzy kwadratowych.

Macierz zerowa

Macierz (dowolnego wymiaru), której wszystkie elementy są zerami, określana jest mianem macierzy zerowej.

$$\mathbf {0}_{[m\times n]} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & ... & 0 \\0 & 0 &... &0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 \end {bmatrix} \tag 2 \label {eq:2}$$

Macierz zerowa stanowi macierzowy odpowiednik liczby zero.

Rodzaje macierzy kwadratowych

Macierzami kwadratowymi, jak wspomniano, są macierze $m \times n$, dla których $m=n$. W macierzy takiej szczególną rolę odgrywają liczby $a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn}$, tworzące tzw. główną przekątną macierzy kwadratowej, zwaną inaczej diagonalą tej macierzy. Główna przekątna ma duże znaczenie, zwłaszcza w kontekście obliczeń numerycznych przeprowadzanych na macierzach. Niektóre z tych metod „nie działają”, gdy na przekątnej tej znajduje się liczba zero.

Macierz diagonalna

Macierz diagonalna to macierz kwadratowa, której wszystkie elementy nieleżące na głównej przekątnej równe są zero: $a_{ij} = 0$, dla $i \neq j$.

$$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\0 & a_{22} &... &0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end {bmatrix} \tag 3 \label {eq:3}$$

Nie oznacza to oczywiście, że w macierzy diagonalnej wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej muszą być różne od zera — kwadratowa macierz zerowa (2) również może być traktowana jako szczególny rodzaj macierzy diagonalnej.

Macierz jednostkowa

Macierzą jednostkową nazywamy taką macierz diagonalną, której wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są jednościami: $a_{11} = a_{22} = ... = a_{nn} = 1$:

$$\mathbf {I}_{[n\times n]} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\0 & 1 &... &0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \end {bmatrix} \tag 4 \label {eq:4}$$

Macierz jednostkowa odgrywa istotną rolę w rachunku macierzowym i w pewnym sensie stanowi macierzowy odpowiednik jedności. Będzie to omówione przy okazji omawiania działań na macierzach.

Macierz skalarna

Macierzą skalarną nazywamy taką macierz diagonalną, której wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są sobie równe.

$$ \begin{bmatrix} c & 0 & ... & 0 \\0 & c &... &0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & c \end {bmatrix} \tag 5 \label {eq:5}$$

Oczywiście dla $c=0$ macierz skalarna jest kwadratową macierzą zerową, a dla $c=1$ jest macierzą jednostkową.

Uwzględniając mnożenie macierzy przez skalar (liczbę), macierz skalarną można przedstawić jako: $c \cdot \mathbf{I}_{[n \times n]}$.

Macierz trójkątna

Macierzą trójkątną górną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poniżej diagonali równe są zero: $a_{ij} = 0$ dla $i > j$:

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\0 & a_{22} &... &a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end {bmatrix} \tag {6a} \label {eq:{6a}}$$

Macierzą trójkątną dolną nazywamy macierz kwadratową, w której wszystkie elementy powyżej diagonali są równe zeru: $a_{ij} = 0$ dla $i < j$.

$$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\a_{21} & a_{22} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end {bmatrix} \tag {6b} \label {eq:{6b}}$$

Oczywiście w macierzy trójkątnej górnej nie wszystkie elementy powyżej diagonali muszą być niezerowe i podobnie w macierzy trójkątnej dolnej nie wszystkie elementy poniżej diagonali muszą być niezerowe. W tym kontekście macierz diagonalna jest jednocześnie macierzą trójkątną górną oraz dolną.

Macierze trójkątne są istotne w kontekście rozwiązywania układów równań liniowych oraz podczas dekompozycji macierzy. Wykorzystuje się je także w algorytmach takich jak eliminacja Gaussa. W praktyce macierze trójkątne mogą znacznie uprościć obliczenia, zwłaszcza podczas mnożenia macierzy.

Macierz symetryczna

Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową, dla której zachodzi równość: $a_{ij} = a_{ji}$.

Jeśli uwzględnimy operację transpozycji macierzy, macierz symetryczną można zdefiniować jako macierz, dla której zachodzi $\mathbf{A}=\mathbf{A}^{\top}$.

Macierz skośnie symetryczna

Macierzą skośnie symetryczną nazywamy macierz kwadratową, dla której zachodzi równość: $a_{ij} = -a_{ji}$. Z warunku tego wynika, że w macierzy skośnie symetrycznej wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są zerami: $a_{11} = a_{22} = ... = a_{nn} = 0$.

Jeśli uwzględnimy operację transpozycji macierzy, macierz skośnie symetryczną można zdefiniować jako macierz, dla której zachodzi $\mathbf{A}=-\mathbf{A}^{\top}$.

Równość macierzy

Dwie macierze są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne wymiary oraz odpowiadające sobie elementy są równe. Oznacza to, że dla macierzy $\mathbf{A}$ o wymiarze $m \times n$ i macierzy $\mathbf{B}$ o takim samym wymiarze musi zachodzić warunek: \( a_{ij} = b_{ij} \) dla każdego $i$, $j$. Tj. w zapisie formalnym:

$$\mathbf{A}_{[m \times n]} = \mathbf{B}_{[p \times r]} \iff (m =p) \wedge (n=r) \wedge \forall (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n) (a_{ij} = b_{ij}) \tag 7 \label {eq:7}$$

W praktyce porównywanie macierzy polega na sprawdzeniu wszystkich ich elementów. Równość macierzy ma istotne znaczenie np. przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą macierzową.

W algebrze macierzy nie ma zdefiniowanych takich relacji, jak większa czy mniejsza. Równość macierzy albo zachodzi, albo nie zachodzi.

Działania na macierzach

Działania jednoargumentowe – cz. 1

Transpozycja macierzy

Transpozycją (transponowaniem) macierzy nazywamy działanie, które polega na „zamianie wierszy na kolumny”. Dla macierzy $\mathbf{A}$ o wymiarze $m \times n$, macierz transponowana, oznaczana jako $\mathbf{A}^{\top}$, ma wymiar $n \times m$. Oznacza to, że elementy macierzy transponowanej są definiowane jako $a^{\top}_{ij} = a_{ji}$. Transpozycja jest użyteczna w wielu dziedzinach matematyki, w tym w analizie danych oraz w teorii grafów. W kontekście układów równań liniowych transpozycja pozwala na przekształcanie równań do innej formy, co może ułatwić ich rozwiązanie.

Ślad macierzy

Śladem macierzy kwadratowej $\mathbf{A}$, co oznaczamy $\mathrm{tr}{\mathbf{A}}$, nazywamy sumę elementów leżących na głównej przekątnej: $\mathrm{tr}{\mathbf{A}} = a_{11} + a_{22} + ... +a_{nn}$.

Kolejną jednoargumentową operacją, którą należałoby omówić, jest odwracanie macierzy. Operacja ta zostanie omówiona w innym artykule, gdyż do wyznaczenia macierzy odwrotnej należy, między innymi, obliczyć wartość wyznacznika macierzy.

Działania dwuargumentowe

Mnożenie macierzy przez skalar (liczbę)

Iloczyn macierzy $\mathbf{A}$ (wzór (1)) przez liczbę $c$ obliczamy ze wzoru:

$$c \cdot \mathbf{A} = c \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} &... &a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} c \cdot a_{11} &c \cdot a_{12} & ... &c \cdot a_{1n} \\c \cdot a_{21} &c \cdot a_{22} &... &c \cdot a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\c \cdot a_{m1} &c \cdot a_{m2} & ... &c \cdot a_{mn} \end {bmatrix} \tag 8 \label {eq:8}$$

Mnożenie macierzy przez skalar posiada następujące własności:

• nie zmienia wymiaru macierzy,
• łączność: $b \cdot (c \cdot \mathbf{A}) = (b \cdot c) \cdot \mathbf{A}$,
• rozdzielność względem dodawania macierzy: $b \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = b \cdot \mathbf{A} + b \cdot \mathbf{B}$,
• rozdzielność względem dodawania skalarów: $(b + c) \cdot \mathbf{A} = b \cdot \mathbf{A} + c \cdot \mathbf{A}$,
• transpozycja iloczynu macierzy przez skalar: $(c \cdot \mathbf{A})^{\top} = c \cdot \mathbf{A}^{\top}$.

Można by twierdzić, że mnożenie macierzy przez skalar jest przemienne: $c \cdot \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot c$, ale w standardowej konwencji algebry liniowej zapisuje się najpierw skalar, potem macierz. Mówienie o przemienności nie jest tu szczególnie potrzebne, gdyż obydwa czynniki mają inną „naturę”: jeden jest liczbą, a drugi macierzą. W praktyce przyjmujemy więc zapis $c \cdot \mathbf{A}$.

Dodawanie macierzy

Dodawanie macierzy jest operacją, która możliwa jest tylko dla macierzy o jednakowych wymiarach. Sumą macierzy $\mathbf{A}$ oraz $\mathbf{B}$, o wymiarze $m \times n$, nazywamy macierz $\mathbf{C}$, której elementy są sumą elementów o takim samym numerze wiersza i kolumny, tj. dla:

$\mathbf {A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} &... &a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end {bmatrix} $ oraz $\mathbf {B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\b_{21} & b_{22} &... &b_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mn} \end {bmatrix} $

$$\mathbf {C} = \mathbf {A} + \mathbf {B}$$

$$\mathbf {C} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & ... & a_{1n} + b_{1n} \\a_{21} + b_{21}& a_{22} + b_{22} &... &a_{2n} + b_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & ... & a_{mn} + b_{mn}\end {bmatrix} \tag {9} \label {eq:{9}} $$

W przypadku, gdy wymiary macierzy są różne, dodawanie ich nie jest możliwe. Suma w takim wypadku po prostu nie istnieje.

Dodawanie macierzy posiada następujące własności:

• przemienność: $\mathbf {A} + \mathbf {B} = \mathbf {B} + \mathbf {A} \tag {9a} \label {eq:{9a}}$,
• łączność: $(\mathbf {A} + \mathbf {B}) + \mathbf {C} = \mathbf {A} + (\mathbf {B} + \mathbf {C}) \tag {9b} \label {eq:{9b}}$,
• posiada element neutralny, którym jest macierz zerowa: $\mathbf {A}_{[m \times n]} + \mathbf {0}_{[m \times n]} = \mathbf {0}_{[m \times n]} + \mathbf {A}_{[m \times n]} = \mathbf {A}_{[m \times n]} \tag {9c} \label {eq:{9c}}$,
• rozdzielność względem mnożenia przez skalar: $b \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = b \cdot \mathbf{A} + b \cdot \mathbf{B}$.

Z istnienia elementu neutralnego dodawania macierzy wynika, że dla każdej macierzy $\mathbf{A}$, dowolnego wymiaru, istnieje macierz $-\mathbf{A} = -1 \cdot \mathbf{A}$, taka, że $\mathbf{A} + (-\mathbf{A}) = \mathbf{0}$, gdzie $\mathbf{0}$ jest macierzą zerową takiego samego wymiaru. Oczywiście, wobec przemienności dodawania macierzy, zachodzi również: $-\mathbf{A} + \mathbf{A} = \mathbf{0}$. Taką macierz $-\mathbf{A}$ nazywa się czasem macierzą przeciwną (nie wszystkie podręczniki używają tej terminologii) do macierzy $\mathbf{A}$.

Zauważmy ponadto, że rozdzielność dodawania macierzy względem mnożenia przez skalar jest tożsama z rozdzielnością mnożenia przez skalar względem dodawania macierzy („względność” działa tutaj symetrycznie).

Odejmowanie macierzy

Odejmowanie macierzy można zdefiniować jako dodawanie macierzy przeciwnej:

$$\mathbf {A} - \mathbf {B} = \mathbf {A} + (-\mathbf {B}) $$

ze wszystkimi tego konsekwencjami.

Mnożenie macierzy

Bardzo ciekawą operacją jest mnożenie macierzy. Podobnie jak dodawanie czy odejmowanie, mnożenie macierzy, aby było wykonalne, wymaga spełnienia określonych warunków dotyczących wymiarów mnożonych macierzy, jednak warunek ten jest nieco inny i bardziej skomplikowany aniżeli — obowiązujący przy dodawaniu i odejmowaniu — warunek identyczności rozmiarów.

Macierz $\mathbf {A}$ o wymiarach $m \times n$ może być pomnożona przez macierz $\mathbf {B}$ wtedy i tylko wtedy, jeśli liczba kolumn pierwszej macierzy (pierwszego czynnika) będzie taka, jak liczba wierszy drugiej macierzy. Druga macierz musi zatem mieć wymiar $n \times p$. Wynik operacji mnożenia macierzy jest macierzą o liczbie wierszy takiej, jak w pierwszej macierzy oraz o liczbie kolumn takiej, jak w drugiej macierzy (drugim czynniku). Czyli jest macierzą o wymiarze $m \times p$.

Można to zapisać symbolicznie:

$$\mathbf {A}_{[m \times n]} \cdot \mathbf {B}_{[n \times p]} = \mathbf {C}_{[m \times p]}\tag {10} \label {eq:{10}}$$

Bardzo często podczas korepetycji uczę moich klientów mnemotechniki: tyle wierszy, ile pierwszy.

Już sam warunek istnienia iloczynu macierzy oraz zasada ustalania jego wymiaru (10) powinny nam zasugerować, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Jeśli w iloczynie (10) $m \neq p$, to iloczyn „w drugą stronę” nie istnieje. Przykładowo dla macierzy $\mathbf {A}_{[2 \times 3]}$ oraz $\mathbf {B}_{[3 \times 4]}$ iloczyn $\mathbf {A}_{[2 \times 3]} \cdot \mathbf {B}_{[3 \times 4]} = \mathbf {C}_{[2 \times 4]}$ istnieje, natomiast iloczyn $\mathbf {B}_{[3 \times 4]} \cdot \mathbf {A}_{[2 \times 3]}$ nie istnieje, gdyż liczba kolumn pierwszego czynnika nie jest równa liczbie wierszy drugiego czynnika.

Elementy macierzy $\mathbf {C}_{[m \times p]} = \mathbf {A}_{[m \times n]} \cdot \mathbf {B}_{[n \times p]} $ obliczamy ze wzoru:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^n \left(a_{ik} \cdot b_{kj}\right) \tag {11} \label {eq:{11}}$$

Wzór (11) bardzo często określa się mianem „mnożenia wiersza przez kolumnę”. W praktyce polega to na mnożeniu przez siebie odpowiadających sobie kolejno elementów $i$-tego wiersza lewego czynnika przez kolejne elementy $j$-tej kolumny prawego czynnika. Ponieważ warunkiem istnienia iloczynu macierzy jest równość liczby kolumn pierwszego czynnika i liczby wierszy drugiego czynnika, toteż liczba elementów poszczególnych wierszy lewego czynnika jest taka sama, jak liczba elementów w każdej z kolumn drugiego czynnika. Zawsze liczba tych elementów wynosi $n$.

Przykład 1

Pokażemy obliczanie iloczynu macierzy na przykładzie macierzy:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 4 & -5 \end{bmatrix} $ $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 4 & 1 \\ -2 & 0 & 5 & 3 \\ -5 & 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} $

Wspólna liczba kolumn macierzy $\mathbf{A}$ oraz wierszy macierzy $\mathbf{B}$, symbolizowana we wzorze (10) symbolem $n$, wynosi tutaj 3. Macierz wynikowa $\mathbf{C}$ jest macierzą $2 \times 4$:

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}\end{bmatrix} $$

Każdy z elementów macierzy wynikowej $\mathbf{C}$ obliczamy w taki sposób, że element leżący w $i$-tym wierszu oraz $j$-tej kolumnie tej macierzy obliczamy, mnożąc i-ty wiersz macierzy $\mathbf{A}$ przez j-tą kolumnę macierzy $\mathbf{B}$. Liczymy po kolei:

$c_{11} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + (-3) \cdot (-5) = 6 - 2 + 15 = 19$

$c_{12} = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 = -4 + 0 - 6 = -10$

$c_{13} = 2 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 1 = 8 + 5 - 3 = 10$

$c_{14} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-3) \cdot 3 = 2 + 3 - 9 = -4$

$c_{21} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-5) = 3 - 8 + 25 = 20$

$c_{22} = 1 \cdot (-2) + 4 \cdot 0 + (-5) \cdot 2 = -2 + 0 - 10 = -12$

$c_{23} = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + (-5) \cdot 1 = 4 + 20 - 5 = 19$

$c_{24} = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + (-5) \cdot 3 = 1 + 12 - 15 = -2$

Wobec tego:

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 19 & -10 & 10 & -4 \\ 20 & -12 & 19 & -2\end{bmatrix} $$

Obliczenie iloczynu $\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$ nie jest oczywiście możliwe.

Przykład 2

Z kolei weźmy taką samą macierz $\mathbf{A}$, ale inną macierz $\mathbf{B}$:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 4 & -5 \end{bmatrix} $ $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

Macierz $\mathbf{B}$ ma wymiar $3 \times 2$. Iloczyn $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ jest macierzą wymiaru $2 \times 2$:

$$\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \left[ \begin{matrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{matrix} \right]$$

$c_{11} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 = 2 - 1 - 9 = -8$

$c_{12} = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 + (-3) \cdot 2 = -4 + 4 - 6 = -6$

$c_{21} = 1 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + (-5) \cdot 3 = 1 - 4 - 15 = -18$

$c_{22} = 1 \cdot (-2) + 4 \cdot 4 + (-5) \cdot 2 = -2 + 16 - 10 = 4$

Zatem:

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} -8 & -6 \\ -18 & 4 \end{bmatrix} $$

Obliczenie iloczynu „w drugą stronę”, czyli $\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$, jest możliwe. Wynik jest macierzą $3 \times 3$.

$$\mathbf{C} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix}$$

$c_{11} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 2 - 2 = 0$

$c_{12} = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 = 1 - 8 = -7$

$c_{13} = 1 \cdot (-3) + (-2) \cdot (-5) = -3 + 10 = 7$

$c_{21} = -1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -2 + 4 = 2$

$c_{22} = -1 \cdot 1 + 4 \cdot 4 = -1 + 16 = 15$

$c_{23} = -1 \cdot (-3) + 4 \cdot (-5) = 3 - 20 = -17$

$c_{31} = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 6 + 2 = 8$

$c_{32} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$

$c_{33} = 3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-5) = -9 - 10 = -19$

Zatem:

$$\mathbf{C} = \left[ \begin{matrix} 0 & -7 & 7 \\ 2 & 15 & -17 \\ 8 & 11 & -19 \end{matrix} \right]$$

Obliczenie iloczynu „w drugą stronę” było zatem możliwe, ale wynik jest zupełnie inny — tak dalece inny, że jest macierzą innego wymiaru!

W przypadku macierzy kwadratowych obliczenie obydwu iloczynów będzie możliwe i obydwa będą macierzami tego samego wymiaru. Może się zdarzyć, że obydwa iloczyny będą takie same. Najprostszym takim przypadkiem jest sytuacja, że jeden z czynników jest macierzą zerową. Wówczas iloczyn obliczany w „obie strony” będzie macierzą zerową:

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{0}$$

Dla macierzy innych niż kwadratowe również iloczyn dowolnej macierzy $\mathbf{A}_{[m \times n]}$ i macierzy zerowej (odpowiednio dobranej pod względem wymiaru) będzie macierzą zerową, ale oczywiście w przypadku mnożenia w jedną i drugą stronę wynikowe macierze zerowe będą miały inne wymiary.

Inny szczególny przypadek, gdy mnożenie macierzy w jedną i drugą stronę daje taki sam iloczyn, związany jest z istnieniem macierzy odwrotnej¹. Najpierw jednak przedstawić należy własności mnożenia macierzy. Te własności to:

• łączność: $(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})$,
• rozdzielność względem dodawania: $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$ oraz $(\mathbf{B} + \mathbf{C}) \cdot \mathbf{A} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{C} \cdot \mathbf{A} $,
• istnienie elementu neutralnego, którym jest odpowiednio dobrana (pod względem wymiaru) macierz jednostkowa: $\mathbf{A}_{[m \times n]} \cdot \mathbf{I}_{[n \times n]} = \mathbf{A}_{[m \times n]}$ oraz $\mathbf{I}_{[m \times m]} \cdot \mathbf{A}_{[m \times n]} = \mathbf{A}_{[m \times n]}$,
• transpozycja iloczynu macierzy: $\left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right)^{\top} = \mathbf{B}^{\top} \cdot \mathbf{A}^{\top}$.

Mnożenie macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową to kolejny przypadek, kiedy iloczyn macierzy w jedną i drugą stronę daje ten sam wynik, albowiem:

$$\mathbf{A}_{[n \times n]} \cdot \mathbf{I}_{[n \times n]} = \mathbf{I}_{[n \times n]} \cdot \mathbf{A}_{[n \times n]} = \mathbf{A}_{[n \times n]}$$

Między innymi z uwagi na tę własność macierzy jednostkowej (czyli bycie elementem neutralnym mnożenia), traktujemy ją jako macierzowy odpowiednik jedności.

Oprócz tego, dla każdej macierzy kwadratowej $\mathbf{A}$, z wyjątkiem tzw. macierzy osobliwych (zostanie to omówione w artykule poświęconym wyznacznikowi macierzy kwadratowej), można wyznaczyć macierz odwrotną $\mathbf{A}^{-1}$, dla której:

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{I} \tag {12} \label {eq:{12}}$$

Przykład 3

Dla macierzy $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} $ macierzą odwrotną jest macierz $\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $. Jak łatwo sprawdzić:

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{I}$$

oraz:

$$\mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{I}$$

1. Wyznaczanie macierzy odwrotnej wymaga wyliczenia wyznacznika macierzy, zatem zostanie omówione w innym artykule. ↩︎

Utworzono: 20.10.2025 | Zmodyfikowano: 18.05.2026